艺考生高考数学总复习讲义

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高考数学艺术生复习资料

一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。

（2）集合与元素的关系用符号⊆∈, 表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 N ；正整数集 N *、 N + ；整数集 Z ；有理数集 Q 、实数集 R 。

（4）集合的表示法:列举法，描述法，符号法（数轴法，韦恩图法）注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；}12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2xyz x x y z G =++==（5）空集是指不含任何元素的集合。

（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。

二、集合间的关系及其运算（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

（2）A ⋂B={ x| x ∈A 且x ∈B} A ⋃B={ x| x ∈A 或x ∈B}； C I A={ x| x ∈ I且x ∉A }（3）对于任意集合B A ,，则：①A B B A =；A B B A =；B A B A ⊆； ②=A B A A ⊆B ；=A B A B ⊆A ；=U B A C U A ⋃B=；⇔=φB A C U A ⋂B=U ；③=B C A C U U )(B A C U ⋃; B C A C U U ⋃)(B A C U =；（4）①若n 为偶数，则=n 2K,(k Z ∈)；若n 为奇数，则=n 2k+1, (k Z ∈)；②若n 被3除余0，则=n 3k, (k Z ∈)；若n 被3除余1，则=n 3k+1(k Z ∈)；若n 被3除余2，则=n 3k+2(k Z ∈)；三、集合中元素的个数的计算：（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为2n，所有真子集的个数是2n-1，所有非空真子集的个数是2n-2。

