高中数学必修四平面向量知识点总结及训练题
平面向量“四心”知识点总结与经典习题【强烈推荐】
平面向量“四心”知识点总结与经典习题【强烈推荐】平面向量的“四心”是指三角形的外心、内心、重心和垂心，它们各自具有特殊的性质。
在高中数学中，向量问题经常与“四心”问题结合考查。
因此，熟悉向量的代数运算和几何意义是解决这类问题的关键。
四心知识点总结如下：重心：1.重心是三角形三条中线的交点，也是重心到三角形三个顶点距离之和最小的点。
2.重心坐标为$(\frac{1}{3}(x_A+x_B+x_C),\frac{1}{3}(y_A+y_B+y_C))$。
垂心：1.垂心是三角形三条高线的交点，也是垂足到三角形三边距离之积最大的点。
2.若垂心为$O$，则有$OA\cdot OB=OA\cdot OC=OB\cdot OC$。
外心：1.外心是三角形三条中垂线的交点，也是到三角形三个顶点距离相等的点。
2.若外心为$O$，则有$OA=OB=OC$，或$(OA+OB)\cdot AB=(OB+OC)\cdot BC=(OC+OA)\cdot CA$。
内心：1.内心是三角形三条角平分线的交点，也是到三角形三边距离之和最小的点。
2.若内心为$O$，则有$a\cdot OA+b\cdot OB+c\cdotOC=0$，其中$a,b,c$为三角形三边的长度。
下面是一些经典题：1.在$\triangle ABC$中，$D,E,F$分别为$BC,CA,AB$的中点，$M$为重心，则$\vec{AM}$等于（）。
A。
$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$B。
$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$C。
$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$ D。
$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$ 答案：C2.在$\triangle ABC$中，$O$为坐标原点，$P$满足$\vec{OP}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$，则$P$一定在（）上。
必修四平面向量知识点整理+例题+练习+答案
平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：0a b b a a b =-⇔=-⇔+=向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .（ 222222||,||a x y a a x y =+==+。
） 零向量：长度为0的向量。
a ＝O ⇔｜a ｜＝O .【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______2.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____ 2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接连端点． ⑵平行四边形法则的特点：起点相同连对角．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 【例题】（1）①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____； ③()()AB CD AC BD ---=_____（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____ 4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．【例题】（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3--→--→=-，则点P 的坐标为_______baCBAa b C C -=A -AB =B5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，（0b ≠）22()(||||)a b a b ⇔⋅=。
(完整版)高中数学平面向量知识点总结及常见题型
平面向量一.向量的基本概念与基本运算1①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0｜a｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a大小相等，方向相同),(),(2211y x y x2121y y x x2求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC uuu r（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．3① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a =a； (ii) a +(a )=(a )+a =0 ； (iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差，记作：(b a b a求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =a6如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示 1在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r作为基底量的基本定理知，该平面内的任一向量a r 可表示成a xi yj r r r，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r 的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr (2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r，则1212a b x x y y r r若a b rr ，则02121 y y x x3及其各运算的坐标表示和性质三．平面向量的数量积 1已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r ︱·︱b r ︱cos 叫做a r 与b r的数量积（或内积） 规定0a r r2︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影为射影3a r ·b r 等于a r的长度与b r 在a r 方向上的投影的乘积42||a a a a r r r r52222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r6①交换律成立：a b b a r r r r②对实数的结合律成立：a b a b a b R r r r r r r③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r r；（2）消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r 或b r =r7已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r，则a r ·b r =121x x y y 已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800 ）叫做向量a r 与b r的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r =222221212121y x y x y y x x当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x 平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点. （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的.（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD u u u r u u u r. （5）若AB CD u u u r u u u r，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形.（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.（7）若a r 与b r 共线， b r 与c r 共线，则a r 与c r共线. （8）若ma mb r r ，则a b r r.（9）若ma na r r，则m n .（10）若a r 与b r 不共线，则a r 与b r都不是零向量. （11）若||||a b a b r r r r，则//a b r r . （12）若||||a b a b r r r r，则a b r r .题型2.向量的加减运算1.设a r 表示“向东走8km ”, b r 表示“向北走6km ”,则||a b r r.2.化简()()AB MB BO BC OM u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r.3.已知||5OA u u u r ,||3OB u u u r ,则||AB uuu r的最大值和最小值分别为 、 .4.已知AC AB AD u u u r u u u r u u u r 为与的和向量，且,AC a BD b u u u r r u u u r r ，则AB u u u r ，AD u u u r.5.已知点C 在线段AB 上，且35AC AB u u u r u u u r ,则AC u u u r BC uuu r ，AB u u u rBC uuu r .题型3.向量的数乘运算1.计算：（1）3()2()a b a b r r r r （2）2(253)3(232)a b c a b c r r r r r r2.已知(1,4),(3,8)a b r r ，则132a b rr .题型4.作图法球向量的和已知向量,a b r r ，如下图，请做出向量132a b r r和322a b r r .a rb r题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC 中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC u u u r u u u r ，表示AD u u u r. 2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b u u u r u u u r rr ，求AB AD u u u r u u u r 和.题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB u u u r，(2,3)A ，则点B 的坐标是 .2.已知(3,5)PQ u u u r，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 .3.若物体受三个力1(1,2)F r ,2(2,3)F r ,3(1,4)F r,则合力的坐标为 .4.已知(3,4)a r，(5,2)b r ，求a b r r ，a b r r ，32a b r r .5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y r与AB u u u r 相等，求,x y 的值. 6.已知(2,3)AB u u u r ，(,)BC m n u u u r ，(1,4)CD u u u r ，则DA u u u r.7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B ，且30AB BC u u u r u u u r r ，求OC uuu r的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e u r u u r u r u u r 和 B.1221326e e e e u r u u r u u r u r 和4 C.122133e e e e u r u u r u u r u r 和 D.221e e e u u r u u r u r 和2.已知(3,4)a r ，能与a r构成基底的是（ ） A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55 D.4(1,)3题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA u u u r ，150xOA o，求OA u u u r 的坐标.2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||OA u u u r ，60xOA o，求OA u u u r 的坐标.题型9.求数量积1.已知||3,||4a b r r ，且a r 与b r 的夹角为60o，求（1）a b r r ，（2）()a a b r r r ， （3）1()2a b b r r r ，（4）(2)(3)a b a b r r r r .2.已知(2,6),(8,10)a b r r ，求（1）||,||a b r r ，（2）a b r r ，（3）(2)a a b rr r ，（4）(2)(3)a b a b r r r r.题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3a b r r，12a b r r ，求a r 与b r 的夹角.2.已知(2)a b r r，求a r 与b r 的夹角.3.已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求cos BAC . 题型11.求向量的模1.已知||3,||4a b r r ，且a r 与b r 的夹角为60o，求（1）||a b r r ，（2）|23|a b r r .2.已知(2,6),(8,10)a b r r ，求（1）||,||a b r r ，（5）||a b r r ，（6）1||2a b rr .3.已知||1||2a b r r ，，|32|3a b r r ，求|3|a b r r .题型12.求单位向量 【与a r 平行的单位向量：||ae a rr r 】1.与(12,5)a r平行的单位向量是 . 2.与1(1,)2m r平行的单位向量是 . 题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a r，(3,)b m r ，当m 为何值时，（1）//a b r r ？（2）a b r r ？2.已知(1,2)a r，(3,2)b r ，（1）k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r 垂直？ （2）k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r平行？3.已知a r 是非零向量，a b a c r r r r ，且b c r r ，求证：()a b c r rr .题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A ，(2,2)B ，(3,4)C ，求证：,,A B C 三点共线.2.设5),28,3()2AB a b BC a b CD a bu u u r rr u u u r r r u u u r r r ，求证：A B D 、、三点共线.3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b u u u r r r u u u r r r u u u r r r，则一定共线的三点是 .4.已知(1,3)A ，(8,1)B ，若点(21,2)C a a 在直线AB 上，求a 的值.5.已知四个点的坐标(0,0)O ，(3,4)A ，(1,2)B ，(1,1)C ，是否存在常数t ，使OA tOB OC u u u r u u u r u u u r成立？题型15.判断多边形的形状1.