离散数学:特殊图
离散数学(chapter10一些特殊的图)精品PPT课件

29.11.2020
离散数学
31
§10.4 平面图
一、平面图的基本概念及性质
平面图:图G若能够以除顶点外没有边交叉的方式 画在平面上,则称G为平面图。 画出的没有边交叉的图称为G的一个平面嵌入。
大臣要求男女各站一边,彼此愿意成婚的举手,结 果大臣认为无法配对成婚。
但国王不理解他的解释,他的命运?
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离散数学
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用图表示卫士与宫女愿意成婚的关系: 卫士
宫女
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离散数学
4
1994年全国大学生数学建模竞赛B题:锁具装箱问题
某厂生产一种弹子锁具, 每个锁具的钥匙有 5 个槽, 每个槽的高度从 {1,2,3,4, 5,6} 6 个数 (单位略) 中任取一数. 由于工艺及其它原因, 制 造锁具时对 5 个槽的高度 还有两个限制: 至少有 3 个不同的数; 相邻两槽高度之差不能为 5. 满足 以上条件制造 出来的所有互不相同的锁具称为一 批. 出来的所有互不相同的锁具称为一 批.
K5
K3,3
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离散数学
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面:设G是一个连通的平面图(G的某个平面嵌入), G的边将G所在的平面划分成若干个区域, 每个区域称为的一个面。
其中面积无限的区域称为无限面(或外部面),记R0, 面积有限的区域称为有限面(或内部面)。
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离散数学
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包围每个面的所有边所构成的回路称为该面的边界。 边界的长度称为该面的次数,R的次数记为deg(R)。
武汉大学《离散数学》课件-第5章

vi是终点), 则称为通路, v0是通路的起点, vl是通路的终点, l为通路的长度. 又若v0=vl,则称为回路.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异,则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
32
通路与回路(续)
定理 在n阶图G中,若从顶点u到v(uv)存在通 路,则从u到v存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中,若从顶点u到v(uv)存在通 路,则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中,若存在v到自身的回路,则 一定存在v到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中,若存在v到自身的简单回 路,则存在v到自身长度小于等于n的初级回路.
D
D[{e1,e3}]
D[{v1,v2}]
26
补图
定义 设G=<V,E>为n阶无向简单图,以V为顶点集, 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集 的图,称为G的补图,记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
例 对K4的所有非同构子图, 指出互为补图的每一对 子图, 并指出哪些是自补图.
图论
1
图论部分
第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树
2
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色
3
5.1 无向图及有向图
▪ 无向图与有向图 ▪ 顶点的度数 ▪ 握手定理 ▪ 简单图 ▪ 完全图 ▪ 子图 ▪ 补图
27
5.2 通路、回路、图的连通性
离散数学 第八章

欧拉图(续)
例 图中, (1), (4)为欧拉图; (2), (5)为半欧拉图; (3),(6)既不 是欧拉图, 也不是半欧拉图. 在(3), (6)中各至少加几条边才能成为欧拉图?
13
欧拉图的判别法
定理 无向图G为欧拉图当且仅当G连通且无奇度顶点. 无向图G是半欧拉图当且仅当G连通且恰有两个奇度顶点. 定理 有向图D是欧拉图当且仅当D连通且每个顶点的入度都 等于出度. 有向图D具有欧拉通路当且仅当D连通且恰有两个奇度顶 点, 其中一个入度比出度大1, 另一个出度比入度大1, 其余 顶点的入度等于出度.
9
8.2 欧拉图
欧拉通路 欧拉回路 欧拉图 半欧拉图
10
哥尼斯堡七桥问题
欧拉图是能一笔画出的边不重复的回路.
11
欧拉图
欧拉通路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的通路. 欧拉回路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的回路. 欧拉图: 有欧拉回路的图. 半欧拉图: 有欧拉通路而无欧拉回路的图. 几点说明: 上述定义对无向图和有向图都适用. 规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路. 环不影响图的欧拉性.
第8章 一些特殊的图
8.1 二部图 8.2 欧拉图 8.3 哈密顿图 8.4 平面图
1
8.1 二部图 二部图 完全二部图 匹配 极大匹配 最大匹配 匹配数 完备匹配
2
二部图
定义 设无向图 G=<V,E>, 若能将V 划分成V1 和 V2 (V1V2=V, V1V2=), 使得G中的每条边的两个端 点都一个属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图, 记为<V1,V2,E>, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若G 是简单图, 且V1中每个顶点都与V2中每个顶点相邻, 则称G为完全二部图, 记为Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|. 注意: n 阶零图为二部图.
离散数学图论

