第一讲偏好、效用与消费

数， x Rn ，那么集合 L {x : x X , f (x) a} 对于 a R
存在： x1 (1 )x2 X ,则对
0 X
◆下限性：
，即选择不消费。
一、偏好与效用
x2
x1
非凸集
源自文库x2
严格凸集
x1
x1
x2
x2
非严格凸集
x1
图1－1凸集的图解
一、偏好与效用
2.偏好关系
(1)偏好关系的定义
指定义在消费集 X 中的二项关系，表明同一消费集中，
两个消费束哪个更受消费者喜爱。设两个消费束
则有x 2 以下三种关系：
和x1 ，
~ ~ ◆若 x1 x2，则x1和 x2无差异， 表示没有差异；
◆若 x1f x2 ，则 x1 优于 x2， f 表示严格偏好关系；
◆若 关系。
x1f x %
2
，则
x1
至少与
x2
一样好，f%表示弱偏好
一、偏好与效用
(2)偏好关系的三个公理
界定了消费者的理性状态
◆完备性：对于任何X 中的
u[ x0 (1 )x1] u(x0 ) (1 )u(x1)
则称 u(x) 为严格的凹函数；反之为严格凸函数。
一、偏好与效用
u ( x1 )
u[ x0 (1 )x1]
u(x0 ) (1 )u(x1) u(x0 )
x0
图1－8 凹函数图解
x1 x
一、偏好与效用
u(x)
u ( x1 )
u(x0 ) (1 )u(x1)
? 则 x0f x1；但如果 x0? x1，则 x0 f x1 。“ ”
意味着%“数量上严格多于”；“ ”表示“数量至少一样多”，
说明数量上的比较可以是偏好上的比较。
x2
凹向圆点
凸向圆点
x0
图1－5
x1
图1－5由图1－4去掉“向上弯曲”的部分得到
一、偏好与效用
◆偏好的凸性及严格凸性 凸性：若 x1f x0，则对于所有 ［0，1］，都有
际效用。
u(•) ，称
xi
u(•) xi 为
xi
的边
（3）效用函数的单调变换(教材P11－12)
定义：当 u1 u2意味着 f (u1) f (u2 ) 时，则称 f (u)为 原效用函数 u(x)的单调变换。
单调变换说明对某一偏好关系来说，其函数形式不唯一
常见的单调变换有
◆对原效用函数乘上一个正数； ◆对原效用函数加上人任意一个数； ◆对原效用函数取奇次幂； ◆对数函数与指数函数互为单调变换函数。
R
R
n
n
，“至少一样好”集 。
f( %
x)
x2
由“虚”变”
x0
实”
x0
x1
图1－3
一、偏好与效用
x ◆偏好的局部非厌足性：x0为一给定的消费计划，对于所有x0
都存在某个消费计划 x ,使得 x f 0。
R n
x2
变为一条无厚度”细
x0
线”
图1－4
x1
一、偏好与效用
◆偏好的单调性：对于所有的 x0，x1 Rn ，如果 x0 x1
f %
x1 (1 ) x0 x0
%
严格凸性：若 x1 f x0，则对于所有的 （0，1），都有
x2 x1
x1 (1 ) x0f x0
x2
x x2 x0
x1
x
x1
图1－6
x2 x1
图1－7
一、偏好与效用
3.效用函数
（1）效用函数的概念
对于所有的 x0f x1 ，x0 x1R，n 当且仅当u(x0 ) u(x1)，则 实函数 u ：Rn R 被称为代表偏好关系的函数，即效用函
数。
●常见的效用函数
◆ u(x1, x2 ) [x1 x2 ]1/ ，0 1
◆
u(x1, x2 )
Ax1
•
x 1 2
◆ u(x1, x2 ) x1x2
一、偏好与效用
（2）边际效用(教材P5－6)
定义：有一个效用函数为 u(x1, x2,L L L , xn ) ，求其关
于xi的一阶偏导，得
一、偏好与效用
（4）效用函数的性质 凹（凸）性
u(x) 是定义在消费凸集 X Rn中的实值函数。
◆凹（凸）函数：对于任意 x0，x1 X ，当 0 1 ，
u[ x0 (1 )x1] u(x0 ) (1 )u(x1) 则称 u(x) 为凹函数；反之为凸函数。
◆严格凹（凸）函数：对任意 x，0x1 X ，x0 x1 ，当 0 1
u[ x0 (1 )x1]
u(x0 ) x
x0 x0 (1 )x1 x1
图1－9 凸函数图解
一、偏好与效用
拟凹性 u(x)是定义在消费凸集 X Rn中的效用函数。
◆拟凹函数：对于任意 x，0 x1 X ，当 u(x1) u(x0 ) ，0 1 存在关系： u[ x0 (1 )x1] u(x0 ) 则称 u(x) 为拟凹函数。
第一讲 偏好、效用与消费
۩ 偏好与效用 ۩ 消费者基本问题
一、偏好与效用
1.消费集
(1)消费集的概念
◆商品向量（消费束） x ，又称消费计划（用 x (x1, x2 ,L L L , xn ) Rn 表示）。
◆商品空间：为有可能的商品向量的集合，用欧氏
空间来表达（ Rn ），每一个消费束是此空间中的一个点。
◆严格拟凹函数：对任意 x，0x1 X ，x0 x1，
当 u(x1) u(x0 ) ，0 1 时 存在关系： u[ x0 (1 )x1] u(x0 ) 则称 u(x) 为严格的拟凹函数。
一、偏好与效用
4.无差异曲线
(1)无差异曲线概念
◆上水平集（或上登高集）：设函数 f : X R 是一个凹函
◆消费集，又称选择集，用X 来表示。则 X Rn
一、偏好与效用
(2)消费集的性质
◆非空性： X Rn
◆封闭性：包括所有的极限点（边界），因此，是连续的。
含◆在消凸该x费集2集：内一(。x个1即2消,，x费2若2集,xL1中任L(x1意1,,x两x21n,个L2 )消L费, xXn计1)划X的线性组0 合, 仍包1,
x2 x0
x0
图1－2
x1
图中位于曲线上（不含虚线）点的集合以及虚线内的点的集合
所代表的消费束与点x 0所代表的消费束无差异。
一、偏好与效用
(3)偏好关系性质的四个假定
是三个公理基础上进一步限制，主要是为了将偏好关 系转换成效用函数之便利。
◆偏好的连续性：对于所有的 x
与“非优于”集
p( %
x)，都是闭于
者 x2f x1 。
x1 x2
，或者
x1f%x 2
或
%
◆自反性：对所有的 xX ，x f x 。即一个消费计划
至少与它本身一样好。
%
◆传递性：对于任何三个消费计划 x，1 x，2x 3 X ，
如果
x1f x2 ，且 %
x2f x3 %
,那么
x1 f x3 。 %
一、偏好与效用
◆满足上述三个公理的无差异集