若3AB e u u u r r ，5CD e u u u r r ，且||||AD BC u u u r u u u r,则四边形的形状是 .2.已知(1,0)A ，(4,3)B ，(2,4)C ，(0,2)D ，证明四边形ABCD 是梯形.3.已知(2,1)A ，(6,3)B ，(0,5)C ，求证：ABC 是直角三角形.4.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC u u u r u u u r u u u r,求证：ABC 是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a r，(2,1)b r ，当k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r 平行？2.已知a r，且a b r r ，||2b r ，求b r 的坐标. 3.已知a b r r 与同向，(1,2)b r，则10a b r r ，求a r 的坐标.3.已知(1,2)a r ，(3,1)b r ，(5,4)c r，则c r a r b r .4.已知(5,10)a r ，(3,4)b r ，(5,0)c r，请将用向量,a b r r 表示向量c r .5.已知(,3)a m r，(2,1)b r ，（1）若a r 与b r 的夹角为钝角，求m 的范围；（2）若a r 与b r的夹角为锐角，求m 的范围.6.已知(6,2)a r，(3,)b m r ，当m 为何值时，（1）a r 与b r 的夹角为钝角？（2）a r 与br 的夹角为锐角？7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A ，(3,4)B ，(2,1)D ，且//AB DC ，2AB CD ，求点C 的坐标.8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ，(1,3)B ，(3,4)C ，求第四个顶点D 的坐标.9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30o 角，求水流速度与船的实际速度.10.已知ABC 三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(0,0)B ，(,0)C c ，（1）若0AB AC u u u r u u u r，求c 的值；（2）若5c ，求sin A 的值.【备用】1.已知||3,||4,||5a b a b r r r r ，求||a b r r 和向量,a b r r的夹角.2.已知x a b r r r ，2y a b u r r r ，且||||1a b r r ，a b r r ，求,x y r u r的夹角的余弦.1.已知(1,3),(2,1)a b r r ，则(32)(25)a b a b r r r r.4.已知两向量(3,4),(2,1)a b r r，求当a xb a b r r r r 与垂直时的x 的值. 5.已知两向量(1,3),(2,)a b r r，a b r r 与的夹角 为锐角，求 的范围.11 变式：若(,2),(3,5)a b r r ，a b r r 与的夹角 为钝角，求 的取值范围.选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c r r r ，则c r （ ） A.1322a b r r B.1322a b r r C.3122a b r r D.3122a b r r 2.排除法例：已知M 是ABC 的重心，则下列向量与AB u u u r 共线的是（ ）A.AM MB BC u u u u r u u u r u u u rB.3AM AC u u u u r u u u rC.AB BC AC u u u r u u u r u u u rD.AM BM CM u u u u r u u u u r u u u u r。
高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)
高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)1.向量重要结论1) 向量的数量积定义为 $a\cdot b=|a||b|\cos\theta$，其中规定 $a\cdot a=a^2=|a|^2$。
2) 向量夹角公式：设向量 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $\theta$，则 $\cos\theta=\dfrac{a\cdot b}{|a||b|}$。
3) 向量共线的充要条件：向量 $b$ 与非零向量 $a$ 共线$\Leftrightarrow$ 存在唯一的实数 $\lambda\in\mathbb{R}$，使得 $b=\lambda a$。
4) 两向量平行的充要条件：向量 $a=(x_1,y_1)$，$b=(x_2,y_2)$ 平行 $\Leftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0$。
5) 两向量垂直的充要条件：向量 $a\perpb$ $\Leftrightarrow a\cdot b=0$ $\Leftrightarrowx_1x_2+y_1y_2=0$。
6) 向量不等式：$|a|+|b|\geq |a+b|$，$|a||b|\geq |a\cdot b|$。
7) 向量的坐标运算：设向量 $a=(x_1,y_1)$，$b=(x_2,y_2)$，则 $a\cdot b=x_1x_2+y_1y_2$。
8) 向量的投影：设向量 $b$ 在向量 $a$ 方向上的投影为$|b|\cos\theta=\dfrac{a\cdot b}{|a|}$，投影的绝对值称为 $b$ 在$a$ 方向上的投影。
9) 向量：既有大小又有方向的量。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
10) 零向量：长度为 $0$ 的向量，记为 $\vec 0$，其方向是任意的，与任意向量平行。
规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）$\Leftrightarrow |\vec a|=0$ 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)
向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。
必修四平面向量知识点与题型归纳总结
必修四平面向量知识点与题型归纳梳理平面向量的基本概念与线性运算知识点1平面向量的线性运算运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(1)结合律：λ(μ a)＝λμa＝μ(λa)；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点2共线向量定理、平面向量基本定理及应用1．向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线．(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.(3)A，B，C是平面上三点并且在同一条直线上，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得________(如图所示)．三、题型分析(一) 关于平面向量的概念及其特殊向量的概念（零向量与单位向量）例1．给出下列四个命题：①若a b→→=，则a b=；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB DC = ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a b =，b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是a b →→=且//a b . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③B ．①②C ．③④D ．②④【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB DC =，∴AB DC =且//AB DC ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB DC =且//AB DC 方向相同，因此AB DC =. ③正确.∵a b =，∴a b ，的长度相等且方向相同，又b c =，∴,b c 的长度相等且方向相同，∴,a c 的长度相等且方向相同，故a c =.④不正确.当//a b 且方向相反时，即使a b →→=，也不能得到a b =，故a b →→=且//a b 不是a b =的充要条件，而是必要不充分条件.【变式训练1】下列说法正确的是（ ）A ．AB CD ∥就是AB 所在的直线平行于CD 所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段D ．共线向量是在一条直线上的向量【解析】对于A ，若AB ∥CD ，则AB ，CD 的方向相同或相反，AB 所在的直线与CD 所在的直线平行或在同一直线上，故A 错误；对于B ，长度相等且方向相同的向量为相等向量，故B 错误；对于D ，方向相同或相反的向量叫共线向量，故共线向量不一定在同一条直线上，故D 错误．故选：C ． 【变式训练2】下列说法正确的个数是（ ） ①两个有公共终点的向量是平行向量；②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；④若a b =，b c =，则a c =. A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，所以①不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，不妨设a 为零向量，则a 与b 共线，这与a 与b 不共线矛盾，故③正确；a b =，则,a b 的长度相等且方向相同；bc =，则,b c 的长度相等且方向相同，所以,a c 的长度相等且方向相同，故a c =，④正确.故选：B 【变式训练3】下列说法正确的是（ ） A ．与向量(0)AB AB ≠共线的单位向量只有||ABAB B ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反 C ．向量AB 与向量BA 是两平行向量 D ．单位向量都相等 【解析】与向量()0AB AB ≠共线的单位向量有||ABAB ±，故A 项错误.因为零向量与任一向量平行，因此，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故B 项错误.因为向量AB 与BA 方向相反，所以二者是平行向量，故C 项正确;单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同，故D 项错误.故选：C (二) 平行向量与共线向量例2．梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB CD =，M 、N 分别是BC 和AB 的中点，设AB a =，NM b =，则AD =______.【解析】因为M 、N 分别是BC 和AB 的中点，所以12NM AC =，NM AC ， 所以22AC NM b ==，因为AB CD ∥，2AB CD =，所以1122DC AB a ==，所以AD AC CD AC DC =+=-122a b =-+.故答案为：122a b -+.【变式训练1】．已知不共线的非零向量,a b ，若2a b -与2a b λ+平行，则实数λ的值为__________．【解析】因为2 a b -与2a b λ+平行，所以()22 a b k a b λ-=+所以212k k λ=⎧⎨=-⎩，解得：4λ=-【变式训练2】．已知OA a =，OB b =，若13OC a =，34OD b =，且AD 与BC 交于E 点，则OE=___________.(用a、b表示)【解析】因为,,D E A,三点共线,所以存在实数m使得3(1)(1)4 OE mOA m OD ma m b =+-=+-⨯; 又,,B E C三点共线, 所以存在实数n使得()(1)131OE nOB n OC nb n a=+-=+-⨯,()()113314m nm n⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-⨯=⎪⎩解得19m=，所以11314123999a bOE a b⎛⎫=+-⨯=+⎪⎝⎭，故填：1293a b+.:【变式训练3】．【2015·天津，14，中】在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE→＝λBC→，DF→＝19λDC→，则AE→·AF→的最小值为________．【解析】如图，分别过C，D作CN⊥AB于N，DM⊥AB于M，则AM＝BN＝12，∴CD＝MN＝1.∴AE→·AF→＝(AB→＋BE→)·(AB→＋BC→＋CF→)＝AB→2＋AB→·BC→＋AB→·CF→＋AB→·BE→＋BE→·BC→＋BE→·CF→＝1718＋29λ＋λ2≥1718＋219＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时等号成立，此时AE→·AF→有最小值2918.例3．已知平行四边形OABC中，若P是该平面上任意一点，则满足OP OA OBλμ=+（,λμ∈R）. （1）若P是BC的中点，求λμ+的值；（2）若A、B、P三点共线，求证：1λμ+=.【解析】（1）由题意,111222OP OB BP OB BC OB AO OB OA=+=+=+=-,又OP OA OB λμ=+,故1,12λμ=-=,即12λμ+=. （2）A 、B 、P 三点共线，设AP t AB =()t ∈R ,则()()1OP OA AP OA t AB OA t AO OB t OA tOB =+=+=++=-+, 又OP OA OB λμ=+,故1,t t λμ=-=,即1λμ+=.【变式训练1】．已知1e ，2e 不共线，若2211()()e e e k e k ++，试确定k 的值． 【解析】∵12e e ，不共线；∴120e ke +≠；又2211()()e e e k e k ++；∴存在实数λ，使1212ke e e k e λλ+=+；即1k k λλ=⎧⎨=⎩，解得1k =±.【变式训练2】．已知s 、t 是两个不平行的向量，AB s t =+，28BC s t =+，33CD s t =-，试判断A 、B 、D 的位置关系，并证明你的结论.【解析】由已知得()()()2833555BD BC CD s t s t s t s t =+=++-=+=+，又因为AB s t =+， 所以5BD AB =，所以//,BD AB 又BD AB B =⋂，所以A 、B 、D 三点在一条直线上.故得解.得322.k μμ=⎧⎨-=-⎩，解得324.3k μ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以43k =.(三) 向量的线性运算（三角形法则与平行四边行法则）例4．（2019·湖北高三月考（文））在ABC ∆中，,BD DC E =是AD 的中点，则EB( )A ．2133AB AC - B ．2133AB AC -+ C ．3144AB AC -+D ．3144AB AC【解析】在ABC ∆中，AD 为边BC 上的中线，E 为AD 的中点， 所以12EB AB AE AB AD =-=-，1131()2244AB AB AC AB AC -⨯+=-，故选D. 【变式训练1】．如图，在ABC △中，,,AD BE CF 分别是BC,CA,AB 边上的中线，G 是它们的交点，则下列等式中不正确的是（ ）A ．23BG BE =B ．12DG AG =C ．2CG FG =-D ．121332DA FC BC +=【解析】G 为三条中线的交点 G ∴为ABC ∆的重心23BG BE ∴=，22CG GF FG ==-，1122DG GA AG ==-，可知,A C 正确，B 错误 又121332DA FC DG GC DC BC +=+==，则D 正确，本题正确选项：B 【变式训练2】．