艺术生高考数学专题讲义：考点47 用样本估计总体及样本的数字特征

考点四十七用样本估计总体及样本的数字特征知识梳理1．统计图表统计图表是表达和分析数据的重要工具，常用的统计图表有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、茎叶图等． 2.频率分布直方表(1)含义：把反映总体频率分布的表格称为频率分布表． (2)频率分布表的画法步骤：第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 3. 频率分布直方图利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图． (1)作频率分布直方图的方法①先制作频率分布表，然后作直角坐标系．②把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率组距，这样得出一系列的矩形．③每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图． (2)频率分布直方图的特征①从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势；②从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据表示为频率分布直方图后，原有的数据信息就丢失了；③直方图中各小长方形的面积之和为1.④直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距×频率组距，即矩形的面积．⑤直方图中每组样本的频数为频率×总体数． 4.频率分布折线图将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来，就得到频率分布折线图． 5.总体密度曲线如果将样本容量取得足够大，分组的组距足够小，则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，即总体密度曲线．6．茎叶图茎相同者共用一个茎(如两位数中的十位数)，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶(如两位数中的个位数)，一般按从小到大(或从大到小)的顺序同行列出．这样将样本数据有条理地列出来的图形叫做茎叶图．其优点是当样本数据较少时，茎叶图可以保留样本数据的所有信息，直观反映出数据的水平状况、稳定程度，且便于记录和表示；缺点是对差异不大的两组数据不易分析，且样本数据很多时效果不好．茎叶图的画法步骤第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．7．样本的数字特征：众数、中位数、平均数、方差、标准差(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．(2)中位数：把n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (3)平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )．(4)标准差与方差：设一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ，则这组数据的标准差和方差分别是 s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]， s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差． (5)标准差和方差的一些结论若取值x 1，x 2，…，x n 的频率分别为p 1，p 2，…，p n ，则其平均值为x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ；若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x ＋b ，方差为a 2s 2.典例剖析题型一频率分布直方图例1 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．答案 12解析志愿者的总人数为20（0.16＋0.24）×1＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.变式训练某中学为了了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．答案 600解析由直方图易得数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，所以所求分数小于60分的学生数为3 000×0.2＝600.解题要点解决频率分布直方图时要明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1. 常用的结论有： ③直方图中各小长方形的面积之和为1.④直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距×频率组距，即矩形的面积．⑤直方图中每组样本的频数为频率×总体数．题型二茎叶图例2 在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________．答案 45 46解析甲组数据为：28，31，39，42，45，55，58，57，66，中位数为45.乙组数据为：29，34，35，42，46，48，53，55，67，中位数为46.变式训练若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是________．答案 91.5和91.5解析这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96， ∴中位数为12×(91＋92)＝91.5.平均数为18×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.解题要点求解茎叶图的习题，要读懂图，弄清楚“茎”和“叶”分别是什么，从而还原出具体的数据．题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征例3 (2014·高考陕西卷)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为________．答案 x －＋100，s 2 解析x 1＋x 2＋…＋x 1010＝x －，y i ＝x i ＋100，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为x －＋100，方差不变.变式训练甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm 的零件，为了检验产品质量，从产品中各随机抽出6件进行测量，测得数据如下：(单位：mm) 甲：99，100，98，100，100，103；乙：99，100，102，99，100，100.(1) 分别计算上述两组数据的平均数和方差；(2) 根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求．解析 (1) x －甲＝100＋16(－1＋0－2＋0＋0＋3)＝100；x －乙＝100＋16(－1＋0＋2－1＋0＋0)＝100.s 2甲＝16[(－1)2＋02＋(－2)2＋02＋02＋32]＝73， s 2乙＝16[(－1)2＋02＋22＋(－1)2＋02＋02]＝1. (2) 由(1)知，x －甲＝x －乙，s 2甲>s 2乙， ∴ 乙机床加工的这种零件更符合要求．解题要点 1.熟记一些常用结论：若取值x 1，x 2，…，x n 的频率分别为p 1，p 2，…，p n ，则其平均值为x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ；若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x ＋b ，方差为a 2s 2.2. 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．当堂练习1．（2015安徽理）若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为________．答案 16解析已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2＝64，数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16.2．（2015江苏）已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________．答案 6解析这组数据的平均数为16(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.3. （2015重庆文）重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是________．答案 20解析由茎叶图，把数据由小到大排列，处于中间的数为20,20，所以这组数据的中位数为20.4．（2015山东文）为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为________．答案 ①④解析甲地5天的气温为：26,28,29,31,31，其平均数为x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29；方差为s 2甲＝15[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6；标准差为s 甲＝ 3.6.乙地5天的气温为：28,29,30,31,32，其平均数为x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30；方差为s 2乙＝15[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2；标准差为s 乙＝ 2. ∴x 甲＜x 乙，s 甲＞s 乙．5．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为________．答案 5,8解析因为甲组数据的中位数为15，由茎叶图可得x ＝5，因乙组数据的平均数为16.8，则9＋15＋(10＋y )＋18＋245＝16.8，解得y ＝8.课后作业一、填空题1．样本中有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．答案 2解析由题意知该组数据的平均值为15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a ＝－1，所以样本方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.2．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n 的值为______．答案 100解析支出在[50,60)元的频率为1－0.36－0.24－0.1＝0.3，因此30n＝0.3，故n ＝100.3．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为________．答案 0.4解析落在[22,30)的频数为4，则所求频率为P ＝410＝0.4.4．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为________．答案 5,24235．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是________． 1 2 5 2 0 2 3 3 3 1 2 4 4 8 9 4 5 5 5 7 7 8 8 9 5 0 0 1 1 4 7 96 178 答案 46,45,56解析样本中数据共30个，中位数为45＋472＝46；显然样本数据中出现次数最多的为45，故众数为45；极差为68－12＝56.6．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是________．答案 62.8,3.6解析平均数增加60，即为62.8.方差＝1n ∑ni －1[(a i ＋60)－(a ＋60)]2＝1n ∑ni －1 (a i－a )2＝3.6.7．某校甲、乙两个班级各有编号为1,2,3,4,5的五名学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：答案 25解析甲班的平均数为x 甲＝6＋7＋7＋8＋75＝7，甲班的方差为s 2甲＝(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)25＝25；乙班的平均数为x 乙＝6＋7＋6＋7＋95＝7，乙班的方差为s 2乙＝(6－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(9－7)25＝65.∵65>25，∴s 2＝25. 8．(2013·福建)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________．答案 480解析少于60分的学生人数600×(0.05＋0.15)＝120(人)，∴不少于60分的学生人数为480人．9．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为________．答案 78解析由题意得75×0.4＋80×0.6＝30＋48＝78，∴平均分为78.10．（2015湖北文）某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示． (1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．答案 (1)3 (2)6 000解析由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a ×0.1＝1，解得a ＝3.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为：0.6×10 000＝6 000，故应填3,6 000.11．下面茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．答案 45解析设被污损的数字为a (0≤a ≤9且a ∈N )，则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋99＋90＋a ，解得8>a ，即得0≤a ≤7且a ∈N ，∴甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P ＝810＝45.二、解答题 12． (2015广东理)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1)年龄数据为44，列出样本的年龄数据； (2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间的有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)? 解析 (1)44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)x ＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40.s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009.(3)40－103＝1103，40＋103＝1303在⎝⎛⎭⎫1103，1303的有23个，占63.89%. 13．(2015广东文)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？解析 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得：x ＝0.007 5，所以直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230. 因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量为[220,240]的用户有0.012 5×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5户，抽取比例＝1125＋15＋10＋5＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户．。

艺术生高考数学总复习第六章不等式推理与证明第5节合情推理与演绎推理课件

A．只需要按开关 A，C 可以将四盏灯全部熄灭 B．只需要按开关 B，C 可以将四盏灯全部熄灭 C．按开关 A，B，C 可以将四盏灯全部熄灭 D．按开关 A，B，C 无法将四盏灯全部熄灭
[解析] D [根据题意，按开关 A ,2,3,4 号灯熄灭，1 号灯亮；按开关 B ,1,2 号灯熄灭，3,4 号灯亮；按开关 C ，则 2,3,4 号灯熄灭，1
∴第五个不等式为 1＋212＋312＋412＋512＋612<161.
答案：1＋212＋312＋412＋512＋612<161
考点一归纳推理(多维探究) [命题角度 1] 数式的归纳 1．(2016·山东卷)观察下列等式： sinπ3－2＋sin23π－2＝43×1×2； sinπ5－2＋sin25π－2＋sin35π－2＋sin45π－2 ＝43×2×3；
复习课件
艺术生高考数学总复习第六章不等式推理与证明第5节合情推理与演绎推理课件
2021/4/17
艺术生高考数学总复习第六章不等式推理与证明第5节合情推理与演绎推理课件
高考总复习第六章不等式、推理与证明
第5节合情推理与演绎推理
理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有由两类对象具有某些类似特
D．没有出错
解析：A [要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大
前提、小前提和推理形式是否都正确，只有这几个方面都正确，才能
得到这个演绎推理正确．本题中大前提：任何实数的平方都大于 0，
是不正确的．]
2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推
理得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝f(x)，记 g(x)为 f(x)的导

