博弈论3

三、纳什均衡
1．纳什均衡：是完全信息静态博弈解的一般概念， 构成纳什均衡的战略一定是重复剔除严格劣战略 过程中不能被剔除的战略，就是说，没有任何一 个战略严格优于纳什均衡战略，当然逆定理不一 定成立；更为重要的是，许多不存在占优战略均 衡或重复剔除的占优均衡的博弈，却存在纳什均 衡。
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定义（纳什均衡的正式定义）有n个参与人的战略式表述博 弈 G ＝ ｛ S1 ， … ， Sn ； u1, … ， un ｝ ， 战 略 组 合 s* ＝ （s1*，…，sn*）是一个纳什均衡，如果对于每一个i，si*是 给定其他参与人s －i* ＝（s1*,…，si-1* ，si+1*…，sn* ）的情况 下第i个参与人的最优战略，即： ∀ ui(si*,s-i*)≥ui(si,s-i*) si∈Si, i ∀ 或者用另一种表述方式，si*是下述最大化问题的解： * * * * si*∈arg max ui (s1 ,L si −1 , si , si +1 L sn ) i=1,2,…n s ∈S 考虑战略组合s’=(s1’,…,sn’),说s’不是G的一个纳什均衡等价 于说至少对于某些i而言，si’不是i的最优战略（给定s-i’）换 言之，至少存在一个si”∈Si,使得 ui(si’,s－i’)<ui(si”,s－i’) 就是说，如果我们预测s’=(s1’,…,sn’)是博弈的一个结果但 这个结果不是一个纳什均衡，那么，至少存在某些参与人 有积极性偏离这个结果。(例1）
类似的情况在公共产品的提供上也可能出现。比 如说，村里住两户人家，一户富，一户穷，有一 条路年久失修。这时候，富户一般会承担起修路 的责任，穷户则很少这样干，因为富户家常常是 高朋满座，坐车坐轿的都来，而穷户家只是自己 穿着破鞋走路，路修好了他走起来舒服，路修不 好他也无所谓。 改革中也有类似的情况。同样的改革带给一部分 人的好处可能比另一部分人大得多。这时候，前 一部分人比后一部分人更有积极性改革，改革往 往就是由这些“大猪”推动的。如改革能创造出 更多的“大猪”来，改革的速度就会加快。（返回）
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4．纳什均衡与占优战略均衡及重 复剔除的占优均衡之间的关系。
（1）每一个占优战略均衡、重复剔除的占优均衡 一定是纳什均衡，但并非每一个纳什均衡都是占 优战略均衡或重复剔除的占优均衡。(例6) （2）纳什均衡一定是在重复剔除严格劣战略过程 中没有被剔除掉的战略组合，但没有被剔除掉的 战略组合不一定是纳什均衡，除非它是唯一的。 注意：上述（2）的前一句话并不适用于弱劣战略 剔除的情况。即弱劣战略剔除可能剔除掉纳什均 衡。（见例7）
例5 在上表给出的博弈中（U，L）是重复剔除的占优均衡， 但如果我们做一个实验，相当一部分人可能会选择D而不 是U。这是因为，尽管如果参与人A百分之百地确信B是理 性的因而会选择L，U是A的最优选择，但是，即使有千分 之一的概率B会选择R，D就优于U。当然，如果（U，R） 的支付值不那么极端，比如说损失只是－1而不是－1000， 我们几乎可以肯定A会选择U。（返回） 返回
这个纳什均衡也有许多应用的例子。比如说，股份公司中， 股东承担着监督经理的职能，但股东中有大股东和小股东 之分，他们从监督中得到的收益并不一样。监督经理需要 搜集信息，花费时间。在监督成本相同的情况下，大股东 从监督中得到的好处显然多于小股东。这里，大股东类似 “大猪”，小股东类似“小猪”。纳什均衡是，大股东担 当起搜集信息、监督经理的责任，小股东则搭大股东的便 车。 股票市场上炒股票也是如此。股市上有大户，也有小户， 大户类似“大猪”，小户类似“小猪”。这时候，对小户 而言，“跟大户”是最优选择，而大户则必须自己搜集信 息，进行分析。 还有市场中大企业与小企业之间的关系。进行研究开发， 为新产品做广告，对大企业是值得的，对小企业则得不偿 失。所以，一种可能的情况是，小企业把精力花在模仿上， 或等待大企业用广告打开市场后出售廉价产品。 14
一、占优战略均衡
占优战略：如果一个参与人的最优战略不依赖于 其他参与人的战略选择，即不论其他参与人选择 什么战略，他的最优战略是唯一的，这样的最优 战略被称为“占优战略”（例1） 占优战略、劣战略：一般地，si*称为参与人i的 （严格）占优战略，如果对应所有的s－i，si*是i的 严格最优选择，即： ∀ si’≠si* ui(si*,s－i)＞ui(si’,s－i) ∀ s－i 对应地，所有的si’≠si*被称为“劣战略”。