已知D E F 、、分别是ABC △的边BC CA AB 、、的中点，且,BC a CA b ==，,AB c = 给出下列等式：①0;AD BE CF ++=②11;22CF a b =-+③11;22EF c b =-④12BE a b =+ 其中正确的等式是______（请将正确等式的序号填在横线上）．（6分）【解析】由题意，如图所示，因为,,BC a CA b AB c ===，且0a b c BC CA AB ++=++=①中，()11130222AD BE CF c a a b b a b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以是正确的；②中，由三角形法则，可得()11112222CF b c b a b a b =+=-+=-+，所以是正确的； ③中，因为,E F 是边,AB AC 的中点，则()1111122222EF CB a b c b c ==-=+=+，所以不正确； ④中，由三角形法则，可得12BE a b =+，所以是正确的，综上可知，正确命题的序号为①②④.(四) 向量的数乘与几何意义 例5．若12232PP PP =-，且212P P PP λ=，则λ等于（ ）A ．23B ．2C ．23-D ．2-【解析】因为12232PP PP =-，所以得到12232PP P P =，所以得到21223P P PP =，所以23λ=.故选：A. 【变式训练1】．若O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且4OA OB OC ++=0，那么（ ） A ．OD AO =- B ．2OD AO =- C ．2OD AO =D ．OD AO =【解析】如图，D 为BC 的中点，2,420,2OB OC OD OA OD OD AO ∴+=∴+=∴=. 故选C.【变式训练2】．如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则OA OC OE ++=（ ）A ．0B ．0C ．AED ．EA【解析】OA OC OB +=，OB OE =- 0OA OC OE OB OE ∴++=+=，本题正确选项：A四、迁移应用1．给出下列说法：①AB 和BA 的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④0=0；⑤AB CD >.其中正确说法的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】①正确，AB 与BA 是方向相反、模相等的两个向量; ②错误，方向不同包括共线反向的向量；③错误，向量用有向线段表示，但二者并不等同；④错误，0是一个向量，而0为一个数，应为||0=0； ⑤错误，向量不能比较大小.只有①正确，故选B.2．（2019·上海市七宝中学高二月考）任意四边形ABCD 内有一点O 满足0OA OB OC OD +++=，则O 点的位置是（ ） A ．对角线的交点 B ．对边中点连线的交点C ．BD 的点 D ．AC 的中点【解析】如图,点E 、F 分别为AB 、CD 的中点,2OA OB OE ∴+=,2OC OD OF +=0OA OB OC OD +++=0OE OF ∴+=,易得E 、F 共线,故选：B3.（2018·全国高考真题（理））在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB（ ）A ．3144AB AC B ．1344AB AC C ．3144ABAC D ．1344ABAC 【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A.4.（2019·广东高三学业考试）如图，ABC △中，,AB a AC b ==，4BC BD =，用,a b 表示AD ，正确的是( )A ．1434AD a b =+B ．5414AD a b =+ C ．3414AD a b =+D ．5414AD a b =-【解析】由BC 4BD =，可得()AC AB 4AD AB -=-，则31AD AB AC 44=+，即31AD a b 44=+. 故选C.5．（2018·全国高考真题（理））已知向量a,b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （ ） A ．4B ．3C ．2D ．0【解析】因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+=所以选B.6．（2019·安徽高三月考（理））平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，60BAD ︒∠=，若AE AB AD λ=+，且DB AE ⊥，则λ的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】∵DB AB AD =-，DB AE ⊥，∴0DB AE ⋅=，即()()0AB AD AB AD λ-⋅+=，整理可得22(1)0AB AB AD AD λλ+-⋅-=， 即93(1)40λλ+--=，解得6λ=．7．（2019·山东高一期末）在ABC △中，点D 是BC 边上的靠近C 的三等分点，则AD =（ ）A ．1233AB AC + B ．2133AB AC - C ．2133AB AC +D ．1233AB AC -【解析】2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,选择A 故选：D.8．给出下列结论：①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB 的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0. 其中正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确；②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确；③数轴用一个实数来表示向量AB ，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确； ④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确.故选：D. 9．（2019·江西高一期中）已知1e ，2e 不共线，若2211()()e e e k e k ++，试确定k 的值． 【解析】∵12e e ，不共线；∴120e ke +≠；又2211()()e e e k e k ++； ∴存在实数λ，使1212ke e e k e λλ+=+；即1k k λλ=⎧⎨=⎩，解得1k =±.10．设,a b 是不共线的两个非零向量.（1）若233OA a b OB a b OC a b =-=+=-，，，求证：A B C ，，三点共线；（2）若8a kb +与2ka b +共线，求实数k 的值；（3）若232AB a b BC a b CD a kb =+=-=-，，，且A C D ，，三点共线，求实数k 的值. 【解析】证明：（1）22AB OB OA a b AC OC OA a b =-=+=-=--，，所以AC AB =-.又因为A 为公共点，所以A B C ，，三点共线. （2）设()82a kb ka b λλ+=+∈R ，，则82k k λλ=⎧⎨=⎩，，，解得42k λ=⎧⎨=⎩，或42k λ=-⎧⎨=-⎩，，实数k 的值为4±.（3）()()2332AC AB BC a b a b a b =+=++-=-， 因为A C D ，，三点共线，所以AC 与CD 共线.从而存在实数μ使AC CD μ=，即()322a b a kb μ-=-，得322.k μμ=⎧⎨-=-⎩，解得324.3k μ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以43k =.平面向量的坐标运算及其数量积(一) 平面向量的基本定理与坐标表示 知识点1 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．例1．（1）.（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（ ） A ．12(1,2),(2,4)e e == B ．12(3,1),(1,3)e e =-=- C ．12(2,1),(2,1)e e ==--D ．121(,0),(3,0)2e e ==【解析】对于A ，114220,e ⨯-⨯=∴与2e 共线，不能作为基底； 对于B ，()()1331180,e ⨯--⨯-=≠∴与2e 不共线，能作为基底； 对于C ，()()121120,e ⨯--⨯-=∴与2e 共线，不能作为基底；对于D ，110030,2e ⨯-⨯=∴与2e 共线，不能作为基底，故选B. （2）.（2019·江西高一期末（理））设12,e e 是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（ ） A ．21e e -与12e e - B ．1223e e +与1246e e -- C ．12e e +与12e e -D ．121128e e -+与1214e e - 【解析】由12,e e 是平面内的一组基底，所以1e 和2e 不共线，对应选项A ：21e e -()12e e =--，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项B ：1223e e +()121462e e =---，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项D ：121128e e -+121124e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项C ：12e e +与12e e -不共线，能作为基底.故选：C ．（3）.（2019·内蒙古高三月考（理））在正方形ABCD 中，点O 为ABC ∆内切圆的圆心，若AO xAB yAD =+，则xy 的值为（ ）A ．221- B ．322- C ．214+ D ．212- 【解析】连OB 并延长到与AC 相交于点H ，设正方形ABCD 的边长为1，则122BH BD ==，设ABC ∆内切圆的半径为r ，则()22212BH OH OB r r r =+=+=+=，可得222r -=. 设ABC ∆内切圆在AB 边上的切点为E ，则()1AO AE EO r AB r AD =+=-+22222211222AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫--=-+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有22x =，212y =-，故22211222xy ⎛⎫-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D 【变式训练1】．（2011·北京高三开学考试（理））在平行四边形ABCD 中1AB e =，2AC e =，14NC AC =，12BM MC =，则MN = .（用12,e e 表示） 【答案】1225312e e -+【解析】如图：MN ＝CN －CM ＝CN ＋2BM ＝CN ＋23BC ＝－14AC ＋23(AC －AB )＝－214e ＋212()3e e -＝1225312e e -+.故本题答案为1225312e e -+. 【变式训练2】．（2019·全国高三月考（理））己知边长为2的正方形ABCD ，,E F 分别是边,BC CD 上的两个点，AE AF xAB y AD +=+，若3x y +=，则||EF 的最小值为_____________.【解析】以A 为原点，AB 所在的直线建立如图所示的平面直角坐标系， 则()()()()0,0,2,0,0,2,2,2A B D C ，设()()2,,,2E m F n()()2,0,0,2AB AD ==，()()2,,,2AE m AF n ==， 由AE AF xAB y AD +=+可得2222n x m y +=⎧⎨+=⎩，故2222n x m y =-⎧⎨=-⎩. ()()()()()()2222222242424222EF m n x y x x =-+-=-+-=-+-进一步化简可得22382420822EF x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭当32x =时，EF 有最小值且为22. (二) 平面向量的坐标运算知识点2 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )． (4)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(5)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.例2．（1）.（2019·福建高三月考）已知(5,2),(4,3)a b =-=--，若230a b c -+=，则c 的坐标为（ ） A ．8(1,)3B ．138(,)33-C ．134(,)33D ．134(,)33-- 【解析】设(,)c x y =,因为230a b c -+=,所以(5,2)2(4,3)3(,)(0,0)x y ----+=.所以(583,263)(0,0)x y ++-++=,所以1330,430x y +=+=, 解得:133x,43y =-.所以134(,)33c =--.故选D.（2）.（2019·湖南高一期末）已知()0,1A -，()0,3B ，则||AB =（ ） A ．2B ．10C ．4D ．210【解析】由题得AB =（0,4）所以2||0(31)4AB =++=．故选：C【变式训练1】.（2017·湖北高一期中（文））已知向量()1,2a =，向量()3,2b =-. （1）求向量2a b -的坐标； （2）当k 为何值时，向量ka b +与向量2a b -共线. 【解析】（1）()()()21,223,27,2a b -=--=-（2）()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+，()()()21,223,27,2a b -=--=- ∵ka b +与2a b -共线，∴()()72223k k +=--∴12k =-【变式训练2】.（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）已知(3,4),(5,10)A B ---，O 为坐标原点. (1) 求向量AB 的坐标及AB ；(2) 若OC OA OB =+，求与OC 同向的单位向量的坐标． 【解析】（1）()8,6AB =-,()228610AB ∴=+-=.（2）()()()3,45,102,14OC OA OB =+=--+-=-,222(14)102OC =+-=,∴与OC 同向的单位向量272,1010OCn OC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭. (三) 平面向量的数量积 知识点3．平面向量数量积1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ.(2)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a . (3)cos θ＝a·b |a||b|. (4)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. (3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例3．（1）.（2019·陕西高二期中）平面向量a 与b 的夹角为60°，且30()a =，，1b =，则2a b +=（ ）AB C ．19D ．【解析】依题意2a b +=2244a a b b =+⋅+=故选：B.（2）.（2019·全国高考真题（理））已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC ⋅= A ．-3 B ．-2 C ．2D ．3【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C【变式训练1】.