方差与协方差理解
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§2方差、协方差与相关系数
2.1方差
例1
比较甲乙两人的射击技术,已知两人每次击中环数分布为
p 8
9<6
7 8
9 10^
巴.Q1
0.6 01 丿
” :vQ1 0.2 0.4 0.2 01 丿
问哪一个技术较好?
首先看两人平均击中环数,此时 E =E =8,从均值来看无法分辩孰优孰劣 •但从直观上 看,甲基本上稳定在 8环左右,而乙却一会儿击中 10环,一会儿击中6环,较不稳定.因此 从直观上可以讲甲的射击技术较好 .
上例说明:对一随机变量,除考虑它的平均取值外,还要考虑它取值的 离散程度.
称-E
为随机变量 对于均值
E
的离差(deviation ),它是一随机变量.为了给出一个描述
离散程度的数值,考虑用
E -E
,但由于E
-E = ^ -
E
=0对一切随机变量均
成立,即'
2
的离差正负相消,因此用 E -E 是不恰当的.我们改用
E E
描述取
值的离散程度,这就是方差
Vat=EZ 叮
deviatio n ).
2
方差是随机变量函数(一 一E 」)的数学期望,由§的⑸式,即可写出方差的计算公式
(x 「E )2P 「二 xj,离散型, 巴 产(x-E®2
dFKx) f 「(x-E©2
pKx)dx ,连续型.
Var - ■ = a
-
= L -°0
进一步,注意到
E G —E © 2 = E
F -2春 +(E : )2] = E ©2 -(E © )2
即有
许多情况,用(3)式计算方差较方便些 例1(续)计算例1中的方差Var 与Var .
定义1
2
存在,为有限值, 就称它是随机变量 ■的方差(varianee),记作 Var -,
但Var •的量纲与 不同,为了统一量纲,有时用
Var
,称为
的标准差(standard
(1)
Var
_E 2_ E
■. 2 - 解利用⑶式 匚 2 ' X :P( ―) 2
2
2
E = i =7 X0.1+8 X 0.8+9 >0.1=64.2,
2 2
Var =
E _ E
=64.2-- 82
=0.2.
2 2
同理,Var = E
- E
= 65.2-64 = 1.2 > Var ,所以 取值较 分散. 术较好.
例2
这说明甲的射击技
试计算泊松分布 P (入的方差.
-■ k E 2
八 k 2
—e k z0 k!
:: k
k e _ 心(k-1)!
:' -k
:"
■ k
所以
设 服从[a, b ]上的均匀分布 U [a, b ],求Var .
b 2 1
dx 」a 2
ab b b —a
Var
1
a 2
ab b 2 _ 1 a b 3 _2
2
1 I 2
b _ a I 12
设■服从正态分布N a
,;",求Var .
解此时用公式⑵,由于
E 二
a
-bo
Var 询违厂"
a)
-□0
2 - ::2
ze dz
2 二 s
f
2 ,
-bo
-be
2 2
\ -ze" z /2 +
r
—z /2 ■
e dz
I
-oO
这就得(4)式.
切贝雪夫不等式无论从证明方法上还是从结论上都有一定意义 」:,E —与E ,;内
的概率小于等于
Var
/ ;
2
,或者说, 落在区间
E
一 ;,E ;内的概率大于1-Var / ;2,从而只用数学期望和方差就可对上述概率进 行估计.例
如,取 £ =3 Var ,则
P (|— E q 兰^/VO ^ 比1 —Var ”(37V0^ (〜089
P (|E
E
| E3 '、V ar )=卩(|“| 乞3 扌胡.997 ).
性质1
Var
- =0的充要条件是 P(手C )=1,其中C 是常数.
证 显然条件充分.反之,如果
Var
= 0,记E = C,由切贝雪夫不等式
E 巴>
P(冷
E
| - £=0
对一切正数£成立.从而
2
可见正态分布中参数 C 就是它的方差,二就是标准差• 方差也有若干简单而重要的性质 •先介绍一个不等式•
切贝雪夫(Chebyshev)不等式若随机变量的方差存在,则对任意给定的正数
P (|E —E © ")兰Var L/y
恒有
⑷
证设•的分布函数为F x ,则
P (|E-E 律让仁込dF(x) <
"E )2
|X -E |_ ;
dF(x)
1
-j 2
「(x-E )2dF(x)
= Var / 2
.事实上,该式断言 落在
当然这个估计还是比较粗糙的(当
N a,
' 时,在第二章曾经指出,