人教版七年级数学上思维特训(七)含答案：含有字母的绝对值的化简
部编数学七年级上册专题绝对值压轴题(最值与化简)专项讲练重难题型技巧提升专项精练(人教版)含答案
专题03 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练专题1. 最值问题最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。
题型1. 两个绝对值的和的最值【解题技巧】b x a x -+-目的是在数轴上找一点x ，使x 到a 和b 的距离和的最小值：分类情况（x 的取值范围）图示b x a x -+-取值情况当a x <时无法确定当b x a ≤≤时b x a x -+-的值为定值，即为b a -当b x >无法确定结论：式子b x a x -+-在b x a ≤≤时，取得最小值为b a -。
例1.（2021·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A ，B 分别表示数a ，b ，则A ，B 两点之间的距离为AB a b =-．反之，可以理解式子3x -的几何意义是数轴上表示实数x 与实数3两点之间的距离．则当25x x ++-有最小值时，x 的取值范围是（）A ．2x <-或5x >B ．2x -≤或5x ≥C ．25x -<<D ．25x -≤≤【答案】D【分析】根据题意将25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.【解析】方法一：代数法（借助零点分类讨论）当x<-2时，25x x ++-=（-2-x ）+（5-x ）=3-2x ；当25x -≤≤时，25x x ++-=（x+2）+（5-x ）=7；当x>5时，25x x ++-=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴25x x ++-有最小值，最小值为7，此时25x -≤≤，故选：D.方法二：几何法（根据绝对值的几何意义）25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，通过数轴分析反现当25x -≤≤时，25x x ++-有最小值，最小值为7。
人教版七年级数学上册绝对值(含答案)3
绝对值要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数－数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；知识点（3）判定两数的大小．3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1ab<，则a b <；反之也成立． 若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反． 5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.类型一、绝对值的概念例1．计算：（1）145-- （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)| 【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.解：(1) 111444555⎡⎤⎛⎫--=---=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， (2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7， (3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．例2．若|a ﹣1|=a ﹣1，则a 的取值范围是（ ）A. a ≥1B. a ≤1C. a ＜1D. a ＞1【思路点拨】根据|a|=a 时，a ≥0，因此|a ﹣1|=a ﹣1，则a ﹣1≥0，即可求得a 的取值范围． 【答案】A 【解析】典型例题解：因为|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，解得：a≥1，【总结升华】此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．举一反三：【变式1】（2015•重庆校级模拟）若a＞3，则|6﹣2a|= （用含a的代数式表示）．【答案】2a-6【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．如果｜x－2｜＝1，那么x＝；如果｜x｜＞3，那么x的范围是．【答案】6或-6；1或3；x>3或x<-3【变式3】已知| a |＝3，| b |＝4，若a，b同号，则| a +b |＝_________；若a，b异号，则| a+b |＝________．据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系．【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，由此可得：|a+b|≤|a|+|b| .类型二、比大小例3．比较下列每组数的大小：(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)45-与34--；(4)π-与| 3.14|--．【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．【答案与解析】解： (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．(3)化简得：3344--=-．这是两个负数比较大小，因为44165520-==，33154420-==，且16152020>．所以4354-<--．(4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 举一反三：【变式1】比大小：（1） －0.3 31-（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--91 101--．【答案】＞；＞【变式2】比大小：（1） 1.38-______－1.384；（2） －π___－3.14． 【答案】＞；＜【变式3】若m ＞0，n ＜0，且|m|＞|n|，用“＞”把m ，-m ，n ，-n 连接起来． 【答案】解法一：∵ m ＞0，n ＜0，∴ m 为正数，-m 为负数，n 为负数，-n 为正数． 又∵ 正数大于一切负数，且|m|＞|n|，∴ m＞-n＞n＞-m．解法二：因为m＞0，n＜0且|m|＞|n|，把m，n，-m，-n表示在数轴上，如图所示．∵数轴上的数右边的数总比左边的数大，∴ m＞-n＞n＞-m．类型三、含有字母的绝对值的化简例4.（2016春•都匀市校级月考）若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|= ．【思路点拨】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．【答案】2x﹣3．【解析】解：原式=x+1﹣（﹣x+4），=x+1+x﹣4，=2x﹣3.【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x﹣4的正负性．举一反三：【变式1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：.【答案】解：由图所示，可得．∴ 30a c ->，，，∵．∴ 原式．【变式2】求的最小值． 【答案】解法一：当2x <-时，则23(2)[(3)]23215x x x x x x x ++-=-++--=---+=-+>当时，则23(2)[(3)]235x x x x x x ++-=++--=+-+= 当时，则23(2)(3)23215x x x x x x x ++-=++-=++-=->综上：当时，取得最小值为：5.解法二：借助数轴分类讨论： ①2x <-； ②； ③.的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和．由图明显看出时取最小值．所以，时，取最小值5.类型四、绝对值非负性的应用例5. 已知a、b为有理数，且满足：12，则a=_______，b=________．【答案与解析】由，，，可得∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．举一反三：【变式1】已知，则x的取值范围是________．【答案】；提示：将看成整体，即，则，故，．【变式2】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．【答案】解：由题意得∴所以，2ba类型五、绝对值的实际应用例6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案与解析】解：因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【总结升华】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】解：小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)答：小虫一共可以得到108粒芝麻.一、选择题1．以下选项中比|﹣|小的数是（）A．1 B．2 C． D.2．如图(一)，数O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c.根据图中各点的位置，下列各数的绝对值的比较何者正确？A．|b|＜|c| B．|b|＞|c| C．|a|＜|b| D．|a|＞|c|3．满足|x|＝-x的数有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个4.若|x﹣5|=5﹣x，下列不等式成立的是（）A. x﹣5＞0B. x﹣5＜0C. x﹣5≥0D. x﹣5≤0课后练习5．a 、b 为有理数，且a ＞0、b ＜0，|b|＞a ，则a 、b 、-a 、-b 的大小顺序是( )． A ．b ＜-a ＜a ＜-b B ．-a ＜b ＜a ＜-b C ．-b ＜a ＜-a ＜b D ．-a ＜a ＜-b ＜b6．下列推理：①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a ≠b ．其中正确的个数为( )． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个7．设a 是最小的正整数，b 是最大的负整数的相反数，c 是绝对值最小的有理数，则a 、b 、c 的大小关系是( )．A ．a ＜b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＝b ＝cD ．a ＞b ＞c 二、填空题8．如果|a ﹣2|+|b+1|=0，那么a+b 等于 ．9.已知|x|=|﹣3|，则x 的值为 ． 10.绝对值不大于11的整数有 个.11. 已知a 、b 都是有理数，且|a|=a ，|b|=－b 、，则ab 是 . 12. 式子|2x-1|+2取最小值时，x 等于 .13．数a 在数轴上的位置如图所示，则|a-2|＝__________．14.若1aa=-，则a 0；若a a ≥，则a . 三、解答题 15．将2526-，259260-，25992600-按从小到大的顺序排列起来．16．正式的足球比赛对所用足球的质量都有严格的规定，标准质量为400克．下面是5个足球的质量检测结果（超过规定质量的克数记为正数，不足规定质量的克数记为负数）：-25，+10，-20，+30，+15．(1)写出每个足球的质量；(2)请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识进行说明．17.定义：数轴上表示数a和数b的两点A和B之间的距离是|a﹣b|．完成下列问题：（1）数轴上表示x和﹣4的两点A和B之间的距离是；如果|AB|=2，那么x为；（2）利用数轴以及已知中的定义，可得式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是．（3）拓展：当x= 时，式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|的值最小，最小值是．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D【解析】解：∵|﹣|=，A 、1＞，故本选项错误；B 、2＞，故本选项错误；C 、=，故本选项错误；D 、﹣＜，故本选项正确；故选D ．2. 【答案】A【解析】由图（一）可知，距离原点最远的是点C ，其次是点A ，最近的是点B ，所以他们对应的数的绝对值的大小为：c a b >>或b a c <<，所以A 正确.3．【答案】D【解析】x 为负数或零时都能满足|x|＝-x ，故有无数个．4．【答案】D5．【答案】A【解析】画数轴，数形结合．6．【答案】C【解析】①正确；②错误，如|-2|＝|2|，但是-2≠2；③错误，如-2≠2，但是|-2|＝|2|；④正确．故选C ．7.【答案】B【解析】a ＝1，b ＝-(-1)＝1，c ＝0，故a ＝b ＞c ．二、填空题8.【答案】1【解析】解：由题意得，a ﹣2=0，b+1=0，解得，a=2，b=﹣1，则a+b=1，故答案为：1．9. 【答案】±310.【答案】23【解析】要注意考虑负数.绝对值不大于11的数有：-11 、-10……0 、1 ……11共23个.11.【答案】负数或零（或非正数均对）【解析】非负性是绝对值的重要性质.由题意可知≥0,≤0.12.【答案】1 2【解析】因为|2x-1|≥0，所以当2x-1=0，即x=12时，|2x-1|取到最小值0，同时|2x-1|+2也取到最小值2.13.【答案】-a+2【解析】由图可知：a≤2，所以|a-2|=-（a-2）=-a+2.14.【答案】＜；任意数.三、解答题15.【解析】解：因为2525250026262600-==，25925925902602602600-==，2599259926002600-=，因为250025902599260026002600<<，即259925925260026026->->-，所以259925925 260026026 -<-<-．16. 【解析】解：（1）每个足球的质量分别为375克，410克，380克，430克，415克；（2）质量为410克（即质量超过+10克）的足球的质量好一些.理由：将检测结果求绝对值，再比较绝对值大小，绝对值最小的质量最好．17. 【解析】解：（1）数轴上表示x和﹣4的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣4）|；如果|AB|=2，那么|x﹣（﹣4）|=2，x+4=±2，解得x=﹣2或﹣6；（2）x=2有最小值，最小值=|2﹣1|+|2﹣2|+|2﹣3|=1+0+1=2；（3）1～2011共有2011个数，最中间一个为1006，此时|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|取得最小值，最小值|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|=|1006﹣1|+|1006﹣2|+|1006﹣3|+…+|1006﹣2011|=1005+1004+1003+…+2+1+0+1+2+3+…+1005=1011030．故答案为|x﹣（﹣4）|；﹣2或﹣6；2；1006；1011030．。
2018年秋人教版七年级数学上思维特训及参考答案(7-9)
- 1 -思维特训(七) 含有字母的绝对值的化简 方法点津 ·1．绝对值的性质：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）.2．有理数的加法法则：若a >b >0，则a ＋b >0；若0>b >a ，则a ＋b <0；若a ，b 异号，|a |>|b |，则a ＋b 的符号与a 的符号保持一致．典题精练 ·类型一 以数轴为背景的绝对值的化简1．(1)一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到________的距离；(2)若|a|＝－a ，则a________0；(3)有理数a ，b 在数轴上的位置如图7－S －1所示，请化简：|a|＋|b|＋|a ＋b|.图7－S －12．已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图7－S －2所示，化简：|a ＋b|－|a －b|＋|a ＋c|.图7－S －2- 2 -3．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图7－S －3所示，化简：|a ＋c|－|a －b|＋|b ＋c|－|b|.图7－S －34．有理数a ，b ，c在数轴上的位置如图7－S －4所示，化简：3|a －b|＋|a ＋b|－|c －a|＋2|b －c|.图7－S －45．已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图7－S －5所示，化简：|b －c ＋a|＋|a ＋c|－|b －a ＋c|－|a ＋b ＋c|.图7－S －5类型二以符号为背景的绝对值的化简6．已知x＜0，y＞0，z＜0，且|x|＜|y|，|y|＞|z|，化简：|x＋z|－|y＋z|＋|x＋y|－|x－y＋z|.7．(1)若－2≤a≤2，化简：|a＋2|＋|a－2|＝______；(2)若a≥－2，化简：|a＋2|＋|a－2|；(3)化简：|a＋2|＋|a－2|.- 3 -详解详析1．解：(1)原点(2)因为|a|＝－a，所以a≤0.(3)由a，b在数轴上的位置可知，a＜－1＜0＜b＜1，所以a＜0，b＞0，a＋b＜0，所以|a|＝－a，|b|＝b，|a＋b|＝－a－b，所以原式＝－a＋b－a－b＝－2a.2．解：根据题意，得－2＜c＜－1，0＜a＜1，2＜b＜3，所以a＋b＞0，a－b＜0，a＋c＜0，所以原式＝a＋b－[－(a－b)]＋[－(a＋c)]＝a＋b＋a－b－a－c＝a－c.3．解：由图可知：a＋c＜0，a－b＞0，b＋c＜0，b＜0，所以原式＝－(a＋c)－(a－b)－(b＋c)＋b＝－a－c－a＋b－b－c＋b＝－2a＋b－2c.4．解：由图可知c＞0，a＜b＜0，则a－b＜0，a＋b＜0，c－a＞0，b－c＜0，所以原式＝－3(a－b)－(a＋b)－(c－a)－2(b－c)＝－3a＋3b－a－b－c＋a－2b＋2c＝－3a＋c.5．解：由图可知b－c＋a＜0，a＋c＜0，b－a＋c＞0，a＋b＋c＜0，- 4 -则原式＝－b＋c－a－a－c－b＋a－c＋a＋b＋c＝－b. 6．解：因为x＜0，y＞0，z＜0，|x|＜|y|，|y|＞|z|，所以x＋z＜0，y＋z＞0，x＋y＞0，x－y＋z＜0，所以原式＝－x－z－y－z＋x＋y＋x－y＋z＝x－y－z. 7．解：(1)因为－2≤a≤2，所以a＋2≥0，a－2≤0，所以|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4.故答案为4.(2)①如果－2≤a≤2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4；②如果a＞2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋a－2＝2a.(3)①如果a＜－2，那么|a＋2|＋|a－2|＝－a－2＋2－a＝－2a；②如果－2≤a≤2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4；③如果a＞2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋a－2＝2a.- 5 -思维特训(八) 整体法求整式的值方法点津·1．整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．2．根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．典题精练·类型一已知一个代数式的值进行整体求值1．若mn＝m＋3，则2mn＋3m－5mn＋10＝________．2．理解与思考：在某次作业中有这样的一道题：“如果式子5a＋3b的值为－4，那么式子2(a＋b)＋4(2a ＋b)的值是多少？”小明是这样来解的：原式＝2a＋2b＋8a＋4b＝10a＋6b.把等式5a＋3b＝－4的两边同乘2，得10a＋6b＝－8.仿照小明的解题方法，完成下面的问题：(1)如果a2＋a＝0，那么a2＋a＋2018＝________；(2)已知14x－21x2＝－14，求9x2－6x－5的值；(3)已知a－b＝－3，求3(a－b)－5a＋5b＋5的值；(4)请你仿照以上各题的解法，解决下列问题(写出必要的解题过程)：若a－b＝4，求如图8－S－1所示两个长方形的面积差，即S1－S2的值．图8－S－1- 6 -- 7 -类型二 已知两个代数式的值进行整体求值3．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m ＋n ＝－2，mn ＝－4，则2(mn －3m)－3(2n －mn)的值为________．4．若a ＋c ＝2017，b ＋d ＝－2018，则(a ＋b ＋c －d)＋(a ＋b ＋d －c)＋(a ＋c ＋d －b)－(a －b －c －d)＝________．5．阅读下面例题的解题过程，再解答下面的问题．例题：已知m －n ＝100，x ＋y ＝－1，求(n ＋x)－(m －y)的值．解：(n ＋x)－(m －y)＝n ＋x －m ＋y ＝n －m ＋x ＋y ＝－(m －n)＋(x ＋y)＝－100－1＝－101.问题：(1)已知a ＋b ＝－7，ab ＝10，求(3ab ＋6a ＋4b)－(2a －2ab)的值；(2)已知a 2＋2ab ＝－2，ab －b 2＝－4，求2a 2＋72ab ＋12b 2的值．6．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数(整体)．