（2019·安徽高三月考（理））已知a ，b ，c 均为单位向量，a 与b 的夹角为60，则()(2)c a c b +⋅-的最大值为( )A ．32B ．3C ．2D ．3【解析】设c 与2a b -的夹角为θ，因为222|2|443a b a a b b -=-⋅+=，|2|3a b -=，所以2()(2)(2)21|||2|cos 1c a c b cc a b a b c a b θ+⋅-=+⋅--⋅=+⋅--，所以()(2)3cos c a c b θ+⋅-=，所以max 3=，此时cos 1θ=.故选：B ．【变式训练2】.（2018·浙江高考真题）若，，均为单位向量，且，，则的最大值为（ ）A ．B ．1C ．D ．2 【解析】∵，，均为单位向量，且，，则0，∴•（）≥1．而2223﹣2•（）≤3﹣2＝1，故的最大值为 1，故选：B ．【变式训练3】.（2019·江苏高考真题）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3AB AC=【变式训练4】.（2019·浙江高一期中）已知,a b 为单位向量，12a b ⋅=. （1）求2a b +；（2）求2a b +与b 的夹角θ的余弦值；【解析】由题得22=4++4=5+4a b a b a b +⋅⋅由题得2a b +与b 的夹角θ的余弦值为(2)cos|2|||7a b b a b b θ+⋅====+故答案为：（1（2）7.(四) 平面向量的应用（平行与垂直）知识点1 平面向量的平行与垂直若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．(2)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．例4．(1)．设向量(1,2),(1,1)a b ==-，若向量a λb +与向量a 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．43B ．1C ．1-D ．5-【解析】由已知得(1,2)a b λλλ+=-+，向量a λb +与向量a 垂直，()0a b a λ∴+⋅=.即(1)1(2)20λλ-⨯++⨯=，解得5λ=-.故选D.(2)．（2019·河南高三月考（理））已知ABC ∆的重心G 恰好在以边AB 为直径的圆上，若8AC CB ⋅=-，则AB =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】设AB 的中点为M ，则2GA GB GM +=.因为ABC ∆的重心G 恰好在以边AB 为直径的圆上，所以0GA GB ⋅=且2.GC GM AC CB =-⋅()()AG GC CG GB =+⋅+2AG CG GC AG GB GC GB =⋅-+⋅+⋅2()GC GA GB GC =⋅+- 2222GC GM GC GC =⋅-=-22||8AB =-=-，解得||2AB =.【变式训练1】（2017·浙江高考真题）已知向量,a b 满足1,2a b ==，则++-a b a b 的最小值是___________，最大值是______.【解析】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：2212212cos 54cos a b θθ-=+-⨯⨯⨯=-，()2212212cos 54cos a b πθθ+=+-⨯⨯⨯-=+，则： 54cos 54cos a b a b θθ++-=++-，令54cos 54cos y θθ=++-，则[]221022516cos 16,20y θ=+-∈，据此可得：()()maxmin2025,164a b a ba b a b++-==++-==，即a b a b ++-的最小值是4，最大值是25．【变式训练2】．（2017·江苏高考真题）在同一个平面内，向量,,OA OB OC 的模分别为1,1,2,OA 与OC 的夹角为α，且tan 7,OB α=与OC 的夹角为45，若(),OC mOA nOB m n R =+∈，则m n +=_________．【解析】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则1,0A ，由OC 2与OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=知，272cos sin αα== ，可得17,,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()cos 45,45B sin αα++，34,55B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，由OC mOA nOB =+可得13173455,,,74555555m nm n n n⎧=-⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩57,44m n ==，3m n ∴+=，故答案为3. 四、迁移应用1.已知平面向量e b a ,,满足1|e |=，1=e a ，1-=e b ，,4||=-b a 则b a 的最小值_____________【解析】设)0,1(=e ，a ）（11,y x =，),(b 22y x =，由1=e a ，1-=e b 得：⎩⎨⎧-==1121x x,4||=-b a 所以16222=++b b a a 解得：3221±=y y ，b a =4)3(3211-2222221-±=±+-=+y y y y y ，故此b a 的最小值为-4.2．(2015·天津，14，中)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________．【解析】 如图，分别过C ，D 作CN ⊥AB 于N ，DM ⊥AB 于M ，则AM ＝BN ＝12，∴CD ＝MN ＝1.∴AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AB →＋BC →＋CF →)＝AB →2＋AB →·BC →＋AB →·CF →＋AB →·BE →＋BE →·BC →＋BE →·CF → ＝1718＋29λ＋λ2≥1718＋219＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时等号成立，此时AE →·AF →有最小值2918. 3．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝( )A ．2B ．4C ．5D ．10【答案】因为PA →－PB →＝BA →，且PA →＋PB →＝2PD →，两式平方相加得2PA →2＋2PB →2＝BA →2＋4PD →2＝4CD →2＋4PC →2＝20PC →2，故|PA|2＋|PB|2|PC|2＝10.4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．【解析】 由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2， 代入数据得2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22.【答案】 225．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．【解析】 ①以D 点为原点，DC ，DA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的直角坐标系，则D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，C(1，0)．设E(x ，1)，那么DE →＝(x ，1)，CB →＝(0，1)，∴DE →·CB →＝1.②∵DC →＝(1，0)，∴DE →·DC →＝x. ∵正方形的边长为1，∴x 的最大值为1，故DE →·DC →的最大值为1.【答案】 1 1 6．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2，1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________． 【解析】因为点M ，N 分别在边BC 和CD 上，可设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝k ∈[0，1]，则AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AB →＋BC →＋CN →)＝(AB →＋kBC →)·(AB →＋BC →＋kCD →) ＝AB →2＋AB →·BC →＋kAB →·CD →＋kAB →·BC →＋kBC → 2＋k 2BC →·CD →＝4＋2×1×12－4k ＋2×1×12k ＋k －1×2×12k 2＝5－2k －k 2＝－(k ＋1)2＋6∈[2，5]，k ∈[0，1]．7.(1)在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10(2)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________． 【解析】 (1)AC →·BD →＝(1，2)·(－4，2)＝0，故AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的对角线互相垂直，面积S ＝12·|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5，故选C.(2)方法一：由题意可知，AC →＝AB →＋AD →，BE →＝－12AB →＋AD →.因为AC →·BE →＝1，所以(AB →＋AD →)·⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＝1，则AD →2＋12AB →·AD →－12AB →2＝1.① 因为|AD →|＝1，∠BAD ＝60°，所以AB →·AD →＝12|AB →|，因此①式可化为1＋14|AB →|－12|AB →|2＝1.解得|AB →|＝0(舍去)或12，所以AB 的长为12.方法二：以A 为原点，AB 为x 轴建立如图的直角坐标系，过D 作DM ⊥AB 于点M.由AD ＝1， ∠BAD ＝60°，可知AM ＝12，DM ＝32.设|AB|＝m(m ＞0)，则B(m ，0)．C ⎝⎛⎭⎫m ＋12，32，D ⎝⎛⎭⎫12，32. 因为E 是CD 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫m 2＋12，32.所以BE →＝⎝⎛⎭⎫12－12m ，32，AC →＝⎝⎛⎭⎫m ＋12，32.由AC →·BE →＝1，可得⎝⎛⎭⎫m ＋12⎝⎛⎭⎫12－12m ＋34＝1，即2m 2－m ＝0，所以m ＝0(舍去)或12.故AB 的长为12. 8.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________．【解析】以A 为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A(0，0)，E(1，2)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)，则AE →·BD →＝(1，2)·(－2，2)＝1×(－2)＋2×2＝2.9．已知向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上存在一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( ) A ．(－3，0) B ．(2，0) C ．(3，0) D ．(4，0)【答案】 C 设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)．AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1.此时点P 的坐标是(3，0)．10.已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则△AOC 的面积为( ) A.25 B.12 C.310 D.65【答案】 A 由题设，得3OA →＋5OC →＝－4OB →，即9＋2×3×5OA →·OC →＋25＝16， ∴cos ∠AOC ＝－35，∴sin ∠AOC ＝45，S △AOC ＝12×1×1×45＝25.11.已知点O 为△ABC 的外心，且|AC →|＝4，|AB →|＝2，则AO →·BC →＝________． 【解析】因为点O 为△ABC 的外心，且|AC →|＝4，|AB →|＝2，所以AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →＝|AO →||AC →|cos 〈AO →，AC →〉－|AO →||AB →|·cos 〈AO →，AB →〉 ＝|AC →||AC →|×12－|AB →||AB →|×12＝6.12．(2015·福建福州一模，6)如图，设向量OA →＝(3，1)，OB →＝(1，3)，若OC →＝λOA →＋μOB →，且λ≥μ≥1，则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是( )【答案】 D 设C(x ，y)．∵OC →＝λOA →＋μOB →＝λ(3，1)＋μ(1，3)＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ＋μ，y ＝λ＋3μ，解得⎩⎨⎧λ＝3x－y8，μ＝3y －x 8.，∵λ≥μ≥1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x≥y ，x －3y ＋8≤0，故选D. 13．(2015·黑龙江伊春质检，6)已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120°，若(a ＋m b )⊥a ，则实数m 的值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D ．3【答案】 D ∵(a ＋m b )⊥a ，∴(a ＋m b )·a ＝0，∴|a |2＋m·|a |·|b |cos 120°＝0，即9＋m·3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，∴m ＝3.故选D.14．(2015·河南中原名校联考，4)已知不共线向量a ，b ，|a |＝2，|b |＝3，a ·(b －a )＝1，则|a －b |＝( ) A. 3 B ．2 2 C.7 D.23【答案】由a·(b －a )＝1得a·b －a 2＝1，∴a·b ＝5. ∴|a －b|2＝a 2－2a·b ＋b 2＝4－2×5＋9＝3，∴|a －b|＝ 3.故选A. 15．设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μ c .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一个平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】对于①，因为a 与b 给定，所以a －b 一定存在，可表示为c ，即c ＝a －b ，故a ＝b ＋c 成立，①正确；对于②，因为b 与c 不共线，由平面向量基本定理可知②正确；对于③，以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定满足，故③错误；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必有|λb |＋|μc |＝λ＋μ≥|a |，故④错，因此正确的有2个．故选B. 16．(2015·山西晋中十校联考，6)已知O 为原点，点A ，B 的坐标分别为(a ，0)，(0，a)，其中常数a>0，点P 在线段AB 上，且有AP →＝tAB →(0≤t≤1)，则OA →·OP →的最大值为( )A ．aB ．2aC ．3aD ．a 2【答案】∵AP →＝tAB →，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋t(OB →－OA →)＝(1－t)OA →＋tOB →＝(a －at ，at)，∴OA →·OP →＝a 2(1－t)，∵0≤t≤1，∴0≤OA →·OP →≤a 2. 