超静定结构的内力计算

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高等工程力学1 超静定结构内力计算

高等工程力学1 超静定结构内力计算

M i 、Qi、N i ——任取的基本体系在单位力作用下的内力图,而单位力是加在 要求位移的截面上的;
—RK—基本体系支座k在单位力作用下的反力;
cK——k支座的实际位移。 公式(1-7)的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移,后
三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。
1 超静定结构内力计算
⑵ 有结点线位移的情况 计算这类结构时;原利用公式(1-11)考虑各结点的弯矩平衡外,还需考虑 相应杆端剪力的平衡。取适当的截面截出结构的一部分,通常是截断各柱的柱顶 端。取出横梁。考虑剪力平衡,建立剪力平衡方程,即
Qx 0
(1-12)
补充了剪力平衡方程后,方程式的数目仍然与未知数的数目相等,方程式总是 可以求解的。
1 超静定结构内力计算
§1.1.1力法的基本原理(续4)
由力法方程解出未知力X1、X2、…Xn后,超静定结构的内力可根据叠加原理 用下式计算:
M M1X1 M2X2 MnXn MP Q Q1 X 1 Q2 X 2 Qn X n QP N N1X1 N2 X 2 Nn X n NP
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力(续1)
同理附加链杆处的反力也为零,即
R2 R21 R22 R2P 0
或写成
r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
对于有n个基本未知数的结构,位移法典型方程式为:
r11Z1 r12 Z2 r1n Zn R1P 0 r21Z1 r22 Z2 r2n Zn R2P 0
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式(续1)
AB杆产生位移后,杆端的总弯矩为
M AB
M
/ AB
M

力学超定静结构计算

力学超定静结构计算

1、超静定结构的特性:与静定结构比较,超静定结构有如下特性:内力超静定,约束有多余,是超静定结构区别于静定结构的基本特点。

2、超静定次数的确定:结构的超静定次数为其多余约束的数目,因此上,结构的超静定次数等于将原结构变成静定结构所去掉多余约束的数目。

在超静定结构上去掉多余约束的基本方式,通常有如下几种:(1)断一根链杆、去掉一个支杆、将一刚接处改为单铰联接、将一固定端改为固定铰支座,相当于去掉一个约束。

举例(2)断一根弯杆、去掉一个固定端,相当于去掉三个约束。

举例(3)开一个单铰、去掉一个固定铰支座、去掉一个定向支座,相当于去掉两个约束。

举例返回顶部3、几点注意:①由图10-1结构的分析可得出结论:一个无铰闭合框有三个多余约束,其超静定次数等于三。

对于无铰闭合框结构其超静定次数=3×闭合框数。

如图10-2所示结构的超静定次数为3×5=15次;对于带铰闭合框结构其超静定次数=3×闭合框数-结构中的单铰数(复铰要折算成单铰)如图10-3所示结构的超静定次数为3×5-(1+1+3)=15次。

D点是连接四个刚片的复铰,相当于(4-1)=3个单铰。

②一结构的超静定次数是确定不变的,但去掉多余约束的方式是多种多样的。

如图10-1结构。

③在确定超静定次数时,要将内外多余约束全部去掉。

如图10-4结构外部1次超静定,内部6次超静定,结构的超静定次数是7。

④在支座解除一个约束,用一个相应的约束反力来代替,在结构内部解除约束,用作用力和反作用力一对力来代替。

如图10-1结构所示。

⑤只能去掉多余约束,不能去掉必要的约束,不能将原结构变成瞬变体系或可变体系。

如图10-4结构中A点的水平支杆不能作为多余约束去掉。

如图10-5结构中支杆a,b和链杆c不能作为多余约束去掉,否则就将原结构变成了瞬变体系。

返回顶部1、超静定结构的求解思路:欲求解超静定结构,先选取一个便于计算结构作为基本体系,然后让基本体系与原结构受力一致,变形一致即完全等价,通过这个等价条件去建立求解基本未知量的基本方程。