根据提示解答下列问题．已知A ＋B ＝3x 2－5x ＋1，A －C ＝－2x ＋3x 2－5，当x ＝2时，求B ＋C 的值．- 8 -- 9 -详解详析1．1[解析] 原式＝－3mn ＋3m ＋10，把mn ＝m ＋3代入，得原式＝－3m －9＋3m ＋10＝1.2．解：(1)a 2＋a ＋2018＝0＋2018＝2018.(2)由14x －21x 2＝－14，得21x 2－14x ＝14，即3x 2－2x ＝2，则原式＝3(3x 2－2x)－5＝6－5＝1.(3)3(a －b)－5a ＋5b ＋5＝3(a －b)－5(a －b)＋5＝－2(a －b)＋5.当a －b ＝－3时，原式＝11.(4)两个长方形的面积差是S 1－S 2＝4(5a －2b)－3(6a －2b)＝20a －8b －(18a －6b)＝2a －2b ＝2(a －b)．当a －b ＝4时，S 1－S 2＝2×4＝8.3．－8[解析] 因为m ＋n ＝－2，mn ＝－4，所以原式＝2mn －6m －6n ＋3mn ＝5mn －6(m ＋n)＝－20＋12＝－8.4．－2 [解析] 因为a ＋c ＝2017，b ＋d ＝－2018，所以原式＝a ＋b ＋c －d ＋a ＋b ＋d －c ＋a ＋c ＋d －b －a ＋b ＋c ＋d ＝2a ＋2b ＋2c ＋2d ＝2(a ＋b ＋c ＋d)＝－2.5．解：(1)(3ab ＋6a ＋4b)－(2a －2ab)＝3ab ＋6a ＋4b －2a ＋2ab＝5ab ＋4a ＋4b＝5ab ＋4(a ＋b)．当a ＋b ＝－7，ab ＝10时，原式＝5×10＋4×(－7)＝22.(2)把a 2＋2ab ＝－2左右两边同乘2，得2a 2＋4ab ＝－4，把ab －b 2＝－4左右两边同乘12，- 10 -得12ab －12b 2＝－2. 所以2a 2＋72ab ＋12b 2＝2a 2＋4ab －(12ab －12b 2)＝－4－(－2)＝－2. 6．解：因为A ＋B ＝3x 2－5x ＋1，A －C ＝－2x ＋3x 2－5， 所以B ＋C＝(A ＋B)－(A －C)＝3x 2－5x ＋1－(－2x ＋3x 2－5)＝3x 2－5x ＋1＋2x －3x 2＋5＝－3x ＋6，把x ＝2代入上式，得B ＋C ＝－6＋6＝0.思维特训(九) 整式加减中的“无关”问题方法点津·一般来说，整式的值与整式所含字母的取值是有关的，当字母取唯一数值时，得到的整式的值也是唯一的，但当整式不含这个字母时，整式的值便与这个字母的取值无关．典题精练·类型一同一字母取不同数值时，整式的值不变此种情况说明整式的值与此字母的取值无关，即整式化简后的结果中这个字母的系数为0.1．一天，数学老师布置了一道数学题：已知x＝2018，求整式(x3－6x2－7x＋8)－(－x2－3x＋2x3－3)＋(x3＋5x2＋4x－1)的值，小明观察后提出：“已知x＝2018是多余的．”你认为小明的说法有道理吗？请说明理由．2．课堂上李老师给出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式(7a3－6a3b＋3a2b)－(－3a3－6a3b＋3a2b＋10a3－3)写在黑板上，让王红同学给出一组a，b的值，老师自己说答案，当王红说完：“a＝65，b＝－2005”后，李老师不假思索，立刻就说出答案为3.同学们莫名其妙，觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”．你能说出其中的道理吗？- 11 -3．已知x2＋ax－2y＋7－(bx2－2x＋9y－1)的值与x的取值无关，求a＋b的值．4．已知2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1的值与字母x的取值无关，且A＝4a2－ab＋4b2，B＝3a2－ab＋3b2，求3A－[2(3A－2B)－3(4A－3B)]的值．类型二同一字母取值互为相反数时，整式的值不变此种情况说明整式化简后的结果要么不含有这个字母，要么只含这个字母的偶次方项或绝对值项．5．小强与小亮在同时计算这样一道题：当a＝－3时，求整式7a2－[5a－(4a－1)＋4a2]－(2a2－a＋1)的值．小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a＝－3看成了a＝3，但他计算的结果也正确，你能说明为什么吗？- 12 -- 13 -6．有这样一道计算题：求3x 2y ＋[2x 2y －(5x 2y 2－2y 2)]－5(x 2y ＋y 2－x 2y 2)的值，其中x ＝12，y ＝－1.小明同学把“x ＝12”错看成“x ＝－12”，但计算结果仍正确；小华同学把“y ＝－1”错看成“y ＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明．详解详析1．解：小明的说法有道理．理由如下：原式＝x3－6x2－7x＋8＋x2＋3x－2x3＋3＋x3＋5x2＋4x－1＝(1－2＋1)x3＋(－6＋1＋5)x2＋(－7＋3＋4)x＋(8＋3－1)＝10.由此可知整式的值与x的取值无关，所以小明的说法有道理．2．解：原式＝7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3a2b－10a3＋3＝3.整式的结果与a，b的取值无关，恒为3.3．解：原式＝(1－b)x2＋(a＋2)x－11y＋8，因为整式的值与x的取值无关，所以1－b＝0，a＋2＝0，解得a＝－2，b＝1，则a＋b＝－2＋1＝－1.4．解：2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1＝(2－b)x2＋(a＋3)x－6y＋5，由结果与x的取值无关，得到2－b＝0，a＋3＝0，解得a＝－3，b＝2，则原式＝3A－6A＋4B＋12A－9B＝9A－5B＝9(4a2－ab＋4b2)－5(3a2－ab＋3b2)＝36a2－9ab＋36b2－15a2＋5ab－15b2＝21a2－4ab＋21b2＝189＋24＋84＝297.5．解：原式＝7a2－5a＋4a－1－4a2－2a2＋a－1＝a2－2，当a＝3和a＝－3时，整式的结果都为9－2＝7，故小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a＝－3看成了a＝3，但计算的结果也正确．- 14 -6．解：原式＝3x2y＋2x2y－5x2y2＋2y2－5x2y－5y2＋5x2y2＝－3y2，整式化简后的结果不含x，所以整式的值与x的取值无关．当y＝±1时，y2＝1，原式＝－3.- 15 -。
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思想特训绝对值与分类议论方法点津·1．因为去掉绝对值符号时，要分三种状况：即正数的绝对值是它自己，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以波及绝对值的运算常常要分类议论．a（a>0），用符号表示这一过程为：|a|＝0（a＝0），－a（a<0）.2．因为在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，所以知道某个数的绝对值求该数时，常常需要分两种状况议论．用符号表示这个过程为：若|x|＝a(a>0)，则x＝±a.3．分类议论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②议论；③概括．典题精练·种类一以数轴为载体的绝对值的分类议论1．已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，且|a＋4|＋(b－1)2＝0.现将点A，B之间的距离记作|AB|，定义|AB| ＝|a－b|.(1)|AB|＝________；设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|－|PB|＝2时，求x的值．2．我们知道：点 A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a－b|，所以式子|x－3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．依据上述资料，回答以下问题：(1)|5－(－2)|的值为________；(2)若|x－3|＝1，则x的值为________；(3)(4)(5)若|x－3|＝|x＋1|，求x的值；若|x－3|＋|x＋1|＝7，求x的值．种类二与绝对值化简相关的分类议论问题3．在解决数学识题的过程中，我们常用到“分类议论”的数学思想，下边是运用分类议论的数学思想解决问题的过程，请认真阅读，并解答以下问题：|a||b||c| 【提出问题】三个有理数a，b，c知足abc＞0，求a＋b＋c的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或此中一个为正数，另两个为负数．|a| |b|①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则a＋b＋|c| a b cc＝a＋b＋c＝1＋1＋1＝3；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则|a|a＋|b|b＋|c|ca＝a＋－bb＋－cc＝1－1－1＝－1.所以| a|a|b|＋b|c|＋c的值为3或－1.【研究】请依据上边的解题思路解答下边的问题：|a| |b| |c|(1)三个有理数a，b，c知足abc＜0，求a＋b＋c的值；(2)(3)已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a＋b的值．4．在有些状况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6＋7|＝6＋7；|6－7|＝7－6；|7－6|＝7－6；|－6－7|＝6＋7.依据上边的规律，把以下各式写成去掉绝对值符号的形式：|7－21|＝________；17|－2＋0.8|＝________；89717－18＝________．1 1 1 1 1 1(2)用合理的方法计算：|5－2018|＋|2018－2|－|－2|＋1009.5．研究研究：比较以下各式的大小(填“＜”“＞”或“＝”)：①|－2|＋|3|________|－2＋3|；1 1 1 1|－2|＋|－3|________|－2－3|；③|6|＋|－3|________|6－3|；④|0|＋|－8|________|0－8|.(2)经过以上比较，请你剖析、概括出当a，b为有理数时，|a|＋|b|与|a＋b|的大小关系．(直接写出结论即可)(3)依据(2)中得出的结论，解决以下问题：当|x|＋|－2018|＝|x－2018|时，求x的取值范围．详解详析1．解：(1)因为|a＋4|＋(b－1)2＝0，所以a＝－4，b＝1，所以|AB|＝|a－b|＝5.(2)当点P在点A左边时，|PA|－|PB|＝－(|PB|－|PA|)＝－|AB|＝－5≠2，不切合题意；当点P在点B右边时，|PA|－|PB|＝|AB|＝5≠2，不切合题意．当点P在点A，B之间时，|PA|＝|x－(－4)|＝x＋4，|PB|＝|x1|＝1－x.因为|PA|－|PB|＝2，所以x＋4－(1－x)＝2，1解得x＝－2.2．解：(1)7因为|x－3|＝1，所以x－3＝±1，解得x＝2或4.故x的值为2或4. 依据绝对值的几何意义可知，x必在－1与3之间，故x－3＜0，x＋1＞0，所以原式可化为3－x＝x＋1，所以x＝1.在数轴上表示3和－1的两点之间的距离为4，则知足方程的x的对应点在－1的对应点的左边或3的对应点的右边．若x的对应点在－1的对应点的左边，则原式可化为3－x－x－17，解得x＝－；若x的对应点在3的对应点的右边，则原式可化为x－3＋x＋1 7，解得x＝4.5.综上可得，x的值为－或4.5.3．解：(1)因为abc＜0，所以a，b，c都为负数或此中一个为负数，另两个为正数．①当a，b，c都为负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，|a| |b| |c| －a －b －c则a＋b＋c＝a＋b＋c＝－1－1－1＝－3；②当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，|a| |b| |c| －a b c则a＋b＋c＝a＋b＋c＝－1＋1＋1＝1.|a ||b||c|综上所述，a ＋b＋c的值为－3或1.因为|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，所以a＝－3，b＝1或－1，则a＋b＝－2或－4.1 7 74．解：(1)①21－7 ②－2③17－181 1 1 1 1 1 1(2)原式＝5－2018＋2－2018－2＋1009＝5.5．解：(1)①因为|－2|＋|3|＝5，|－2＋3|＝1，所以|－2|＋|3|＞|－2＋3|.11511511②因为|－2|＋|－3|＝6，|－2－3|＝6，所以|－2|＋|－3|＝|112－3|.③因为|6|＋|－3|＝6＋3＝9，|6－3|＝3，所以|6|＋|－3|＞|6－3|.④因为|0|＋|－8|＝8，|0－8|＝8，所以|0|＋|－8|＝|0－8|.当a，b异号时，|a|＋|b|＞|a＋b|；当a，b同号或a，b中有一个为0或两个同时为0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，所以|a|＋|b|≥|a＋b|.由(2)中得出的结论可知，x与－2018同号或x为0，所以当|x|＋|－2018|＝|x－2018|时，x的取值范围是x≤0.。
人教版七年级数学上册-《有理数绝对值化简运算》强化训练(含答案)
人教版七年级数学上册-《有理数绝对值化简运算》强化训练(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN牢记方法规则：1．判断绝对值里面量的正负2．去掉绝对值产生括号3．去掉括号合并同类项第1天1．在数轴上有示a、b、c三个实数的点的位置如图所示，化简|b﹣a|＋|c﹣a|﹣|c﹣b|．2．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|b﹣c|﹣|c﹣a|＋|b﹣a|．3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|＋2|a＋c|﹣|b﹣2c|．4．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|b＋a|﹣|b﹣c|＋|a﹣c|．5．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c|﹣|c﹣2b|＋|a＋c|﹣|a＋b|．第2天6．若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋c|＋|2a＋b|﹣|c﹣b|．7．有理数a、b、c的位置如图所示，化简|b|＋|a﹣c|＋|b﹣c|﹣|a﹣b|．8．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简－|b|－|a﹣c|＋|b﹣c|＋|a﹣b|．9．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|c﹣1|＋|a﹣c|＋|a﹣b|．10．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c|﹣|a＋b|﹣|b﹣c|＋|2b|．第3天11．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|c|﹣|c＋b|＋|a﹣c|＋|b＋a|．12．数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|﹣|b﹣c|﹣|a＋c|﹣|b|＋2|a|．13．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简|b﹣c|＋2|c＋a|﹣3|a﹣b|．14．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|2b﹣c|－2|c－a|＋3|a﹣b|．15．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣|a﹣b|＋|c﹣a|＋|b＋c|．第4天16．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a＋c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a|＋|b＋c|．17．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a﹣b|＋3|c﹣a|﹣2|b﹣c|18．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简|a﹣b|＋3|c﹣a|﹣|b ﹣c|．19．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：化简|a＋c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a|＋|b＋c|．20．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简3|a﹣b|＋|a＋b|﹣|c﹣a|＋2|b﹣c|．参考答案1．在数轴上有示a、b、c三个实数的点的位置如图所示，化简|b﹣a|＋|c﹣a|﹣|c﹣b|．解：由数轴上点的位置可得：c＜0＜a＜b，∴b﹣a＞0，c﹣a＜0，c﹣b＜0，∴|b﹣a|＋|c﹣a|﹣|c﹣b|＝b﹣a＋a﹣c＋c﹣b＝0．2．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|b﹣c|﹣|c﹣a|＋|b﹣a|．解：由图可得，c＜b＜0＜a，则|b﹣c|﹣|c﹣a|＋|b﹣a|＝b﹣c＋c﹣a﹣b＋a＝0．3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|＋2|a＋c|﹣|b﹣2c|．解：由数轴可知c＜a＜0＜b，且|a|＜|b|＜|c|，则a﹣b＜0、a＋c＜0、b﹣2c＞0，∴原式＝b﹣a﹣2（a＋c）﹣（b﹣2c）＝b﹣a﹣2a﹣2c﹣b＋2c＝﹣3a．4．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|b＋a|﹣|b﹣c|＋|a﹣c|．解：根据题意得：c＜a＜0＜b，且|b|＜|a|＜|c|，∴b＋a＜0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，则原式＝﹣b﹣a﹣b＋c＋a﹣c＝﹣2b．5．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c|﹣|c﹣2b|＋|a＋c|﹣|a＋b|．解：∵由图可知，c＜a＜b，∴a﹣c＞0，c﹣2b＜0，a＋c＜0，a＋b＞0，∴原式＝（a﹣c）﹣（2b﹣c）﹣（a＋c）﹣（a＋b）＝a﹣c﹣2b＋c﹣a﹣c﹣a﹣b＝﹣a﹣3b﹣c．6．若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋c|＋|2a＋b|﹣|c﹣b|．解：根据图示，可得c＜b＜0＜a，且a＜|c|，∴a＋c＜0，2a＋b＞0，c﹣b＜0，∴|a＋c|＋|2a＋b|﹣|c﹣b|＝﹣（a＋c）＋（2a＋b）＋（c﹣b）＝﹣a﹣c＋2a＋b＋c﹣b＝a．7．有理数a、b、c的位置如图所示，化简|b|＋|a﹣c|＋|b﹣c|﹣|a﹣b|．解：由数轴可得：b＞0，a﹣c＜0，b﹣c＞0，a﹣b＜0，故：|b|＋|a﹣c|＋|b﹣c|﹣|a﹣b|＝b＋c﹣a＋b﹣c﹣（b﹣a）＝b．8．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简－|b|－|a﹣c|＋|b﹣c|＋|a﹣b|．解：由数轴得，a＜c＜0＜b，∴b＞0，a﹣c＜0，b﹣c＞0，a﹣b＜0，∴|b|＋|a﹣c|＋|b﹣c|＋|a﹣b|＝－b＋a﹣c＋b﹣c＋b﹣a＝b﹣2c．9．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|c﹣1|＋|a﹣c|＋|a﹣b|．解：根据数轴上点的位置得：﹣1＜c＜0＜a＜b，∴c﹣1＜0，a﹣c＞0，a﹣b＜0，则原式＝1﹣c＋a﹣c＋b﹣a＝1﹣2c＋b．10．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c|﹣|a＋b|﹣|b﹣c|＋|2b|．解：根据数轴上点的位置得：b＜0＜a＜c，|c|＞|a|＞|b|，∴a﹣c＜0，a＋b＞0，b﹣c＜0，2b＜0原式＝c﹣a﹣（a＋b）﹣（c﹣b）＋（﹣2b）＝c﹣a﹣a﹣b﹣c＋b﹣2b＝﹣2a﹣2b．11．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|c|﹣|c＋b|＋|a﹣c|＋|b＋a|．解：∵由数轴上a、b、c的位置可知，b＜c＜0＜a，c＋b＜0，a﹣c＞0，a＋b＜0，∴原式＝﹣c＋c＋b＋a﹣c﹣a﹣b＝﹣c．12．数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|﹣|b﹣c|﹣|a＋c|﹣|b|＋2|a|．解：∵由图可知c＜0＜a＜b，|c|＞b＞a，∴a﹣b＜0，b﹣c＞0，a＋c＜0，∴原式＝（b﹣a）﹣（b﹣c）﹣（﹣a﹣c）﹣b＋2a＝b﹣a﹣b＋c＋a＋c﹣b＋2a＝2a＋2c﹣b．13．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简|b﹣c|＋2|c＋a|﹣3|a﹣b|．解：由图可知，c＜a＜0＜b，所以，b﹣c＞0，c＋a＜0，a﹣b＜0，所以，原式＝b﹣c﹣2（c＋a）﹣3（b﹣a）＝b﹣c﹣2c﹣2a﹣3b＋3a＝a﹣2b﹣3c．14．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|2b﹣c|－2|c－a|＋3|a﹣b|．解：∵由图可知，c＜a＜0＜b，∴2b﹣c＞0，c－a＜0，a﹣b＜0，∴原式＝2b﹣c＋2（c－a）＋3（b﹣a）＝2b﹣c＋2c﹣2a＋3b－3a＝－5a＋b＋c．15．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣|a﹣b|＋|c﹣a|＋|b＋c|．解：∵由数轴上a、b、c的位置可知，a＜b＜0＜c，∴a﹣b＜0，c﹣a＞0，b＋c＞0，∴原式＝﹣a﹣[﹣（a﹣b）]＋（c﹣a）＋（b＋c）＝﹣a＋a﹣b＋c﹣a＋b＋c＝﹣a＋2c．16．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a＋c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a|＋|b＋c|．解：根据数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，且|a|＜|b|＜|c|，∴a＋b＋c＜0，a﹣b﹣c＞0，b﹣a＜0，b＋c＜0，则原式＝﹣a﹣b﹣c﹣a＋b＋c＋b﹣a﹣b﹣c＝﹣3a﹣c．17．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a﹣b|＋3|c﹣a|﹣2|b﹣c|解：由数轴可知a＜0＜b＜c，所以2a﹣b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，则|2a﹣b|＋3|c﹣a|﹣2|b﹣c|，＝﹣（2a﹣b）＋3（c﹣a）＋2（b﹣c），＝﹣2a＋b＋3c﹣3a＋2b﹣2c，＝﹣5a＋3b＋c．18．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简|a﹣b|＋3|c﹣a|﹣|b ﹣c|．解：由数轴可得：a﹣b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，则|a﹣b|＋3|c﹣a|﹣|b﹣c|＝b﹣a＋3（c﹣a）﹣（c﹣b）＝b﹣a＋3c﹣3a﹣c＋b＝2b﹣4a＋2c．19．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：化简|a＋c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a|＋|b＋c|．解：根据图形可得，a＞0，b＜0，c＜0，且|a|＜|b|＜|c|，∴a＋c＜0，a﹣b﹣c＞0，b﹣a＜0，b＋c＜0，∴|a＋c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a|＋|b＋c|，＝﹣a﹣c﹣a＋b＋c＋b﹣a﹣b﹣c，＝﹣3a﹣c＋b．20．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简3|a﹣b|＋|a＋b|﹣|c﹣a|＋2|b﹣c|．解：结合数轴可得：a﹣b＜0，a＋b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，则3|a﹣b|＋|a＋b|﹣|c﹣a|＋2|b﹣c|＝﹣3（a﹣b）﹣（a＋b）﹣（c﹣a）﹣2（b﹣c）＝﹣3a＋3b﹣a﹣b﹣c＋a﹣2b＋2c＝﹣3a＋c．。
