数系的扩充

(1)4; (2)2 3i ; (3)5i 2 ;
(4) 6i ; (5)0;
(6)
1 i2 2
.
解：复数 4 2 3i 5i 2 6i
0
1 i2 2
实部 4
2
20
0 1
2
虚部 0 -3 5 -6 0 0
2.复数的分类
实数 (b=0), 复数z=a+bi （a,bR） 虚数(b0) (特别地当a =0时为纯虚数).
①若aR,则a2 ≥0.
若zC ,则z2≥0.
②若a, bR , a2+b2=0 , 则a=b=0. 若z1,z2 C ,z12 +z22 =0 ，则z1 =z2=0.
③实数可以用数轴上的点来表示. 复数可以用数轴上的点来表示.
回顾反思
1、知识结构：
复数定义
虚数单位的引入
复数
复数分类 复数相等
数
解方程x+2=0(无解）
学
内
在整数集范围内
部
解方程3x-2=0(无解）
发
在有理数集范围内
展
解方程x2-2=0(无解）
的
需
在实数集范围内
要
解方程x2+1=0(无解）
【阅读材料2】
16世纪，意大利数学家卡尔丹在讨论问题“将 10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，认为把答案 写成5 15 和5 15 就可以满足要求：
三.复数相等
规定: 如果两个复数的实部与虚部分别相等,
那么我们就说这两Biblioteka Baidu复数相等.
即:
a+bi=c+di
a c, b d.
(其中a, b,c,dR).
【初步运 用】
例3.已知复数z1= (x + y) + (x－2y)i ,
复数z2= (2x－5) + (3x+y)i ,
z1 = z2 ,求实数x,y的值.
解: ∵ z1 = z2
x y 2x 5 x 2 y 3x y
解得:
x 3

y

2
【变式演 设练z】1 (m2 2m 3) (m2 4m 3)i, z2 5 3i,
当m取何实数时，
（1）z1 0 ？ （2）z1 z2 ？
复数 4 2 3i 5i 2 6i
实部 4 2 2 0 虚部 0 -3 5 -6
0
1 i2
2
0 1
2
00
分类 实数 虚数 虚数 虚数 实数 实数
纯虚数
自然数集N
负整数
数
整数集Z
系 的
分数
CR QZ N
有理数集Q
扩 无理数
充
实数集R
虚?数 复数?集C
【初步运 用例】2.实数m取什么值时，复数
复解数:（（相12））等当当的转mm问mm化2222题（ 4242复mmmm转数化3333问题0053，，实求即即数方mm化程）组34时时的，，解zz11的问0z2. .题
当m 4时，z1 z2.
【深入探究】
下列结论从实数集扩充到复数集是否仍然成立？
四则运算时，原有的加法、乘法运算律 仍然成立．
二.复数的有关概念
1.复数的定义
把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数, 通常用z表示.
z = a + bi (a,b∈R)
实部 虚部 其中i称为虚数单位.
全体复数组成的集合叫做复数集, 一般用C表示 .
【初步运 用】
例1. 指出下列复数的实部和虚部:
（5 15）（5 15） 5 5 10, （5 15）（ 5 15） 5 5 15 15 25 (15) 40.
问题：卡尔丹的解释在实数集范围内能成立吗？
为什么？
引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
（1）i2=-1;
（2）实数可以与i进行四则运算，进行
“数”是万物的本 源，支配整个自然界和 人类社会．世间一切事 物都可归结为数或数的 比例，这是世界所以美 好和谐的源泉．
毕达哥拉斯（约公元前560—480年）
普通高中课程标准实验教科书 （选修2-2）
数系的扩充
【阅读材料1】
8848米 —155米
自然数集N 实数集R
社 会 生 活 发 展 的 需
2、探究途径： 阅读、类比、猜想、化归
3、拓展反思： 你能在今天所学知识基础上 进一步研究复数的运算及复 数的几何意义吗？
课后作业
一、必做题： 课本105页习题3.1第1、2、3、4题
二、选做题： 利用网络等资源了解数学史上
的 “第一次数学危机”
展
的
在有理数集范围内
需
解方程x2-2=0(无解）
要
问题：你能结合数系扩充的过程总结数系的扩充需要 遵循哪些原则吗？
解决了某些原数集中不能解决的问题；
添加新数,使原数集是新数集的子集； 在新的数集中,原有的运算及其性质仍然适用.
自然数集N
负 整 数
整数集Z
分 数
有理数集Q
无 理 数
实数集R
？
?
在自然数集范围内
1
要
1
为了计数的需要
为了刻画 具有相反意义的量 为了测量、 分配等需要
自然数集N
负 整 数
整数集Z
分 数
有理数集Q
无
为了度量单位正方形的 理
对角线长
数
实数集R
自然数集N
负 整 数
整数集Z
分 数
有理数集Q
无 理 数
实数集R
数
在自然数集范围内
学
解方程x+2=0(无解） 内
部
在整数集范围内
发
解方程3x-2=0(无解）
z=m(m-1)+(m-1)i 是: (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)6 2i?
解：(1)当m 1 0,即m 1时，复数z是实数.
(2)当m 1 0,即m 1时，复数z是虚数. (3)当m(m 1) 0,且m 1 0,即m 0时， 复数z是纯虚数.
两复数满足什么条件时相等？