艺术生高考数学专题讲义：考点41 直线与圆、圆与圆的位置关系

考点四十一直线与圆、圆与圆的位置关系知识梳理1．直线与圆的位置关系(1) 直线与圆相交，有两个公共点；(2) 直线与圆相切，只有一个公共点；(3) 直线与圆相离，无公共点．2. 直线与圆的位置关系的判断方法设直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，圆为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.3.(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2) 判断两圆位置关系的方法设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．圆心距O1O2＝d，则(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 5．求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则(l2)2＝r 2－d 2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]. 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题． 6．相交两圆公共弦所在直线方程求法设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)．将两圆方程相减，得到关于x 和y 的一次方程，即为公共弦所在直线方程．典例剖析题型一判断直线与圆的位置关系例1 直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是__________．答案相交解析 ∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．变式训练已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆D 的位置关系是__________．答案相交解析由点M 在圆外，得a 2＋b 2>1， ∴圆心D 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2<1＝r ，则直线与圆O 相交．解题要点判断直线与圆的位置关系常见的方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程随后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．题型二直线与圆相交弦长问题例2 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．答案2555解析因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x ＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555.变式训练已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是__________．答案－4解析由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫422，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.解题要点与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．题型三直线与圆相切问题例3 过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________；答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋(－1)2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，所求切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.变式训练过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为________________．答案 y ＝±x解析圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2.则圆心(2,0)，半径r ＝ 2.设直线方程为y ＝kx .则|2k |k 2＋1＝2，解得k ＝±1，所以直线方程为y ＝±x . 例4 过点P (4，1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为____________．答案 3x ＋y －4＝0解析方法1：如图所示，A 点的坐标为(1，1)，∵AB⊥PC，k PC＝1 3，∴k AB＝－3，∴直线AB的方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.方法2：把点P代入切点弦公式，得方程为：(4－1) ·(x－1) ＋1·y＝1，即方程为3x＋y－4＝0.解题要点过某点求圆的切线时，要注意分清该点在圆上还是在圆外．如果过圆外一点求切线，还需讨论切线斜率是否存在．当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．另外，记住一些常见的结论，有助于快速解题．①过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，则切点弦方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则切点弦方程为x0x＋y0y＝r2.题型四圆与圆的位置关系问题例5圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．答案相交解析两圆圆心分别为(－2，0)和(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17．∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．变式训练过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线方程是________．答案x＋y＋2＝0解析过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为x2＋y2＋6x＋4y－(x2＋y2＋4x＋2y－4)＝0，即x＋y＋2＝0．解题要点求相交两圆公共弦所在直线方程，只需将两圆方程相减，得到关于x和y的一次方程，即为公共弦所在直线方程．当堂练习1．设直线l过点P(－2，0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是________．答案±3 3解析设l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，又l与圆相切，∴|2k|1＋k2＝1，∴k＝±33．2．直线x－y＋3＝0被圆(x＋2)2＋(y－2)2＝2截得的弦长等于________．答案解析圆心为(－2，2)2=，由勾股定理求出弦长的一半为2． 3. 直线x －ky ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________．答案相交或相切解析直线x －ky ＋1＝0过定点(－1，0)，而点(－1，0)在圆上，故直线与圆相切或相交． 4．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为________．答案 x －3y ＋2＝0解析设所求切线方程为y －3＝k (x －1)．⎩⎨⎧x 2＋y 2－4x ＝0y ＝kx －k ＋3⇒x 2－4x ＋(kx －k ＋3)2＝0．该二次方程应有两个相等实根，则Δ＝0，解得k ＝33． ∴y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0． 5．直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是________．答案 1≤b < 2解析曲线为x 2＋y 2＝1(y ≥0)，表示单位圆的上半圆，由数形结合法，知1≤b <2．课后作业一、填空题1．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是________．答案 x －y ＋1＝02．过两圆x 2＋y 2＋3x ＋2y ＝0及x 2＋y 2＋2x ＋6y －4＝0的交点的直线方程是________．答案 x －4y ＋4＝0解析过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为x 2＋y 2＋3x ＋2y －(x 2＋y 2＋2x ＋6y －4)＝0，即x －4y ＋4＝0．3．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为________．答案5π6解析由题意知，|k ＋3|k 2＋1＝1，∴k ＝－33.∴直线l 的倾斜角为5π6.4．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且被直线x ＋2y ＝0截得的弦长为4，则圆C 的方程是________．答案 (x ＋5)2＋y 2＝5解析设圆心为(a,0)(a <0)，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，则d ＝|a ＋2×0|12＋22＝1，解得a ＝－5，所以，所求圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.5．若过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝________．答案3解析如图所示，∵P A ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，∴OA ⊥AP .∵P (1，3)，O (0,0)，∴|OP |＝1＋3＝2. 又∵|OA |＝1，∴在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12.∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AO |sin ∠AOP ＝ 3.6．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．答案 4解析 ∵点在圆内，由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小，此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.7．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则________．答案 l 与C 相交解析 ∵32＋0－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P (3,0)在圆内，∴直线l 与圆C 相交． 8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于________．答案 2 3解析圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，∴弦AB ＝2r 2－d 2＝2 3.9．设直线l 截圆x 2＋y 2－2y ＝0所得弦AB 的中点为(－12，32)，则直线l 的方程为________；|AB |＝________．答案 x －y ＋2＝0 2解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋y 21－2y 1＝0，x 22＋y 22－2y 2＝0，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)－2(y 1－y 2)＝0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1．故l 的方程为y －32＝1·(x ＋12)，即x －y ＋2＝0．又圆心为(0，1)，半径r ＝1，故|AB |＝2．10．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是________．答案 (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8 解析由题意可设圆心A (a ，a )，如图，则22＋22＝2a 2，解得a ＝±2，r 2＝2a 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8.11．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 1解析方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4.相减得2ay ＝2，则y ＝1a .由已知条件22－(3)2＝1a ，即a ＝1. 二、解答题12．一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程．解析 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切， ∴设所求圆的圆心为C (3a ，a )，半径为r ＝3|a |. 又圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心C (3a ，a )到直线y ＝x 的距离为d ＝|3a －a |12＋12.∴有d 2＋(7)2＝r 2.即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 13．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解析将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.。