人教版七年级上册数学《绝对值》专题讲义(含答案)
绝对值1． 掌握绝对值的概念与化简 2． 绝对值的几何意义3． 分类讨论思想在绝对值中的应用模块一 绝对值的意义及其化简1. 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作a2. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3. 绝对值的性质：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩4. 绝对值其他的重要性质：①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥且a a ≥- ②若a b =，则a b =或a b =- ③a b a b ⋅=⋅，a ab b=（0b ≠） ④222a a a ==☞绝对值的意义【例1】 在数轴上表示数a 的点到原点的距离是13，那么a = 【难度】1星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】13a =±【巩固】绝对值等于2的数有 个，是 【难度】1星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】2个，2±例题精讲重难点【巩固】绝对值不大于7且大于4的整数有 个，是 【难度】2星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】6个，5±、6±、7±☞绝对值化简【例2】 计算：3π-= ，若23x -=，则x = 【难度】1星 【解析】绝对值化简 【答案】3π-，5x =或1-【巩固】若220x x -+-=，则x 的取值范围是 【难度】2星 【解析】绝对值化简 【答案】2x ≤【巩固】已知：①52a b ==，，且a b <；分别求a b ，的值 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵5a =，2b =∴5a =±，2b =±∵a b < ∴5a =-，2b =±【例3】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：如图所示，得0a b <<，01c <<∴0a b +<，10b -<，0a c -<，10c ->∴原式=()(1)()(1)a b b a c c -++-+---=11a b b a c c --+-+--+=2-【巩固】已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--= 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵ 0x z <<，0xy > ∴0y <∵y z x >> ∴y z x ->>- ∴0x z +>，0y z +<，0x y -> ∴原式=()()()0x z y z x y x z y z x y +-+--=+---+=【巩固】数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，化简a b b a b a a ++-+--【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：如图，得0a <，0b >，0a b +<，0b a ->∴原式=()()2a b b a b a a a b b a b a b -++-+-+=--+-++=【例4】 设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+- 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解： ∵0a a +=、0c c -= ∴a a =-，c c =∵a 、b 、c 为非零实数，∴0a <，0c > ∵ab ab = ∴0ab > ∴0b < ∴0a b +<，0c b ->，0a c -<∴原式=()()()()b a b c b a c -++----=b a b c b a c b -++-+-+=【巩固】已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++-- 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵a a =- ∴0a ≤ ∵0b < ∴20a b +<，230a -<∴原式=22(2)42(2)24323a b a b a b b a -++-++++-=242222a b a b a b -+++++=42a b+模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例5】 若42a b -=-+，则_______a b +=【难度】2星【解析】绝对值的非负性【答案】解：∵42a b -=-+ ∴420a b -++=∵40a -≥，20b +≥ ∴40a -=，20b += 则4a =，2b =-【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋ 【难度】2星【解析】绝对值的非负性 【答案】解：∵30m +≥，702n -≥，210p -≥ ∴30m +=，702n -=，210p -= 则3m =-，72n =，12p = ∴3232p n m ++=-【例6】 设a 、b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = 【难度】3星【解析】绝对值化简与非负性【答案】解：∵2(2)0a b -≥，10b +≥，且2(2)|1|1a b b b -++=+∴10b +≥ ∴2(2)11a b b b -++=+ 则2(2)0a b -= ∴2a b =∵30a b +-= ∴230b b +-= 则1b =，2a = ∴2ab =【巩固】已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______【难度】3星【解析】绝对值化简与非负性【答案】解：∵2()0a b +≥，50b +≥，且2()55a b b b +++=+∴50b +≥ ∴2()55a b b b +++=+ 则2()0a b += ∴a b =-∵210a b --= ∴210b b ---= ∴13b =-，13a = 则19ab =-模块三 零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例7】 阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-【难度】3星 【解析】零点分段法【答案】解：⑴令20x +=，40x -=，则2x =-，4x =⑵零点为2x =-，4x =，则可分三段进行讨论：2x <-，24x -≤<，4x ≥ ①当2x <-时，则20x +<，40x -<∴2(2)2x x x +=-+=--，4(4)4x x x -=--=-+ ∴原式=24x x ---+=22x -+②当24x -≤<时，则20x +≥，40x -< ∴22x x +=+，4(4)4x x x -=--=-+ ∴原式=24x x +-+=6③当4x ≥时，则20x +>，40x -≥ ∴22x x +=+，44x x -=- ∴原式=24x x ++-=22x -综上所述，当2x <-时，24x x ++-=22x -+当24x -≤<时，24x x ++-=6 当4x ≥时，24x x ++-=22x -【巩固】化简12m m m +-+-的值 【难度】3星 【解析】零点分段法【答案】解：令0m =，10m -=，20m -=，则零点为0m =，1m =，2m =则可分四段进行讨论：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥ ①当0m <时，10m -<，20m -<∴m m =-，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m --+-+=33m -+ ②当01m ≤<时，10m -<，20m -< ∴m m =，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m -+-+=3m -+ ③当12m ≤<时，10m -≥，20m -< ∴m m =，11m m -=-，22m m -=-+ ∴原式=12m m m +--+=1m + ④当2m ≥时，10m -≥，20m -≥ ∴m m =，11m m -=-，22m m -=- ∴原式=12m m m +-+-=33m -综上所述：当0m <时，12m m m +-+-=33m -+当01m ≤<时，12m m m +-+-=3m -+ 当12m ≤<时，12m m m +-+-=1m + 当2m ≥时，12m m m +-+-=33m -【巩固】化简：121x x --++.【难度】4星 【解析】零点分段法【答案】解：令10x -=，120x --=，10x +=，∴120x --=，则3x =或1x =-∴零点有1x =-，1x =，3x =∴分四段进行讨论1x <-，11x -≤<，13x ≤<，3x ≥ ①当1x <-时，则10x -<，10x +<，10x --> ∴11x x -=-+，11x x +=--，11x x --=--∴原式=121x x -+---=11x x ----=11x x ----=22x -- ②当11x -≤<时，则10x -<，10x +≥，10x --≤ ∴11x x -=-+，11x x +=+，11x x --=+∴原式=121x x -+-++=11x x --++=11x x +++=22x + ③当13x ≤<时，10x -≥，10x +>，30x -< ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=-+ ∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -+++=4 ④当3x ≥时，10x ->，10x +>，30x -≥ ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=-∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -++=22x -综上所述，当1x <-时，121x x --++=22x --当11x -≤<时，121x x --++=22x + 当13x ≤<时，121x x --++=4 当3x ≥时，121x x --++=22x -模块四 绝对值的几何意义的拓展1. a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．2. a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【例8】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离⑴ x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）；⑵ 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=， 则x = ．⑷ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则x = ．⑸ 当1x =-时，则22x x -++=【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：⑴x 、原点、=；⑵1；⑶x 、3、4或2；⑷x 、2-、4-或0；⑸设2-、2、x 在数轴代表的点为A 、B 、P ，如图P B A 112则2x PA +=，2x PB -=,∴224x x PA PB AB ++-=+==【例9】 已知m 是实数，求12m m m +-+-的最小值 【难度】4星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：令0m =，10m -=，20m -=，则零点有0m =，1m =，2m =设0、1、2、m 在数轴上分别用A 、B 、C 、P 表示,如图PC B A①当点P 在点A 左侧时，12m m m +-+-=PA PB PC ++=32PA AB BC ++=33PA + ∴当0PA =时，即点P 与点A 重合时，原式取得最小值为3 ∵点P 在点A 左侧 ∴原式3>PC B A②当点P 在线段AB 上时（不包含点B ），12m m m +-+-=PA PB PC ++=2PB AC PB +=+ ∴当0PB =时，原式取得最小值 ∵此时不包含点B ，∴原式2>P CB A③当点P 在线段BC 上时（不包含点C ），12m m m +-+-=PA PB PC ++=2PB AC PB +=+ ∴当0PB =时，即当点P 与点B 重合时，原式取得最小值，最小值为2PC B A④当点P 在点C 及点C 右侧时，12m m m +-+-=PA PB PC ++=32PC BC AB ++=33PC + ∴当0PC =时，即点P 与点C 重合时，原式取得最小值，最小值为3 综上所述，当点P 与点B 重合时，即1m =时，原式取得最小值为2【巩固】已知m 是实数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值 【难度】4星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：令20m -=，40m -=，60m -=，80m -=则零点有2m =，4m =，6m =，8m =设2、4、6、8、m 在数轴上分别用A 、B 、C 、D 、P ∴2468m m m m PA PB PC PD -+-+-+-=+++①当点P 在点A 左侧时，43241212PA PB PC PD PA AB BC CD PA +++=+++=+> ②当点P 在线段AB 上时，（不包含点B ），2288PA PB PC PD PB BC AD PB +++=++=+> ③当点P 在线段BC 上时（不包含点C ），8PA PB PC PD BC AD +++=+=④当点P 在线段CD 上时（不包含点D ），2288PA PB PC PD PC BC AD PC +++=++=+≥ 当点P 与点C 重合时，取等号⑤当点P 在点D 及点D 右侧时，43241212PA PB PC PD PD CD BC AB PD +++=+++=+≥ 综上所述，当点P 在线段BC 上时，即46m ≤≤时，原式取得最小值为8【例10】如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？城市【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：活动中心应该建在村庄C ，使各村到活动中心的路程之和最短【巩固】如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂1A ，2A ，…，7A 分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？F EDCBPA7A6A5A4A3A2A1【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：长途汽车站应该设在点D，如果在点P 又建了一个工厂，那么此时长途汽车站应该设在DE 之间1．4x-的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若42x-=，则x=．【难度】2星【解析】绝对值的几何意义【答案】x、4、2或62．化简：212x x x-++-【难度】4星【解析】零点分段法【答案】解：令10x-=，20x+=，0x=，∴零点为1x=、2x=-、0x=∴可分四段讨论：2x<-、20x-≤<、01x≤<、1x≥①当2x<-时，则10x-<，20x+<∴11x x-=-+，22x x+=--，x x=-∴原式=2(1)2()222x x x x x x-+----=-+--+=2x-②当20x-≤<时，则10x-<，20x+≥∴11x x-=-+，22x x+=+，x x=-∴原式=2(1)2()222x x x x x x-+++--=-++++=4课堂检测③当01x ≤<时，则10x -<，20x +> ∴11x x -=-+，22x x +=+，x x =∴原式=2(1)2222x x x x x x -+++-=-+++-24x =-+④当1x ≥时，10x -≥，20x +> ∴11x x -=-，22x x +=+，x x =∴原式=2(1)22222x x x x x x x -++-=-++-=综上所述，当2x <-时，212x x x -++-=2x -当20x -≤<时，212x x x -++-=4当01x ≤<时，212x x x -++-=24x =-+当1x ≥时，212x x x -++-=2x3． 化简124x x --+-【难度】4星【解析】零点分段法 【答案】解：令10x -=，40x -=，12x -=， ∴零点有1x =，4x =，3x =，1x =-则可以分五段来分类讨论：1x <-，11x -≤<，13x ≤<，34x ≤<，4x ≥ ①当1x <-时，10x -<，40x -<，10x --> ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=--∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x ---+=23x -+②当11x -≤<时，10x -<，40x -<，10x --≤ ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=+∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x +-+=5③当13x ≤<时，10x -≥，40x -<，30x -< ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-+∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x -+-+=27x -+④当34x ≤<时，10x ->，40x -<，30x -≥ ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x --+=1⑤当4x ≥时，10x ->，40x -≥，30x -> ∴11x x -=-，44x x -=-，33x x -=-∴原式=124x x --+-=34x x -+-=34x x -+-=27x -综上所述，当1x <-时，124x x --+-=23x -+ 当11x -≤<时，124x x --+-=5 当13x ≤<时，124x x --+-=27x -+当34x ≤<时，124x x --+-=1当4x ≥时，124x x --+-=27x -1．通过本堂课你学会了 ．2．掌握的不太好的部分 ．3．老师点评：① ．② ． ③ ．1． 化简：2121x x x -++--【难度】3星【解析】零点分段法 【答案】解：令210x -=，20x +=，10x -=， ∴零点有12x =，2x =-，1x = 则可分四段进行讨论：2x <-，122x -≤<，112x ≤<，1x ≥ ①当2x <-时，210x -<，20x +<，10x -<∴2121x x -=-+，22x x +=--，11x x -=-+∴原式=212(1)x x x -+----+=2121x x x -+--+-=22x --②当122x -≤<时，210x -<，20x +≥，10x -< ∴2121x x -=-+，22x x +=+，11x x -=-+∴原式=212(1)x x x -+++--+=2121x x x -++++-=2课后作业总结复习③当112x ≤<时，210x -≥，20x +>，10x -< ∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=-+ ∴原式=212(1)x x x -++--+=2121x x x -+++-=4x ④当1x ≥时，210x ->，20x +>，10x -≥ ∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=- ∴原式=212(1)x x x -++--=2121x x x -++-+=22x +综上所述，当2x <-时，2121x x x -++--=22x -- 当122x -≤<时，2121x x x -++--=2 当112x ≤<时，2121x x x -++--=4x 当1x ≥时，2121x x x -++--=22x +。