17．已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2＝OC →2＋AB →2，则O 一定为△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心【答案】由OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2，得OA →2＋(OC →－OB →)2＝OB →2＋(OA →－OC →)2，∴OC →·OB →＝OA →·OC →，∴OC →·AB →＝0.∴O 在边AB 的高线上． 同理，O 在边AC ，BC 的高线上，则O 为△ABC 的垂心．故选C.18．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．【解析】方法一：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)， D(2，0)，E(2，1)，设F(x ，2)，∴AF →＝(x ，2)，AB →＝(2，0)，∴AB →·AF →＝2x ＝2，∴x ＝1， ∴F(1，2)，∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2. 方法二：AB →·AF →＝|AB →||AF →|cos ∠BAF ＝2，∴|AF →|cos ∠BAF ＝1，即|DF →|＝1， ∴|CF →|＝2－1，AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝AB →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·BC →＋BE →·CF →＝AB →·CF →＋BE →·BC →＝2×(2－1)×(－1)＋1×2×1＝ 2. 19．在三角形ABC 中，2AB =，1AC =，π2ACB ∠=，D 是线段BC 上一点，且12BD DC =，F 为线段AB 上一点．（1）设AB a =，AC b =，设AD xa yb =+，求x y -；. （2）求CF FA ⋅的取值范围；（3）若F 为线段AB 的中点，直线CF 与AD 相交于点M ，求CM AB ⋅． 【解析】（1）()222121333333AD AC CB AC AB AC AB AC a b =+=+-=+=+而AD xa yb =+23x ∴=，13y =13x y ∴-=．（2）在三角形ABC 中，2AB =，1AC =，π2ACB ∠=3CAB π∴∠=，3BC =()CF FA CA AF FA CA FA AF FA ∴⋅=+⋅=⋅+⋅① ，不妨设AF x =，[]0,2x ∈∴①式2211cos 32x x x x π⎛⎫=⨯⨯-=-+ ⎪⎝⎭，[]0,2x ∈13,16CF FA ⎡⎤∴⋅∈-⎢⎥⎣⎦．（3）F 为线段AB 的中点111222CF CA AB CA CB ∴=+=+ 不妨设CM CF λ=22CM CA CB λλ∴=+122AM CM CA CA CB λλ⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭,23AD CB CA =-，A 、M 、D 三点共线．AM AD μ∴=即21223CA CB CB CA λλμ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12223λμλμ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩45λ∴=2255CM CA CB ∴=+ ()222222455555CM AB CA CB CB CA CB CA ⎛⎫∴⋅=+⋅-=-= ⎪⎝⎭20．设向量1e ，2e ，是不共线的非零向量，且向量122a e e =-，123b e e =+． （1）证明：,a b 可以作为一组基底；（2）以,a b 为基底，求向量123c e e =-的分解式； （3）若1243e e a b λμ-=+，求λ，μ的值．【解析】（1）证明：若,a b 共线，则存在唯一的实数λ，使得λab ，即()121223e e e e λ-=+．由1e ，2e 不共线，得1,1,232,3λλλλ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=-=-⎪⎪⎩⎩∴λ不存在，故,a b 不共线，可以作为一组基底．（2）设(,)c ma nb m n R =+∈，则()()121212323e e m e e n e e -=-++12()(23)m n e m n e =++-+．∵1e ，2e 不共线，∴3,2,2311,m n m m n n ⎧+==⎧⇒⎨⎨-+=-=⎩⎩∴2c a b =+．（3）由1243e e a b λμ-=+，得()()1212124323e e e e e e λμ-=-++12()(23)e e λμλμ=++-+．∵1e ，2e 共线，4,3,233 1.λμλλμμ⎧+==⎧⇒⎨⎨-+=-=⎩⎩,故所求λ，μ的值分别为3和1．平面向量的应用举例（一）平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.例1.（1）.【2018年高考全国I 卷理数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-.故选A.（2）.【广东省2019届高三适应性考试数学试题】已知ABC △中，点M 是边BC 的中点，若点O 满足23OA OB OC ++=0，则A ．0OM BC ⋅=B ．0OM AB ⋅=C ．OM BC ∥D ．OM AB ∥【解析】由点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+，由23OA OB OC++=0，可得OA OC++2（OB OC+）23OA OBOA+=-+4OM=0，即2（OA OB-）+12OM=0，可得AB=6OM，即OM∥AB，故选D．【名师点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．解答时，由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论．【变式训练1】．【湖师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF=A．3144AB AD+B．1344AB AD+C．12AB AD+D．3142AB AD+【解析】根据题意得：1()2AF AC AE=+，又AC AB AD=+，12AE AB=，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD=++=+.故选D.【变式训练2】．如图，在同一个平面内，向量OA、OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为α，且tan7α=，OB与OC的夹角为45︒，若(,)OC mOA nOB m n R=+∈，则m n+的值为____________．【解析】由tan7α=可得72sinα=，2cosαcos45cos2sin45sin0n mn mαα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩，即222272⎧+=⎪⎨⎪=⎪，解得5474mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以+3m n=．（二）平面向量的坐标运算（平行与垂直）：例2．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学试题】若已知向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，若//a b ，则⋅a b 的值为A ．5B ．4C ．4-D ．5-【解析】∵向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，且//a b ，∴20m -=，即()1,2=-b ， ∴145⋅=--=-a b ，故选D.【变式训练】已知非零向量,m n 满足4=n m ，且()2⊥+m m n ，则,m n 的夹角为A ．π6B ．π3 C ．π2D ．2π3【解析】∵4=n m ，且()2⊥+m m n ，∴()22222||cos ,0⋅+=+⋅=+=m m n m m n m m n m n ，且0,0≠≠m n ， ∴2||cos ,0+=m n m n ，∴21cos ,2=-=-mm n n ， 又0,π≤m n ，∴2π,3=m n ．故选D ．（三）平面向量数量积的类型及求法：（1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. （3）两个应用：①求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．②确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.例3．（1）.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535(,)22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-， 直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-.由3(23),333y x y x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.（2）..【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCD 中，4AB ,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅= A ．4 B ．3C ．2D ．1【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+.。
(完整版)必修四平面向量常考知识点整理和复习、典型高考例题分析,推荐文档
【解析】| OA || OB | OA OB 2 ，可以得到| OA || OB | 2 ，且两个向量的夹角为 60°，
如图可以将两个向量放到半径为 2 的圆内，如图 2。
且由| | | | 1，可得 0 | | 1,0 1，
那么当 0 1,0 1时，可知 P 点形成
的 区域为图中灰色区域
2
22
1 BC 1 (1 )(AB BC AB) BC (1 ) AB
22
2
BN BC CN BC 1 AC BC 1 ( AB BC) 2 BC 1 AB
3
3
33
所以
2
(1 )
2(1 )
4
，所以分向量 AM
所成的比
1
的值为
21Leabharlann 2543
3
（2）用比例的方法可以得到 P ( 6 , 2) 55
证明这个定理：
证明：可以由 P, Q, C 三点共线可以假设 PC t PQ ， OC OP PC OP t PQ OP t(PO OQ)
(1 t)OP tOQ 也即 1 t, t 1
不难得出：①如果 C 在 PQ 线段之间是可以得到 0 1,0 1, 1 ②如果 C 在 PQ 延长线上时， 1, 0, 1 ③如果 C 在 QP 延长线上时， 1, 0, 1
向量复习
知识点 1：
两个不为零的向量 a ， b 平行， ① a b( 0)
②如果 a, b 可以用直角坐标系的坐标表示，那么设
a (m, n),b ( p, q) ，那么 mq np
③如果 a,b 可以用两个不共线的基向量 c, d 表示， 比
如说 a mc nd ， b pc qd ，那么基向量前面 的系数成比例，也就是 mq np 在这里强调其实后面两点是一样的，因为向量的坐标表示法引进前身是用直角坐标系 的两个垂直的单位向量 i, j ，比如 a (m, n) ，也即是 a mi n j ，为了方便，我们 写成坐标形式，而③这点其实是②的一般形式，就是③讲两个基向量推广到了不垂直 的情况。
高中数学必修4(人教B版)第二章平面向量2.3知识点总结含同步练习题及答案
已知平面向量 a = (2, x)， b = (2, y)， c = (3, −4)，且 a ∥ c ， b ⊥ c ，求 a 与 b 的 夹角．
→
→
→
→
→ →
→
→
→
→ → 8 ．因为 b ⊥ c ，所以 6 − 4y = 0，解 3 → → 3 → 8 3 → 得 y = ．因为 a = (2, − ) ， b = (2, ) ．设 a 与 b 的夹角为 θ ，则 2 3 2 8 3 → → 2×2− × → a ⋅ b 3 2 = 0 ，所以 θ = 90∘ ，即向量 → cos θ = = a 与 b 的夹角为 90∘ ． → → → → |a |⋅| b | |a |⋅| b |
方向上的投影，可正，可负，可为零． 零向量与任一向量的数量积为 0 ． 向量数量积的运算律
→ → →→ a ⋅ b = b ⋅ a （交换律）； → → → → → → → ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c （分配律）； → → → → → → (λ a ) ⋅ b = a (λ b ) = λ( a ⋅ b ) （数乘结合律）．
已知向量 a = (1, 2)， b = (3, 4)，求| a | ， a ⋅ b ，( a − b ) ⋅ (2 a + 3 b )． 解：| a | = √1 2 + 2 2 = √5 ； 已知 OA = (3, 4) ，OB = (7, 12)，
−→ −
−→ −
→
→
→
→
→
→ →
→
→
→
→
− − − − − −
设向量 a ， b 满足 | a | = | b | = 1 及 |3 a − 2 b | = √7 ． 求： ① a ， b 所成的角的大小；② |3 a + b | 的值．
(完整版)高中数学必修4平面向量知识点总结