艺术生高考数学知识点市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

应试策略
4、圆锥曲线先看题，主攻第1问，若是熟悉题型，确保计算正确；
若是不熟悉题，再次读题，能做则做，不能做则放弃。 5、导数
主攻第1问，第1问一般是切线方程问题和单调性问题，注意题目类型和有关事项，确保计算正确；第二问读题后看能否转化为平时上课所讲类型，能做则做，不能做则放弃。 6、立体几何
主攻证明题，尽量多思索一会，瞎写是没有分数旳。 7、数列
如果题目一眼就能读懂，则主动动笔求解，注意计算正确；假如题目勉强读懂，能够像剥洋葱一样逐渐求解，则尽量争取分数；假如题目看几遍后，依然不懂，则主动放弃。
2、实部、虚部（a为实部,b为虚部,注意a, b均为实数） 3、纯虚数（ a=0且b≠0）
4、共轭复数（ a-bi）
5、复数旳模（ a2 b2） 6、复数旳象限（点（ a,b）旳坐标)
7、复数相等（ a+bi =c+d ia=c，b=d ）
8、复数旳除法（分子分母同步乘以分母旳共轭复数）
二、框图
一是关注选项答案旳特点，初步排除；二是利用选择题答案均匀分布特点猜答案，注意求稳。 2、填空题
确保会做旳做对，做完。看题后不会做旳，不要做，不要在某一题上停留过久。 3、三角函数、概率与统计
三角函数题简朴打个草稿，找到思绪，一般题型都讲过，不要紧张，但是计算一定要精确；概率与统计题多和计算正确。
三、线性规划
四、集合与简朴逻辑
五、函数
六、向量
七、直线与圆
大题
一、三角函数
一、三角函数
一、三角函数
一、三角函数
一、三角函数
二、概率与统计
三、圆锥曲线
三、圆锥曲线
三、圆锥曲线
四、导数
五、数列

高考数学艺体生文化课总复习第一章客观题专题九不等式点金课件

5.不等式|x-1|<1的解集是
.
{x | 0 x 2} 【解析】由1 x 1 1, 解得0 x 2, 解集为{x | 0 x 2}.
x2 4x 6, x 0
6.设函数 f (x)
,则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
x 6, x 0
A.(-3,1)∪(3,+∞)
③logb(a-c)>loga(b-c), ()
A.①
B.①②
C.②③
D.①②③
D 【解析】特殊值法,取a 3,b 2, c 1,故选D.
3.不等式 x 1 0的解集是 ( )
x2
A.(1,+∞)
B.(-∞,-2)
C.(-2,1)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C 【解析】原不等式等价于(x 1)(x 2) 0, 解得 2 x 1, 故选C.
1.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是 ( )
A.b-a>0
B.a3+b3<0 C.b+a>0
D.a2-b2<0
C 【解析】特殊值法,取a 2,b 1,经验证,只有C成立, 故选C.
2.设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:
①c c;
②ac<bc;
ab
其中所有的正确结论的序号是
B.(-3,1)∪(2,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,3)
A 【解析】因为f (1) 1 4 6 3,所以不等式f (x) f (1)的
解集就是f (x) 3的解集.
于是有
x2

