方差与协方差理解

§2方差、协方差与相关系数

2.1方差

例1

比较甲乙两人的射击技术，已知两人每次击中环数分布为

p 8

9<6

7 8

9 10^

巴.Q1

0.6 01 丿

” :vQ1 0.2 0.4 0.2 01 丿

问哪一个技术较好？

首先看两人平均击中环数，此时 E =E =8，从均值来看无法分辩孰优孰劣 •但从直观上 看，甲基本上稳定在 8环左右，而乙却一会儿击中 10环，一会儿击中6环，较不稳定.因此 从直观上可以讲甲的射击技术较好 .

上例说明：对一随机变量，除考虑它的平均取值外，还要考虑它取值的 离散程度.

称-E

为随机变量 对于均值

E

的离差（deviation ），它是一随机变量.为了给出一个描述

离散程度的数值，考虑用

E -E

，但由于E

-E = ^ -

E

=0对一切随机变量均

成立，即'

2

的离差正负相消，因此用 E -E 是不恰当的.我们改用

E E

描述取

值的离散程度，这就是方差

Vat=EZ 叮

deviatio n ）.

2

方差是随机变量函数（一 一E 」）的数学期望，由§的⑸式，即可写出方差的计算公式

(x 「E )2P 「二 xj,离散型， 巴 产(x-E®2

dFKx) f 「(x-E©2

pKx)dx ,连续型.

Var - ■ = a

-

= L -°0

进一步，注意到

E G —E © 2 = E

F -2春 +(E ： )2] = E ©2 -(E © )2

即有

许多情况，用（3）式计算方差较方便些 例1（续）计算例1中的方差Var 与Var .

定义1

2

存在，为有限值, 就称它是随机变量 ■的方差(varianee)，记作 Var -,

但Var •的量纲与 不同，为了统一量纲，有时用

Var

，称为

的标准差（standard

(1)

Var

_E 2_ E

■. 2 - 解利用⑶式 匚 2 ' X ：P( ―) 2

2

2

E = i =7 X0.1+8 X 0.8+9 >0.1=64.2,

2 2

Var =

E _ E

=64.2-- 82

=0.2.

2 2

同理，Var = E

- E

= 65.2-64 = 1.2 > Var ,所以 取值较 分散. 术较好.

例2

这说明甲的射击技

试计算泊松分布 P （入的方差.

-■ k E 2

八 k 2

—e k z0 k!

:: k

k e _ 心(k-1)!

:' -k

:"

■ k

所以

设 服从［a, b ］上的均匀分布 U ［a, b ］，求Var .

b 2 1

dx 」a 2

ab b b —a

Var

1

a 2

ab b 2 _ 1 a b 3 _2

2

1 I 2

b _ a I 12

设■服从正态分布N a

，；"，求Var .

解此时用公式⑵，由于

E 二

a

-bo

Var 询违厂"

a)

-□0

2 - ：：2

ze dz

2 二 s

f

2 ,

-bo

-be

2 2

\ -ze" z /2 +

r

—z /2 ■

e dz

I

-oO

这就得(4)式.

切贝雪夫不等式无论从证明方法上还是从结论上都有一定意义 」：，E —与E ，；内

的概率小于等于

Var

/ ；

2

，或者说， 落在区间

E

一 ；，E ；内的概率大于1-Var / ；2，从而只用数学期望和方差就可对上述概率进 行估计.例

如，取 £ =3 Var ，则

P (|— E q 兰^/VO ^ 比1 —Var ”(37V0^ (〜089

P (|E

E

| E3 '、V ar )=卩(|“| 乞3 扌胡.997 ).

性质1

Var

- =0的充要条件是 P(手C )=1，其中C 是常数.

证 显然条件充分.反之，如果

Var

= 0,记E = C,由切贝雪夫不等式

E 巴>

P(冷

E

| - £=0

对一切正数£成立.从而

2

可见正态分布中参数 C 就是它的方差，二就是标准差• 方差也有若干简单而重要的性质 •先介绍一个不等式•

切贝雪夫(Chebyshev)不等式若随机变量的方差存在，则对任意给定的正数

P (|E —E © ")兰Var L/y

恒有

⑷

证设•的分布函数为F x ，则

P (|E-E 律让仁込dF(x) <

"E )2

|X -E |_ ;

dF(x)

1

-j 2

「(x-E )2dF(x)

= Var / 2

.事实上，该式断言 落在

当然这个估计还是比较粗糙的(当

N a,

' 时，在第二章曾经指出,