中考数学复习《巧用转化思想求作梯形面积等分线》

巧用转化思想求作梯形面积等分线
——对一道中考试题的探究
一、问题的缘起
原题（2005年贵阳中考题）如图1，在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；
(1)根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全
等关系的直线有多少组；
(2)请在平行四边形中画出满足小强分割方法的不同的直线；
(3)由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？
解(1)无数；
(2)作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画两条直线即可．
(3)这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）．
图2中前两个图中四部分面积相等，第三个图只是相对的面积相等．由此我们想到新问题：怎样在平行四边形中作两条直线，把其面积四等分？
我们知道，过平行四边形对称中心的直线平分其面积，在图3中，EF把□ABCD的面积分为两个全等等积的梯形，因此只要过一腰中点作梯形的面积等分线即可．
二、问题的探究
问题梯形ABCD中，AD∥BC，点O是CD的中点，在AB上求作一点P，使直线OP平分梯形ARCD的面积．
分析1 假设直线OP已作出，如图4．
由合比定理，得AF BP AB AB
=，
故而AF＝BP．
作法1 如图4．
1．连结AO并延长，交BC延长线于点E；2．过点C作CF∥AE，交AB于点F；3．在BA上作BP＝AF；
4．作直线OP．
分析2 假设直线OP已作出，如图5．
要使S△APD＝S△BPC，
只需AP·AD＝BP·BC．
将AD平移至BE，在AB上截取AF＝BP，则AP＝BF，则只需BF·BE＝BP·BC，
即BE BP
BC BF
=，则PE∥CF，四边形ECFP为梯形．
取其中位线MN，则MN∥EP，此时N为AB的中点．
作法2 如图5．
1.过点D作DE∥AB，交BC于点E；
2．分别作EC、AB的中点M、N，连结MN；
3．过点E作EP∥MN，交AB于点P；
4．作直线OP．
分析3 假设直线OP已作出，如图6．
要使S△APD＝S△BPC，将AD平移至BE，
则S△APD＝S△PAE.
过点A作AF∥PE，则S△PAE＝S△PEF.
故只需S△BPC＝S△PEF，
由于同高，故而BE＝CF.
作法3 如图6．
1．过点D作DE∥AB，交BC于点E；
2．在BC延长线上作CF＝BE，连结AF；
3．过点E作EP∥AF，交AB于点P；
4．作直线OP.
分析4 在图6中明显地看到AF经过点O，这是巧合吗？由CF＝BE，而AD＝BE，故CF＝AD且平行，由平行四边形对角线互相平分易证AF经过点O．看来是偶然中的必然，为此可改良作法3．
作法4 如图6．
1．过点D作DE∥AB，交BC于点E；
2．连结AO并延长，交BC延长线于点F；
3．过点E作EP∥AF，交AB于点P；
4．作直线OP.
分析5 假设直线OP已作出，如图7．
将AD平移至BE，连结AO并延长，交BC延长线于点F，
则S△BOE＝S△OCF＝S△OAD，S△BAO＝S△BFO，
∴S△BPO＋S△PAO＝S△BOC＋S△OCF.①
要使S四边形APOD＝S四边形BCOP，
即S△PAO＋S△OAD＝S△BOC＋S△BPO.②
由①、②，得S△BPO＝S△OCF，
故S△BPO＝S△BOE.
△BPO与△BOE同底OB，只需等高即可．
作法5 如图7．
1．过点D作DE∥AB，交BC于点E；
2．作点E关于BO的对称点E’；
3．过点E’作E'P∥BO，交AB于点P；
4．作直线OP.
注图中还有S△APO＝S△BOC，
分析6 假设直线OP已作出，如图8．
将AD平移至CE，取AE中点F，则O－F－B等分梯形面积．
连结BO、PF，
则S四边形APOD＝S□AFOD＋S△APF＋S△PFO
＝S□AFOD＋S△ABF－S△PFB＋S△PFO，
故S△PFB＝S△PFO，因而PF∥BO.
作法6 如图8．
1．过点A作AE∥DC，交BC于点E；
2．取AE中点F，连结OB；
3．过点F作FP∥BO，交AB于点P；
4．作直线OP.
分析7 假设直线OP已作出，如图9．
连结AC；过点D作DE∥AC，交BA延长线于点E则S△ACD＝S△ACE，梯形面积转化为△BCE的面积．
取BE中点F，连结OF，
则S△EFC＝1
2
S△BCE＝S四边形APOD
而S△EFC＝S△AFC＋S△ACE
＝S△AFC＋S△ACD＝S四边形AFCD．
故只需S四边AFCD＝S四边形APOD，
只需S△OFP＝S△OFC，因而CP∥OF.
作法7 如图9．
1．连结AC；过点D作DE∥AC，交BA延长线于点E；
2．取BE中点F，连结OF；
3．过点C作CP∥OF，交AB于点P；
4．作直线OP.
分析8假设直线OP已作出，如图10.连结AO、BO；分别过点D、C作DE∥AO、CF∥BO、交直线AB于点E、F，则梯形面积转化为△EOF的面积，此时只需作EF上的中线即可．
作法8 如图10.
1．连结AO、BO；
2．分别过点D、C作DE∥AO、CF∥BO，
交直线AB于点E、F；
3．取EF的中点P；
4．作直线OP.
注图9、图10的方法也是过任意四边形边上一点
作四边形的面积等分线的通法，之所以把这两种通法放到最后，是以防通法禁锢住我们的思维而陷入思维定势，让我们不再动脑多思而漏掉前6种作法．
以上解法，多次用到了转化的思想，如等线段代换，等积代换等等，让我们感受到了转化的神奇魅力．同时，“老题”不“老”，“老题”也能发“新芽”，也能焕发出勃勃生机！。