例:把下面的m叉树改写为二叉树。
14
第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
练习:把下面的有序树改写为二叉树。
。 。 。。 。 。。 。 。 。 知识点提示:
。 。。
。 。 。
。
课下自学
此方法可推广至有序森林到二叉树的转换。 此方法具有可逆性。
15
第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
给定一棵2叉树T,设它有t片树叶。设v为T的一个分枝点, 则v至少有一个儿子,最多有两个儿子。若v有两个儿 子,在由v引出的两条边上,左边的标上0,右边的标 上1;若v有一个儿子,在由v引出的边上可标上0,也
可标上1。设vi为T的任一片树叶,从树根到vi的通路
上各边的标号组成的0,1串组成的符号串放在vi处,t 片树叶处的t个符号串组成的集合为一个二元前缀码。
定义7-8.5
在根树中, 科 一个结点的通路长度为从树根到此结点的通路中的边 学 数。 与 分枝点的通路长度称为内部通路长度。 树叶的通路长度称为外部通路长度。
工 程 学 院
。 。 。 。。 A 。 。 。。
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第七章 图论
信 息 科
定理7-8.2
若完全二叉树有n个分枝点,且内部通路长度总和为L,外 部通路长度总和为E,则 E=L+2n。 证明:
学 与 工 程 学 院
对分枝点数目n进行归纳证明。
。
当n=1时,如右图所示,
L=0, E=2,
。
。
显然, E=L+2n成立。
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第七章 图论
信 息 科 学
定理7-8.2 若完全二叉树有n个分枝点,且内部通路长度总 和为L,外部通路长度总和为E,则 E=L+2n。 证明:
离散数学_无向图和有向图

例2 (续)
(2)
(3)
不同构 入(出)度列不同
度数列相同 但不同构 为什么?
22
完全图
n阶无向完全图Kn: 每个顶点都与其余顶点相邻的n 阶无向简单图.
简单性质: 边数m=n(n-1)/2, ==n-1
n阶有向完全图: 每对顶点之间均有两条方向相反的 有向边的n阶有向简单图.
简单性质: 边数m=n(n-1), ==2(n-1), +=+=-=-=n-1
例 对上一页K4的所有非同构子图, 指出互为补图的 每一对子图, 并指出哪些是自补图.
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5
无向图与有向图(续)
定义 有向图D=<V,E>, 其中 (1) V同无向图的顶点集, 元素也称为顶点 (2) 边集E为VV的多重子集,其
元素称为有向边,简称边. 用无向边代替D的所有有向边 所得到的无向图称作D的基图
右图是有向图,试写出它的V和E 注意:图的数学定义与图形表示,在 同构(待叙)的意义下是一一对应的
V 中的所有边为边集的G的子图称作V 的导 出子图,记作 G[V ] (5) 设E E且E , 以E 为边集, 以E 中边关联的 所有顶点为顶点集的G的子图称作E 的导出子 图, 记作 G[E ]
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子图(续)
例 画出K4的所有非同构的生成子图
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补图
定义 设G=<V,E>为n阶无向简单图,以V为顶点集, 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集 的图,称为G的补图,记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
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握手定理(续)
推论 在任何无向图和有向图中,奇度顶点的个数必
为偶数.
证 设G=<V,E>为任意图,令
离散数学第8章 图论

为d(vi,vj)。
8.2
图的矩阵表示
一、图的邻接矩阵 二、图的连接矩阵
三、图的关联矩阵
二、图的连接矩阵 定义 8-9 设图 G= ( V , E ),其中 V={v1 ,
v2 , … , vn } , n 阶方阵 C= ( cij ),称为图 G 的连接 矩阵,其中第i行j列的元素
1 c ij 0
利用邻接矩阵,我们可以 (1)判断G中任意两个结点是否相连接;
方法是:对 l=1,2,…,n–1,依次检查Al的(i,j)
项元素
(l ( ) ij)是否为0,若都为0,那么结点v 与v 不 a ij i j
相连接,否则vi与vj有路相连接。 (2)计算结点vi与vj之间的距离。
(1) ( 2) ( n 1) 中至少有一个不为0, 若 aij , aij , , aij 则可断定vi与vj相连接,使 a (l ) 0 的最小的 l 即
若中有相同的结点,设为ur= uk(r<k),则子路ur+1…uk可以从 中删去而形成一条较短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj,仍连接vi到 vj 。 若中还有相同的结点,那么重复上述过程又可形成一条 更短的路,…。这样,最后必得到一条真路,它连接vi到vj, 并短于前述任一非真路。因此,只有真路才能是短程。
非真 生成
真 生成
真 非生成
非真 非生成
真 非生成
七、路与回路 定义:图G中l条边的序列{v0,v1}{v1,v2}…{vl–1,vl}称为连
接v0到vl的一条长为 l 的路。它常简单地用结点的序列 v0v1v2…vl–1vl来表示。其中v0和vl分别称为这条路的起点和终点。 开路:若v0vl,则称路v0v1v2…vl–1vl为开路; 回路:若v0=vl,则称路v0v1v2…vl–1vl为回路; 真路:若开路v0v1v2…vl–1vl中,所有结点互不相同(此时所有 边也互不相同),则称该路为真路; 环:在回路v0v1v2…vl–1v0中,若v0,v1,v2,…,vl–1 各不相同 (此时所有边也互不相同),则称该回路为环。
离散数学欧拉图