七年级数学上册-绝对值化简强化训练(含答案)
七年级数学上册——绝对值化简强化训练1.在数轴上有示a、b、c三个实数的点的位置如图所示，化简|b-a|+|c-a|-|c-b|。
解：由图可知c<0<a<b,故而b-a>0，c-a<0，c-b<0∴ |b-a|+|c-a|-|c-b|=(b-a)+(a-c)-(b-c)=b-a+a-c-b+c=02.已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|b-c|-|c-a|+|b-a|。
解：由图可知c<b<0<a,故而b-c>0，c-a<0，b-a<0∴ |b-c|-|c-a|+|b-a|=(b-c)-(a-c)+(a-b)=b-c-a+c+a-b=03.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a-b|+2|a+c|-|b-2c|。
解：由图可知c<a<0<b，故而a-b<0，a+c<0，b-2c>0∴ |a-b|+2|a+c|-|b-2c|=(b-a)+2[-(a+c)]-(b-2c)=b-a-2a-2c-b+2c =-3a4.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|b+a|-|b-c|+|a-c|。
解：由图可知c<a<0<b且|b|<|a|<|c|，故而b+a<0，b-c>0，a-c>0 ∴ |b+a|-|b-c|+|a-c|=-(b+a)-(b-c)+(a-c)=-b-a-b+c+a-c=2b5.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a-c|-|c-2b|+|a+c|-|a+b|。
解：由图可知c<a<0<b，故而a-c>0，c-2b<0，a+c<0，a+b>0∴ |a-c|-|c-2b|+|a+c|-|a+b|=(a-c)-(2b-c)+[-(a+c)]-(a+b)=-a-3b-c 6.若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|+|2a+b|-|c-b|。
人教版七年级数学上册《有理数绝对值化简运算》强化训练(含答案)
牢记方法规则：1．判断绝对值里面量的正负2. 去掉绝对值产生括号3. 去掉括号合并同类项第 1 天1.在数轴上有示a、b、c 三个实数的点的位置如图所示，化简|b﹣a|＋|c﹣a|﹣|c﹣b|．2.己知有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|b﹣c|﹣|c﹣a|＋|b﹣a|．3.有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|＋2|a＋c|﹣|b﹣2c|．4.有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|b＋a|﹣|b﹣c|＋|a﹣c|．5.有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c|﹣|c ﹣2b|＋|a＋c|﹣|a＋b|．第 2 天6.若有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a＋c |＋|2a＋b|﹣|c﹣b|．7.有理数a、b、c 的位置如图所示，化简|b|＋|a﹣c|＋|b﹣c|﹣|a﹣b|．8.有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简－|b|－|a﹣c|＋|b﹣c|＋|a﹣b|．9.有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简|c﹣1|＋|a﹣c|＋|a﹣b|．10.己知有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c|﹣|a＋b|﹣|b﹣c|＋|2b|．第 3 天11.有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简|c|﹣|c＋b|＋|a﹣c|＋|b＋a|．12.数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|﹣|b﹣c|﹣|a＋c|﹣|b|＋2|a|．13.己知有理数a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|b﹣c|＋2|c＋a|﹣3|a﹣b |．14.己知有理数a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|2b﹣c|－2|c－a|＋3|a﹣b|．15.己知有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣|a﹣b|＋|c﹣a|＋|b＋c|．第 4 天16.有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简：|a＋c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a|＋|b＋c|．17.己知有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简：|2a﹣b|＋3|c﹣a|﹣2|b﹣c|18.己知有理数a，b，c 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简|a﹣b|＋3|c﹣a|﹣|b﹣c|．19.有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示：化简|a＋c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a|＋|b＋c|．20.有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简3|a﹣b|＋|a＋b|﹣|c﹣a|＋2|b﹣c|．参考答案1.在数轴上有示a、b、c 三个实数的点的位置如图所示，化简|b﹣a|＋|c﹣a|﹣|c﹣b|．解：由数轴上点的位置可得：c＜0＜a＜b，∴b﹣a＞0，c﹣a＜0，c﹣b＜0，∴|b﹣a|＋|c﹣a|﹣|c﹣b|＝b﹣a＋a﹣c＋c﹣b＝0．2.己知有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|b﹣c|﹣|c﹣a|＋|b﹣a|．解：由图可得，c＜b＜0＜a，则|b﹣c|﹣|c﹣a|＋|b﹣a|＝b﹣c＋c﹣a﹣b＋a＝0．3.有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|＋2|a＋c|﹣|b﹣2c|．解：由数轴可知c＜a＜0＜b，且|a|＜|b|＜|c|，则a﹣b＜0、a＋c＜0、b﹣2c＞0，∴原式＝b﹣a﹣2（a＋c）﹣（b﹣2c）＝b﹣a﹣2a﹣2c﹣b＋2c＝﹣3a．4.有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|b＋a|﹣|b﹣c|＋|a﹣c|．解：根据题意得：c＜a＜0＜b，且|b|＜|a|＜|c |，∴b＋a＜0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，则原式＝﹣b﹣a﹣b＋c＋a﹣c＝﹣2b．5.有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c|﹣|c ﹣2b|＋|a＋c|﹣|a＋b|．解：∵由图可知，c＜a＜b，∴a﹣c＞0，c﹣2b＜0，a＋c＜0，a＋b＞0，∴原式＝（a﹣c）﹣（2b﹣c）﹣（a＋c）﹣（a＋b）＝a﹣c﹣2b＋c﹣a﹣c﹣a﹣b＝﹣a﹣3b﹣c．6.若有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a＋c |＋|2a＋b|﹣|c﹣b|．解：根据图示，可得c＜b＜0＜a，且a＜|c|，∴a＋c＜0，2a＋b＞0，c﹣b＜0，∴|a＋c|＋|2a＋b|﹣|c﹣b|＝﹣（a＋c）＋（2a＋b）＋（c﹣b）＝﹣a﹣c＋2a＋b＋c﹣b＝a．7．有理数a、b、c 的位置如图所示，化简|b|＋|a﹣c|＋|b﹣c|﹣|a﹣b|．解：由数轴可得：b＞0，a﹣c＜0，b﹣c＞0，a﹣b＜0，故：|b|＋|a﹣c|＋|b﹣c|﹣|a﹣b|＝b＋c﹣a＋b﹣c﹣（b﹣a）＝b．8．有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简－|b|－|a﹣c|＋|b﹣c|＋|a﹣b|．解：由数轴得，a＜c＜0＜b，∴b＞0，a﹣c＜0，b﹣c＞0，a﹣b＜0，∴ |b|＋|a﹣c|＋|b﹣c|＋|a﹣b|＝－b＋a﹣c＋b﹣c＋b﹣a＝b﹣2c．9．有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简|c﹣1|＋|a﹣c|＋|a﹣b|．解：根据数轴上点的位置得：﹣1＜c＜0＜a＜b，∴c﹣1＜0，a﹣c＞0，a﹣b＜0，则原式＝1﹣c＋a﹣c＋b﹣a＝1﹣2c＋b．10.己知有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c|﹣|a＋b|﹣|b﹣c|＋|2b|．解：根据数轴上点的位置得：b＜0＜a＜c，|c|＞|a|＞|b|，∴a﹣c＜0，a＋b＞0，b﹣c＜0，2b＜0原式＝c﹣a﹣（a＋b）﹣（c﹣b）＋（﹣2b）＝c﹣a﹣a﹣b﹣c＋b﹣2b＝﹣2a﹣2b．11.有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简|c|﹣|c＋b|＋|a﹣c|＋|b＋a|．解：∵由数轴上a、b、c 的位置可知，b＜c＜0＜a，c＋b＜0，a﹣c＞0，a＋b＜0，∴原式＝﹣c＋c＋b＋a﹣c﹣a﹣b＝﹣c．12.数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|﹣|b﹣c|﹣|a＋c|﹣|b|＋2|a|．解：∵由图可知c＜0＜a＜b，|c|＞b＞a，∴a﹣b＜0，b﹣c＞0，a＋c＜0，∴原式＝（b﹣a）﹣（b﹣c）﹣（﹣a﹣c）﹣b＋2a＝b﹣a﹣b＋c＋a＋c﹣b＋2a＝2a＋2c﹣b．13.己知有理数a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|b﹣c|＋2|c＋a|﹣3|a﹣b |．解：由图可知，c＜a＜0＜b，所以，b﹣c＞0，c＋a＜0，a﹣b＜0，所以，原式＝b﹣c﹣2（c＋a）﹣3（b﹣a）＝b﹣c﹣2c﹣2a﹣3b＋3a＝a﹣2b﹣3c．14.己知有理数a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|2b﹣c|－2|c－a|＋3|a﹣b|．解：∵由图可知，c＜a＜0＜b，∴2b﹣c＞0，c－a＜0，a﹣b＜0，∴原式＝2b﹣c＋2（c－a）＋3（b﹣a）＝2b﹣c＋2c﹣2a＋3b－3a＝－5a＋b＋c．15.己知有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣|a﹣b|＋|c﹣a|＋|b＋c|．解：∵由数轴上a、b、c 的位置可知，a＜b＜0＜c，∴a﹣b＜0，c﹣a＞0，b＋c＞0，∴原式＝﹣a﹣[﹣（a﹣b）] ＋（c﹣a）＋（b＋c）＝﹣a＋a﹣b＋c﹣a＋b＋c＝﹣a＋2c．16.有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简：|a＋c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a|＋|b＋c|．解：根据数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，且|a|＜|b|＜|c|，∴a＋b＋c＜0，a﹣b﹣c＞0，b﹣a＜0，b＋c＜0，则原式＝﹣a﹣b﹣c﹣a＋b＋c＋b﹣a﹣b﹣c＝﹣3a﹣c．17.己知有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简：|2a﹣b|＋3|c﹣a|﹣2|b﹣c|解：由数轴可知a＜0＜b＜c，所以2a﹣b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，则|2a﹣b|＋3|c﹣a|﹣2|b﹣c|，＝﹣（2a﹣b）＋3（c﹣a）＋2（b﹣c），＝﹣2a＋b＋3c﹣3a＋2b﹣2c，＝﹣5a＋3b＋c．18.己知有理数a，b，c 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简|a﹣b|＋3|c﹣a|﹣|b﹣c|．解：由数轴可得：a﹣b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，则|a﹣b|＋3|c﹣a|﹣|b﹣c|＝b﹣a＋3（c﹣a）﹣（c﹣b）＝b﹣a＋3c﹣3a﹣c＋b＝2b﹣4a＋2c．19.有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示：化简|a＋c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a|＋|b＋c|．解：根据图形可得，a＞0，b＜0，c＜0，且|a|＜|b|＜|c|，∴a＋c＜0，a﹣b﹣c＞0，b﹣a＜0，b＋c＜0，∴|a＋c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a|＋|b＋c |，＝﹣a﹣c﹣a＋b＋c＋b﹣a﹣b﹣c，＝﹣3a﹣c＋b．20.有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简3|a﹣b|＋|a＋b|﹣|c﹣a|＋2|b﹣c|．解：结合数轴可得：a﹣b＜0，a＋b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，则3|a﹣b|＋|a＋b|﹣|c﹣a|＋2|b﹣c|＝﹣3（a﹣b）﹣（a＋b）﹣（c﹣a）﹣2（b﹣c）＝﹣3a＋3b﹣a﹣b﹣c＋a﹣2b＋2c＝﹣3a＋c．。
人教版七年级数学上册第2章 绝对值的化简 专题训练(含答案)
人教版七年级上册第二章整式的加减绝对值的化简专题训练1．若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简：|a＋c|－|a－b|－|c－b|的结果为( ) A．0 B．－2a C．－2b D．－2c2．如果|x－4|与(y＋3)2互为相反数，则2x－(－2y＋x)的值是( )A．－2 B．10 C．7 D．63. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|a－b|＋a的结果为( )A．b B．－b C．－2a－b D．2a－b4．已知有理数a＜0，b＞0，化简：|2a－b|＋|b－a|.5．若x，y为非零有理数，且x＝|y|，y＜0，化简：|y|＋|－2y|－|3y－2x|.6．有理数a，b，c在数轴上的位置如图，(1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：c－b____0，a＋b____0，a－c____0；(2)化简：|c－b|＋|a＋b|－|a－c|.7．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：|a－c|－|b|－|b－a|＋|b＋a|.8. 已知a，b，c，d为有理数，若a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，且|c|＝|d|－7，先化简下式并求其值：|c－a－b|－|a＋c－d|－|c－b|.9．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示．解答下列各题：(1)判断下列各式的符号：(填“＞”或“＜”)a－b____0，b－c____0，c－a____0，b＋c____0；(2)化简：|a－b|＋|b－c|－|c－a|＋|b＋c|. 10．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|b－c|＋2|c＋a|－3|a－b|. 11．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋c|－|a－b|＋|b＋c|－|b|.12．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简式子3|a－b|＋|a＋b|－|c－a|＋2|b－c|. 13．若有理数m，n在数轴上的位置如图所示，请化简|m＋n|＋|m－n|－|n|.14．在数轴上表示有理数a，b，c的点的位置如图所示，求式子|a|－|a＋b|＋|c－a|＋|b－c|化简后的结果．15．有理数a，－b在数轴上的位置如图所示，试化简|1－3b|－2|2＋b|＋|2－3a|.16．已知a ，b ，c 在数轴上对应的点如图：(1)化简|b －c|－|b ＋c|＋|a －c|－|a ＋c|－|a ＋b|；(2)若|a|＝3，b 2＝1，c 的倒数为－12，求(1)的值．参考答案1. D2. A3. A4. 解：因为a ＜0，b ＞0，所以2a －b ＜0，b －a ＞0，原式＝－(2a －b)＋(b －a)＝－2a ＋b ＋b －a ＝－3a ＋2b5. 解：因为x ＝|y|且y ＜0，所以x ＞0，－2y ＞0，3y －2x ＜0，原式＝－y ＋(－2y)－(－3y ＋2x)＝－2x6. 解：(1) ＞，＜，＜(2)原式＝c －b ＋[－(a ＋b)]－[－(a －c)]＝c －b －a －b ＋a －c ＝－2b7. 解：因为a －c ＜0，b ＞0，b －a ＞0，a ＋b ＜0，所以原式＝c －a －b －b ＋a －b －a ＝－a －3b ＋c8. 解：由数轴知c －a －b ＞0，a ＋c －d ＜0，c －b ＞0.原式＝(c －a －b)－[－(a ＋c －d)]－(c －b)＝c －a －b ＋a ＋c －d －c ＋b ＝c －d.因为|c|＝|d|－7，所以c ＝d －7，所以原式＝c －d ＝－79. 解：(1)＞，＞，＜，＜(2)原式＝(a －b)＋(b －c)＋(c －a)－(b ＋c)＝a －b ＋b －c ＋c －a －b －c ＝－b －c10. 解：由图可知，c ＜a ＜0＜b ，所以b －c ＞0，c ＋a ＜0，a －b ＜0，原式＝b －c －2(c ＋a)－3(b －a)＝b －c －2c －2a －3b ＋3a ＝a －2b －3c11. 解：由图可知：a ＋c ＜0，a －b ＞0，b ＋c ＜0，b ＜0，原式＝－(a ＋c)－(a －b)－(b ＋c)＋b ＝－a －c －a ＋b －b －c ＋b ＝－2a ＋b －2c12. 解：由图可知c ＞0，a ＜b ＜0，则a －b ＜0，a ＋b ＜0，c －a ＞0，b －c ＜0，原式＝－3(a －b)－(a ＋b)－(c －a)－2(b －c)＝－3a ＋3b －a －b －c ＋a －2b ＋2c ＝－3a ＋c13. 解：由图可知：m ＜－1＜0＜n ＜1，则m ＋n ＜0，m －n ＜0，n ＞0，|m ＋n|＋|m －n|－|n|＝－(m ＋n)－(m －n)－n ＝－m －n －m ＋n －n ＝－2m －n14. 解：由数轴可知a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴a ＋b ＜0，c －a ＞0，b －c ＜0，∴原式＝－a－[－(a＋b)]＋(c－a)＋[－(b－c)]＝－a＋a＋b＋c－a－b＋c＝2c－a15. 解：原式＝3b－1－2(2＋b)＋3a－2＝3b－1－4－2b＋3a－2＝3a＋b－716. 解：(1)由数轴可知a<c<0<b，且|a|>|c|>|b|，则原式＝(b－c)－[－(b＋c)]＋[－(a－c)]－[－(a＋c)]－[－(a＋b)]＝b－c＋b＋c－a＋c＋a＋c＋a＋b＝a＋3b＋2c(2)由已知结合数轴可知a＝－3，b＝1，c＝－2，则a＋3b＋2c＝－3＋3×1＋2×(－2)＝－4。
人教版数学七年级上册专项练习：绝对值的化简