《建筑力学与结构》课件——第十章 超静定结构的内力计算

《建筑力学与结构》课件——第十章 超静定结构的内力计算

力法计算超静定结构
(2) 建立力法方程
11X 1 12X 2 1F 0 21X 1 22X 2 2F 0
建筑力学与结构
(3) 计算系数和自由项
δ11 4a3 / 3EI
1F 5qa4 / 8EI
2024/11/13
δ22 a3 / 3EI δ12 δ21 a3 / 2EI 2F qa4 / 4EI
M AB
M1X1
MF
l 3 ql 8
1 ql 2 2
1 ql 2 8
取多余未知力作为基本未知量,通过基本结构,利用
计算静定结构的位移,达到求解超静定结构的方法,称为力
法。
2024/11/13
13
力法计算超静定结构
2.力法的典型方程
建筑力学与结构
1 11 X1 12 X 2 1F 0 2 21 X1 22 X 2 2F 0
2024/11/13
14
力法计算超静定结构
建筑力学与结构 n次超静定结构
δ11 X 1 δ12 X 2 δ1i X i δ1n X n 1F 0 δ21 X1 δ22 X 2 δ2i X i δ2n X n 2F 0
…………………………………………..……
δn1 X1 δn2 X 2 δni X i δnn X n nF 0
2024/11/13
7超静定次数的确定来自建筑力学与结构 3.去掉一个固定支座或切断一根梁式杆,相当于去掉三个约束,用 三个约束反力代替该约束作用。
2024/11/13
8
超静定次数的确定
建筑力学与结构 4.将一刚结点改为单铰联结或将一个固定支座改为固定铰支座,相 当于去掉一个约束,用一个约束反力代替该约束作用。
各杆的杆端弯矩表达式

第8章超静定结构的计算方法

第8章超静定结构的计算方法
约束。
三次超静定拱
X1
X2
X3
e)
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3)撤除一 个固定铰支 座或撤除一 个内部单铰, 相当于解除 两个多余约 束。
二次超静定刚架
X1 X2X2来自X1X1X2二次超静定刚架
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4)撤除一 个固定端支 座或切断一 个刚性连接, 相当于解除 三个多余约 束。
三次超静定刚架
F
超静定梁,画出内力图。已知梁的抗弯
刚度EI为常数。 解2 (1) 属于一次超静定梁,得 到基本结构如图所示。 (2)建立力法典型方程。 A
A
l/2
C l/2 F
B
C
X1 M1图
B
11 X1+1F=0
(3)求系数和自由项
1 l l 2 l3 11 l EI 2 3 3EI
l Fl/2 M F图
处沿Xi方向的位移。
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c)
C
X1
f) B
C
X1=1
21
11
A d) B
11
X1倍
d) B
A
C
C
22
12
A
X2
X2=1 X2倍
12
A
ij=ij Xj
22
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21
B
1=11+12+1F= 0 2=21+22+2F= 0
ij 为多余约束力Xj=1时,基本结构在Xj 单独作用
上一页 下一页
返回
1)撤除 一根支 承链杆 二次超静定梁
一次超静定桁架
X1
X1
a)
或切断
一根结 构内部

超静定结构内力计算

超静定结构内力计算

超静定结构内力计算首先,需要明确的是,超静定结构与静定结构的计算方法基本相同,都是通过力平衡和力矩平衡方程来计算结构内力。

下面以一简支梁为例,介绍超静定结构内力计算的方法。

假设有一简支梁,梁长为L,受到均布载荷q,支座A、B处有横向支撑。

我们需要计算梁上任意一点x处的弯矩和剪力。

首先,对于简支梁,力平衡方程可得:∑Fx=0=>RA+RB=0(1)∑Fy=0=>VA+VB-qL=0(2)力矩平衡方程可得:∑Mz=0=>-qLx+VBx=0(3)(x为横坐标)由以上方程可以得到:RA=-RB=-qL/2,VA=-VB=qL/2接下来,我们可以使用能量方法计算结构内力。