高考数学艺体生文化课总复习第一章客观题专题十二计数原理点金课件

D 【解析】由题意可得, 一人完成两项工作, 其余两人每人完成一项工作.
据此可得,只要把工作分成三份 : 有C24种方法, 然后进行全排列.由乘法原理,
不同的安排方式共有C2 4
A33 36种.故选D.
12.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()
D 【解析】由题意, 要组成没有重复的五位奇数,
x
为
.
2 【解析】 Tr 1
C6r
(ax2
)6
r
(
b x
)r
C6r a6rbr x123r ,
令12 3r 3,得r 3,
故C66a3b3 20,ab 1, a2 b2 2ab 2, 当且仅当a b 1或a b 1时等号成立.
10.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,
C
2 4
C14
144种;
若红色1张, 其余2张不同色,则有C14 C32 C14 C14 192种;
其余2张同色则有C14 C13 C24 72种.所以共有64 144 192 72 472种.故选C.
另解1: C136
4C34
C24C112
16 15 14 6
16
72
560 88
做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.组合数公式
Cmn
A
m n
A
m m
n(n 1)…(n m 1) 1 2… m
n! (n, m N*, 且m m! (n m)!
n).
3.组合数的两个性质
(1)Cmn Cnnm ;

艺术生高考数学专题讲义：考点21 不等关系与不等式

考点二十一不等关系与不等式知识梳理1．不等式在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着形形色色的不等关系，它们都是客观存在的基本数量关系，是数学研究的重要内容．在数学中，我们用不等式表示不等关系．不等式的定义：用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个实数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．注意：“a ≥b ”是指“a ＞b 或a =b ”，等价说法是“a 不小于b ”，对于“a ≥b ”而言，只要a ＞b 和a =b 中有一个成立，a ≥b 就成立，例如：3≥2,2≥2等都是真命题．同理，“a ≤b ”是指“a ＜b 或a =b ”，等价说法是“a 不大于b ”，只要a ＜b 和a =b 中只要有一个成立，a ≤b 就成立． 2．同向不等式我们把a ＞b 和c ＞d (或a ＜b 和c ＜d )这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式． 3．实数比较大小的两大法则：作差比较和作商比较法关系法则作差比较作商比较a ＞b a －b ＞0 a b ＞1(a ，b ＞0)或ab＜1(a ，b ＜0) a ＝b a －b ＝0 ab＝1(b ≠0) a ＜ba －b ＜0a b ＜1(a ，b ＞0)或ab＞1(a ，b ＜0) 注意：作商比较时要分清所研究变两个变量的正负，然后根据“若a b ＞1，b ＞0，则a ＞b ；若ab ＞1，b ＜0则a ＜b )”的原则进行判断． 4．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a . (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)可加性：a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c .(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc . (5)加法法则：a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d . (6)乘法法则：a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd . (7)乘方法则：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)． 5．不等式的倒数性质(1)a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b .(2)a ＜0＜b ⇒1a ＜1b .(3)a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd.注意：(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a ≤b ，b ＜c ⇒a ＜c ；(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；若无c ≠0这个条件，a ＞b ⇒ac 2＞bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．典例剖析题型一不等关系例1 某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．解析设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋9y ≤100，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.变式训练某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式(组)表示就是__________．(填序号)① ② ③ ④答案 ④解析 ∵x 不低于95分，∴ x ≥95. ∵y 是高于380分，∴y >380. ∵z 超过45分．∴z >45.解题要点解题时关键是要弄懂“不超过”、“至少”、“不低于”、“超过”这些文字语言，它们与不等号的对应关系如下表：文字语言不超过，至多，小于等于不低于，至少，大于等于超过，大于，高于少于，小于，低于不等号 ≤ ≥ ＞＜题型二比较大小例2 比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x 2＋3与3x ； (2)x 1＋x 2与12. 解析 (1)(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝(x －32)2＋34≥34＞0，∴x 2＋3＞3x .(2) ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2) ≤0，∴x 1＋x 2≤12. 变式训练已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．解析 (x 3－1)－(2x 2－2x ) ＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1)＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)[(x －12)2＋34]，∵x <1，∴x －1<0.又(x －12)2＋34>0，∴(x －1)[(x －12)2＋34]<0，∴x 3－1<2x 2－2x .解题要点 “作差比较法”的一般步骤为: (1)作差：对要比较大小的两个式子作差；(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形； (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号； (4)作出结论．题型三不等式的性质例3 (2014·四川)若a >b >0，c <d <0，则一定有__________．(填序号) ① a c >bd②a c b c④a d <bc答案 ④解析方法一：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，bd ＝－1，所以①，②错误；a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d <bc ，所以③错误．故选④.方法二：因为c <d <0，所以－c >－d >0，所以1－d >1－c>0.又a >b >0，所以a －d >b －c，所以a d <bc .故选④.变式训练设a ，b 是非零实数，若a 0，ab 符号不确定，所以ab 2与a 2b 的大小不能确定，故②错．因为1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b ，故③正确．④项中b a 与ab的大小不能确定．解题要点在利用不等式的性质比较不等式时，如果可以赋值，就用赋值法，这样可使问题快速得解；如果赋值不能排除，则应通过推理判断，结合不等式的性质作出判断. 题型三不等式的性质的应用例4 设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3＜π.变式训练若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围为________．