绝对值的化简1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋c|－|a－b|＋|b＋c|－|b|.2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简式子3|a－b|＋|a＋b|－|c－a|＋2|b－c|. 3．若有理数m，n在数轴上的位置如图所示，请化简|m＋n|＋|m－n|－|n|.4．在数轴上表示有理数a，b，c的点的位置如图所示，求式子|a|－|a＋b|＋|c－a|＋|b－c|化简后的结果．5．有理数a ，－b 在数轴上的位置如图所示，试化简|1－3b|－2|2＋b|＋|2－3a|.6．已知a ，b ，c 在数轴上对应的点如图：(1)化简|b －c|－|b ＋c|＋|a －c|－|a ＋c|－|a ＋b|；(2)若|a|＝3，b 2＝1，c 的倒数为－12，求(1)的值．7．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：|a－c|－|b|－|b－a|＋|b＋a|.8. 已知a，b，c，d为有理数，若a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，且|c|＝|d|－7，先化简下式并求其值：|c－a－b|－|a＋c－d|－|c－b|.9．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示．解答下列各题：(1)判断下列各式的符号：(填“＞”或“＜”)a－b____0，b－c____0，c－a____0，b＋c____0；(2)化简：|a－b|＋|b－c|－|c－a|＋|b＋c|.10．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|b－c|＋2|c＋a|－3|a－b|.11．若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简：|a＋c|－|a－b|－|c－b|的结果为( ) A．0 B．－2aC．－2b D．－2c12．如果|x－4|与(y＋3)2互为相反数，则2x－(－2y＋x)的值是( )A．－2 B．10C．7 D．613. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|a－b|＋a的结果为( )A．b B．－bC．－2a－b D．2a－b14．已知有理数a＜0，b＞0，化简：|2a－b|＋|b－a|.15．若x，y为非零有理数，且x＝|y|，y＜0，化简：|y|＋|－2y|－|3y－2x|.16．有理数a，b，c在数轴上的位置如图，(1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：c－b____0，a＋b____0，a－c____0；(2)化简：|c－b|＋|a＋b|－|a－c|.参考答案1. 解：由图可知：a＋c＜0，a－b＞0，b＋c＜0，b＜0，原式＝－(a＋c)－(a－b)－(b＋c)＋b＝－a－c－a＋b－b－c＋b＝－2a＋b－2c2. 解：由图可知c＞0，a＜b＜0，则a－b＜0，a＋b＜0，c－a＞0，b－c＜0，原式＝－3(a－b)－(a＋b)－(c－a)－2(b－c)＝－3a＋3b－a－b－c＋a－2b＋2c＝－3a＋c3. 解：由图可知：m＜－1＜0＜n＜1，则m＋n＜0，m－n＜0，n＞0，|m＋n|＋|m－n|－|n|＝－(m＋n)－(m－n)－n＝－m－n－m＋n－n＝－2m－n4. 解：由数轴可知a＜0，b＜0，c＞0，∴a＋b＜0，c－a＞0，b－c＜0，∴原式＝－a－[－(a＋b)]＋(c－a)＋[－(b－c)]＝－a＋a＋b＋c－a－b＋c＝2c－a5. 解：原式＝3b－1－2(2＋b)＋3a－2＝3b－1－4－2b＋3a－2＝3a＋b－76. 解：(1)由数轴可知a<c<0<b，且|a|>|c|>|b|，则原式＝(b－c)－[－(b＋c)]＋[－(a－c)]－[－(a＋c)]－[－(a＋b)]＝b－c＋b＋c－a＋c＋a＋c＋a＋b＝a＋3b＋2c(2)由已知结合数轴可知a＝－3，b＝1，c＝－2，则a＋3b＋2c＝－3＋3×1＋2×(－2)＝－47. 解：因为a－c＜0，b＞0，b－a＞0，a＋b＜0，所以原式＝c－a－b－b＋a－b－a＝－a－3b＋c8. 解：由数轴知c－a－b＞0，a＋c－d＜0，c－b＞0.原式＝(c－a－b)－[－(a＋c－d)]－(c－b)＝c－a－b＋a＋c－d－c＋b＝c－d.因为|c|＝|d|－7，所以c＝d－7，所以原式＝c－d＝－79. 解：(1)＞，＞，＜，＜(2)原式＝(a－b)＋(b－c)＋(c－a)－(b＋c)＝a－b＋b－c＋c－a－b－c＝－b－c10. 解：由图可知，c＜a＜0＜b，所以b－c＞0，c＋a＜0，a－b＜0，原式＝b－c－2(c＋a)－3(b－a)＝b－c－2c－2a－3b＋3a＝a－2b－3c11. D12. A13. A14. 解：因为a＜0，b＞0，所以2a－b＜0，b－a＞0，原式＝－(2a－b)＋(b－a)＝－2a＋b＋b－a＝－3a＋2b15. 解：因为x＝|y|且y＜0，所以x＞0，－2y＞0，3y－2x＜0，原式＝－y＋(－2y)－(－3y＋2x)＝－2x16. 解：(1) ＞，＜，＜(2)原式＝c－b＋[－(a＋b)]－[－(a－c)]＝c－b－a－b＋a－c＝－2b。
【常考压轴题】2023学年七年级数学上册(人教版) 绝对值的三种化简方法(原卷版)
绝对值的三种化简方法绝对值版块的内容在我们这学期比重较大，尤其是绝对值的化简。
并且，在压轴题中，常见的题型是利用数轴化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值，本专题就这两块难点详细做出分析。
【知识点梳理】 1.绝对值的定义一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a | 2.绝对值的意义①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0； ②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
3.绝对值的化简：类型一、利用数轴化简绝对值例1．有理数a 、b 、c 在数轴上位置如图，则a c a b b c --++-的值为（ ）．A ．2aB ．222a b c +-C ．0D ．2c -例2．有理数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式11a b a b ab a b-++--+的值是( )A ．-1B ．1C ．3D ．-3【变式训练1】已知，数a 、b 、c 的大小关系如图所示：化简||||2||3||a c b a a c b c +----+-=____．【变式训练2】有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图．(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（1）判断正负，用“>”或“<”填空：b c - 0，a b + 0，a c -+ 0． （2）化简：||||c|b c a b a -+++-+∣【变式训练3】有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示：（1）填空：b a -______0；1b -______0；1a +______0；（填“＜”、“＞”或“＝”） （2）化简：11b a b a ---++【变式训练4】有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：(1)用“＞”或“＜”填空a _____0，b _____0，c ﹣b ______0，ab_____0． (2)化简：|a |+|b +c |﹣|c ﹣a |．类型二、利用几何意义化简绝对值例1.同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索 （1）求|5-（-2）|=________；（2）同样道理|x +1008|=|x -1005|表示数轴上有理数x 所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，则x =________；（3）类似的|x +5|+|x -2|表示数轴上有理数x 所对点到-5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x ，使得|x +5|+|x -2|=7，这样的整数是__________．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x ，|x -3|+|x -6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【变式训练1】阅读下面的材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为∣AB ∣，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，∣AB ∣＝∣OB ∣=∣b ∣=∣a -b ∣；当A 、B 两点都不在原点时：①如图2，点A 、B 都在原点的右边： ∣AB ∣=∣OB ∣-∣OA ∣=∣b ∣-∣a ∣=b -a =∣a -b ∣； ②如图3，点A 、B 都在原点的左边： ∣AB ∣=∣OB ∣-∣OA ∣=∣b ∣-∣a ∣=-b -（-a ）=∣a -b ∣； ③如图4，点A 、B 在原点的两边：∣AB ∣=∣OA ∣+∣OB ∣=∣a ∣+∣b ∣=a +（-b ）=∣a -b ∣， 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离∣AB ∣=∣a -b ∣． 回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；(2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是________，如果∣AB ∣=2， 那么x 为__________．(3)当代数式∣x +1∣+∣x -2∣取最小值时，相应的x 的取值范围是__________．【变式训练2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离可以表示为|m ﹣n |．那么，数轴上表示数x 与5两点之间的距离可以表示为 ，表示数y 与﹣1两点之间的距离可以表示为 ．（2）如果表示数a 和﹣2的两点之间的距离是3，那么a ＝ ；若数轴上表示数a 的点位于﹣4与2之间，求|a +4|+|a ﹣2|的值；（3）当a ＝ 时，|a +5|+|a ﹣1|+|a ﹣4|的值最小，最小值是 ． 【变式训练3】（问题提出）1232021a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最小值是多少？（阅读理解）为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．a 的几何意义是a 这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么1a -可以看作a 这个数在数轴上对应的点到1的距离；12-+-a a 就可以看作a 这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究12-+-a a 的最小值．我们先看a 表示的点可能的3种情况，如图所示：（1）如图①，a 在1的左边，从图中很明显可以看出a 到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a 在1，2之间（包括在1，2上），看出a 到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a 在2的右边，从图中很明显可以看出a 到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a 在1，2之间（包括在1，2上）时，12-+-a a 有最小值1． （问题解决）（1）47a a -+-的几何意义是 ，请你结合数轴探究：47a a -+-的最小值是 ．（2）请你结合图④探究123a a a -+-+-的最小值是 ，由此可以得出a 为 ．（3）12345a a a a a -+-+-+-+-的最小值为 ． （4）1232021a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最小值为 ．（拓展应用）如图，已知a 使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a 的取值范围是 ．类型三、分类讨论法化简绝对值 例1.化简：214x x x --++-.【变式训练1】若0,0a b c abc ++<>，则23a ab abc a ab abc++的值为_________．【变式训练2】（1）数学小组遇到这样一个问题：若a ，b 均不为零，求a bx a b=+的值． 请补充以下解答过程（直接填空）①当两个字母a ，b 中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a ，b 中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a ，b 中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a ，b 均不为零，求x 的值为 ． （2）请仿照解答过程完成下列问题： ①若a ，b ，c 均不为零，求a b cx a b c=+-的值． ②若a ，b ，c 均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式b c a c a ba b c+++++的值．。
数学人教新版七年级上册秋：1.2.4《绝对值》四维训练及答案(版)
数学人教新版七年级上册实用资料1.2.4绝对值知识点一:绝对值1.如果一个有理数的绝对值等于它本身,那么这个数一定是(C)A.负数B.负数或零C.正数或零D.正数2.绝对值是10的有理数是(C)A.10B.-10C.±10D.以上都对知识点二:有理数的大小比较3.下列各式中,正确的是(C)A.-|16|>0B.|0.2|>|-0.2|C.->-D.|-6|<04.导学号19054015如图,数轴上A,B两点分别对应实数a,b,则a,b的大小关系为a<b(或b>a).5.比较下列有理数的大小:(1)-和-20;(2)-和-.解(1)∵,|-20|=20,<20,∴->-20.(2)∵,,∴-<-.拓展点一:字母表示的数的绝对值1.若|a|=|b|,则a,b的关系是(C)A.a=bB.a=-bC.a=b或a=-bD.a=0且b=0拓展点二:利用绝对值解决实际问题2.某汽车配件厂生产一批圆形的橡胶垫,从中抽取6件进行检验,比标准直径长的毫米数记作正数,比标准直径短的毫米数记作负数,第一个第二个第三个第四个第五个第六个+0.5-0.3+0.15-0.100.2用绝对值的知识说明哪个零件的质量最好.解因为|+0.5|>|-0.3|>|0.2|>|+0.15|>|-0.1|>|0|,所以第五个零件的质量最好.1.(2016·四川宜宾中考)-5的绝对值是(B)A. B.5 C.- D.-52.(2016·四川德阳中考)|-2|=(A)A.2B.-2C.±2D.3.(2016·湖南娄底中考)已知点M,N,P,Q在数轴上的位置如图所示,则其中表示的数的绝对值最大的点是(D)A.MB.NC.PD.Q4.一个数的绝对值是5,则这个数是(A)A.±5B.5C.-5D.255.(2016·江苏南京中考)数轴上点A,B表示的数分别是5,-3,则它们之间的距离可以表示为(D)A.-3+5B.-3-5C.|-3+5|D.|-3-5|6.导学号19054016(2016·河北中考)点A,B在数轴上的位置如图所示,其表示的数分别是a 和b.有以下结论:①b-a<0;②a+b>0;③|a|<|b|;④>0.其中正确的是(C)A.①②B.③④C.①③D.②④7.(2016·山东新泰市模拟)若x为实数,则|x|-x的值一定是(C)A.正数B.非正数C.非负数D.负数8.(2016·四川成都中考)已知|a+2|=0,则a=-2.9.(2016·四川巴中中考)|-0.3|的相反数等于-0.3.10.(2015·广东英德市校级月考)计算:(1)|-5|+|-10|-|-9|;(2)|-3|×|-6|-|-7|×|+2|.解(1)原式=5+10-9=6.(2)原式=3×6-7×2=18-14=4.11.(2016·四川自贡模拟)若|a|=5,|b|=1,求a和b的值.解因为|a|=5,|b|=1,所以a=±5,b=±1.12.导学号19054017如图,若A是实数a在数轴上对应的点,则对于a,-a,1的大小关系表示正确的是(A)A.a<1<-aB.a<-a<1C.1<-a<aD.-a<a<113.导学号19054018有理数a,b,c在数轴上对应的点分别为A,B,C,其位置如图所示.试化简|a|+|b|+|c|.解根据题意得a>0,c>0,b<0,则|a|+|b|+|c|=a-b+c.。
人教版七年级上册数学数轴与绝对值化简训练
人教版七年级上册数学数轴与绝对值化简训练1．有理数a，b，c在数轴上的对应点位置如图：（1）用“＜”连接0，a，b，c四个数；（2）化简：|a+b|+|b﹣c|﹣|a+c|﹣|a﹣b|2．a、b、c三个数在数轴上位置如图所示，且|a|＝|b|（1）求出a、b、c各数的绝对值；（2）比较a，﹣a、﹣c的大小；（3）化简|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：c﹣b0，a﹣b0，c﹣a0．（2）化简：|c﹣b|+|a﹣b|﹣|c﹣a|．4．a、b两数在数轴上对应点的位置如图所示．（1）在数轴上标出﹣a，﹣b对应的点，并将a，b，﹣a，﹣b用“＜”连接起来．（2）化简|﹣a+1|﹣|b﹣2|+2|a﹣b|5．有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，且|a|＝|c|．（1）用“＜”连接这四个数：0，a，b，c；（2）化简：|a+b|﹣2|a|﹣|b+c|．6．有理数a、b在数轴上的对应点位置如图所示（1）用“＜”连接0、﹣a、﹣b、﹣1（2）化简：|a|﹣2|a+b﹣1|﹣|b﹣a﹣1|（3）若c•（a2+1）＜0，且c+b＞0，求的值．7．（1）在数轴上分别画出表示下列3个数的点：﹣（﹣4），﹣|﹣3.5|，+（﹣），（2）有理数x，y在数轴上对应点如图所示：①试把x，y，0，﹣x，|y|这五个数从小到大用“＜”号连接；②化简：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|．8．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示．（1）在数轴上标出﹣a，﹣b的位置，并比较a，b，﹣a，﹣b的大小；（2）化简|a+b|﹣|a﹣b|9．（1）在数轴上分别画出表示下列3个数的点：﹣（﹣4），﹣|﹣3.5|，+（﹣）．（2）有理数x，y在数轴上对应点如图所示：①在数轴上表示﹣x，|y|；②试把x，y，0，﹣x，|y|这五个数从小到大用“＜”号连接．③化简：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|．10．有理数a、b、在数轴上的位置如图所示．（1）用“＞”或“＜”填空：a+b0，c﹣b0；（2）化简：|a+b|+|c|﹣|c﹣b|．。
第 11 讲 变化多端的绝对值化简问题 训练 2024-2025学年人教版七年级数学上册