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例1：囚徒困境问题
（返回） 返回2 返回3
囚徒2 不坦白 坦白 －8,0 －5，－5
囚徒1
不坦白 坦白
－1，－1 0，－8
Fra Baidu bibliotek
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二、重复剔除的占优均衡
“重复剔除严格劣战略”的思路：首先找出某个参与人的 重复剔除严格劣战略”的思路： 重复剔除严格劣战略 劣战略（假定存在），把这个劣战略剔除掉，重新构造一 个不包含已剔除战略的新的博弈；然后再剔除这个新的博 弈中的某个参与人的劣战略；继续这个过程，一直到只剩 下一个唯一的战略组合为至。这个唯一剩下的战略组合就 是这个博弈的均衡解，称为“重复剔除的占优均衡” （例2） 定义： 令si’和si”是参与人i可选择的两个战略（即si’∈Si 定义 ： si” ∈Si）。如果对于任意的其他参与人的战略组合s－i,参 与人i从选择si’得到的支付严格小于从si”选择得到的支付， ∀ 即：ui(si’,s－i)＜ui(si”,s－i) s－i 我们说战略si’严格劣于战略si”。通常，si’称为相对于si”的 劣战略；对应地，si”称为相对于si’的占优战略。占优战略 均衡中的占优战略si*是相对于所有si’≠si*的占优战略。
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例7 有一个垄断者已在市场上（称为“在位者”），另一 个企业虎视眈眈想进入（称为“进入者”）。进入者有两 个战略可以选择：（进入，不进入）。在位者也有两个战 略：（默许，斗争）。假定进入之前的垄断利润为300， 进入之后寡头利润为100，进入成本为10。各种战略组合 下的支付矩阵如下表 在位者 默许 进入者 进入 不进入 40,50 0，300 斗争 －10,0 0，300
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纳什均衡是一致性预测
纳什均衡是参与人将如何博弈的“一致性”预测： 如果所有参与人预测一个特定的纳什均衡将会出 现，那么，没有人有兴趣作不同的选择。从而， 纳什均衡且只有纳什均衡具有这样的特征：参与 人预测到均衡，参与人预测到其他参与人预测到 均衡，等等。 注意：说纳什均衡是一致性预测并不意味着纳什 均衡一定是一个好的预测。
第二章 完全信息静态博弈
第一节 基本概念 所谓完全信息静态博弈即各博弈方同时决策， 所谓完全信息静态博弈即各博弈方同时决策，且所有博弈方 对博弈中的各种情况下的得益都完全了解的博弈问题。 对博弈中的各种情况下的得益都完全了解的博弈问题。 完全信息：是指每个参与人对所有其他参与人的特征（ 完全信息：是指每个参与人对所有其他参与人的特征（包括 战略空间、支付函数等）有完全的了解， 战略空间、支付函数等）有完全的了解， 静态：指的是所有参与人“同时”选择行动且只选择一次。 静态：指的是所有参与人“同时”选择行动且只选择一次。 纳什均衡：是完全信息静态博弈解的一般概念。 纳什均衡：是完全信息静态博弈解的一般概念。 博弈分析的目的：是预测博弈的均衡结果， 博弈分析的目的：是预测博弈的均衡结果，即给定每个参与 人都是理性的，每个参与人都知道每个参与人都是理性的， 人都是理性的，每个参与人都知道每个参与人都是理性的， 每个参与人的最优战略是什么？ 每个参与人的最优战略是什么？所有参与人的最优战略组合 是什么？ 是什么？ 1
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定义：（占优战略均衡）在博弈的战略式表述中，如果对 于所有的i，si*是i的占优战略，那么，战略组合s*＝ （s1*，…，sn*）称为占优战略均衡。 注意：（1）在一个博弈里，如果所有参与人都有占优战 略存在，那么，占优战略均衡是可以预测到的唯一的均衡， 因为没有一个理性的参与人会选择劣战略。 （2）占优战略均衡只要求每个参与人是理性的，而并不 要求每个参与人知道其他参与人是理性的（也就是说，不 要求“理性”是共同知识），这是因为，不论其他参与人 是否是理性的，占优战略总是一个理性参与人的最优选择。 （3）个人理性与团体理性的冲突