能量方法是利用结构所受外界实际工作等于内力做的虚功,通过对外界做功和结构内工作的平衡,求解得到内力。

我们将简支梁分解为多个力学小段,每一小段的长度为Δx。

考虑梁上一小段AB,以A点为起点,Δx位置为B点。

对这一小段,外界对结构所做的虚功为:δWext = -VAdy (4) (dy为小段长度)其中,结构内力V由能量方法得到。

结构内力杆件AB的内工作为:dU = VAdy (5)因为外界做的虚功等于内工作,可得:-δWext = dU将式(4)和式(5)代入上式,得:VAdy = -VAdy对上式进行积分,得:∫VAdy = -∫VAdy∫VAdy = -(∫VAdy)由于简支梁内力为常数,所以可以将其从积分符号中移出,得:V∫Ady = -V∫Ady即:VAΔy=-VAΔy可以看出,对于简支梁而言,外界虚功和结构内工作的积分是相等的。

通过上述分析,我们可以发现,能量方法实际上是在计算外界对结构做的虚功,而虚功就是外界力对结构的作用力乘以作用距离的积分。

所以能量方法的基本思想是通过积分计算外界对结构的虚功,然后根据虚功等于内工作的原理,推导出结构的内力。

总结起来,超静定结构的内力计算方法主要是使用力平衡和力矩平衡方程,利用能量方法计算结构内力。

结构力学 力法计算超静定结构

结构力学 力法计算超静定结构
项目三 超静定结构的内力计算
子项目一 力法计算超静定结构
情景一 超静定结构的基本特征
学习能力目标
1. 能够解释力法的基本概念。 2. 能够确定超静定的次数,得到静定的基本结构。 3. 了解超静定结构的特点。
项目表述
试分析如图 3 – 1 所示超静定结构,确定它的超静定次数。
情景一 超静定结构的基本特征 学习进程
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
② 去掉一个固定铰支座(图 3 – 6a)或拆去一个单铰相当于去掉两个约束(图 3 – 6b),可用两个多余未知力代替。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
③ 去掉一个固定支座(图 3 – 7b)或切断一刚性杆(图 3 – 7c),相当于去掉 三链接
③ 超静定结构的内力和各杆的刚度比有关,而静定结构则不然。在计算超静定 结构时,除了用静力平衡条件外,还要用到结构的变形条件建立补充方程。而 结构的变形条件与各杆的刚度有关,在各杆的刚度比值发生变化时,结构各部 分的变形也相应变化,从而影响各杆的内力重新分布。利用在超静定结构中, 刚度大的部分将产生较大的内力,刚度较小的部分内力也较小的特点,可以通 过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。 ④ 在局部荷载作用下,超静定结构与静定结构相比,具有内力分布范围大,内 力分布较均匀,峰值小,且变形小、刚度大的特点。如图 3 – 9a 所示是三跨连 续梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线,由于梁的连续性,两边跨也产生内 力和变形,最大弯矩在跨中为 0.175Fl。图 3 – 9b 所示是多跨静定梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线,由于铰的作用,两边跨不产生内力和变形,最大 弯矩在跨中为 0.25Fl,约为前者的 1.4 倍。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接