第11 讲变化多端的绝对值化简问题专题1 绝对值化简(1)——结合x 的取值范围去绝对值变式1.(1)已知1<x<4,化简|4-x|+|1-x|; (2)已知|a|=-a,化简|a-1|--|a-2|.变式2.(1)如果x<-2,化简|1--|1+x||;(2)若-2<x<0,化简|-x|+|x+2|+|x-2|.题型二讨论字母的取值范围去绝对值【典例2】化简:|x+1|+|x-4|.变式.化简:|x-2|+|x+3|.专题2 绝对值化简(2)——分类讨论(1)变式1.已知|x+1|=3,|y|=2,且|x+y|+x+y=0,求x-y的值.变式2.已知a,b,c为整数,且| |a−b|⁹⁹+|c−a|⁹⁹=1,,求|c-a|+|a-b|+|b-c|的值.题型二整体代换求值【典例3】已知|a+b+c|=a-b+c(b≠0),,求|a-b+c+3|-|b-1|的值.变式.已知有理数a，b满足ab<0,|a+b|=-a-b,4a+b-3=|b-a|,求34a+12b的值.专题3 绝对值化简(3)——分类讨论(2)〈零点分段法〉题型一运用零点分段化简【典例1】化简：|x−1|+|x+1|.变式.化简:|x+5|+|2x-3|.题型二运用零点分段解绝对值方程【典例2】|x-1|+|x-3|=6.变式1.已知| |x+4|+|x−2|=10,,求x 的值.变式2.|x+4|+|x-2|=6,求x 的取值范围.变式3.若|x+4|+|x-2|+|x-4|=20,求x的值.题型三运用零点分段求最值变式4.求|x-1|+|x+3|的最小值.专题4 绝对值化简(4)----结合数轴去绝对值题型一 由字母正负去绝对值变式1.已知a ，0，1，b 四个数在数轴上如图所示，其中|a|=|b|.化简： |a +b|+|a b |+|a +1|.变式2.如图,a,b,c 对应的数如图所示,|a|═|c|.(1)确定符号 :a +c 0;a −c 0;a +b 0,b +c 0;(2)化简:|a+c|-|a -c|+|a+b|-|a -b|+|b+c|.变式3.已知 ab <0,a c >0,且|a|>|b|>|c|,数轴上a,b,c 对应的点是A,B,C,若 |a|=−a. (1)在数轴上标出a,b,c 的位置;(2)化简:|a -b|-|b -c|+|a+c|.变式4.已知，a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示.(1) 在数轴上标出-a,-b,-c 的位置,并用“<”号将a,b,c,-a,-b,-c 连接起来;(2) 化简:| |a +1|+|c −b|−|b −1|+|c−2a|(3)若a+b+c=0,且b 与-1的距离和c 与-1的距离相等,求2(b+2c)-a(a -1)-(c -b).专题5 绝对值化简(5)——去括号题型一两数相加型【典例1】有理数a,b,c在数轴上的位置如图,化简:|a+c|-|a-b|-|c+b|.解:a+c>0,a-b>0,b+c>0.∴|a+c|=a+c,|a-b|=a-b,|b+c|=b+c∴原式=a+c-(a-b)-(b+c)=0.变式1.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简:|a-c|--|a-b|+|b-c|.变式2.已知a,b,c,d在数轴上的位置如下图,且|c|<|b|<|a|<|d|.(1)比较大小:-b c,d-a c-b;(2)化简:|a-c|-|-a-b|+|d-c|.题型二三数相加型【典例2】已知a,b在数轴上的位置如下图,化简:|a|-2|a+b-1|-3|b-a-1|.变式.已知a,b在数轴上的位置如图所示,若|a|═|c|,化简:|a+b+c+1|+|b-2|.专题6 绝对值化简(6)——由理解到熟练题型一理解|a|=a(a≥0),|a|=−a(a≤0)【典例1】已知，a，b，c在数轴上的位置如图.(1)填空: |a|=_____,|b|=_____________,|c|=______.(2)化简:| |a+1|−|c−b|−|b−1|.解：原式=a+1+c−b−1+b=a+c.变式.已知a，b，c在数轴上的位置如图.(1 )|a+c|=______,|a+b|=_________,|a−b|=_____,|a−c|=;(2)|a+b|−|c−b|=_______.题型二理解有理数的加减法则，确定正负然后去绝对值【典例2】有理数a,b,c在数轴上的位置如图,化简:|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|.变式1. a,b,c 在数轴上的位置如图,化简|c-a|+|b-c|-|b-a|-|2a|.变式2.已知有理数a，b，c，且满足：a+c<0,b+c>0.(1)试化简: |a+c|+|b+c|−|a−b|;=−1,相邻两点之间的距离为2，求(a+c)ᵇ.(2)有理数a,b,c 在数轴上分别对应点A,B,C,若ab专题7 绝对值化简(7)——分类讨论题型一不知绝对值内部正负，分类讨论题型二注意分类讨论,|x|=a,则x=a或-a变式2.如果有理数x,y满足x+3y+|3x-y|=19,2x+y=6,求xy的值.【典例2】已知有理数a，b满足ab<0,|a+b|=a+b,5a+2b+1=−|b−a|,求(2a+32b+12)(a−b)的值.题型三结合数轴求绝对值型最值变式.有理数a，b，c 满足a<0<b<c,求代数式|x−a+b3|+|x−a+c2|+|x+c−a2|的最小值.。
七年级数学上册绝对值练习与答案
1．a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则七年级数学上册绝对值练习：（1）用“＜、＞、＝”填空：a 0，b 0，c 0；（2）用“＜、＞、＝”填空：﹣a 0，a ﹣b 0，c ﹣a 0；（3）化简：|﹣a |﹣|a ﹣b |+|c ﹣a |2．附加题：（1）已知|a ﹣2|+|b +6|＝0，则a +b ＝（2）求|﹣1|+|﹣|+…+|﹣|+|﹣|的值．3．若|a |＝1，|b |＝2，|c |＝4，且|a +b ﹣c |＝a +b ﹣c ，求a +b +c 的值．4．若a 、b 、c 为整数，且|a ﹣b |19+|c ﹣a |2010＝1，求|a ﹣b |+|b ﹣c |+|c ﹣a |．☆绝对值的化简——基础计算5．我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a |的值时，就会对a 进行分类讨论，当a ≥0时，|a |＝a ；当a ＜0时，|a |＝﹣a ．现在请你利用这一思想解决下列问题：（1）＝．＝（2）＝（a ≠0），＝（其中a ＞0，b ≠0）（3）若abc ≠0，试求的所有可能的值．6．已知a ，b ，c 都不等于零，且++﹣的最大值是m ，最小值为n ，求的值．7．有理数a ，b ，c 均不为0，且a +b +c ＝0．设，试求代数式x 19+99x +2000之值．☆绝对值的化简——类型8．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，|m|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时，可令m+1＝0和m﹣2＝0，分别求得m＝﹣1，m＝2（称﹣1，2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值m＝﹣1和m＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①m＜﹣1；②﹣1≤m＜2；③m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况：（1）当m＜﹣1时，原式＝﹣（m+1）﹣（m﹣2）＝﹣2m+1；（2）当﹣1≤m＜2时，原式＝m+1﹣（m﹣2）＝3；（3）当m≥2时，原式＝m+1+m﹣2＝2m﹣1．综上讨论，原式＝通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值；（2）化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|；（3）求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值．☆绝对值的化简——零点分段法我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x ＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．化简代数式|x+5|+|2x﹣3|的关键在于去掉两个绝对值符号，我们知道，只去掉一个绝对值符号很容易，如|x+5|，只要考虑x+5的正负，可以分为x＜﹣5与x≥﹣5两种情况来讨论，这里的x＝﹣5是使x+5＝0的x值，我们称它为x+5的一个零点．同理，对于2x﹣3，也有一个零点x ＝．为了同时去掉两个绝对值符号我们可以将x的取值范围分成三段，即x＜﹣5，﹣5≤x ＜，x ≥进行讨论，这种令各个绝对值内的代数式为0，找出零点，确定讨论范围的方法称为“零点分段法”．（1）填空：|x+5|+|2x﹣3|＝（2）代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有哪些？（3）化简||x﹣1|﹣2|+|x+1|．11．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．（3）如果|x﹣2|＝5，则x＝．（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．☆绝对值求最值12．我们知道，|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离我们可以把|x|看作|x﹣0|，所以，|x﹣3|就表示x在数轴上对应的点到3的距离，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在数轴上对应的点到﹣1的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下列问题：（1）求|x﹣4|+|x+2|的最小值，并写出此时x的取值情况；（2）求|x﹣3|+|x+2|+|x+6|的最小值，并写出此时x的取值情况；（3）已知|x﹣1|+|x+2|+|y﹣3|+|y+4|＝10，求2x+y的最大值和最小值．13．已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求2016x+2017y+2018z的最大值和最小值14．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和10两点之间的距离是，数轴上表示2和﹣10的两点之间的距离是．（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为．（3）若x表示一个有理数，|x﹣1|+|x+2|有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，写出理由．（4）若x表示一个有理数，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+…+|x﹣2014|+|x﹣2015|的最小值．15．同学们，我们在《有理数》中学过：数轴上表示数a的点与原点的距离记作|a|．一般地，|a﹣b|表示数轴上数a的点与数b的点的距离．（1）|x﹣1|表示；（2）数轴上是否存在数x，使|x﹣1|+2|x﹣2|+|x﹣4|的值最小？若存在，请求出最小值及x的值；若不存在，请说明理由；（3）若|x﹣1|+2|x﹣2|的值为8，求x的值．☆绝对值与动点16．已知a是最大的负整数，b是﹣5的相反数，c＝﹣|﹣2|，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．（2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？（3）在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M 对应的数，若不存在，请说明理由．．17．如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：（1）若C、B两点的距离与A、B两点距离相等，则需将点C向左移动个单位；（2）若移动A、B、C三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有种，其中移动所走的距离之和最小的是个单位；（3）若在B处有一小青蛙，一步跳一个单位长，小青蛙第一次先向左跳一步，第2次向右跳2步，第3次向再向左跳3步，第4次再向右跳4步…，按此规律继续下去，那么跳第100次时落脚点表示的数是；（4）若有两只小青蛙M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为整数x、y，且|x﹣2|+|y+3|＝2，那么两只青蛙M、N之间的距离为．18．已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝；（2）当x＝时，点P到点A、点B的距离之和是6；（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是；（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动秒时，点P 到点E，点F的距离相等．一．解答题（共18小题）1．a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则七年级数学上册绝对值练习答案：（1）用“＜、＞、＝”填空：a ＜0，b ＜0，c ＞0；（2）用“＜、＞、＝”填空：﹣a ＞0，a ﹣b ＜0，c ﹣a ＞0；（3）化简：|﹣a |﹣|a ﹣b |+|c ﹣a|【分析】（1）利用数轴表示数的方法进行判断；（2）利用负数的相反数为正数得到﹣a ＞0，利用有理数的减法判断a ﹣b 和c ﹣a 的符号；（3）先去绝对值，然后合并即可．【解答】解：（1）a ＜0，b ＜0，c ＞0；（2）﹣a ＞0，a ﹣b ＜0，c ﹣a ＞0；（3）|﹣a |﹣|a ﹣b |+|c ﹣a |＝﹣a +a ﹣b +c ﹣a ＝﹣a ﹣b +c ．故答案为＜、＜、＞；＞、＜、＞．【点评】本题考查了由理数的大小比较：有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从左到有的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．也考查了绝对值．2．附加题：（1）已知|a ﹣2|+|b +6|＝0，则a +b ＝﹣4（2）求|﹣1|+|﹣|+…+|﹣|+|﹣|的值．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a 、b 的值，再进行计算；（2）根据绝对值去掉绝对值符号再进行计算即可．【解答】解：（1）∵|a ﹣2|+|b +6|＝0，∴a ﹣2＝0，b +6＝0，∴a ＝2，b ＝﹣6，∴a +b ＝2﹣6＝﹣4；（2）|﹣1|+|﹣|+…+|﹣|+|﹣|＝1﹣+﹣+…+﹣+﹣＝1﹣＝．故答案为：﹣4，．【点评】本题考查的是绝对值的性质，解答此题的关键是熟知绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．3．若|a|＝1，|b|＝2，|c|＝4，且|a+b﹣c|＝a+b﹣c，求a+b+c的值．【分析】根据绝对值先求出a，b，c的值，再进行分类讨论，即可解答．【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝2，|c|＝4，∴a＝±1，b＝±2，c＝±4，∵|a+b﹣c|＝a+b﹣c，∴或或或∴a+b+c的值为﹣1或﹣5或﹣3或﹣7．【点评】本题考查的知识点是绝对值的定义，难度不大，解答时要注意对a，b，c值的限制．4．若a、b、c为整数，且|a﹣b|19+|c﹣a|2010＝1，求|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|．【分析】由a、b、c为整数，所以其和差仍为整数，且|a﹣b|19+|c﹣a|2010＝1，所以|a﹣b|和|c﹣a|必有一个为1，另一个为0，分两种情况讨论得出a、b、c的结果代入计算即可．【解答】解：由|a﹣b|19+|c﹣a|2010＝1可知|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0或|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1，当a﹣b＝±1，c﹣a＝0时，b﹣c＝±1，当c﹣a＝±1，a﹣b＝0时，b﹣c＝±1，即|b﹣c|＝1，则原式＝|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝1+1＝2．【点评】此题考查分类讨论思想，解题的关键是由|a﹣b|19+|c﹣a|2010＝1得出两种情况，属于中档题．5．我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a|的值时，就会对a进行分类讨论，当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．现在请你利用这一思想解决下列问题：（1）＝1．＝﹣1（2）＝1或﹣1（a≠0），＝2或0（其中a＞0，b≠0）（3）若abc≠0，试求的所有可能的值．【分析】（1）根据绝对值的定义即可得到结论；（2）分类讨论：当a＞0时，当a＜0时，当b＞0时，当b＜0时，根据绝对值的定义即可得到结论；（3）分类讨论：①当a＞0，b＞0，c＞0时，②当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，③当a，b，c三个字母中有一个字母大于0，其它两个字母小于0时，④当a＜0，b＜0，c＜0时，根据绝对值的定义即可得到结论．【解答】解：（1）＝1，＝﹣1，故答案为：1，﹣1；（2）当a＞0时，＝1；当a＜0时，＝﹣1；当b＞0时，＝1+1＝2；当b＜0时，＝1﹣1＝0；故答案为：1或﹣1，2或0；（3）①当a＞0，b＞0，c＞0时，＝1+1+1+1＝4，②当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，＝﹣1+1+1﹣1＝0，③当a，b，c三个字母中有一个字母大于0，其它两个字母小于0时，＝1﹣1﹣1+1＝0，④当a＜0，b＜0，c＜0时，＝﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4，综上所述，的所有可能的值为±4，0．【点评】本题主要考查了绝对值，有理数的除法，解题的关键是讨论a，b，c的取值情况．6．已知a，b，c都不等于零，且++﹣的最大值是m，最小值为n，求的值．【分析】由a，b，c分别以三正，三负，一正二负，二正一负，分别讨论．【解答】解：当a，b，c三个都大于0，可得++﹣＝2当a，b，c，都小于0，可得++﹣＝﹣2当a，b，c一正二负，可得++﹣＝﹣2当a，b，c二正一负可得++﹣＝2∴m＝2，n＝﹣2∴原式＝﹣1【点评】此题考查有理数的除法，绝对值的意义，以及代数式求值等知识．7．有理数a，b，c均不为0，且a+b+c＝0．设，试求代数式x19+99x+2000之值．【分析】根据题意可得a，b，c中不能全同号，必有一正两负或两正一负与a＝﹣（b+c），b＝﹣（c+a），c＝﹣（a+b），则可得的值为两个+1，一个﹣1或两个﹣1，一个+1，即可求得x的值，代入即可求得答案．【解答】解：由a，b，c均不为0，知b+c，c+a，a+b均不为0，又a，b，c中不能全同号，故必一正二负或一负二正，∴a＝﹣（b+c），b＝﹣（c+a），c＝﹣（a+b），即，∴中必有两个同号，另一个符号其相反，即其值为两个+1，一个﹣1或两个﹣1，一个+1，∴，，∴x19+99x+2000＝1+99+2000＝2100．【点评】本题考查了分式的运算，注意分类讨论思想的应用．能得到的值为两个+1，一个﹣1或两个﹣1，一个+1是解此题的关键，要注意仔细分析，难度适中．8．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，|m|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时，可令m+1＝0和m﹣2＝0，分别求得m＝﹣1，m＝2（称﹣1，2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值m＝﹣1和m＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①m＜﹣1；②﹣1≤m＜2；③m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况：（1）当m＜﹣1时，原式＝﹣（m+1）﹣（m﹣2）＝﹣2m+1；（2）当﹣1≤m＜2时，原式＝m+1﹣（m﹣2）＝3；（3）当m≥2时，原式＝m+1+m﹣2＝2m﹣1．综上讨论，原式＝通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值；（2）化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|；（3）求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值．【分析】（1）令x﹣5＝0，x﹣4＝0，解得x的值即可；（2）分为x＜4、4≤x≤5、x＞5三种情况化简即可；（3）根据（2）中的化简结果判断即可．【解答】（1）令x﹣5＝0，x﹣4＝0，解得：x＝5和x＝4，故|x﹣5|和|x﹣4|的零点值分别为5和4；（2）当x＜4时，原式＝5﹣x+4﹣x＝9﹣2x；当4≤x≤5时，原式＝5﹣x+x﹣4＝1；当x＞5时，原式＝x﹣5+x﹣4＝2x﹣9．综上讨论，原式＝．（3）当x＜4时，原式＝9﹣2x＞1；当4≤x≤5时，原式＝1；当x＞5时，原式＝2x﹣9＞1．故代数式的最小值是1．【点评】本题主要考查的是绝对值的化简，根据例题进行解答是解题的关键．9．阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x ＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．【分析】（1）分为x＜﹣2、﹣2≤x＜4、x≥4三种情况化简即可；（2）分x＜﹣1、﹣1≤x≤1、x＞1分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值．【解答】解：（1）当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣x﹣2+4﹣x＝﹣2x+2；当﹣2≤x＜4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+4﹣x＝6；当x≥4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+x﹣4＝2x﹣2；（2）当x＜﹣1时，原式＝3x+5＜2，当﹣1≤x≤1时，原式＝﹣5x﹣3，﹣8≤﹣5x﹣3≤2，当x＞1时，原式＝﹣3x﹣5＜﹣8，则|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值为2．【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是能根据材料所给信息，找到合适的方法解答．10．阅读下列材料并解决相关问题．化简代数式|x+5|+|2x﹣3|的关键在于去掉两个绝对值符号，我们知道，只去掉一个绝对值符号很容易，如|x+5|，只要考虑x+5的正负，可以分为x＜﹣5与x≥﹣5两种情况来讨论，这里的x＝﹣5是使x+5＝0的x值，我们称它为x+5的一个零点．同理，对于2x﹣3，也有一个零点x＝．为了同时去掉两个绝对值符号我们可以将x的取值范围分成三段，即x＜﹣5，﹣5≤x＜，x≥进行讨论，这种令各个绝对值内的代数式为0，找出零点，确定讨论范围的方法称为“零点分段法”．（1）填空：|x+5|+|2x﹣3|＝（2）代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有哪些？（3）化简||x﹣1|﹣2|+|x+1|．【分析】（1）分三个区间，分别化简即可；（2）根据零点的定义，求出x的值即可；（3）分四个区间，分别化简即可；【解答】解：（1）|x+5|+|2x﹣3|＝．