答案 [1，7]解析设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∵－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围是[1，7]．解题要点在利用同向不等式相加求解表达式范围时，一般可用待定系数法.注意，如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．当堂练习1．若a 、b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的__________条件．答案既不充分也不必要解析若0<ab <1，当a <0时，b >1a ，反之，若b <1a ，当a <0时，ab >1.故为既不充分也不必要条件.2．已知a <0，－1ab >ab 2 ② ab 2>ab >a ③ ab >a >ab 2 ④ ab >ab 2>a 答案 ④解析 ∵a <0，－10，ab －ab 2＝ab (1－b )>0. ∴ab >ab 2>a .也可利用特殊值法，取a ＝－2，b ＝－12，则ab 2＝－12，ab ＝1，从而ab >ab 2>a .故应选④.3. 设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则__________．(填序号) ① ac ＞bc ② 1a ＜1b ③ a 2＞b 2 ④ a 3＞b 3答案 ④解析 ①项中，若c 小于等于0则不成立；②项中，若a 为正数b 为负数则不成立；③项中，若a ，b 均为负数则不成立．故选④.4．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是__________．答案 (－3π2，0)解析 ∵－π2<α<β<π，∴－π2<α<π，－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2，又α－β<0， ∴－3π2<α－β<0.5．若a 、b ∈R ，则下列不等式：①a 2＋3＞2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a ≥2中一定成立的是__________．(填序号) 答案 ①②解析 ①a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0； ②a 2＋b 2－2a ＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0；③a 5－a 3b 2＋b 5－a 2b 3＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a ＋b )(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)，若a ＝b ，则上式＝0，不成立； ④若a ＜0，则a ＋1a ＜0.∴①②一定成立.课后作业一、填空题1．设a ，b ∈R ，若b －|a |>0，则下列不等式中正确的是__________．(填序号) ①a －b >0 ② a ＋b >0 ③ a 2－b 2>0 ④ a 3＋b 3<0 答案 ②解析由b >|a |，可得－b <a 0，所以选项②正确．由b >|a |，两边平方得b 2>a 2，则a 2－b 2<0，所以选项③错误，由－b <a ，可得－b 3<a 3，则a 3＋b 3>0，所以选项④错误.2．设a 1b ②1a －b >1a ③|a |>－b ④－a >－b 答案 ②解析由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a 成立，即1a －b >1a 不成立．3．若a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是__________．(填序号) ①a ＋1b ＞b ＋1a ②b a ＞b ＋1a ＋1 ③a －1b ＞b －1a ④2a ＋b a ＋2b ＞a b答案 ①解析 ∵a ＞b ＞0，∴1b ＞1a ＞0，∴a ＋1b ＞b ＋1a，选①项．4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的__________条件．答案充分而不必要解析若(a －b )·a 2<0，则a ≠0，且a <b ，所以充分性成立；若a <b ，则a －b <0，当a ＝0时，(a －b )·a 2＝0，所以必要性不成立．故“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分而不必要条件． 5．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是__________．(填序号) ①若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ②若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2 ③若a ＜b ＜0，则1a ＜1b ④若a ＜b ＜0，则b a ＞ab答案 ②解析对于①，只有当a ＞b ＞0，c ＞d ＞0时，不等式才成立；③中由a ＜b ＜0，得1a ＞1b ，故③不正确，又b a －a b ＝b 2－a 2ba ＝(b ＋a )(b －a )ab ，又a ＜b ＜0，∴(b ＋a )(b －a )ab ＜0，∴b a ＜ab ，故④不正确；对于②，∵a ＜b ＜0，∴a 2＞ab ＞b 2，故选②. 6．若a ，b ∈R ，下列命题中①若|a |＞b ，则a 2＞b 2； ②若a 2＞b 2，则|a |＞b ； ③若a ＞|b |，则a 2＞b 2； ④若a 2＞b 2，则a ＞|b |. 其中正确的是__________．(填序号) 答案 ②和③解析条件|a |＞b ，不能保证b 是正数，条件a ＞|b |可保证a 是正数，故①不正确，③正确．a 2＞b 2⇒|a |＞|b |≥b ，故②正确，④不正确．7．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是__________．(填序号) ①c a ＜b a ②b －a c ＞0 ③b 2c ＜a 2c ④a －c ac ＜0 答案 ③解析 ∵c ＜b ＜a ，且ac ＜0，∴c ＜0，a ＞0，∴c a ＜b a ，b －a c ＞0，a －c ac ＜0，但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c ＜a 2c不一定成立．选③项． 8．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是__________．(填序号) ①a 2>b 2 ②a |c |>b |c | ③1a <1b ④a c 2＋1>bc 2＋1答案 ④解析方法一：(特殊值法)令a ＝1，b ＝－2，c ＝0，代入①，②，③，④中，可知①，②，③均错，故选④. 方法二：(直接法)∵a >b ，c 2＋1>0，∴a c 2＋1>bc 2＋1，故选④.9．若a >b >c ，则1b －c 与1a －c的大小关系为________．答案1a －c <1b －c解析 ∵a >b >c ，∴a －c >b －c >0，∴1a －c <1b －c.10．现给出三个不等式：①a 2＋1>2a ；②a 2＋b 2>2a －b －32；③7＋10>3＋14.其中恒成立的不等式共有________个．答案 2解析 ①∵a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，故①不恒成立； ②a 2＋b 2－2a ＋2b ＋3＝(a －1)2＋(b ＋1)2＋1>0， ∴a 2＋b 2>2a －b －32恒成立;③∵(7＋10)2＝17＋270，(3＋14)2＝17＋242，又∵70>42， ∴17＋270>17＋242， ∴7＋10>3＋14，成立．11．若x ＞y ，a ＞b ，则在 ①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y ＞bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是__________．(写出所有恒成立的不等式的序号)．答案 ②④解析令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6， ∴ax ＝by ，因此③也不正确．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx，因此⑤不正确．由不等式的性质可推出②④成立．二、解答题12．已知某学生共有10元钱，打算购买单价分别为0.6元和 0.7元的铅笔和练习本，根据需要，铅笔至少买7枝，练习本至少买6本．写出满足条件的不等式．解析设铅笔买x 枝，练习本买y 本(x ，y ∈N *)，总钱数为 0.6x ＋0.7y ，且不大于10，∴⎩⎪⎨⎪⎧0.6x ＋0.7y ≤10，x ≥7，x ∈N *，y ≥6，y ∈N *.13．设x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，试比较x 与y 的大小．解析 ∵x －y ＝a 2＋3a －5a －15－a 2－2a ＋4a ＋8＝－7<0，∴x <y .。

