《数学分析》第五章 导数与微分

第五章 导数与微分 (计划课时:1 2时)

§1 导数的概念 ( 2 时)

一． 导数的背景与定义：

1． 背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度. 2.

导数的定义: )(0x f '定义的各种形式. )0(f '的定义. 导数的记法.

有限增量公式: .0 ),( )(0→∆∆+∆'=∆x x x x f y 例1 ,)(2

x x f = 求). 1 (f '

例2 设函数)(x f 在点0x 可导, 求极限 .)

3()(lim

000

h

h x f x f h --→

3.

单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.

例3 . )(x x f = 考查)(x f 在点0=x 的可导情况.

例4 设⎩⎨

⎧<≥-=.

0,

,0,

cos 1)(x x x x x f 讨论)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数.

二. 导数的几何意义:

可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例5 求曲线2

)(x x f y ==在点) 1 , 1 (处的切线与法线方程.

三. 可导与连续的关系:

Th1 若函数f 在点0x （左、右）可导，则f 在点0x （左、右）连续.

例6 证明函数)()(2

x D x x f =仅在点00=x 处可导,其中)(x D 为Dirichlet 函数.

四 导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法.

.)

()(lim )(0x

x f x x f x f x ∆-∆+='→∆

(注意:x sin 等具体函数的导函数不能记为,n si x ' 应记为.)(sin 'x ) 例7 求下列函数的导数：⑴ ,)(n

x x f = ⑵x x f sin )(=， ⑶x x f a log )(=.

五 导函数的介值性:

1 极值的定义

例8 证明: 若,0)(0>'+x f 则),(,000δδ+∈∀∍>∃x x x ,有)()(0x f x f <. 2 取极值的必要条件: Th2 (Fermat 定理)

3 导函数的介值性:

引理 (导函数的介值性)若函数f 在闭区间],[b a 上可导, 且,0)()(<''-+b f a f 则

.0)( ),,( ='∍∈∃ξξf b a ( 证 )

Th3 (Darboux 定理)设函数)(x f 在区间],[b a 上可导且)()(b f a f '≠'. 若k 为介于

)(a f '与)(b f '之间的任一实数, 则.)( ),,(k f b a ='∍∈∃ξξ

(设),()(a f k b f '<<'对辅助函数kx x f x F -=)()(,应用系4的结果.) ( 证 ) Ex [1]P 94—95 1—9

§2 求 导 法 则( 4时)

一 导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式. (只证“⨯”和“÷”)

例1 .95)(2

3π+-+=x x x x f 求).(x f '

例2 .ln cos x x y = 求.|π='x y ( ). 1

π

-

例3 .122

x x y +-=

求.dx dy

例4 证明: . ,) (1+---∈-='Z n nx x

n n

( 用商的求导公式证明 ).

例5 证明: .csc ) ( ,sec ) (2

2

x ctgx x tgx -='=' 例6 证明:

.sec sec xtgx x dx

d

=. 二 反函数的导数: 推导公式并指出几何意义.

例8 证明反三角函数的求导公式. ( 只证反正弦 ) Ex [1]P 102 1，2.

三 复合函数的导数：推导复合函数的求导公式.

例9 设,sin 2

x y =求y '.

例10 设α为实数，求幂函数)0( ≥=x x y α

的导数. 解 (

).1ln ln -=⋅

=⋅

='='αααααα

α

x x

x x

e

e

y x

x

例11 ,1)(2+=

x x f 求 )0(f '和). 1 (f ' 例12 ),1ln(2++=x x y 求 .y '

例13 ,1

2

x

tg

y = 求 .y ' 四 取对数求导法:

例14 设2

15312

)

4()2()4()5(++-+=

x x x x y , 求 .y '

例15 ().sin ln x

x y = 求 .y '

例16 设)

()

(x v x u y =, 其中0)(>x u ,且)(x u 和)(x v 均可导, 求 .y '

五 基本求导法则与公式:

1 基本求导法则.

2基本初等函数导数公式. 公式表: [1]P 101.

Ex [1]P 102 3，4.

§3 参变量函数的导数

1 设曲线C 的参变量方程为⎩⎨

⎧≤≤==)().

(),

(βαψϕt t y t x ,设函数)

( ),(t y t x ψϕ==可导且

,0)(⇒≠'t ϕ.)

()(t t dx dy ϕψ''=