（2）代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有：x﹣1＝0，x＝1，x+1＝0，x＝﹣1，|x﹣1|﹣2＝0，x＝3或﹣1，综上所述，代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有：x＝±1或3．（3）||x﹣1|﹣2|+|x+1|＝．【点评】本题考查绝对值的化简、解题的关键是理解零点的应用，学会分区间化简绝对值，属于中考常考题型．11．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|．（3）如果|x﹣2|＝5，则x＝7或﹣3．（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是﹣3、﹣2、﹣1、0、1．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．【分析】（1）根据距离公式即可解答；（2）利用距离公式求解即可；（3）利用绝对值求解即可；（4）利用绝对值及数轴求解即可；（5）根据绝对值的几何意义，即可解答．【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7，故答案为：7；（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；（3）∵|x﹣2|＝5，∴x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5，解得：x＝7或x＝﹣3，故答案为：7或﹣3；（4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x+3|+|x﹣1|＝4，∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1，故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；（5）根据绝对值的几何意义可知当3≤x≤6时，有最小值是3．【点评】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用．难度较大．去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．12．我们知道，|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离我们可以把|x|看作|x﹣0|，所以，|x﹣3|就表示x在数轴上对应的点到3的距离，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在数轴上对应的点到﹣1的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下列问题：（1）求|x﹣4|+|x+2|的最小值，并写出此时x的取值情况；（2）求|x﹣3|+|x+2|+|x+6|的最小值，并写出此时x的取值情况；（3）已知|x﹣1|+|x+2|+|y﹣3|+|y+4|＝10，求2x+y的最大值和最小值．【分析】（1）求|x﹣4|+|x+2|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当﹣2≤x≤4时，|x﹣4|+|x+2|有最小值；（2）先找到中间点，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x的取值情况；（3）由于|x﹣1|+|x+2|+|y﹣3|+|y+4|＝10＝3+7，可知﹣2≤x≤1，﹣4≤y≤3，依此得到2x+y的最大值和最小值．【解答】解：（1）|x﹣4|+|x+2|的最小值为4﹣（﹣2）＝6，此时x的取值情况是﹣2≤x≤4；（2）|x﹣3|+|x+2|+|x+6|的最小值为（﹣2+6）+0+（3+2）＝9，此时x的取值情况是x＝﹣2；（3）∵|x﹣1|+|x+2|+|y﹣3|+|y+4|＝10，∴﹣2≤x≤1，﹣4≤y≤3，∴2x+y的最大值为2×1+3＝5，最小值为2×（﹣2）+（﹣4）＝﹣8．故2x+y的最大值为5，最小值为﹣8．【点评】考查了绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A﹣B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离．这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（2）（3）这两道难题．13．已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求2016x+2017y+2018z的最大值和最小值【分析】先讨论：|x+1|+|x﹣2|、|y﹣2|+|y+1|、|z﹣3|+|z+1|的最小值，根据它们的积是36，分别得到|x+1|+|x ﹣2|、|y﹣2|+|y+1|、|z﹣3|+|z+1|的值，再讨论x、y、z的最大最小值，代入计算出代数式的最大值和最小值．【解答】解：∵|x+1|+|x﹣2|≥3，（|y﹣2|+|y+1|）≥3，（|z﹣3|+|z+1|）≥4，又∵（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，∴|x+1|+|x﹣2|＝3，|y﹣2|+|y+1|＝3，|z﹣3|+|z+1|＝4，当|x+1|+|x﹣2|＝3时，x最小取﹣1，最大取2，当|y﹣2|+|y+1|＝3时，y最小取﹣1，最大取2，当|z﹣3|+|z+1|＝4时，z最小取﹣1，最大取3所以2016x+2017y+2018z的最大值为：2016×2+2017×2+2018×3＝14120，2016x+2017y+2018z的最小值为：2016×（﹣1）+2017×（﹣1）+2018×（﹣1）＝﹣6051【点评】本题考查了绝对值的意义，主要运用了分类讨论的思想．解决本题的关键是根据积得到各个绝对值的和分别是多少．14．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和10两点之间的距离是8，数轴上表示2和﹣10的两点之间的距离是12．（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x+2|．（3）若x表示一个有理数，|x﹣1|+|x+2|有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，写出理由．（4）若x表示一个有理数，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+…+|x﹣2014|+|x﹣2015|的最小值．【分析】（1）（2）依据在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|求解即可；（3）|x﹣1|+|x+2|表示数轴上x和1的两点之间与x和﹣2的两点之间距离和；（4）依据绝对值的几何意义回答即可．【解答】解：（1）|10﹣2|＝8；|2﹣（﹣10）|＝12；故答案为：8；12．（2）|x﹣（﹣2）|＝|x+2|；故答案为：|x+2|．（3）|x﹣1|+|x+2|表示数轴上x和1的两点之间与x和﹣2的两点之间距离和，利用数轴可以发现当﹣2≤x≤1时有最小值，这个最小值就是1到﹣2的距离，故|x﹣1|+|x+2|最小值是3；（4）当x＝1008时有最小值，此时，原式＝1007+1006+1005+…+2+1+0+1+2+…1006+1007＝1015056．【点评】本题主要考查的是数轴、绝对值，理解绝对值的几何意义是解题的关键．15．同学们，我们在《有理数》中学过：数轴上表示数a的点与原点的距离记作|a|．一般地，|a﹣b|表示数轴上数a的点与数b的点的距离．（1）|x﹣1|表示数轴表示数x的点与表示数1的点的距离；（2）数轴上是否存在数x，使|x﹣1|+2|x﹣2|+|x﹣4|的值最小？若存在，请求出最小值及x的值；若不存在，请说明理由；（3）若|x﹣1|+2|x﹣2|的值为8，求x的值．【分析】（1）由|a﹣b|表示数轴上数a的点与数b的点的距离可知|x﹣1|表示数轴上表示x的点与数1的点的距离；（2）当x＝2时，|x﹣1|+2|x﹣2|+|x﹣4|可转化为数轴上表示2的点到1和4的距离之和；（3）可分为x≤1，1＜x≤2，x＞2三种情况进行化简计算．【解答】解：（1）|x﹣1|表示数轴表示数x的点与表示数1的点的距离；故答案为：数轴表示数x的点与表示数1的点的距离．（2）当x＝2时，|x﹣1|+2|x﹣2|+|x﹣4|可转化为数轴上表示2的点到1和4的距离之和，∴当x＝2时，|x﹣1|+2|x﹣2|+|x﹣4|的最小值为3；（3）当x≤1时，1﹣x+2（2﹣x）＝8．解得：x＝﹣1．当1＜x≤2时，x﹣1+2（2﹣x）＝8，解得：x＝﹣5（不合题意）．当x＞2时，x﹣1+2（x﹣2）＝8，解得：x＝．综上所述，x的值为﹣1或【点评】本题主要考查的是绝对值、数轴、解含绝对值的方程，分类讨论是解题的关键．16．已知a是最大的负整数，b是﹣5的相反数，c＝﹣|﹣2|，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．（2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？（3）在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M 对应的数，若不存在，请说明理由．．【分析】（1）理解与整数、相反数、绝对值有关概念，能够正确画出数轴，正确在数轴上找到所对应的点；（2）根据数轴上两点间的距离的求法进行求解；（3）注意数轴上两点间的距离公式：两点所对应的数的差的绝对值．【解答】解：（1）a是最大的负整数，即a＝﹣1；b是﹣5的相反数，即b＝5，c＝﹣|﹣2|＝﹣2，所以点A、B、C在数轴上位置如图所示：（2）设运动t秒后，点P可以追上点Q，则点P表示数﹣1+3t，点Q表示5+t，依题意得：﹣1+3t＝5+t，解得：t＝3．答：运动3秒后，点P可以追上点Q；（3）存在点M，使M到A、B、C三点的距离之和等于12，当M在C点左侧，则M对应的数是：﹣3；当M在AB之间，则M对应的数是4．故使点M到A、B、C三点的距离之和等于12，点M对应的数是﹣3或4．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，与数轴有关计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值．17．如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：（1）若C、B两点的距离与A、B两点距离相等，则需将点C向左移动3或7个单位；（2）若移动A、B、C三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有3种，其中移动所走的距离之和最小的是7个单位；（3）若在B处有一小青蛙，一步跳一个单位长，小青蛙第一次先向左跳一步，第2次向右跳2步，第3次向再向左跳3步，第4次再向右跳4步…，按此规律继续下去，那么跳第100次时落脚点表示的数是48；（4）若有两只小青蛙M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为整数x、y，且|x﹣2|+|y+3|＝2，那么两只青蛙M、N之间的距离为3或5或7．【分析】（1）根据数轴移动点C即可；（2）三个点表示三个数，所以有三种方法，两边的点往中间移动时移动的距离和最小，在数轴上数出来即可；（3）小青蛙每跳两次就向右走一步，第100次就是向右走了50步，观察数轴确定数即可；（4）根据x，y是整数分情况讨论即可．【解答】解：（1）观察数轴可知，需将点C向左移动3或7个单位，故答案为：3或7；（2）有三种方法：①移动到点A，此时B和C移动的距离和是9；②移动到B，此时A和C的移动距离和是7；③移动到C，此时A和B移动的距离和是12；故答案为：3，7；（3）小青蛙一步跳一个单位长，小青蛙第一次先向左跳一步，第2次向右跳2步，第3次向再向左跳3步，第4次再向右跳4步…，按此规律小青蛙每跳两次就向右走一步，第100次就是向右走了50步，∵小青蛙从﹣2出开始跳的，∴向右跳50步落脚点的数是50﹣2＝48；故答案为：48；（4）根据题意，|x﹣2|和|y+3|都是整数，分三种情况进行分类讨论如下：①|x﹣2|＝0，|y+3|＝2，∴|x﹣y|＝3或7；②|x﹣2|＝1，|y+3|＝1，∴|x﹣y|＝3或5或7；③|x﹣2|＝2，|y+3|＝0，∴|x﹣y|＝3或7；故答案为：3或5或7．【点评】本题主要考查数轴和绝对值的知识，熟练掌握数轴和绝对值的知识是解题的关键．18．已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝﹣1；（2）当x＝﹣4或2时，点P到点A、点B的距离之和是6；（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是﹣3≤x≤1；（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动或2秒时，点P到点E，点F的距离相等．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的表示列出方程求解即可；（2）根据AB的距离为4，小于6，分点P在点A的左边和点B的右边两种情况分别列出方程，然后求解即可；（3）根据两点之间线段最短可知点P在点AB之间时点P到点A，点B的距离之和最小最短，然后写出x的取值范围即可；（4）设运动时间为t，分别表示出点P、E、F所表示的数，然后根据两点间的距离的表示列出绝对值方程，然后求解即可．【解答】解：（1）由题意得，|x﹣（﹣3）|＝|x﹣1|，解得x＝﹣1；（2）∵AB＝|1﹣（﹣3）|＝4，点P到点A，点B的距离之和是6，∴点P在点A的左边时，﹣3﹣x+1﹣x＝6，解得x＝﹣4，点P在点B的右边时，x﹣1+x﹣（﹣3）＝6，解得x＝2，综上所述，x＝﹣4或2；（3）由两点之间线段最短可知，点P在AB之间时点P到点A，点B的距离之和最小，所以x的取值范围是﹣3≤x≤1；（4）设运动时间为t，点P表示的数为﹣3t，点E表示的数为﹣3﹣t，点F表示的数为1﹣4t，∵点P到点E，点F的距离相等，∴|﹣3t﹣（﹣3﹣t）|＝|﹣3t﹣（1﹣4t）|，∴﹣2t+3＝t﹣1或﹣2t+3＝1﹣t，解得t＝或t＝2．故答案为：（1）﹣1；（2）﹣4或2；（3）﹣3≤x≤1；（4）或2．【点评】本题考查了绝对值，数轴，主要利用了数轴上两点间的距离的表示方法，读懂题目信息，理解两点间的距离的表示方法是解题的关键．。
七年级数学(上)思维特训(7)：含有字母的绝对值的化简(含答案)
思维特训(七) 含有字母的绝对值的化简方法点津 ·1．绝对值的性质：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）.2．有理数的加法法则：若a >b >0，则a ＋b >0；若0>b >a ，则a ＋b <0；若a ，b 异号，|a |>|b |，则a ＋b 的符号与a 的符号保持一致．典题精练 ·类型一 以数轴为背景的绝对值的化简1．(1)一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到________的距离；(2)若|a |＝－a ，则a ________0；(3)有理数a ，b 在数轴上的位置如图7－S －1所示，请化简：|a |＋|b |＋|a ＋b |.图7－S －12．已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图7－S －2所示，化简：|a ＋b |－|a －b |＋|a ＋c |.图7－S －23．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图7－S －3所示，化简：|a ＋c |－|a －b |＋|b ＋c |－|b|.图7－S－34．有理数a，b，c在数轴上的位置如图7－S－4所示，化简：3|a－b|＋|a＋b|－|c－a|＋2|b－c|.图7－S－45．已知a，b，c在数轴上的位置如图7－S－5所示，化简：|b－c＋a|＋|a＋c|－|b－a ＋c|－|a＋b＋c|.图7－S－5类型二以符号为背景的绝对值的化简6．已知x＜0，y＞0，z＜0，且|x|＜|y|，|y|＞|z|，化简：|x＋z|－|y＋z|＋|x＋y|－|x－y＋z|.7．(1)若－2≤a≤2，化简：|a＋2|＋|a－2|＝______；(2)若a≥－2，化简：|a＋2|＋|a－2|；(3)化简：|a＋2|＋|a－2|.详解详析1．解：(1)原点(2)因为|a|＝－a，所以a≤0.(3)由a，b在数轴上的位置可知，a＜－1＜0＜b＜1，所以a＜0，b＞0，a＋b＜0，所以|a|＝－a，|b|＝b，|a＋b|＝－a－b，所以原式＝－a＋b－a－b＝－2a.2．解：根据题意，得－2＜c＜－1，0＜a＜1，2＜b＜3，所以a＋b＞0，a－b＜0，a＋c＜0，所以原式＝a＋b－[－(a－b)]＋[－(a＋c)]＝a＋b＋a－b－a－c＝a－c.3．解：由图可知：a＋c＜0，a－b＞0，b＋c＜0，b＜0，所以原式＝－(a＋c)－(a－b)－(b＋c)＋b＝－a－c－a＋b－b－c＋b＝－2a＋b－2c.4．解：由图可知c＞0，a＜b＜0，则a－b＜0，a＋b＜0，c－a＞0，b－c＜0，所以原式＝－3(a－b)－(a＋b)－(c－a)－2(b－c)＝－3a＋3b－a－b－c＋a－2b＋2c＝－3a＋c.5．解：由图可知b－c＋a＜0，a＋c＜0，b－a＋c＞0，a＋b＋c＜0，则原式＝－b＋c－a－a－c－b＋a－c＋a＋b＋c＝－b.6．解：因为x＜0，y＞0，z＜0，|x|＜|y|，|y|＞|z|，所以x＋z＜0，y＋z＞0，x＋y＞0，x－y＋z＜0，所以原式＝－x－z－y－z＋x＋y＋x－y＋z＝x－y－z.7．解：(1)因为－2≤a≤2，所以a＋2≥0，a－2≤0，所以|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4.故答案为4.(2)①如果－2≤a≤2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4；②如果a＞2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋a－2＝2a.(3)①如果a＜－2，那么|a＋2|＋|a－2|＝－a－2＋2－a＝－2a；②如果－2≤a≤2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4；③如果a＞2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋a－2＝2a.。
人教版七年级数学上册《绝对值的化简》专题训练-附带答案
