高等数学：第八讲 函数的单调性 一

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解
函数的定义域为(-,+)；
y 2 , 33 x
当x>0时，y >0,函数在[0,+)上单调增加;
当x<0时，y <0,函数在(-, 0]上单调减少.
当x=0时 y不存在; x=0为单调区间的分界点.
注意（一）
单调区间的分界点为驻点和不可导点！
函数单调区间的求解步骤
（1）确定f(x)的定义域；
例题：
例1 讨论函数 f(x)=ex-x-1 的单调性.
解 函数的定义域为(-,+)； y =ex-1，
驻点—— y’=0的根.
当x>0时，y>0,函数在[0,+)上单调增加;
当x<0时， y<0,函数在(-, 0]上单调减少.
当x=0时 y=0；x=0为单调区间的分界点.
例题：
例2
2
讨论函数 f x x3 的单调性.
（2）求出函数在考察范围内的全部驻点和不可导点（除指 定范围外，考察范围一般是指函数定义域）； （3）用这些驻点和不可导点将考察范围划分成若干个子区
间，确定f (x)在各部分区间的符号； （4）据判定定理得出f (x)的单调性.
例题：
例3 讨论函数y=x3的单调性.
解 y= x3的定义域为(-,+)；
函数的单调性 （一）
引例
y ' 0, y
y ' 0, y
函数单调性的判定法
定理 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导. （1）若在 (a,b) 内 f '(x) 0 ，则函数 y f (x) 在 [a,b] 上 单调增加； （2）若在 (a,b) 内 f '(x) 0 ，则函数 y f (x) 在 [a,b] 上 单调减少.
当x=0时， y=0.
y =3x2，当x∈ (- ,0)和 (0 ,+)时， y>0；
所以，函数在(- ,0]和 [0 ,+)上单调递增；
因此，函数在(-,+)上单调递增.
注意（二）
当连续函数f(x)在某区间内仅在个别点处的导数为0或不 存在，而在其余各点处导数均为正（或负）时，f(x)在
该区间仍是单增（或单减Biblioteka Baidu的。