离散数学(刘任任版)第2章答案

因此, s(R1) s(R2 ) { 1,2 , 2,1 }, 故s(R1 R2 ) s(R1) s(R2 )
(3)由定义，wenku.baidu.com
t(R1) R1 R12 ,t(R2 ) R2 R22 ,
t(R1∩R2)=(R1∩R2)∪(R1∩R2)2∪∧ 于是 t(R1)∩t(R2)=((R1∩R2)∪(R1∩R22)∪∧)
12.
设R1 R2,则显然A / R1 A / R2 反之,设A / R1 A / R2 若R1 R2,则不妨设 x, y R1 但 x, y R2
于是[x]R1 [ y]R1 ,[x]R2 [ y]R2
而由A/R1=A/R2 ,有对任意x∈A,因为[x]R1∈ A/R2
并且x故∈R[x1]R1R∩2[x]R2，所以[x]R1=[x]R2。产生矛盾。
β(A×A-{<x,x>})=2n2-n
(4)共有2n 2n(n1)/ 2 2n(n1)/ 2 种定义在A上
的不同的对称关系; 说明: ∵A上的对称关系必须满足：如果<x,y>在
这个关系中，则<y,x>也必须在这个关系中。 ∴在构造A上的对称关系的时候可以先将所有 的<x,y>和<y,x>（其中x≠y）看成是一个整体。 ∴要考虑的序偶的个数有：
R2={<1,3>} 则t(R1)={<1,2>,<2,3>,{<1,3>},
t(R2)={<1,3>}, t(R1)∩t(R2)={<1,3>},
R1∩R2= , t(R1∩R2)=
10.说法不正确.
这是因为自反性要求对任意的x和x都有关 系R, x和y有没有关系R,我们不考虑；但 是,我们题目中得出的结论x和x具有关系R, 是以对称性为前提条件的,所以我们知道该 论述不正确。
R10 R20 (R1 R2 )0，于是 (1)r(R1 R2 ) (R1 R2 ) (R1 R2 )0
(R1 R2 ) R10 (R1 R10 ) (R2 R10 ) (R1 R10 ) (R2 R20 ) r(R1) r(R2)
(2)s(R1 R2 ) (R1 R2 ) (R1 R2 )1 s(R1) R1 R11, s(R2 ) R2 R21
习题二
1.
(1). R={<1,1>,<1,3>,<3,1>,<3,3>} (2). R={<1,0>,<2,1>,<4,2>,<8,3>}
2.
设R是定义在集合A上的二元关系。 (1). 设A= ，则R= 既是自反的又是反自 反的. (2). 令A={1，2}，R={<1，1>}，于是R既 不是自反又不是反自反的； (3). 令A={1，2}，R={<1,1>,<2,2>},于是R 既是对称又是反对称的；
13.
设R { y, x | x y(mod 5)}, 于是
[0]R {...15,10,5,0,5,10,15...} [1]R {...14,9,4,1,6,11,16...} [2]R {...13,8,3,2,7,12,17...} [3]R {...12,7,2,3,8,13,18...} [4]R {...11,6,1,4,9,14,19...} A / B {[0]R,[1]R,[2]R,[3]R,[4]R}
(2) 反自反关系矩阵的主对角线上元素全为0; 而关 系图中每个结点上均无圈（即若关系R是反自反 的，当且仅当在关系矩阵中，对角线上的所有元 素都是0，在关系图上每个结点都没有自回路） 。
(3) 对称关系矩阵为对称矩阵; 而关系图中任何两 个结点之间的有向弧是成对出现的, 方向相反。
（即若关系R是对称的，当且仅当关系矩阵是对称 的，且在关系图上任两个结点若有定向弧线， 则定向弧线必定是成对出现的）
<zn-1,y>∈R1 R1∪R2
从而 x, y (R1 R2 )n
举例说明“ ”成立。设
A {1,2,3},R1 { 1,2 },R2 { 2,3 }于是
t(R1 R2 ) { 1,2 , 1,3 , 2,3 } t(R1) t(R2 ) { 1,2 , 1,3 }
9.
