人教版八年级数学上典中点第十二章整合提升专训二(含答案)

专训二：四种常见的几何关系的探究名师点金：全等三角形的性质和判定是初中数学的重点内容，也是学习其他几何知识的基础，三角形全等的判定和性质是证明线段相等、角相等的重要依据，并由此还可以获得直线之间的垂直(平行)关系，线段(面积)的和、差、倍、分关系．

位置关系

1．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，CN＝AB.求证：AM⊥AN.

(第1题)

相等关系

2．(2015·珠海)已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.

(1)如图①，连接BD，AF，则BD________AF.(填“＞”“＜”或“＝”号)

(2)如图②，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF.求证：BA＝GF.

(第2题)

和差关系

3．如图，∠BCA ＝α，CA ＝CB ，C ，E ，F 分别是直线CD 上的三点，且∠BEC ＝∠CFA ＝α，请提出对EF ，BE ，AF 三条线段之间数量关系的合理猜想，并证明．

(第3题)

倍数关系

4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝∠A ，∠ACB ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别交AC ，CB(或它们的延长线)于点E ，F.

当∠EDF 绕点D 旋转到DE ⊥AC 于点E 时(如图(1))，易证S △DEF ＋S △CEF ＝12

S △ABC ；当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时，在图(2)和图(3)这两种情况下，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，S △DEF ，S △CEF ，S △ABC 又有怎样的关系？请说明你的猜想，不需证明．

(第4题)

专训二

1．证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠1＋∠BAC＝90°，∠2＋∠BAC＝90°.

∴∠1＝∠2.

又∵BM＝CA，AB＝NC，

∴△ABM≌△NCA.

∴∠3＝∠N.

∵∠N＋∠4＝90°，

∴∠3＋∠4＝90°，即∠MAN＝90°.

∴AM⊥AN.

(第1题) 2．(1)＝

(2)证明：将△DEF沿FE方向平移，使点E与点C重合，设ED平移后与MN相交于R，如图，

(第2题)

∵MN∥BC，RC∥EH，

∴∠GRC＝∠RHE＝∠DEF，∠RGC＝∠GCB，

易得∠GRC＝∠RGC，∴△CGR是等腰三角形．∴CG＝CR.

又∵MN∥BF，CR∥EH，∴四边形RCEH为平行四边形，∴CR＝EH.

∴CG＝HE.

由平移的性质得BC＝EF，

∴BC＋CE＝CE＋EF，即BE＝CF.

易得∠HEB＝∠GCF，

∴△BEH≌△FCG(SAS)，

∴BH＝FG.

3．解：猜想：EF＝BE＋AF.

证明：∵∠BCE＋∠CBE＋∠BEC＝180°，

∠BCE＋∠ACF＋∠BCA＝180°，

∠BCA＝α＝∠BEC，

∴∠CBE＝∠ACF.

又∵∠BEC＝∠CFA＝α，CB＝AC，

∴△BEC≌△CFA(AAS)．

∴BE＝CF，EC＝FA.

∴EF＝CF＋EC＝BE＋AF.

(第4题)

4．解：在题图(2)中结论仍成立；在题图(3)中不成立．

对于题图(2)证明如下：

如图，过点D 作DM ⊥AC ，DN ⊥BC ，垂足分别为M ，N ， 则∠DME ＝∠DNF ＝∠MDN ＝90°.

又∵∠A ＝∠ABC ，∠AMD ＝∠BND ＝90°，且易知DA ＝DB ， ∴△ADM ≌△BDN ，∴DM ＝DN.

∵∠MDE ＋∠EDN ＝∠MDN ＝90°，∠EDN ＋∠NDF ＝∠EDF ＝90°， ∴∠MDE ＝∠NDF.

∴△DME ≌△DNF.

∴S 四边形DMCN ＝S 四边形DECF ＝S △DEF ＋S △CEF .由题图(1)可知S 四边形DMCN ＝12

S △ABC ，∴S △DEF ＋S △CEF ＝12

S △ABC . 在题图(3)中，S △DEF ，S △CEF ，S △ABC 之间的关系是S △DEF －S △CEF ＝12

S △ABC .