高中数学必修 4 知识点总结平面向量知点一 .向量的基本看法与基本运算1向量的看法：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用 a, b, c ⋯⋯来表示，或用有向段的起点与uuur uuurxi yj ( x, y)点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a；坐表示法 a向uuur量的大小即向量的模（度），作 | AB | 即向量的大小，作｜a｜向量不可以比大小，但向量的模能够比大小．②零向量：度 0 的向量，0，其方向是随意的，0与随意愿量平行零向量 a ＝0｜r ra ｜＝0因为0的方向是随意的，且定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共）的中必看清楚能否有“非零向量” 个条件．（注意与 0 的区）③ 位向量：模 1 个位度的向量向量 a0位向量｜ a0｜＝1④平行向量（共向量）：方向同样或相反的非零向量随意一平行向量都能够移到同一直上方向同样或相反的向量，称平行向量作a∥ b因为向量能够行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量能够平移到同向来上，故平行向量也称共向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个因素，起点能够随意取，在必划分清楚共向量中的“共” 与几何中的“共”、的含，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一的．⑤相等向量：度相等且方向同样的向量相等向量平移后能够重合， a b 大x1x2小相等，方向同样(x1, y1 )(x2 , y2 )y1y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuur r uuur r r uuur uuur uuurAB a, BC b ，a+ b = AB BC =AC（1）0 a a 0 a ；（2）向量加法足交律与合律；向量加法有“三角形法”与“平行四形法”：（1）用平行四形法，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条角，而差向量是另一条角，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法的特色是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法例；当两向量是首尾连结时，用三角形法例．向量加法的三角形法例可推行至多个向量相加：uuur AB uuurBCuuurCD LuuurPQuuurQRuuurAR ，但这时一定“首尾相连”．3 向量的减法①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做记作 a ,零向量的相反向量还是零向量a 的相反向量对于相反向量有：（ i）( a)= a；(ii) a +( a )=( a )+ a =0；(iii) 若a、b是互为相反向量，则 a = b , b= a , a +b= 0②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与 b的差，记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与 a 的方向同样；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是随意的②数乘向量知足互换律、联合律与分派律5两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b=a6平面向量的基本定理：假如e1 , e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数 1 , 2 使：a1e1 2 e2 ，此中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底7特别注意 :（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有差别，向量平行是向量相等的必需条件（3）向量平行与直线平行有差别，直线平行不包含共线（即重合），而向量平行则包含共线（重合）的状况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详细地点没关，只与其相对地点有关学习本章主要建立数形转变和联合的看法，以数代形，以形观数，用代数的运算办理几何问题，特别是办理向量的有关地点关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量能否垂直等 因为向量是一新的工具，它常常会与三角函数、数列、不等式、解几等联合起来进行综合考察，是知识的交汇点例 1 给出以下命题：① 若 | r r r ra | ＝ |b | ，则 a = b ；② 若 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则uuur uuur AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；r rr rr r ③ 若 a = b ， b = c ，则 a = c ，rrrrr r④ a =b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a // b ；r r r r r r⑤ 若 a // b ， b // c ，则 a //c，此中正确的序号是解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不必定同样．uuur uuur uuur uuur uuur uuur ② 正确．∵AB DC ，∴ | AB| |DC |且 AB// DC ，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCDuuuruuur uuur uuur 为平行四边形，则，AB//DC 且|AB| |DC |，uuur uuur所以， AB DC ．③ 正确．∵r r r ra =b ，∴ a ， b 的长度相等且方向同样；r r r r 又 b ＝ c ，∴ b ， c 的长度相等且方向同样，r r r r ∴ a ， c 的长度相等且方向同样，故 a ＝ c ．r rr r r r r r ④ 不正确．当 a // b 且方向相反时，即便 | a |=| b | ，也不可以获得 a =b ，故 | a |=| b | r r r r 且 a // b 不是 a =b 的充要条件，而是必需不充足条件．r r⑤ 不正确．考虑 b = 0 这类特别状况．综上所述，正确命题的序号是②③．评论：本例主要复习向量的基本看法．向量的基本看法许多，因此简单忘记．为此，复习一方面要建立优秀的知识构造， 另一方面要擅长与物理中、 生活中的模型进行类比和联想．例 2 设 A 、B 、 C 、 D 、 O 是平面上的随意五点，试化简：uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ① AB BC CD ，② DB AC BD ③OAOCOBCO解：①原式 = uuur uuur uuur uuur uuur uuur( AB BC ) CD AC CD AD ②原式 = uuur uuur uuur r uuur uuur ( DBBD) AC 0 AC AC③原式=uuur (OBuuurOA)uuur ( OC uuurCO)uuurAB uuur(OCuuurCO) uuurAB ruuurAB例 3 设非零向量rrrrrrrrrra 、b 不共线，c =k a + b ，d = a +k b(k R)，若 c ∥ d ，试求 kr r解：∵ c ∥ d∴由向量共线的充要条件得：r r (λ R) c =λ d r r r rr r r 即 k a +b =λ( a +k b ) ∴ (k λ ) a + (1 λ k) b = 0r r又∵ a 、 b 不共线∴由平面向量的基本定理k 0 k11 k二 .平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示： r r在直角坐标系中， 分别取与 x 轴、y 轴方向同样的两个单位向量 i , j作为基底 由平面向量的基本定理知， 该平面内的任一直量 r r r rr a 可表示成 a xi yj ，因为 a 与r rr 数对 (x,y)是一一对应的，所以把 (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，此中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y 轴上的坐标(1) 相等的向量坐标同样，坐标同样的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细地点没关，只与其相对位置有关 2 平面向量的坐标运算：(1) rx 1, y 1 rr rx 1 x 2 , y 1 y 2若 a ,bx 2 , y 2 ，则 a b uuur(2) 若 A x 1, y 1 , B x 2 , y 2 ，则 ABx 2 x 1 , y 2 y 1 (3) r r x, y)若 a =(x,y)，则 a =((4) rx 1, y 1 rx 2 , y 2 r rx 1 y 2 x 2 y 1 0若 a,b，则 a // b(5) rx 1, y 1 r x 2 , y 2 r r x 1 x 2 y 1 y 2若 a,b，则 a br r y 1 y 2 0若 a b ，则 x 1 x 23 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质算 类型向 1 平行四边形法例 r rx,y 21 y)2a bb a量 2 三角形法例a b (x 1的 (a b) c a (b c)加法uuur uuur uuurAB BC AC向 三角形法例r ra b a ( b )量a b (x 1 x 2,y 1 y 2)的 uuur uuur减ABBA法uuur uuur uuurOB OA AB 向a 是一个向量 ,a( x, y)(a)() a量 知足 :的>0 时, a 与 a 同向 ;()aaa 乘<0 时, a 与 a 异向 ;法=0 时,a = 0( a b ) a ba ∥ bab向 a ? b 是一个数r rx 1x 2 y 1y 2a ?b b ? a量a?b的a0 或 b 0时 ,( a) ba ( b)(a b)数???量 a?b =0(ab) ?ca ?cb ?c积a 0且b 0 时 ,a 2 | a |2 , |a | x 2 y 2a?b |a||b|cos a,b| a ? b | | a || b | r r r r r r r r r r例 1 已知向量 a (1,2), b (x,1), u a 2b ， v 2a b ，且 u // v ，务实数 x 的值r r r r r r r r解：因为 a (1,2), b (x,1),u a 2b ， v 2a br 2( x,1) (2 x 1,4) r 2(1,2) ( x,1) (2 x,3)所以 u (1,2) ， vr r又因为 u // v所以 3(2 x 1) 4(2 x) 0 ，即 10x 5解得 x12AC 和 OB （ O 为坐标原点）交例 2 已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线点 P 的坐标uuur uuur(x 4, y)解：设 P(x, y) ，则 OP ( x, y), AP因为 P 是 AC 与OB 的交点 所以 P 在直线 AC 上，也在直线 OB 上uuur uuur uuur uuur即得 OP // OB, AP // ACuuur uuur由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6) 得， AC ( 2,6), OB (4, 4)6( x 4) 2 y 0得方程组4x 4 y 0x 3解之得y 3故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3) 三．平面向量的数目积1 两个向量的数目积：r rrrr r 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a ·b =︱ a ︱ ·︱ b ︱ cosr r r r叫做 a 与 b 的数目积（或内积） 规定 0 a 0r r rr r2 = a b向量的投影： ︱ b ︱ cos r ∈R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射| a |影3 数目积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系： r r r 2 r 2 a aa | a |5 乘法公式建立：r r r r r 2 r 2 r a b a b a bar r 2 r 2r r r 2 r a ba2a b b a2 r 2b ；2 r rr 22a bb6 平面向量数目积的运算律：①互换律建立： rrr r a b b a②对实数的联合律建立： r r r r r r Ra ba b a b③分派律建立：r r r r r r r rr r a bc a cb cca b特别注意 ：（ 1）联合律不建立： r r rr r r；a b ca b cr r r rr r（2）消去律不建立 a ba c不可以获得 b crr不可以获得r r r r （3） a b =0a = 0 或b =07 两个向量的数目积的坐标运算：rrrr已知两个向量a ( x 1 , y 1),b ( x 2 , y 2 ) ，则 a ·b = x 1x 2 y 1 y 2rr uuur ruuur r8 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB=（ 000）叫做向量r r180 a 与b的夹角r rr rx1 x2y1 y2cos= cosa ?b=a, b r r2222? ba x1y1x2y2当且仅当两个非零向量r r r r r a 与b同方向时，θ=00，当且仅当 a 与b反方向时θ=1800，同时0与其余任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r900r r r r9 垂直：假如a与b的夹角为则称 a 与b垂直，记作 a ⊥b10 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20平面向量数目积的性质例 1判断以下各命题正确与否：r r r0 ；（1）0 a0 ；（2）0 ar r r r r r r（3）若a0, a b a c ，则 b c ；r r r r r r r r⑷若 a b a c ，则 b c当且仅当 a0 时建立；r r r r r r r r r（5）( a b )c a(b c ) 对随意 a,b , c 向量都建立；（6）对随意愿量r r2r2 a，有 a a解：⑴错；⑵对；⑶错；⑷错；⑸ 错；⑹对例 2 已知两单位向量r r120，若r r r r r r r r a 与b的夹角为c2a b, d3b a ，试求c 与d的夹角解：由题意，r r r r0，a b 1 ，且a与 b 的夹角为 120r r r r01，所以， a b a b cos1202r r r r r r r r2r r r 227 ，Q c c c(2 a b) (2 a b)4a4a b b r7 ，cr13同理可得dr r r r r r r r r 2r217，而 c d(2a b ) (3b a)7a b3b2a2 rr设为 c 与d的夹角，则 cos2 171317 91 arccos17917 182182评论：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例 3r4,3 r1,2 rr r r r r的已知 a， b， mab , n2a b ，按以下条件务实数值r r r r r r（ 1） m n ；（ 2） m // n ； (3) m nr r r4,32 r r r 7,8解： m a b, n 2a br r 47 3 28 052（ 1） m n；r r9483 27 01 ；（ 2） m// n2r r 423 227 28 25 2488 0(3) mn2 2 115评论：此例展现了向量在座标形式下的基本运算。
高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、学习任务了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义．二、知识清单平面向量的概念与表示三、知识讲解1.平面向量的概念与表示向量的基本概念我们把既有方向，又有大小的量叫做向量（vector）．带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点、为终点的有向线段记做，起点写在终点的前面．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．向量可以用有向线段来表示．向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记做 ，长度为 的向量叫做零向量(zero vector)，记做 ．零向量的方向不确定．长度等于 个单位的向量，叫做单位向量(unit vector)．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 （parallel vectors），向量 、 平行，通常记做．规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．A B AB −→−||AB −→−00 1a b ∥a b a →∥0→a →例题：相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector)．向量 与 相等，记做 ．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors)．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）∥a b =a b 下列四个命题：① 时间、速度、加速度都是向量；② 向量的模是一个正实数；③ 相等向量一定是平行向量；④ 共线向量一定在同一直线上；⑤ 若 ， 是单位向量，则 ；⑥ 若非零向量 与 是共线向量，则四点 共线．其中真命题的个数为（ ）A． B． C． D．解：B只有③正确．a →b →=a →b →AB −→−CD −→−A ,B ,C ,D 0123下列说法正确的是（ ）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为D．任意两个单位向量方向相同解：C零向量的长度为 ，方向是任意的，故 A，B 错误，C 正确，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 D 错误．00如图所示， 是正六边形 的中心．（1）与 的模相等的向量有多少个？（2）是否存在与 长度相等、方向相反的向量？（3）与 共线的向量有哪些？解：（1）因为 的模等于正六边形的边长，而在图中，模等于边长的向量有 个，所以共有 个与 的模相等的向量．（2）存在，是 ．（3）有 、、．O ABCDEF OA −→−OA −→−OA −→−OA −→−1211OA −→−F E −→−F E −→−CB −→−DO −→−高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