欧拉图的判断方法
在计算机科学中,欧拉图还可用于描述有向图(Directed Graph) 的路径问题,例如,欧拉路径(Euler Path)和欧拉回路 (Eulerian Circuit) 欧拉路径是指一条路径包含图中所有的边恰好一次。而欧拉回路 是指一条闭合路径包含图中所有的边恰好一次。一个图存在欧拉 回路当且仅当该图的每条边的权值都是偶数 在复杂网络理论中,欧拉图可以用于描述网络的结构和行为,例 如社交网络、互联网、脑科学等领域的网络。在这些网络中,节 点代表个体或事件,边代表它们之间的联系或互动。通过对这些 网络进行分析,可以发现它们的结构和行为规律,从而更好地理 解和预测网络的行为 此外,欧拉图还可以用于构建和分析化学分子的结构。在化学中, 欧拉图是一种用于表示分子结构的图形,其中顶点代表原子,边 代表化学键。通过分析欧拉图,可以了解分子的结构、性质和反 应行为等信息
在这个图中,每个顶点都有偶数条边连接,并且存在一条路径(A---B---C---D---E---F--A)包含所有顶点,且每个边都只经过一次
欧拉图的性质
欧拉图的性质
欧拉图具有以下性质 欧拉图的边数一定是偶数 欧拉图一定是连通的(即所有顶点之间都有路径相连) 欧拉图中的任何两个顶点之间都有偶数条边相连 如果一个图是欧拉图:那么它的每个子图都是欧拉图
欧拉图的判断方法
对于一个连通图:如果它的所有边都可以被一个2-因子覆盖(即每个顶点都在两个2因子中出现),那么这个图是欧拉图。否则,这个图不是欧拉图 对于一个连通图:如果它可以被分解成两个子图,每个子图都包含所有的顶点并且所 有边的数量相同,那么这个图是欧拉图。否则,这个图不是欧拉图
对于一个连通图:如果它可以被分解成两个子图,每个子图的边数相同并且所有顶点 的度数相同(即每个顶点的度数都是偶数),那么这个图是欧拉图。否则,这个图不 是欧拉图。除了以上方法,还有一些复杂的方法可以判断一个图是否为欧拉图,例如 通过检查图的子图或者通过编程实现图的遍历算法。这些方法需要更深入的图论知识 和计算机科学知识,但它们可以提供更准确和高效的结果
离散数学及其应用课件:特殊图

特殊图
图6-7 基于用户的协同过滤
特殊图
基于物品的协同过滤算法与基于用户的协同过滤算法类 似,只是将商品和用户互换。通过计算不同用户对不同物品 的评分获得物品间的关系,基于物品间的关系对用户进行相 似物品的推荐。举个例子:若用户A 购买了商品a 和b,那么说 明a 和b 的相关度较高。当用户B 也购买了商品a,就可以推 断用户 B 也有购买商品b 的需求。该算法可描述如图 6-8所示。
特殊图
图6-6-题设对应的二部图
特殊图
基于用户的协同过滤算法是通过用户的历史行为(如商 品购买、收藏、内容评价或分享)数据发现用户对商品或内 容的喜欢程度,并对这些喜好进行度量和打分,然后根据不同 用户对相同商品或内容的偏好程度计算用户之间的关系,在 有相同喜好的用户之间进行商品推荐。比如:若A,B 两个用户 都购买了x,y,z 三本图书,并且给出了5星好评,那么A,B 属于同 一类用户,可以将A 看过的书w 推荐给用户B,也可以将B 买过 的商品β推荐给用户A。该算法可描述如图6-7所示。
特殊图
特殊图
解 表6-1中的关系可以用一个二部图G=<V1,V2,E>表示, 如图6-6所示,其中V1={A1,A2,A3,A4,A5}表示5名应届毕业 生,V2={C1,C2,C3,C4,C5}表示五座西部城市。因为A1、A2、A3、 A4、A5 关联的边数分别为2、2、2、3、3,所以每个顶点至少 关联t=2条边,而C2、C3 关联了4条边,4>2,所以不满足t条件,于 是找不到合适的匹配,使得每个人都能去到自己想去的城市。
特殊图 例6.6-考虑图6-16,判断它们是否是欧拉图或半欧拉图,为
什么?
图6-16-有向图的欧拉图判定
特殊图
离散数学-几种特殊图