人教版七年级数学上册《绝对值的化简》专题训练-附带答案类型一 绝对值之间是加号的化简1．计算： 34ππ-+-=________．【答案】1【解析】【分析】先化简绝对值 再加减运算即可求解．【详解】解：∵3＜π＜4 ∵34ππ-+-=34-+-=1故答案为：1．【点睛】本题考查化简绝对值、实数的加减运算 会利用绝对值的性质化简绝对值是解答的关键． 2．a 、b 两个有理数在数轴上的位置如图所示 则|a +b |＝____．【答案】a b --##b a --【解析】【分析】 先根据数轴可得0,,b a b a 再确定a b +的符号 再化简绝对值即可.【详解】 解：由题意得：0,,b a b a 0,a b ∴+< .a b a b a b故答案为：.a b【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小 绝对值的含义与化简 有理数的和的符号的确定掌握“0000x x x x xx ”是解本题的关键.3．若有理数,,a b c 在数轴上的位置如图：则b a b c -+-=____________ ．【答案】c a -##-a+c【解析】【分析】根据数轴得出0a b c <<< ||||c a > 先去掉绝对值符号 再合并同类项即可．【详解】 解：从数轴可知：0a b c <<< ||||c a >0b c ∴-< 0b a ->||||b a b c b a b c c a ∴-+-=--+=-故答案是：c a -．【点睛】本题考查了数轴 绝对值 整式的加减 解题的关键是能正确去绝对值符号．4．已知32y -<< 化简23y y -++=_____．【答案】5【解析】【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值号 然后化简即可．【详解】解：32y -<<23y y ∴-++=-(y -2)+(y +3)23y y =-++5=．故答案为：5．【点睛】本题考查了整式的加减、绝对值的意义 熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．5．数a b 在数轴上的位置如图所示 化简：|b ﹣a |+|b |＝______．【答案】2a b -##-2b +a【解析】【分析】根据数a b 在数轴上的位置得出2101b a --＜＜＜＜＜然后化简绝对值即可． 【详解】解：根据数a b 在数轴上的位置可得：2101b a --＜＜＜＜＜∵0b a -＜ 0b ＜∵|b ﹣a |+|b |＝()2b a b b a b a b ---=-+-=-故答案为：2a b -．【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数 化简绝对值 根据点在数轴上的位置得出相应式子的正负是解本题的关键．6．已知a b c 是∵ABC 的三边 化简：|a ＋b －c |＋|b －a －c |＝________．【答案】2a【解析】【分析】首先利用三角形的三边关系得出0,0a b c b a c +->--< 然后根据求绝对值的法则进行化简即可．【详解】解：∵,,a b c 是ABC ∆的三条边∵00a b c b a c +->--<， ∵||()()a a b c b a c b a c b c =+-+-+--+++-=2a b c b a c a +--++=．故答案为：2a ．【点睛】熟悉三角形的三边关系和求绝对值的法则 是解题的关键 注意 去绝对值后 要先添加括号 再去括号 这样不容易出错．|a ＋b －c |＋|b －a －c |7．若a 、b 、 c 为整数 且 | a - b |19 + | c - a |99 =1 则| c - a | + | a - b | + | b -c |=________．【答案】2【解析】【分析】根据题意 ,,a b c 三个数中有2个数相等 设a b = 则1c a -= 1b c -= 进而即可求得答案．【详解】解：,,a b c 为整数 则,a b c a --也为整数 且| a - b |19 与| c - a |99 为非负数 和为1 ,,a b c ∴三个数中有2个数相等当a b =时 则1c a -= 1b c -= 0a b -=∴| c - a | + | a - b | + | b -c |=1012++=同理 当a c =或c b =时 均得到| c - a | + | a - b | + | b -c |=2故答案为：2．【点睛】本题考查了非负数的性质 根据题意求出,,a b c 三个数中有2个数相等是解题的关键．8．有理数a b c 在数轴上的位置如图所示 化简：|c ﹣a |+|c ﹣b |+|a +b |＝_____．【答案】2b【解析】【分析】根据有理数a b c 在数轴上的位置可得c ﹣a ＞0 c ﹣b ＜0 a +b ＞0 再根据绝对值的意义进行化简即可．【详解】根据有理数a b c 在数轴上的位置可知 a ＜0＜c ＜b b a >∵c ﹣a ＞0 c ﹣b ＜0 a +b ＞0∵|c ﹣a |+|c ﹣b |+|a +b |＝c ﹣a +b ﹣c +a +b＝2b故答案为：2b【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小 有理数的加减法的运算法则 绝对值的化简 去括号 整式的加减运算 掌握以上知识是解题的关键．类型二 绝对值之间是减号的化简9．在数轴上数a 、b 、c 所对应的点如图所示 化简：b a c b --+=__________．【答案】a -2b -c【解析】【分析】根据数轴得到b <0<a <c 且b c < 由此得到b -a <0 c+b >0 利用绝对值性质化简合并即可．【详解】解：由数轴得b <0<a <c 且b c <∵b -a <0 c+b >0 ∵b a c b --+=-b+a -c -b=a -2b -c故答案为：a -2b -c ．【点睛】此题考查了利用数轴比较数的大小 有理数绝对值的性质化简计算 整式的加减法 正确比较有理数的大小化简绝对值是解题的关键．10．若a <1 化简：31a a ---=__________．【答案】2【解析】【分析】由题意根据a 的取值范围 可以将题目中的式子的绝对值去掉 从而可以解答本题．【详解】解：∵a ＜1∵|3-a |-|a -1|=3-a +a -1=2故答案为：2．【点睛】本题考查整式的加减、绝对值 解答本题的关键是明确相关的计算方法．11．a 、b 两个数在数轴上的位置如图所示 则化简||||b b a --的结果是________．【答案】a【解析】【分析】由数轴得0b > 0a < 0b a -> 去绝对值有()b b a -- 从而得出结果．【详解】解：0b > 0a <0b a ∴->()b b a b b a b b a a ∴--=--=-+=故答案为：a ．【点睛】本题考查了数轴 去绝对值．解题的关键与难点在于判断绝对值里数值的正负．12．a b c 在数轴上的位置如图所示 化简：2a b a c +--=__________．【答案】2a b c --【解析】【分析】 由题意可得：0,,a b c ab c 再判断0,0,a b a c 【详解】 解：0,,a b c a b c 0,0,a b a c∴ ()()22a b a c a b a c +--=-+---⎡⎤⎣⎦2a b a c22a b a c2a b c故答案为：2a b c --【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小 化简绝对值 去括号 合并同类项 熟练的“化简绝对值”是解题的关键.13．若有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示 则a b b c --+可化简为__．【答案】a c --##c a --【解析】【分析】根据数轴判断出0a b c <<< b c < 即可得到0a b -< 0b c +> 再利用绝对值性值计算即可；【详解】由数轴可得：0a b c <<< b c <∵原式b a b c a c =---=--；故答案是：a c --．【点睛】本题主要考查了利用数轴比较式子大小 绝对值的性质 准确分析计算是解题的关键．14．若2＜x ＜5 则|x ﹣2|﹣|5﹣x |＝_______．【答案】2x -7##-7+2x【解析】【分析】根据2＜x ＜5 得到x -2＞0 5-x ＜0 根据绝对值的意义去绝对值 去括号 合并同类项即可求解．【详解】解：因为2＜x ＜5所以x -2＞0 5-x ＜0所以|x ﹣2|﹣|5﹣x |=（x -2）-（5-x ）=2x-7．故答案为：2x-7【点睛】本题考查了绝对值的化简合并同类项去括号等知识根据x的取值脱去绝对值是解题关键．15．有理数a b c在数轴上的对应点如图所示化简代数式：|a|﹣|﹣b|+|c|＝_____．【答案】a b c-++【解析】【分析】由数轴知a＜b＜0＜c去绝对值即可求解．【详解】解：由数轴知a＜b＜0＜c∵|a|﹣|﹣b|+|c|＝a b c a b c．故答案为：a b c-++．【点睛】本题考查绝对值的性质．确定绝对值符号内代数式的性质符号是解答此类题目的关键．16．若0＜a＜1 －2＜b＜－1 则1212a ba b-+--+=_____．【答案】﹣2【解析】【分析】先根据题意得出a﹣1＜0 b+2＞0 再根据绝对值的性质化简即可解答．【详解】解：∵0＜a＜1 －2＜b＜－1∵a﹣1＜0 b+2＞0∵1212 a ba b-+--+=(1)212 a ba b--+--+=﹣1﹣1故答案为：-2．【点睛】本题考查有理数的减法运算、绝对值的性质 会利用绝对值的性质化简是解答的关键． 类型三 绝对值之间有加有减的化简17．有理数a b c 在数轴上表示的点如图所示 化简||||2||a b a c b c +---+=__________．【答案】33b c --##33c b【解析】【分析】根据数轴得出a b + a c - 1b -的符号 再去绝对值即可．【详解】 由数轴得0a b c b c <<<，＜ ∵0a b +< 0a c -< 0b c +>∵||||2||a b a c b c +---+()()2a b a c b c =-++--+22a b a c b c =--+---33b c =--．故答案为：33b c --．【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值 掌握数轴、绝对值以及合并同类项的法则是解题的关键． 18．已知a b c 是有理数 它们在数轴上的对应点如图所示 化简：|a ﹣c |﹣|a ﹣b |+|b ﹣c |＝_____．【答案】22a c -##22c a -+【解析】【分析】根据数轴 判断出a b c ，，的符号 从而得到a c a b b c ---，，的符号 化简求解即可．【详解】所以 0a c -> 0a b -< 0b c -> ∵||||22a c a b b c a c a b b c a c --+--+-+--=-=故答案为：22a c -【点睛】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的符号 化简绝对值 能够准确判断式子的符号化简绝对值是解本题的关键．19．若有理数a b c 在数轴上的位置如图所示 则化简：||||||a c b c b ++--+=_________．【答案】a -【解析】【分析】根据有理数在数轴上的位置求得0c b a <<< c a >进而可得0a c +< 0b -> 0c b +< 进而化简绝对值即可【详解】解：根据有理数a b c 在数轴上的位置 可得0c b a <<< c a >∴0a c +< 0b -> 0c b +<∴||||||a c b c b ++--+=()a c b c b ------a c b c b a =---++=-故答案为：a -【点睛】本题考查了根据有理数在数轴上的位置判断式子的符号 绝对值化简 整式的加减运算 正确的判断式子的符号化简绝对值是解题的关键．20．有理数a b c 在数轴上的位置如图所示．化简代数式：323c a b c a b -+--+=_______ ．【答案】5c +b##b+5c【解析】【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负 利用绝对值的代数意义化简 去括号合并即可．【详解】由图可知a ＜b ＜0＜c则a +b ＜0 c -a ＞0 b -c ＜0 ∵==,c a c a b c c b a b a b ----+=--，∵原式=3()2()3()c a c b a b -+----332233c a c b a b =-+-++5c b =+故答案为：5c b +．【点睛】本题考查了整式的加减、数轴及绝对值的知识 掌握数轴上右边的数总比左边的数大是解答本题的关键．21．有理数a b c 在数轴上的位置如图所示 若m ＝|a ＋b |﹣|b ﹣1|﹣|a ﹣c | 则m ＝____．【答案】-1-c【解析】【分析】根据数轴上点的位置可得01b a c <<<< 即可推出0a b +< 10b -< 0a c -< 由此化简绝对值求解即可．【详解】解：由数轴上点的位置可知：01b a c <<<<∵0a b +< 10b -< 0a c -< ∵1m a b b a c =+----()()()1a b b c a =-+----1a b b c a =---+-+1c =--故答案为：1c --．【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置化简绝对值 解题的关键在于能够熟练掌握数轴的相关知识．22．已知a ＜0 b ＜0 c ＞0 化简：2a b c a b a +--+--=________．【答案】3a b c ---【解析】【分析】根据条件分别求得2,,a b c a b a +---的符号 进而化简绝对值即可【详解】a ＜0b ＜0c ＞020,0,0a b c a b a ∴+<->--> ∴2a b c a b a +--+--=()2()a b c a b a ----+--2a b c a b a =---+--3a b c =---故答案为：3a b c ---【点睛】本题考查了化简绝对值 整式的加减 正确的化简绝对值是解题的关键．23．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图所示则a c a b b a a c +-+--+-=________．【答案】0【解析】【分析】由数轴上右边的点比左边点表示的数字大可知 c ＞b ＞a 且c ＞0 0＞b ＞a a b c >> 再根据绝对值的性质解答即可．【详解】解：根据数轴可知c ＞b ＞a 且c ＞0 0＞b ＞a a b c >>∵0a c +< 0a b +< 0b a -> 0a c -< ∵a c a b b a a c +-+--+-=()()()()a c a b b a a c -+++----=a c a b b a a c --++-+-+=0．故答案为：0．【点睛】注意要会根据数在数轴上的位置判断其符号以及组成的一些代数式的符号 难度适中． 24．已知a b c 为三个有理数 它们在数轴上的对应位置如图所示 则式子|c ﹣b |﹣|b ﹣a |﹣|a ﹣c |＝______．【答案】0【解析】【分析】根据点在数轴上的位置判断式子的符号 然后根据绝对值的意义化简即可．【详解】解：根据数轴可知：1012c a b -＜＜＜＜＜＜∵0c b -＜ 0b a -＞ 0a c -＞∵|c ﹣b |﹣|b ﹣a |﹣|a ﹣c |＝()()()c b b a a c ------＝c b b a a c -+-+-+＝0；故答案为：0．【点睛】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的符号 化简绝对值 能够准确判断式子的符号化简绝对值是解本题的关键．25．已知点A 、B 在数轴上表示的数分别是a 和b ：化简|2|||3||a a b a b ---++=__________．【答案】44a b --##44b a【解析】【分析】根据A B 两点在数轴上的位置得到 然后进行计算即可．【详解】解：由图可知：a ＜0＜b a b >∵-2a ＞0 a -b ＜0 a +b ＜0∵|2|||3||a a b a b ---++=233a a b a b -+---=44a b --故答案为：44a b --．【点睛】本题考查数轴的基本知识结合绝对值的综合运用 一定要看清题中条件．26．实数a b c 在数轴上的位置如图所示 化简：c b b a c -+--=______．【答案】a【解析】【分析】由题意得 0c b a <<< 0c b -< 0b a -< 根据绝对值的非负性进行解答即可得．【详解】解：由题意得 0c b a <<<∵0c b -< 0b a -< ∵c b b a c -+--=()()b c a b c -+---=b c a b c -+-+=a故答案为：a ．【点睛】本题考查了绝对值 解题的关键是掌握绝对值的非负性．27．已知有理数a 、b 在数轴上的对应点位置如图所示 请化简：2a a b a b ++--=____________．【答案】3b -【解析】【分析】根据有理数a 、b 在数轴上的对应点位置 化简即可．【详解】解：根据数轴可知：101a b <-<<< ∵2a a b a b ++--＝()2()a a b a b --++-＝22a a b a b ---+-＝3b -故答案为：3b -．【点睛】本题考查了数轴 化简绝对值根据有理数在数轴上的位置得出相应式子的符号是解本题的关键．。
2018年秋人教版七年级数学上思维特训(七)含答案：含有字母的绝对值的化简
思维特训(七) 含有字母的绝对值的化简方法点津 ·1．绝对值的性质：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）.2．有理数的加法法则： 若a >b >0，则a ＋b >0； 若0>b >a ，则a ＋b <0；若a ，b 异号，|a |>|b |，则a ＋b 的符号与a 的符号保持一致． 典题精练 ·类型一 以数轴为背景的绝对值的化简1．(1)一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到________的距离； (2)若|a|＝－a ，则a________0；(3)有理数a ，b 在数轴上的位置如图7－S －1所示，请化简：|a|＋|b|＋|a ＋b|.图7－S －12．已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图7－S －2所示，化简：|a ＋b|－|a －b|＋|a ＋c|.图7－S －23．有理数a，b，c在数轴上的位置如图7－S－3所示，化简：|a＋c|－|a－b|＋|b＋c|－|b|.图7－S－34．有理数a，b，c在数轴上的位置如图7－S－4所示，化简：3|a－b|＋|a＋b|－|c－a|＋2|b－c|.图7－S－45．已知a，b，c在数轴上的位置如图7－S－5所示，化简：|b－c＋a|＋|a＋c|－|b－a＋c|－|a＋b＋c|.图7－S－5类型二以符号为背景的绝对值的化简6．已知x＜0，y＞0，z＜0，且|x|＜|y|，|y|＞|z|，化简：|x＋z|－|y＋z|＋|x＋y|－|x－y＋z|.7．(1)若－2≤a≤2，化简：|a＋2|＋|a－2|＝______；(2)若a≥－2，化简：|a＋2|＋|a－2|；(3)化简：|a＋2|＋|a－2|.详解详析1．解：(1)原点(2)因为|a|＝－a，所以a≤0.(3)由a，b在数轴上的位置可知，a＜－1＜0＜b＜1，所以a＜0，b＞0，a＋b＜0，所以|a|＝－a，|b|＝b，|a＋b|＝－a－b，所以原式＝－a＋b－a－b＝－2a.2．解：根据题意，得－2＜c＜－1，0＜a＜1，2＜b＜3，所以a＋b＞0，a－b＜0，a＋c＜0，所以原式＝a＋b－[－(a－b)]＋[－(a＋c)]＝a＋b＋a－b－a－c＝a－c.3．解：由图可知：a＋c＜0，a－b＞0，b＋c＜0，b＜0，所以原式＝－(a＋c)－(a－b)－(b＋c)＋b＝－a－c－a＋b－b－c＋b＝－2a＋b－2c.4．解：由图可知c＞0，a＜b＜0，则a－b＜0，a＋b＜0，c－a＞0，b－c＜0，所以原式＝－3(a－b)－(a＋b)－(c－a)－2(b－c)＝－3a＋3b－a－b－c＋a－2b＋2c＝－3a＋c.5．解：由图可知b－c＋a＜0，a＋c＜0，b－a＋c＞0，a＋b＋c＜0，则原式＝－b＋c－a－a－c－b＋a－c＋a＋b＋c＝－b.6．解：因为x＜0，y＞0，z＜0，|x|＜|y|，|y|＞|z|，所以x＋z＜0，y＋z＞0，x＋y＞0，x－y＋z＜0，所以原式＝－x－z－y－z＋x＋y＋x－y＋z＝x－y－z.7．解：(1)因为－2≤a≤2，所以a＋2≥0，a－2≤0，所以|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4.故答案为4.(2)①如果－2≤a≤2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4；②如果a＞2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋a－2＝2a.(3)①如果a＜－2，那么|a＋2|＋|a－2|＝－a－2＋2－a＝－2a；②如果－2≤a≤2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4；③如果a＞2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋a－2＝2a.。
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思维特训(七)含有字母的绝对值的化简
方法点津·
a（a>0），
⎧⎪
1．绝对值的性质：|a|＝⎨0（a＝0），
⎪⎩－a（a<0）.
2．有理数的加法法则：
若a>b>0，则a＋b>0；
若0>b>a，则a＋b<0；
若a，b异号，|a|>|b|，则a＋b的符号与a的符号保持一致．
典题精练·
类型一以数轴为背景的绝对值的化简
1．(1)一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到________的距离；
(2)若|a|＝－a，则a________0；
(3)有理数a，b在数轴上的位置如图7－S－1所示，请化简：|a|＋|b|＋|a＋b|.
图7－S－1
2．已知数a，b，c在数轴上的位置如图7－S－2所示，化简：|a＋b|－|a－b|＋|a＋c|.
图7－S－2
3．有理数a，b，c在数轴上的位置如图7－S－3所示，化简：|a＋c|－|a－b|＋|b＋c|－|b|.
图7－S－3
4．有理数a，b，c在数轴上的位置如图7－S－4所示，化简：3|a－b|＋|a＋b|－|c－a|＋2|b－c|.
图7－S－4
5．已知a，b，c在数轴上的位置如图7－S－5所示，化简：|b－c＋a|＋|a＋c|－|b－a＋c|－|a＋b＋c|.
图7－S－5
类型二以符号为背景的绝对值的化简
6．已知x＜0，y＞0，z＜0，且|x|＜|y|，|y|＞|z|，化简：|x＋z|－|y＋z|＋|x＋y|－|x－y＋z|.
7．(1)若－2≤a≤2，化简：|a＋2|＋|a－2|＝______；
(2)若a≥－2，化简：|a＋2|＋|a－2|；
(3)化简：|a＋2|＋|a－2|.
详解详析
1．
解：(1)原点
(2)因为|a|＝－a，所以a≤0.
(3)由a，b在数轴上的位置可知，a＜－1＜0＜b＜1，
所以a＜0，b＞0，a＋b＜0，
所以|a|＝－a，|b|＝b，|a＋b|＝－a－b，
所以原式＝－a＋b－a－b＝－2a.
2．解：根据题意，得－2＜c＜－1，0＜a＜1，2＜b＜3，
所以a＋b＞0，a－b＜0，a＋c＜0，
所以原式＝a＋b－[－(a－b)]＋[－(a＋c)]
＝a＋b＋a－b－a－c
＝a－c.
3．解：由图可知：a＋c＜0，a－b＞0，b＋c＜0，b＜0，
所以原式＝－(a＋c)－(a－b)－(b＋c)＋b
＝－a－c－a＋b－b－c＋b
＝－2a＋b－2c.
4．解：由图可知c＞0，a＜b＜0，则a－b＜0，a＋b＜0，c－a＞0，b－c＜0，所以原式＝－3(a－b)－(a＋b)－(c－a)－2(b－c)
＝－3a＋3b－a－b－c＋a－2b＋2c
＝－3a＋c.
5．解：由图可知b－c＋a＜0，a＋c＜0，b－a＋c＞0，a＋b＋c＜0，
则原式＝－b＋c－a－a－c－b＋a－c＋a＋b＋c＝－b.
6．解：因为x＜0，y＞0，z＜0，|x|＜|y|，|y|＞|z|，
所以x＋z＜0，y＋z＞0，x＋y＞0，x－y＋z＜0，
所以原式＝－x－z－y－z＋x＋y＋x－y＋z＝x－y－z.
7．解：(1)因为－2≤a≤2，所以a＋2≥0，a－2≤0，
所以|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4.
故答案为4.
(2)①如果－2≤a≤2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4；
②如果a＞2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋a－2＝2a.
(3)①如果a＜－2，那么|a＋2|＋|a－2|＝－a－2＋2－a＝－2a；
②如果－2≤a≤2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4；
③如果a＞2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋a－2＝2a.。