建筑力学13超静定结构内力计算

建筑力学13超静定结构内力计算

12
有一个多余联系
将横梁某处改为铰接,即相当于去 掉一个联得到图(b)所示静定结构
当去掉 B支座的水链杆则的竖向链杆,即成瞬 变体系[图 (d)]所示,显然 是不允许的,当然也就不能 作为基本结构。
13
13.1.3 超静定结构的计算方法分类 *超静定结构的基本(精确)方法有力法和位移 法两种。 手算时,凡是多余约束多、节点位移少的结 构用位移法,反之用力法。 *超静定结构的计算机解法是矩阵位移法。 *超静定结构的近似解法有:渐近法、分层法、 反弯点法、D值法等。 *渐近法主要有力矩分配法(适于连续梁与无侧 移刚架)、无剪力分配法和迭代法。
34
利用图乘法求得各系数和自由项
1 a 2 2a a 3 11 EI 2 3 3EI
1 a 2 2a 1 2 7a 3 22 a a 2 EI 2 3 EI 6 EI
1 a2 a3 12 21 a EI 2 2 EI
14
13.2 超静定结构的力法计算 13.2.1 力法的基本思路 1.去掉多余约束,并用相应的多余未知力来等 效替换约束条件,得到一静定结构叫基本体 系(结构)。 2.根据原结构的变形条件,即,按基本结构的 变形必须和原结构相同,来建立变形协调方 程,求解多余约束所对应的多余未知力。 3.按照静定结构的分析方法计算结构的内力,并 绘制M、FQ、FN图。
1 2
X1=1
F
qL2/8
qL2/8 (h)M图
20
13.2.3 力法典型方程
图 (a)所示为一个三次超静定结构,在荷载作 用下结构的变形如图中虚线所示。用力法求解时, 去掉支座C的三个多余联系,并以相应的多余力X1 、 X2 和X3代替所去掉的联系的作用,则得到图 (b)所 示的基本结构上,它必须与原结构变形相符,在C点 处沿多余力X1 、X2 和 X3 方向的相应位移 Δ 1 、 Δ2和 Δ 3都应等于零。 Δ1=0 Δ2=0 Δ3=0

用力法计算超静定结构在支座移动和温变化时的内力

用力法计算超静定结构在支座移动和温变化时的内力

l
M1 图
X1=1

l3 3EI
X 1 q l a
由此求得
X1
3EI l2
(q
a) l
弯矩叠加公式为:
M M1X1
3EI (q a )
l
l
M图
X1
q
A
C q
B a
l/2
l/2
l
q
q
X1 a
基本体系之一
q
q
D1c
FRA 1
l
M1 图
X1=1
(2)第二种解法
取支座A的反力偶作为多余未知力X1, 其力法方程为
计算支座移动引起n次超静定结构的内力时,力法程中 第 i个方程的一般形式可写为
n
ij X j Δic Ci
j 1
ij为柔度系数
Ci,表示原结构在Xi方向的实际位移
Dic,表示基本结构在支座移动作用下在Xi方向的位移
【例7-9】图示单跨超静定梁AB,已知EI为常数,左端支座转动角度为q ,
右端支座下沉位移为a,试求在梁中引起的自内力。
)
10
(
1 2
1
l
)
2.5
(1 l
l)
10
(
2 l
l)
100 22.5 77.5
代入典型方程,可得
77.5EI/l
A
B
X1
Δ1t
11
77.5EI
l
()
最后弯矩图M M1 X1 ,如图所示。
77.5EI/l 77.5EI/l
C
D
77.5EI/l
M图
由计算结果可知,在温度变化时,超静定结构的内力与反力与各 杆件刚度的绝对值成正比。因此,加大截面尺寸并不是改善自内 力状态的有效途径。另外,对于钢筋混凝土梁,要特别注意因降 温可能出现裂缝的情况(对超静定梁而言,其低温一侧受拉而高 温一侧受压)。

自考结构力学_超静定结构的内力和位移

自考结构力学_超静定结构的内力和位移

取C结点,如图6.12c所示,由∑y=0 得: 4 NCA = QCB = ql 7
取结点B,由∑X=0 ,已知 3 得 NBC = ql 7
3 x2 = ql 7
图6.12 求各杆轴力及剪力
三、力法典型方程
支座移动时的计算
X1
d11 X 1 d12 X 2 D1c = 0 h d 21 X 1 d 22 X 2 D 2c =
1、力法基本未知量 结构的多余约束中产生的多余未知力(简称多 余力)。
2、力法基本体系 力法基本结构,是原结构拆除多余约束后得到的 静定结构;力法基本体系,是原结构拆除多余约束 后得到的基本结构在荷载(原有各种因素)和多余 力共同作用的体系。
3、力法基本方程 力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移 一致的条件。 方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算 问题,显然,超静定转化为静定问题。
1 (d 11 ) k 25 X 1 = ql ( ) 32 5 X 1 = ql ( ) (c) 4

