九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角教案新版新人教版

24.1.4 圆周角

【知识与技能】

理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系,并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明.

【过程与方法】

经历探索圆周角定理的过程,初步体会分类讨论的数学思想,渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法,提高学生的发散思维能力.

【情感态度】

通过积极引导,帮助学生有意识地积累活动经验,获得成功的体验.

【教学重点】

圆周角定理及其推论的探究与应用.

【教学难点】

圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及

圆周角定理及推论的应用.

一、情境导入,初步认识

如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O的位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C,他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？

［相同,2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB］

【教学说明】教师出示海洋馆图片,引导学生思考,引出课题,学生观察图形、分析,初步

感知角的特征.

二、思考探究,获取新知

1.圆周角的定义

探究1 观察下列各图,图（1）中∠APB的顶点P在圆心O的位置,此时∠APB叫做圆心角,这是我们上节所学的内容.图（2）中∠APB的顶点P在⊙O上,角的两边都与⊙O相交,这样的角叫圆周角.请同学们分析（3）、（4）、（5）、（6）是圆心角还是圆周角.

【教学说明】设计这样的一个判断角的问题,是再次强调圆周角的定义,让学生深刻体会定义中的两个条件缺一不可.

【归纳结论】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.二者缺一不可.

2.圆周角定理

探究2如图,（1）指出⊙O中所有的圆心角与圆周角,并指出这些角所对的是哪一条弧？

（2）量一量∠D、∠C、∠AOB的度数,看看它们之间有什么样的关系？

（3）改变动点C在圆周上的位置,看看圆周角的度数有没有变化？你发现其中有规律吗？若有规律,请用语言叙述.

解：（1）圆心角有：∠AOB圆周角有：∠C、∠D,它们所对的都是AB

（2）∠C=∠D=1/2∠AOB

.（3）改变动点C在圆周上的位置,这些圆周角的度数没有变化,并且圆周角的度数恰好等于同弧所对圆心角度数的一半.

【教学说明】教师利用几何画板测量角的大小,移动点C,让学生观察当C点位置发生改变过程中,图中有哪些不变,从而交流总结,找出规律,同时引导学生观察圆心与圆周角的位置关系,为定理分情况证明作铺垫.

为了进一步研究上面发现的结论,如图,在⊙O上任取一个圆周角∠ACB,将圆对折,使折痕经过圆心O和∠ACB的顶点C.由于点C的位置的取法可能不同,这时折痕可能会：（1）在圆周角的一条边上；

（2）在圆周角的内部；

（3）在圆周角的外部.

已知：在⊙O中,AB所对的圆周角是∠ACB,圆心角是∠AOB,求证：∠ACB=1/2∠AOB.

［提示分析：我们可按上面三种图形、三种情况进行证明.］

如图（1）,圆心O在∠ACB的边上,∵OB=OC,∴∠B=∠C,而∠BOA=∠B+∠C,

∴∠B=∠C=1/2∠AOB.

图（2）（3）的证明方法与图（1）不同,但可以转化成（1）的基本图形进行证明,证明过程请学生们讨论完成.

得出圆周角定理：

在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对圆心角的一半.

注意：①定理应用的条件是“同圆或等圆中”,而且必须是“同弧或等弧”,如下图（1）.

②若将定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种情况,它们一般不相等（而是互补）.如下图（2）.

【教学说明】在定理的证明过程中,要使学生明确,要不要分情况来证明.若要分情况证明,必须要明白按什么标准来分情况,然后针对各种不同的情况逐个进行证明.在证明过程中,第（1）种情况是特殊情况,是比较容易证明的,经过添加直径这条辅助线将（2）、（3）种情况转化为第（1）种情况,体现由一般到特殊的思想方法。对于后面要学生注意的两个问题,是为了加强学生对圆周角定理的理解,使学生能准确的掌握好圆周角定理。

3.圆周角定理的推论

议一议（1）特殊的弧——半圆,它所对的圆周角是多少度呢？

（2）如果一条弧所对的圆周角是90°,那么这条弧所对的圆心角是多少呢？

结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.（圆周角定理的推论）

【教学说明】这个推论是圆中很重要的性质,为在圆中确定直角,构成垂直关系创造了条件.同时这一结论为在圆中证明直径提供了重要依据.

4.圆内接四边形

定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.

如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形.

⊙O是四边形ABCD的外接圆.

连接OB、OD,由圆周角定理可知：

∠A=1/2∠1,∠C=1/2∠2

而∠1+∠2=360°,∴∠A+∠C=

∴∠A与∠C互补,同理可得∠ADC+∠ABC=180°.

由此可知在⊙O的内接四边形ABCD中,对角∠A与∠C,∠ADC与∠ABC互补.

若延长BC至E,使得四边形ABCD有一个外角∠DCE,则∠DCE+∠BCD=180°.

∴∠A=∠DCE.即：外角∠DCE与内对角∠A相等.

由此可知圆内接四边形有如下性质：

圆内接四边形的对角互补,外角等于内对角.

【教学说明】从圆内接四边形的定义出发,可知圆内接四边形的四个内角都是圆周角,再由圆周角定理,把圆周角与相应的圆心角联系起来,就很容易得出圆内接四边形的性质定理.对于这个性质,学生要能分清这个命题的题设和结论,并结合图形写出已知和求证.

三、典例精析,获取新知

例1如图,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D.

求BC、AD、BD的长.

分析：由直径AB可知△ACB和△ADB为直角三角形,进而可用勾股定理求BC,又由CD平分∠ACB可知∠1=∠2,从而得到AD、BD.再次用勾股定理求出AD、BD的长.

解：∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,∴△ACB和△ADB为直角三角形.

在Rt△ABC中,BC==8（cm）.

∵CD平分∠ACB,∴∠1=∠2,∴AD=BD,∴AD BD

.又在Rt△ABD中22（cm）

【教学说明】利用圆周角定理及其推论,将求线段长的问题转化到解直角三角形的问题上来.

例2 如图.AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠AOD=30°.求∠BCD的度数.