设R1和R2是集合A上的二元关系。注意到
(4) 反对称关系矩阵 M R (rij )nn 的元素满足： 当i≠j 时 ， rij rji 0 。
而关系图中任何两个结点之间的有向弧是单向的。 （即若关系R是反对称的，当且仅当关系矩阵中 以对角线对称的元素不能同时为1，在关系图上 任两个结点的定向弧线不可能成对出现）
5.
R·S={<1,4>,<1,3>},S·R={<3,4>}; R 2={<1,1>,<1,2>,<1,4>}; S 2={<2,2>,<3,4>,<3,3>}.
∪((R12∩R22)∪(R12∩R2) ∪∧) ∪∧
下证对任意的n≥1,有(R1∩R2)n (R1n∩R2n) 证明:任取<x,y>∈(R1∩R2)n, 则存在n-1个元素z1, z2…zn-1满足<x,z1>∈R1∩R2, <z1, z2>∈R1∩R2,…, <zn-1, y>∈R1∩R2。从而有<x,z1>∈R1 , <z1,
(4). 令A={1,2,3},R={<1,2>,<2,1>,<1,3>}, 于是R既不是对称又不是反对称的。
3.
设A={X1,X2 ,…,Xn}，于是定义在A上的二元关 系R中的元素来自于下列矩阵：
<x1,x1> <x1,x2> … <x1,xn> <x2,x1> <x2,x2> … <x2,xn>
s(R1) s(R2 )
(ii)若 x,y (R1 R2 )1, 则 y,x (R1 R2 ),即
y,x R1,且 y,x R2,从而, x, y R11 R1 R11,且, x, y R21 R2 R21,于是, x,y (R1 R11) (R2 R21)
又(S T ) P ,S P { 1,1 }, T P { 3,1 , 1,1 }
因此(S P) (T P) { 1,1 }
从而(S T ) P (S P) (T P)
7.
(1) 正确。因为对任意x∈A，有xRx，xSx,所以 x(R·S)x。故R·S是自反的。 (2) 错误。例如，设x,y∈A，x≠y,且xRy，ySx， 于是x(R ·S)x。故R ·S不是反自反的。
于是t(R1) t(R2 ) R1 R12 R2 R22 (R1 R2 ) (R12 R22 )
下证对任意 n 1有R1n R2n (R1 R2 )n 任取 x,y R1n R2n 不妨设 x,y R1n
于是存在z1,z2,zn-1,满足：
x,z1 R1 R1 R2, z1,z2 R1 R1 R2, ,
…. <xn,x1> <xn,x2> … <xn,xn>
(1)共有2n2 种定义在A上的不同的二元关系； 说明: ∵|A|=n ∴ |A×A|=n2
∴|β(A×A)|=2n2
(2)共有 2n2n 种定义在A上的不同的自反关系；
说明: ∵A上的自反关系必须满足所有形如 <x,x>的序偶包含在关系中，而形如<x,x>的 序偶有n个。即|A×A-{<x,x>}|=n2-n
6.
设 R={<3,1>,<3,2>},T={<1,3>,<3,2>},S={<1,2 >,<2,3>},P={<2,1>,<3,1>},
于是有S T ,R (S T ) , R S { 3,2 , 3,3 },R T { 3,3 } 因此(R S) (R T ) { 3,3 } 从而R (S T ) (R S) (R T )
s(R1) s(R2 ) 故s(R1 R2 ) s(R1) s(R2 ).