基 本 体 系
M图由M = M1 X1 M P 作出:
温度内力的计算
画出 M 1 , M 2 , N1 , N 2 图 计算
t1 t1 t2 t1 X1
t1 t2
梁刚架: 系 数 桁 架:
d d
d
M i yi = i ds= ii EI EI j yi Mi M j ds = ij = EI EI 2 N l = i ii EA
2


自由项
梁刚架:
桁 架:
d ij = EA M M ds D iP = EI
Ni N jl
d11 X1 d12 X 2 D1P = 0 d 21 X1 d 22 X 2 D2 P = 0

支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算

支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
11X1 12 X 2 1c 0 21X1 22 X 2 2c 0
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算 从以上分析可以看到,选不同形式的基本结构,建立的力法方
程的形式不同。但各种形式的力法方程表达的物理意义的实质是相 同的。在力法方程的等号左边表示的是:基本结构上在各种因素作 用下引起的某一多余力方向上的位移;而等号右边表示的是:原结 构在此方向上的位移。
度升图高a所t2 示C,为用两力次法超计静算定其刚内架力,的设方各法杆与外支侧座温移度动升时高的t1情C,况内相侧类温似。 首先选取基本结构,设去掉支座C处的两个多余约束,代之以多余 未知力X1、X2,得到基本结构如图b所示。列出力法方程为
11X1 12 X 2 1t 0 21X1 22 X 2 2t 0
式中系数计算和前面相同。
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
自由项 it(i = 1,2)表示基本结构上C点处由温度改变所引起 的Xi方向上的位移,可按十三章中介绍的位移计算公式求得,即
it
() l FNilt0ds
() Mil tds
lh
(a)
当t0、t 、h、 l 为常数时,则上式可写成
侧截温面度形降心低轴5为C对,称各轴杆,材截料面的高线度膨h胀= 0系.4数m。为试用l ,力弯法曲计刚算度,E并I为绘常制数,
内力图。
【解】 此刚架为一次超静定结构,取基本结构如图b所示。建
立力法方程为
11Χ 11t 0
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
绘出 M1 、FN1 图,分别如图c、d所示。
it
lt0 ANi
l
t h
AMi

超静定结构内力计算

超静定结构内力计算

六超静定结构內力计算1.什么是超静定结构?它和静定结构有何区别?答:单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。

从几何组成的角度看,静定结构是没有多余约束的几何不变体系。

若去掉其中任何一个约束,静定结构即成为几何可变体系。

也就是说,静定结构的任何一个约束,对维持其几何不变性都是必要的,称为必要约束。

对于超静定结构,若去掉其中一个甚至多个约束后,结构仍可能是几何不变的。

2.什么是超静定结构的超静定次数?答:超静定结构多余约束的数目,或者多余约束力的数目,称为结构的超静定次数。

3.超静定结构的基本结构是否必须是静定结构?答:超静定结构的基本结构必须是静定结构。

4.如何确定超静定结构的超静定次数?答:确定结构超静定次数的方法是:去掉超静定结构的多余约束,使之变为静定结构,则去掉多余约束的个数,即为结构的超静定次数。

5.撤除多余约束的方法有哪几种?答:撤除多余约束常用方法如下:(1)去掉一根支座链杆或切断一根链杆,等于去掉一个约束。

(2)去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰,等于去掉两个约束。

(3)去掉一个固定端支座或把刚性连接切开,等于去掉三个约束。

6.用力法计算超静定结构的基本思路是什么?答:用力法计算超静定结构的基本思路是:去掉超静定结构的多于约束,代之以多余未知力,形成静定的基本结构;取多余未知力作为基本未知量,通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程,利用这一变形条件求解多余约束力;将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加,即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。