(完整版)艺考生高考数学总复习讲义

2015 艺考生高考数学总复习讲义第一章、集合基本运算一、基础知识:1. 元素与集合的关系：用或表示；2. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性•3. 集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集｛y|y=x2｝, 表示非负实数集，点集｛( x，y)| y=x2｝表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；4. 集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显着规律的无限集，如M=｛0，1, 2, 3，-｝；②描述法：一般格式: x A p(x)，如:｛x|x-3>2｝，｛(x,y)|y=x2+1｝，…；描述法表示集合应注意集合的代表元素，如｛(x,y)|y= x 2+3x+2｝与｛y|y= x2+3x+2｝是不同的两个集合③字母表示法：常用数集的符号：自然数集N;正整数集N*或N ;整数集Z;有理数集Q实数集R;5 •集合与集合的关系：用，，二表示;A是B的子集记为A B；A是B的真子集记为A B。

常用结论：①任何一个集合是它本身的子集，记为 A A；②空集是任何集合的子集，记为 A ；空集是任何非空集合的真子集;③如果A B，同时B A，那么A = B ;如果A B,B C,那么A C .④ n个元素的子集有2n个；n个元素的真子集有2n—1个；n个元素的非空真子集有2n—2个.6. 交集A n B={x|x€ A 且x € B};并集A U B={x|x € A,或x € B};补集CA= {x| x € U,且x A},集合U表示全集.7. 集合运算中常用结论：注：本章节五个定义1. 子集定义：一般地，对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合 A 包含于集合B,或集合B 包含集合A ,记作A B （或 B A ）,即若任意x A,有x B,则A B （或A B ）。

这时我们也说集合A 是集合 B 的子集（subset ）。

高考数学：艺术生高考数学专题讲义31-60讲(共60讲))

3.若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝____________.
答案100
解析由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.
令n＝1，得＝，所以a1a2＝3.
令n＝2，得＋＝，所以a2a3＝15.解得a1＝1，d＝2，
所以an＝2n－1.经检验，符合题意．
(2)由(1)知bn＝2n·22n－1＝n·4n，
所以Tn＝1·41＋2·42＋…＋n·4n，
所以4Tn＝1·42＋2·43＋…＋n·4n＋1，
两式相减，得－3Tn＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1＝ ×4n＋1－ .
2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，
上述两式相减，得
－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，
所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*.
13．(2015福建文)在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.
2.错位相减法求和
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
3.倒序相加法求和
适用于首末等距离的两项之和等于同一个常数这样的数列求和．
4.裂项相消法求和
方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和．
常用的裂项公式有：
(1) ＝－；
(2) ＝；
(3) ＝－ .
(1)求数列{an}的通项公式；

艺术班高考文科数学复习讲义

第1讲集合【基础知识】一、集合有关概念1、集合中元素的特性：1.确定性； 2.互异性； 3.无序性2、常用数集及其记法：自然数集；正整数集；整数集；有理数集、实数集。

二、集合间的基本关系1.子集：A B ⊆.任何一个集合是它本身的子集。

A A2.集合相等： A =B3.真子集:如果AB ,且A B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A ⊂B (或B ⊃A )4. 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算1．交集的定义：}|{B x A x x B A ∈∈=，且I ． 2、并集的定义：A ∪B ={x |x ∈A ，或x ∈B }． 3、补集: },|{A x S x x A C S ∉∈=且性质：⇔=A B A I ；⇔=A B A Y ；四、集合中元素的个数的计算：若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有子集个数为______，所有真子集的个数是______，所有非空真子集的个数是。