高中数学必修4平面向量知识点总结及常见题型
（5）若 AB CD ，则 A、 B、 C、 D 四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若 a与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线。
（8）若 ma mb，则 a b 。
（9）若 ma na ，则 m n 。
（10）若 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都不是零向量。
(iii) 若 a 、 b 是互为相反向量，则 a = b , b = a , a + b = 0
②向量减法： 向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差， 记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法
③作图法： a b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、b
5.已知 A(1,2), B(3,2) ,向量 a ( x 2, x 3y 2) 与 AB 相等，求 x, y 的值。
6.已知 AB (2,3) ， BC (m, n) ， CD ( 1,4) ，则 DA
。
7.已知 O 是坐标原点， A(2, 1), B( 4,8) ，且 AB 3BC 0 ，求 OC 的坐标。
及其各运算的坐标表示和性质
运 几何方法
坐标方法
运算性质
算
类
型
向 1 平行四边形法 量则
a b (x1 x2,y1 y2) a b b a (a b) c a (b c)
的 2 三角形法则
AB BC AC
加
法
向 三角形法则 量
a b (x1 x2,y1 y2) a b a ( b ) AB BA
的
OB OA AB
题型 7.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知 e1, e2 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
高中数学平面向量知识点总结及常见题型
高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。
向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。
由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。
大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。
1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。
3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。
零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
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平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。
记作： AB 或 a 。
2. 向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB | 或| a | 。
3. 单位向量：长度为 1 的向量。
若 e 是单位向量，则| e |= 1。
4. 零向量：长度为 0 的向量。
记作： 0 。
【0 方向是任意的，且与任意向量平行】5. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6. 相等向量：长度和方向都相同的向量。
7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。
AB = -BA 。
8. 三角形法则：AB + BC = AC ； AB + BC + CD + DE = AE ； AB - AC = CB （指向被减数）9. 平行四边形法则：以 a , b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a + b ， a - b 。
10.共线定理： a = b ⇔ a / /b 。
当> 0 时， a 与b 同向；当< 0 时， a 与b 反向。
11. 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
2 2 12. 向量的模：若 a = (x , y ) ，则| a |= ， a =| a | ， | a + b |=a ⋅b 13. 数量积与夹角公式： a ⋅ b =| a | ⋅ | b | cos ；cos = ⋅ | a | |b |14.平行与垂直： a / /b ⇔ a = b ⇔ x 1 y 2 = x 2 y 1 ； a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0题型 1.基本概念判断正误： （1） 共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2） 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3） 与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形 ABCD 是平行四边形的条件是AB = CD 。
（5） 若 AB = CD ，则 A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。
(完整word版)高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)
一 , 向量重要结论r r r rr rr rr 2r 2规定0 ，（ 1）、向量的数量积定义 ： a b| a ||b | cos 0 aa a a| a |rrr r，则 cosa b（ 2）、向量夹角公式： a 与 b 的夹角为rrr r| a ||b |rr（ 3）、向量共线的充要条件： b 与非零向量 a 共线存在独一的R ，使 ba 。
（ 4）、两向量平行的充要条件：向量rr( x 2 , y 2 ) 平行 x 1 y 2 x 2 y 1a(x 1, y 1 ) , b 0（ 5）、两向量垂直的充要条件：向量rrrrab a b 0x 1 x 2 y 1 y 2 0rr r rr rr r（ 6）、向量不等式： | a | | b | | a b | ， | a || b | | a b | r rr r（ 7）、向量的坐标运算：向量 a (x 1, y 1 ) , b ( x 2 , y 2 ) ，则 a b x 1 x 2 y 1 y 2r r r r r= a b（ 8）、向量的投影： ︱ b ︱cosr ∈R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为 | a |射影（ 9）、向量：既有大小又有方向的量。
向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小。
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
（ 10）、零向量： 长度为 0 的向量，记为 0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行 零向量 a ＝rr｜ a ｜＝ 0 由于 0 的方向是任意的， 且规定 0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚可否有“非零向量”这个条件． （注意与 0 的差异）（ 11）、单位向量： 模为 1 个单位长度的向量向量 a 0 为单位向量 ｜ a 0 ｜＝ 1（ 12）、平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都能够移到同素来线上 方向相同或相反的向量， 称为平行向量 记作 a ∥ b 由于向量能够进行任意的平移 ( 即 自由向量 ) ，平行向量总能够平移到同素来线上，故平行向量也称为共线向量 注：剖析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （ 1） 给出直线的方向向量 u 1, k 或 u m, n ，要会求出直线的斜率；（ 2）给出 OA OB 与 AB 订交 , 等于已知 OA OB 过 AB 的中点 ; （ 3）给出 PM PN 0, 等于已知 P 是 MN 的中点 ;（ 4）给出 AP AQBP BQ , 等于已知 P,Q 与 AB 的中点三点共线 ;（ 5 ）给出以 下状况之 一： ① AB // AC ； ② 存在 实数rr,使 ABAC ； ③ 若 存在实数且uuur uuur uuurA, B,C, ,使 OAOB ,等于已知 三点共线 .1, OC（ 6） 给出 OPOAOB，等于已知 P 是 AB 的定比分点， 为定比，即 APPB1（ 7） 给出 MA MB 0 , 等于已知 MAMB , 即 AMB 是直角 , 给出 MA MB m 0 , 等于已知 AMB 是钝角 , 给出 MA MB m 0 , 等于已知AMB 是锐角。
(完整版)高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典),推荐文档
一,向量重要结论（1）、向量的数量积定义： 规定， ||||cos a b a b θ⋅= 00a ⋅= 22||a a a a ⋅== （2）、向量夹角公式：与的夹角为，则a b θcos ||||a b a b θ⋅= （3）、向量共线的充要条件：与非零向量共线存在惟一的，使。
b a ⇔R λ∈b a λ= （4）、两向量平行的充要条件：向量,平行11(,)a x y = 22(,)b x y = ⇔12210x y x y -=（5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥ 0a b ⇔⋅= ⇔12120x x y y +=（6）、向量不等式：，||||||a b a b +≥+ ||||||a b a b ≥⋅ （7）、向量的坐标运算：向量,，则11(,)a x y = 22(,)b x y = a b ⋅= 1212x x y y +（8）、向量的投影：︱︱cos =∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为b θ||a b a ⋅ b a 射影（9）、向量：既有大小又有方向的量。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
（10）、零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝0 0 a ｜｜＝0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共0 ⇔a 0 0 线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）（11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量为单位向量｜｜＝1 0a ⇔0a （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移a b (即自由向量)注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量或，要会求出直线的斜率；()k u ,1= ()n m u ,= （2）给出与相交,等于已知过的中点;+AB OB OA +AB （3）给出,等于已知是的中点;0 =+PN PM P MN （4）给出,等于已知与的中点三点共线;()+=+λQ P ,AB （5）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数AC AB //,AB AC λλ= 且,等于已知三点共线.,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+ 且且C B A ,,（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即λλ++=1P λPB AP λ=（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于0=⋅MB MA ⊥AMB∠0<=⋅m 已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。
(完整版)必修四平面向量复习基本知识点总结及基础训练
a b a b AB DC AB DC a (1,1), b 1), c c 按向量 ＝（－1、向量有关概念：平面向量复习基本知识点及经典结论总结（1） 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
例：已知 A （1,2），B （4,2），则把向量1,3）平移后得到的向量是 AB a。
（2） 零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 ，注意零向量的方向 ；（3） 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是：)；（4） 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有 ；（5） 平行向量（也叫）：方向 或的非零向量 a 、b 叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0 )；④三点 A 、、B C 共线⇔ AB 、AC 共线；（6） 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是。
例：命题：（1）若 =，则 =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若 = ，则 ABCD 是平行四边形。
（4）若 ABCD 是平行四边形，则 =。
（5）若 a = b ,b = c ，则 a = c 。
（6）若 a // b ,b // c ，则 a // c 。
其中正确的是 ； 2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b ， c 等；（3）坐标表示法：在 平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i ， j 为基底，则平面内的任一向量 a 可表示为 a = xi + y j = (x , y )，称(x , y )为向量 a 的坐标， a ＝叫做向量 a 的坐标表示。
(完整版)高中数学平面向量知识点总结及常见题型
1.已知 ，且 与 的夹角为 ，求（1） ，（2） ，
（3） ，（4） .
