7.5三角形内角和定理2(市公开课)

探究新知：
如图:∠1是△ABC的一个外角， ∠1与图中其他各角有何关系？
将你的发现写下来，并 想办法证明。
发现： ∠1= ∠2+∠3
已知：∠1是△ABC的一个外角 求证： ∠1= ∠2+∠3 证明：∵ ∠1+∠4=180°（平角定义）
∴ ∠1 = 180°- ∠4（等式性质）
∵ ∠2+ ∠3+ ∠4=180° （三角形内角和定理） ∴ ∠2+ ∠3=180°- ∠4（等式性质） ∴ ∠1= ∠2+ ∠3（等量代换）
由一个基本事实或定理直接推出的定理，
叫做这个基本事实或定理的推论。 推论和定理一样，在证明过程中可以直接使用。
定理三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和 等量关系
定理三角形的一个外角大于任何一个和它 不相邻的内角 不等关系
应用新知：
1.如图:△ABC中，D是BC延长线上一点 1）则∠ ACD ＞∠ A ， ∠ ACD ＞∠ B ；
例2：已知：如图P是△ABC内一点， 连接PB、PC。 （1）求证：∠BPC ＞ ∠A （2） ∠BPC 与∠A、 ∠ABP、 ∠ACP有怎样的数量关系？说明理由。
例2（1）证明：延长BP交AC于点D. ∵ ∠1 是△PDC的一个外角 ∴ ∠1 ＞ ∠2 ∵ ∠2是△ABD的一个外角 ∴ ∠2 ＞ ∠A ∴ ∠1 ＞ ∠A 即∠BPC ＞ ∠A
4
6
课堂小结
今天你学到了哪些知识？
学到了哪些思想方法
你还有什么收获……
三角形的边、角关系
任意两边之和大于第三边
三 角 形
边的关系
任意两边之差小于第三边
三角形三个内角的和等于180 °
角的关系
三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和，大于任 何一个和它不相邻的内角
布置作业
A.习题7.7 1.2.3
D 2 1
(1)证明：连接AP并延长交BC于点E. 例2： ∵ ∠1是△ABP的一个外角 ∴ ∠1 ＞ ∠3 ∵ ∠2是△ACP的一个外角 ∴ ∠2 ＞ ∠4 ∴ ∠ 1+ ∠2 ＞ ∠3+ ∠4 即 ∠BPC ＞ ∠BAC
3
4
1 E
2
例2：已知：如图P是△ABC内一点， 连接PB、PC。 （1）求证：∠BPC ＞ ∠A （2） ∠BPC 与∠A、 ∠ABP、 ∠ACP有怎样的等量关系？说明理由。
例2 （2） ∠BPC = ∠A+ ∠ABP+ ∠ACP 证明：∵ ∠1 是△PDC的一个外角 ∴ ∠1 = ∠2+ ∠3 ∵ ∠2是△ABD的一个外角 ∴ ∠2=∠A+ ∠4 ∴ ∠1 = ∠A+ ∠3+ ∠4 即∠BPC = ∠A+ ∠ABP+ ∠ACP
D
4 1 2
3
例2： (2)证明： ∵ ∠1 是△ABP的一个外角 3 ∴ ∠1=∠3+ ∠ 5 5 1 2 ∵ ∠2是△ACP的一个外角 E ∴ ∠2 = ∠4+ ∠6 ∴ ∠ 1+ ∠2 = ∠3+ ∠ 4+ ∠5+ ∠6 即 ∠BPC = ∠BAC + ∠ ABP + ∠ACP
7.5
三角形内角和定理（2）
青岛五十九中
张全友
两分钟积累
1、回顾三角形内角和定理. 2、三角形的边、角关系有哪些？
任意两边之和大于第三边
三 角 形
边的关系
任意两边之差小于第三边
三角形三个内角的和等于180 °
角的关系
三角形的外角定义:
三角形内角的一条边 与另一条边的反向 延长线组成的角叫做这个三角形的外角。
发现： ∠1= ∠2+∠3
已知：∠1是△ABC的一个外角 求证： ∠1= ∠2+∠3 证明：过点B做BE∥AC ∴∠ABE= ∠2
（两直线平行，内错角相等）
E
∠EBD= ∠3 （两直线平行，同位角相等）
∵ ∠ABD= ∠ABE+ ∠EBD
∴ ∠ABD= ∠2+ ∠3（等量代换）
三角形内角和定理有关外角的两个定理：
B.课本P187 16
谢谢！
7 A 6 2
8 3 C 9
4 1 B 5 10
2）若∠A=35°, ∠DCA=80°， 则 ∠ACB= 100 ° ∠B= 45 °
A
35°
D
80°
C
B
2.如图，△ABC中，BD平分∠ABC， 若∠A=85°，∠BDC=115° 则∠ABC= 60 °
A
85源自文库 1 2
D
115°
B
C
例1.如图,△ABC中， ∠B=∠C ， AD平分外角∠EAC。 求证：AD∥BC