第四讲几种特殊图一、小结本讲主要介绍欧拉图与汉密尔顿图、平面图与着色以及一些相关的概念与结论等。
1.欧拉图的概念给定无孤立结点图G ,若存在一条路经过图G的每条边一次且仅一次,则该路称为欧拉路;若存在一条回路经过图G的每条边一次且仅一次,在该回路称为欧拉回路;具有欧拉回路的图称为欧拉图;具有欧拉路但无欧拉回路的图称为半欧拉图。
规定平凡图为欧拉图。
2.欧拉路与回路存在的充要条件无向图G具有一条欧拉路,当且仅当G是连通的,且有零个或2个奇数度数的结点。
无向图G具有一条欧拉回路,当且仅当G是连通的,并且它的结点度数都是偶数的。
3.汉密尔顿图的概念给定图G ,若存在一条路经过图G的每个结点一次且仅一次,则该路称为汉密尔顿路;若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次,则该回路称为汉密尔顿回路;具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图;具有汉密尔顿路但无汉密尔顿回路的图称为半汉密尔顿图。
4.汉密尔顿回路存在的必要条件若图G=<V,E>中具有一条汉密尔顿回路,则对于结点集V的每个非空子集S均有W(G-S)£|S|成立,其中W(G-S)是(G-S)中连通分支数。
5.汉密尔顿路存在的充分条件设G=<V,E>是具有n个结点的简单图,若在G中每一对结点度数之和大于等于n - 1,则在G中存在一条汉密尔顿路。
6.平面图的概念设G=<V,E>是一个无向图,如果能把G的所有结点与边画在平面上,并且使得任何两条边除端点外没有其他的交点,则称G是一个平面图(也称可平面图).显然平面图的边与边只在结点处相交。
将平面图“图示在平面上”,有时也说成“将平面图嵌入一平面”。
7.平面图的面、边界、面的次数等概念设G是一个连通平面图,如果由图中的边所包围的一个区域内既不包含图的结点,也不包含图的边,则这个区域称为G的一个面,包围该面的所有边所构成的回路称为这个面的边界。
面r的边界的回路长度称为该面的次数,记为deg(r)。
离散数学 第4-5章

例题6: 1 2 带权图如右,求图的最小生成树 6 5 e 4 解:选取含最大边(c,d)的回路cdec, 3 删去其中权数最大的边(c,d),然后 b 1 c 再选取含最大边(a,b)的回路abea,删去其中权数最 大的边(a,b),再选取含最大边(c,e)的回路bceb,删 去其中权数最大的边(c,e),再选取含最大边(a,d)的 回路adea,删去其中权数最大的边(a,d),即得最小 a 生成树。 d 1 T=<{a,b,c,d,e},{(c,b),(b,e),(e,a),(e,d)}>。 e 2
汉密尔顿图的判定:
必要条件但不是充分条件定理: 1。在汉密尔顿图G中删除结点集V1后,G-V1的 连通分支数W (G V1 ) | V 1|。不满足这一条件的图一 定不是汉密尔顿图。 充分条件但不是必要条件定理: 2。如果无向简单图G中任何一对结点的度数之和 都大于等于结点数,则G中存在一条汉密尔顿回路。
例题4: 下列结论不正确的是( D )。 A)无向连通图G是欧拉图的充分必要条件是G不 含奇数度结点 B)非平凡连通图G有欧拉通路的充分必要条件是 G最多有两个奇数度结点 C)有向连通图D是欧拉图的充分必要条件是D的 每个结点的入度等于出度 D)有向连通图D是有向欧拉图的充分必要条件是 除两个结点外,每个结点的入度等于出度
例题3: 设G是无向图如右(彼得森图), 说明G不是欧拉图。 解:因为无向图G中所有的 结点的度数全为奇数,所以 G不是欧拉图。 2。无向连通图存在欧拉通路的充分必要条件是图 中只有两个奇数度的结点。 3。当n为奇数时,完全无向图Kn是欧拉图。例 如K3、K5等。 4。当n为偶数时,完全无向图Kn不是欧拉图,也 不存在欧拉通路。
g
例题8: 设图G如右,作图G 的嵌入图,说明图G是 平面图。 解: 图G的嵌入图如下, 故图G是平面图。
离散数学PPT【共34张PPT】