i i
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2．求解博弈的几种方法：
（1）划线法：在两人有限战略博弈中，解纳什均衡的一 个简单方法：首先考虑A的战略，对于每一个B的给定的 战略，找出A的最优战略，在其对应的支付下划一横杆， 然后再用类似的方法找出B的最优战略。在完成这个过程 后，如果某个支付格的两个数字下都有杆，这个数字格对 应的战略组合就是一个纳什均衡。（ 例1 ，例2 ，例3 ， 例4 ，例5 ） （2）箭头法：箭头法的思路是对博弈中的每个策略组合， 判断各博弈方能否通过单独改变自己的策略而改善自己的 得益，如能，则从所考察的策略组合的得益引一箭头到改 变策略后的策略组合对应的得益。这样对每个可能的策略 组合都考察过以后，根据箭头反映的情况来判断博弈的结 果。我们仍用划线法所用的几个博弈作为例子。 9
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定义： 定义：si’弱劣于战略 si”，如果对于所有的s－i ui(si’,s－i)≤ui(si”,s－i)，且对于某些s－i严格不等式成立。si”称 为相对于 si’的弱占优战略。 重复剔除的占优均衡： 重复剔除的占优均衡：战略组合s*＝（s1*，…，sn*）称为重 复剔除的占优均衡，如果它是重复剔除劣战略后剩下的唯一 的战略组合。如果这种唯一的战略组合是存在的，我们说该 博弈是重复剔除占优可解的。（例3） 注意：（1）均衡结果与劣战略的剔除顺序有关。如果每次 剔除的是严格劣战略，均衡结果与剔除的顺序无关；如果剔 除的是弱劣战略，均衡结果可能与剔除顺序有关。（见例4） （2）重复剔除的占优均衡不仅要求每个参与人是理性的， 而且要求“理性”是参与人的共同知识。而占优战略均衡不 要求“理性”是参与人的共同知识。 （3）博弈的结果对行为的不确定性是很敏感的，即使只是 很小的不确定性。（见例5） (4)占优战略均衡一定是重复剔除上占优均衡，反之不真。 6
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在这个博弈里，如果剔除按V、R、M、D进行，（U，L） 是剩下的战略组合；另一方面，如果剔除按M、D、L、V 的顺序进行，（U，R）是剩下的战略组合。由于这个原 因，我们一般使用严格劣战略剔除。用严格劣战略剔除的 办法，这个博弈是不可解的。 （返回） 返回
参与人B L 参与人A U D 8,10 7,6 R -1000,9 6,5
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例3（重复剔除的占优均衡的例子）
参与人B L 参与人A U D 1,0 0,3 M 1,2 0,1 R 0,1 2,0
（U，M）是剔除的占优均衡
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(返回） 返回
例4（重复剔除的占优均衡的例子）
参与人B L 参与人A A U D V 2,12 0,12 0,12 M 1,10 0,10 0,10 R 1,12 0,11 0,13
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例2（重复剔除的占优均衡的例子）“智猪博 弈”。
猪圈里圈着两头猪，一头大猪，一头小猪，猪圈的一头有 一个猪食槽，另一头安装着一个按钮，控制着猪食的供应。 按一下按钮，8个单位的猪食进槽，但需要支出2个单位的 成本。若大猪先到，大猪吃到7个单位，小猪只能吃到1个 单位；若小猪先到，大猪和小猪各吃到4个单位；若两猪 同时到，大猪吃到5个单位，小猪吃到3个单位。试求该博 弈的均衡解。（返回2） 小猪 按 大猪 按 等待 13 3,1 7，－1 等待 2,4 0，0
3．纳什均衡有强弱之分。
上述定义给出的是弱纳什均衡的概念。一个纳什 均衡是强的，如果给定其他参与人的战略，每一 个参与人的最优选择是唯一的。就是说，s*是一 个强纳什均衡，当只当对于所有的i，si’≠si*， ui(si*,s-i*)＞ui(si’,s-i*)。如果一个纳什均衡是强的， 没有任何参与人在均衡战略与某些其他战略之间 是无差异的；对比之下，在弱纳什均衡的情况下， 有些参与人可能在均衡战略与非均衡战略之间是 无差异的。强纳什均衡对博弈支付矩阵的小小变 化并不敏感。