7.什么是力法的基本结构和基本未知量?答:力法的基本结构是:超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。

力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。

8.简述n次超静定结构的力法方程,及求原结构的全部反力和內力的方法。

答:(1)n次超静定结构的力法方程对于n次超静定结构,撤去n个多余约束后可得到静定的基本结构,在去掉的n个多余约束处代以相应的多余未知力。

7.4 用力法计算超静定结构在荷载作用下的内力

7.4 用力法计算超静定结构在荷载作用下的内力

(6)作最后弯矩图和剪力图
ql2/12 (ql2/8) A ql2/24 B ql2/12
M图
ql/2
B
A
F Q图
ql/2
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【例7-3】试计算图示刚架,并作内力图。EI=常数 。
解: (1)确定基本未知量数目
8kN
D
C
E 2m
F
n=2
A 2m D X1 X2 F A 2m X1
作出M图以及FQ图、FN :

5 kN 4
6 kN 7 5
4
D 8kN F
C
E 2m
24
kN
24
8kN 2m B 2m 2m 130
6 kN 7 59
A
1 M图( kN m 14
46
)
5 4 27 4
6 7
5 4
6 7
5 4
6 7
FQ图(kN)
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B
MR 1
A1 C 1 A
M C
M 1图
All Rights Reserved
M图
B
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B
7.4.2 超静定桁架
桁架各杆的最后轴力则可按下式计算:
FN FN1 X 1 FN2 X 2 FN n X n FNP
B F D a A 2a E C a FP X1 X1 FP
130 / 14 59 / 14 59 / 14 24 / 14 24 / 14 24 / 14 24 / 14 46 / 14

05-3结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算(5.2节 位移法)ok

05-3结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算(5.2节 位移法)ok

如: 1 2
3
1 2
1
3
这样即可使12、13杆 成为单跨超静定梁
2、附加链杆支座约束:为使杆件两端相对线位移被约束而在结点上附加的约 束阻止结点移动的装置。
如:1
3
用“
” 表示
2 1 3
结构变形时,显然13杆可沿水平方向移动, 同时刚结点1也可能发生转角,要使各杆独立成为 单跨超静定梁。 需在1结点上附加刚臂约束 同时还需加附加链杆支座以阻止13杆的水平线 位移。
r11Z 1+ r12Z 2+ · · · · + r1nZ n+R1P=0
位移法 – 刚度法
ri j=rj i
反力互等定理
位移法典型方程,简称为位移法方程 – 结构的刚度方程
主系数,rii>0 r12 ...... r1n Z1 R1P r11 r Z R r ...... r 2P 22 2n 2 21 ri j=rj i 反力互等定理 0 ...... ...... ...... ...... rn 2 ...... rnn Z n RnP rij=rji,Rip,>0,=0,<0 rn1
F M AB ql 2 / 12 F M BA ql 2 / 12
F A l/2 l/2 B
Fl/8 A
Fl/8
F M AB Fl / 8
B
F M BA Fl / 8
q
ql2/8 B A B
F M AB ql 2 / 8
A
F A l/2 l/2 B
3Fl/16 A B
EI=
Z1 Z2
EI=

