等腰三角形性质定理 (提高) 知识讲解

等腰三角形性质定理（提高）

责编：杜少波

【学习目标】

1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性

2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识．

3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．

4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．

【要点梳理】

要点一、等腰三角形的定义

1.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

2.等腰三角形的作法

已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.

作法：1.作线段BC=a；

2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，

两弧相交于点A;

3.连接AB,AC.

△ABC为所求作的等腰三角形.

3.等腰三角形的对称性

(1)等腰三角形是轴对称图形

(2)∠B＝∠C

(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.

(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.

结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.

4.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.

要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不

能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180

2

A

︒-∠

.

（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些，能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.

(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.

等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据

要熟记于心，比如边长为a a2.

【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．

推论：等边三角形的各个内角都等于60°.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．

2.等腰三角形的性质的作用

证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．

3.尺规作图：已知底边和底边上的高

已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.

作法：1.作线段BC=a.

2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.

3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中的分类讨论

【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（1）】

1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．

A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°

【答案】D；

【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．

(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；

(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意； (3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D ．

【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为120°这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形． 举一反三：

【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】

【变式1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边． 【答案】

解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7； (2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长1

1052

=

⨯=． 这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．

而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．

∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．

【变式2】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是 ． 【答案】50°或80°．

解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角， 则此顶角为：180°﹣100°=80°， 则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；

②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角， 则此底角为：180°﹣100°=80°；

故这个等腰三角形的底角为：50°或80°． 故答案为：50°或80°． 类型二、等腰三角形的操作题

2、（2016•顺义一模）我们把过三角形的一个顶点，且能将这个三角形分割成两

个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．

例如：如右图，Rt △ABC ，取AB 边的中点D ，线段CD 就是△ABC 的等腰线段．

（1）请分别画出下列三角形的等腰线段；

C A