18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色,
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色(G是k-可着色的)——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的,但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图,则(G)=3,若G为偶阶轮 图,则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空,则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中,只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中,绿色边不在M中,则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径;(2)中的全不是可增广的交错路 径;(3)中是一个交错圈. 不难看出,可增广交错路径中,不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数,记为0
(1)
(2)
在图中,点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点,则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索: (1) 设V*为G的极大点独立集,证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2,奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数(n1)时,(Kn)=n;
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于等于n, 则G中存在哈密顿回路, 从而G为哈密顿 图. 当n(n3)阶有向完全图是哈密顿图。
判断是否是哈密顿图的可行方 法
• 观察出一条哈密顿回路 例如 右图(周游世界问题)中红 边给出一条哈密顿回路, 故它 是哈密顿图. 注意, 此图不满足定理的条件. • 满足充分条件 例如 当n3时, Kn中任何两个不同的顶点 u,v, 均 有d(u)+d(v) = 2(n1) n, 所以Kn为哈密顿图.
例题8.2,课后作业:8.21
小结与学习要求
1.二部图的定义与判定; 2.欧拉图的定义和判定; 3.哈密顿图的定义和判定。
几点说明: 平凡图是哈密顿图. 哈密顿通路是初级通路,哈密顿回路是初级回路.
例 图中, (1), (2)是哈密顿图; (3) 是哈密顿通路. (4)既不是哈密顿图, 也不是哈密顿通路,为什么?
无向哈密顿图的必要条件
定理 设无向图G=<V,E>是哈密顿图, 则对于任意 V1V且
例1:
下图为常见的汉字:
既不是欧拉通路 也不是欧拉回路
欧拉通路
欧拉通路 欧拉回路
欧拉图的判别法
定理 无向图G为欧拉图当且仅当G连通且无奇度顶点. 无向图G是欧拉通路当且仅当G连通且恰有两个奇度顶点. 且从一个奇度顶点开始到另一个奇度顶点结束。
定理 有向图D是欧拉图当且仅当D连通且每个顶点的入度都 等于出度. 有向图D具有欧拉通路当且仅当D连通且恰有两个奇度顶 点, 其中一个入度比出度大1, 另一个出度比入度大1, 其余 顶点的入度等于出度.
验证:
例1 哥尼斯堡七桥问题
例2 下图是欧拉图. 从A点出发, 如何一次成功地走出一条欧拉回路来?
课后作业: 8.6
§8.3 哈密顿图
哈密顿周游世界问题
哈密顿图的定义
哈密顿通路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的通路. 哈密顿回路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的回路. 哈密顿图: 具有哈密顿回路的图.
欧拉图
欧拉通路: 经过图中每条边一次且仅一次,并且行遍图中每 个顶点的通路.
欧拉回路:经过图中每条边一次且仅一次,并且行遍图中每 个顶点的回路
欧拉图: 有欧拉回路的图.
几点说明: 上述定义对无向图和有向图都适用. 规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路. 环不影响图的欧拉性.
中,则Krs必有 r×s 条边。
r=|V1|, s=|V2|. 注意: n 阶零图为二部图.
二部图的判别法
定理 无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇数 长度的回路(无奇圈).
例 下述各图都是二部图
课后作业: 8.1,8.2, 8.3
§8.2 欧拉图
哥尼斯堡七桥问题
欧拉图是能一笔画出的边不重复的回路.
§8.1 二部图
定义 设无向图 G=<V,E>, 若能将V 分成V1 和 V2 (V1V2=V, V1V2=), 使得G中的每条边的两个端 点都一个属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图, 记为<V1,V2,E>, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若V1中每个顶点均与V2中每个顶点有且只有一条 边相关联, 则称二部图G为完全二部图, 记为Kr,s, 其
V1, 均有 p(GV1)|V1|.
(可验证某图不是哈密顿图)
几点说明: 1. 定理中的条件是哈密顿图的必要条件, 但不是充分
条件. 2. 可利用该定理判断某些图不是哈密顿图.
无向哈密顿图的一个充分条件
定理 设G是n阶(n3)无向简单图, 若任意两个不相邻的顶
点的度数之和大于等于n1, 则G中存在哈密顿通路.