【基础训练】1、（2013·四川高考文科）设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B =I （）A .∅B .{2}C .{2,2}-D .{2,1,2,3}-2、（2010·福建高考文科）若集合{}13A x x =≤≤，{}2B x x =>，则A B ⋂等于（）（A ）{}23x x <≤ （B ）{}1x x ≥ （C ）{}23x x ≤< （D ）{}2x x >3、（2011·全国）已知集合{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,M N P M N ===I 则P 的子集共有( )(A )2个（B ）4个（C ）6个（D ）8个4、（2010·湖南高考文科）已知集合A ={1,2,3}，B ={2，m ，4}，A ∩B ={2,3}，则m = . 【典例分析】1、（2010·北京高考文科）集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I = （）(A ) {1,2} (B ) {0,1,2} (C ){1,2,3} (D ){0,1,2,3}2、（2010·安徽高考文科）若A ={}|10x x +>，B ={}|30x x -<，则A B I =( )(A )(-1，+∞) (B )(-∞，3) (C )(-1，3) (D )(1，3)3. （2013·北京高考文科）已知集合A ={－1，0，1}，B ={x |－1≤x ＜1}，则A ∩B = ( )A .{0}B .{－1，0}C .{0，1}D .{－1,0,1}4、（2011·广东）已知集合A =}1,,|),{22=+y x y x y x 且为实数（，B =},,|),{(1=+y x y x y x 且为实数，则A ⋂B 的元素个数为（）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1【典型例题讲练】例1 设集合11,,,2442k k M x x k Z N x x k Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则_______M N练习：设集合11,,,3663kk P x x k Z Q x x k Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则______P Q例2已知集合{}2210,,A x ax x x R a =++=∈为实数。

艺考生高三数学知识点讲义

艺考生高三数学知识点讲义高三数学知识点讲义一、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的定义- 定义域和值域- 奇偶性与周期性2. 一次函数- 一次函数的定义与性质- 直线的斜率与截距- 函数与方程的关系3. 二次函数- 二次函数的定义与性质- 抛物线的开口方向与顶点 - 二次函数的图像与性质4. 指数与对数函数- 指数函数的定义与性质 - 对数函数的定义与性质 - 对数与指数的互逆性质二、三角函数1. 三角函数的基本概念- 弧度与度的转换- 三角函数的定义与性质2. 三角函数的图像与性质- 正弦函数的图像与性质 - 余弦函数的图像与性质 - 正切函数的图像与性质3. 三角函数的性质与公式- 周期性与奇偶性- 三角函数的和差化积公式 - 三角函数的倍角与半角公式三、数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质- 数列的定义与表示- 数列的通项公式- 等差数列与等比数列2. 数列的求和公式- 等差数列的求和公式- 等比数列的求和公式3. 数学归纳法- 数学归纳法的原理- 数学归纳法的应用四、概率与统计1. 概率的基本概念- 随机事件与样本空间 - 概率的定义与性质- 条件概率与独立性2. 排列与组合- 排列与组合的基本概念 - 排列数与组合数的计算 - 常见问题的应用3. 统计与概率分布- 数据的收集与整理- 频数与频率分布表- 离散型与连续型概率分布五、解析几何1. 平面与空间直角坐标系- 平面直角坐标系的引入 - 空间直角坐标系的引入 - 坐标变换与平移2. 点、线、面的位置关系- 点与直线的位置关系- 点与平面的位置关系- 直线与平面的位置关系3. 二次曲线与圆锥曲线- 椭圆与双曲线的定义- 椭圆的性质与方程- 双曲线的性质与方程六、数学建模1. 建模的基本概念- 建模的定义与步骤- 数学模型的构建与求解- 建模实例及应用2. 常见的数学建模方法- 线性规划模型与应用- 最优化模型与应用- 动力系统模型与应用以上是艺考生高三数学知识点的讲义，涵盖了高中数学的各个重要知识点与概念。

艺术生高考数学总复习第六章不等式推理与证明第4节基本不等式课件

解析：D [选项 A 中，x>0 时，y≥2，x<0 时，y≤－2；选项 B 中，cos x≠1，故最小值不等于 2；选项 C 中， xx2＋2＋32＝x2＋x22＋＋21＝ x2＋2＋ x21＋2，当 x＝0 时，ymin＝322，只有选项 D 符合题意．故选 D.]
4．(教材改编)设 x，y∈R*，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为 ________ .
2≥2 x－2×x－1 2＋2＝4，当且仅当 x－2＝x－1 2(x>2)，即 x＝3 时
取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a＝3，选 C.]
3．在下列函数中，最小值是 2 的函数是(
)
A．y＝x＋1x
B．y＝cos
x＋co1s
π x0<x<2
C．y＝
x2＋3 x2＋2
D．y＝ex＋e4x－2
ab<(a＋2 b)2，选项 A、B 正确.a2＋abb<22aabb＝ ab，选项 D 正确．故选
C.]
2．若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于
()
A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3 解析：C
D．4
[当
x>2
时
，
x
－
2>0
，
f(x)
＝
(x
－
2)
＋
1 x－2
＋
综合应用基本不等式的重点题型与求解策略
题型
求解策略
判断或证明不等式或比较对所给不等式(或式子)变形，然后利用基
大小
本不等式求解
求参数的值或范围
观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围