2.已知 ，求（1） ，（2） ，（3） ，
（4） .
题型10.求向量的夹角
1.已知 ， ，求 与 的夹角.
2.已知 ，求 与 的夹角.
3.已知 ， ， ，求 .
题型11.求向量的模
1.已知 ，且 与 的夹角为 ，求（1） ，（2） .
9 垂直：如果 与 的夹角为900则称 与 垂直，记作 ⊥
10 两个非零向量垂直的充要条件：
⊥ · ＝O 平面向量数量积的性质
题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点.
（3））四边形ABCD是平行四边形的条件是 .
2 向量的投影：︱ ︱cos = ∈R，称为向量 在 方向上的投影 投影的绝对值称为射影
3 数量积的几何意义： · 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积
4 向量的模与平方的关系：
5 乘法公式成立：
；
6 平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：
②对实数的结合律成立：
③分配律成立：
特别注意：（1）结合律不成立： ；
③作图法： 可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点）
4 实数与向量的积：
①实数λ与向量 的积是一个向量，记作λ ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ）当 时，λ 的方向与 的方向相同；当 时，λ 的方向与 的方向相反；当 时， ，方向是任意的
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
4.已知 ， ， ，请将用向量 表示向量 .
5.已知 ， ，（1）若 与 的夹角为钝角，求 的范围；
必修四平面向量复习提纲+练习
OA + OB =记 OA =(x ,y ) ，OCOB =(x 1,y 2) OB - OA = OA + OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB AB = OB - OA =OA + AB =OBAB=λ a a a → →记a ·b =| a |a=(x ,y ),b =(x 2,y 2)b 则 →a · →b =x x +y yab（ 3 ）两个向量平行 ：设 →a = （ x ,y ）， →b =(x ,y ) ，则 →a ∥ →b ⇔ b = λ a（4）两个向量垂直：设 →a =(x ,y ) →b =(x ,y )则 →a ⊥ →b ⇔ a • b = 0 ⇔ x x +y y =0e e a a e e复习要点高一数学必修四复习——平面向量1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运 算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。
每一种运算都可以有 三种表现形式：图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：运 算 图形语言 符号语言 坐标语言--→--→--→ 1 1--→ --→则加法 与 减法--→ --→ --→ --→ --→实数 与 向量的乘 积--→ → λ ∈R记 → =(x,y)则λ →=(λ x,λ y)两个 向 →→1 1量的数 量| → |→积cos< → , →>1 2 122．重要定理、公式（1）向量共线定理：如果有一个实数λ 使 b = λ a(a ≠ 0), 那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与a(a ≠ 0) 是共线向量，那么有且只有一个实数 λ ，使 b = λ a 。
（2）平面向量基本定理；如果→1，→2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量 → ，有且只有一对数数λ 1，λ 2，满足 → =λ 1 →1 +λ 2 →2 。
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10、两个向量的数量积：
已知两个非零向量
→
a
与
→
b
，它们的夹角为
，则
→
a
→
b
=|
→
a
|
|
→
b
|
cos
叫做
→
a
→
与b
的数量积（或内积） 新疆 源头学子小屋 /wxc/
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下：
（Ⅰ）
→
a
=
→
a
；
（Ⅱ）当
0
时，
→
a
的方向与
→
a
的方向相同；当
0 时，
→
a
的
方向与
→
a
的方向相反；当
=
→
0 时， a
=
→
0
，方向是任意的新疆 源头学子小屋 /wxc/
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/wxc/
6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量
→
a
与
b
相等，记作
→
a
=
→
b
；
7、平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作
→
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa//
→
b
平行向量也称为
共线向量 规定零向量与任意向量平行。
8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量
→
a
与
→
b
，作
OA
＝
→
a
，
OB
＝
→
b
，则
AOB
= (0
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→→
规定 0 a = 0
11、向量的投影：定义：|
→
b
|cos叫做向量
→
b
在
→
a
方向上的投影，投影也是一个数量，不是
向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为 0；当 = 0
→
→
时投影为 | b |；当 = 180时投影为 −| b |
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二、重要定理、公式：
1、平面向量基本定理：e→1
，
→
e2
是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任
→
→
设 a = (x1, y1) ， b = (x2, y2 ) ，则 a// b a = b x1 y2 − x2 y1 = 0
3、两个向量垂直的充要条件
→
→
设 a = (x1, y1) ， b = (x2 , y2 ) ，则
4、平面内两点间的距离公式
→→
→→
a ⊥ b a b = 0 x1x2 + y1y2 = 0
必修四 平面向量
一、向量的相关概念： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小
2、向量的表示方法：几何表示法：①用有向线段表示；②用字母
→
a
、
→
b
等表示；③用有向
→
线段的起点与终点字母： AB ；坐标表示法： a = xi + yj = (x, y)
)叫
→
a
→
与b
的夹角
说明：（1）当
=
0
时，
→
a
→
与 b 同向；（2）当
=
时，
→
a
→
与 b 反向；（3）当
=
时，
→
a
→
与b
2
垂直，记
→
a
⊥
→
b
；规定零向量和任意向量都垂直。（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须
是同起点的范围 0≤≤180
9、实数与向量的积：实数λ与向量
→
a
的积是一个向量，记作
→
a
，它的长度与方向规定如
5、两向量夹角的余弦（ 0 ）
→→
cos =
a b
→→
=
| a || b |
x1x2 + y1 y2 x12 + y12 + x22 + y22
三、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算 的坐标表示和性质
a = (x1, y1) ， b = (x2, y2 )
运算 类型 向 量 的 加 法
一向量，有且仅有一对实数
1
,
2
，使
→
a
=
1
→
e1
+
2
→
e2
（1）．平面向量的坐标表示
→→
如图，在直角坐标系内，我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基
底任作一个向量
→
a
，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数
x
、
y
，使得
→
→→
a = x i + y j …………○1
→
→
b cos
=
→→
a b
→
R
，称为向量
→
b
在
→
a
|a|
方向上的投影 投影的绝对值称为射影 新疆 源头学子小屋 /wxc/
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我们把 (x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作
→
a = (x, y) …………○2
→
→
其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，○2 式叫做向量的坐标表示
→
与．a 相．等．的．向．量．的．坐．标．也．为．(x, y)
→
→
特别地， i = (1,0) ， j = (0,1) ， 0 = (0,0)
几何方法
坐标方法
1 平行四边形法则
2 三角形法则（首尾相接，首尾连）
→→
a+ b = (x1 + x2, y1 + y2 )
运算性质
→
→
→
（1）设 a = (x, y) ，则| a |2 = x2 + y2 或| a |=
x2 + y2
→
（2）如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 A (x1, y1 ) 、B (x2 , y2 ) ，那么
→
| AB |=
(x1 − )x2 2 + (y1 − )y2 2 (平面内两点间的距离公式)
3、向量的模：向量 AB 的大小――长度称为向量的模，记作| AB |.
4、特殊的向量：①长度为 0 的向量叫零向量，记作 0 0 的方向是任意的②长度为 1 个单位长
度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
5、相反向量：与
→
a
长度相同、方向相反的向量记作
→
−a
（2） 若 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，则 AB = (x2 − x1, y2 − y1 )
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
2、两个向量平行的充要条件
向量共线定理：向量
→
b
与非零向量
→
a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使
→
b
=
→
a
→
→
→→