举例说明" "成立 :
设A {1,2},R1 { 1,2 },R2 { 2,1 }, 于是,
s(R1 R2 ) (R1 R2 ) (R1 R2 )1 1 ,而
s(R1) R1 R11 { 1,2 , 2,1 }, s(R2 ) R2 R21 { 1,2 , 2,1 }
s(R1) s(R2 ) (R1 R11) (R2 R21)任取 x, y s(R1 R2 ) (R1 R2 ) (R1 R2 )1 (i)若 x,y (R1 R2 ),
则 x, y R1 R1 R11,且 x, y R2 R2 R21,从而 x,y (R1 R11) (R2 R21)
(3)错误。例如，设对称关系 R={<x,z>,<z,x>},S={<z,y>,<y,z>}。 则R·S={<x,y>} 故R·S不是对称的。
(4) 错误。例如，设反对称关系 R={<x,z>,<y,w>},S={<z,y>,<w,x>},x≠y。 于是，R·S={<x,y>,<y,x>}。故R·S不是反 对称的。
∴在构造A上的自反关系的时候可以先将所 有的<x,x>放到这些关系中再考虑其他序偶的 组合。即|β(A×A-{<x,x>})|=2n2-n
(3)共有 2n2n 种定义在A上的不同的反自反关
系；说明: ∵A上的反自反关系必须满足所有 形如<x,x>的序偶不能包含在关系中，
∴在构造A上的反自反关系的时候可以先将所 有的<x,x>拿出后再考虑其他序偶的组合。即
(2)s(R1 R2 ) (R1 R2 ) (R1 R2 )1 (R1 R2 ) (R11 R21) (R1 R11) (R2 R21)
s(R1) s(R2 )
(3)由定义，
t(R1) R1 R12 ,t(R2 ) R2 R22 ,
t(R1 R2 ) ( R1 R2 ) (R1 R2 )2 ,
自反性 反自反 对称性 反对称 传递性
R-1
√
√
√
√
√
R∩S
√
R∪S
√
R-S
×
R.S
√
√
√
√
√
√
√
×
×
√
√
√
×
×
×
×
×
思考：假设R，S是定义在有限集合A上的 满足下表列标题性质的二元关系，试判 断下表行标题所列二元关系是否具有相 应性质。
8.
(1)r(R1 R2 ) (R1 R2 ) (R1 R2 )0 (R1 R2 ) (R10 R20 ) (R1 R10 ) (R2 R20 ) r(R1) r(R2 )
11.
设R是等价关系。若<x,y>,<x,z>∈R，则由 R的对称性知, <y,x> ∈R。再由R的传递 性有<y, z>∈R。
反之, 假设只要<x, y>, <x, z> ∈R，就有<y, z>∈R。
(1)对称性。 设< x, y >∈R，由自反性有 <x, x>∈R。于是<y, x>∈R。
(2)传递性。 设<x, y>, <y, z>∈R。由对称 性有<y, x>∈R, 再由假设有<x, z>∈R。
(5) 错误。例如，设传递关系 R={<x,w>,<y,v>},S={<w,y>,<v,z>},w≠v。 于是，R·S={<x,y>,<y, z>}，显然， R·S 不是一个传递关系。
思考：假设R，S是定义在有限集合A上的满足 下表列标题性质的二元关系，试判断下表行标 题所列二元关系是否具有相应性质。
z2>∈R1,…, <zn-1, y>∈R1并且<x,z1>∈R2 , <z1, z2>∈R2,…, <zn-1, y>∈R2。
所以有<x,y>∈R1n 并且<x,y>∈R2n，即 <x,y>∈R1n ∩R2n
所以(R1∩R2)n (R1n∩R2n) 例如：设A={1，2，3}，R1={<1,2>,<2,3>},
14.
证明 S {Ai Bj | Ai Bj } (1)由S定义知, Ai Bj (2)任取Ai Bi S和Al Bm S, 1 i, j r,1 j, m s ( Ai Bj ) ( Al Bm ) ( Ai Am ) (Bj Bm )
n+(n2-n)/2=n(n+1)/2 ∴β({<x,x>}+(A×A-{<x,x>})/2)=2(n2+n)/2
(5)共有
m
2n
C
k m
2mk
种定义在A上的不同
的反对称，
k 0
其中，m
n(n 1)
。
2
4.
(1) 自反关系矩阵的主对角线上元素全为1；而关系 图中每个结点上都有圈（即若关系R是自反的， 当且仅当在关系矩阵中，对角线上的所有元素都 是1，在关系图上每个结点都有自回路）。