力法计算超静定结构举例

力法计算超静定结构举例
的相对位移)
3)计算系数和自由 绘 N1 和NP 。 项
11
1 EA
1
1
3
4 3
4 4 2 ( 3
5 ) ( 3
5 3
)
5
3
45 EA
1P
1 EA
(75) (
5)5 3
60
4 3
4
945 EA
例:用力法计算图示桁架的轴力。(各杆EA相等且为常数)
4)计算多余未知力X1
945
X1
1P
11
EA 45
21(kN)
EA
5)作最后内力图
N=N1X1+NP
四、超静定组合结构
五、力法计算铰接排架
例:用力法计算图示铰结排架,并作弯矩图。
解:1)选取图示基本体系 2)力法方程为: 11X1 1p 0 3)绘单位弯矩图M1和 荷载弯矩图MP
3)绘单位弯矩图M1和荷载弯矩图
MP
11
2 EI
(1 3 3 2
EA
EA
ip
NiN EA
p
dx
NiN EA
p
l
各杆的最后轴力按下式计算:
N N1X1 N2 X2 Nn Xn N p
例:用力法计算图示桁架的轴力。(各杆EA相等且为常数)
解:1) 确定基本体系(如图所示) 2)建立力法方程:
11X1+△1P=0 (基本体系在切口两边截面沿X1方向
取结点A为脱离体 取结点C为脱离体
Y 0,
2 RA 5 ql
()
Y 0,
RC
ql 2
3 ql 5
11 ql 10
()
讨 ①超静定结构在荷载作用下其内力与EI 的实际值无关,只与EI的相对值有关;
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四、简单超静定结构的力法计算
用力法计算超静定结构可按下列步骤进行: (1) 确定超静定次数,去掉多余约束并以多余未知力代替,得到原结构的基本体系。 (2) 根据基本结构在多余未知力和荷载共同作用下,在所去掉各多余约束处的位移与原结构 相应位移相等的条件,建立力法的典型方程。 (3) 依次做出基本结构在各单位未知力和荷载单独作用下的内力图,然后利用积分法(或图 乘法)计算典型方程中的各个系数以及自由项。 (4) 求解典型方程,得出各多余未知力。 (5) 按照分析静定结构的方法,由平衡条件和叠加原理绘制结构的内力图。 6.11 (6) 校核。
超静定结构的内力计算
超静定结构的内力计算
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6.1
超静定结构的内力计算
本章内容
•力 法 •位 移 法 •力矩分配法 •习 题
6.2
超静定结构的内力计算
教学要求:本章要求学生了解简单超静定结构的计算原理。掌握 超静定结构的受力特性和超静定次数的判断。能用力法、位移法、力 矩分配法求解简单超静定结构。
三、力法的基本原理与力法的典型方程
现以一个二次超静定刚架为例,说明力法的基本原理以及如何建立多次超静定结构的力法 方程;再进一步推广到 次超静定结构,得到力法典型方程。
如图6.9所示的刚架为二次超静定结构,分析时必须解除两个多余约束。现去掉铰支座A , 相应的代以多余约束力X1 ,X2得到如图6.9(b)所示的基本体系,由于原结构在支座A 处没有水 平位移和竖向位移,因此,基本结构在荷载和多余未知力X1 、X2 的共同作用下,铰支座A 处 也没有水平位移和竖向位移。即A 点沿X1 和X2 方向的位移: 6.7
Δ1 11 X1 12 X 2 L 1n X n Δ1P 0
Δ
2
21 X1 M
22 X 2
L
2n Xn Δ2P
0
Δn n1 X1 n2 X 2 L nn X n ΔnP 0
(6-1)
6.9
超静定结构的内力计算
力法
式(6-1)通常称为力法典型方程,其物理意义是:基本结构在多余未知力和荷载共同作用下, 多余约束处的位移和原来超静定结构相应的位移相等。
取AC,如图6.12(a)所示,分别由∑MA=0 ,∑x=0 ,∑y=0 ,得
QAC
QCA
3ql 28
,NAC =NCA
取CB,如图6.12(b)所示,分别由∑MB=0 , ∑x=0 ,得:
QCB
4 7
ql
N BC
NCB
3 ql 28
取C结点,如图6.12(c)所示,由∑y=0 得:
6.15
4
NCA QCB 7 ql
δij= δji 典型方程中的各系数和自由项,都是基本结构在已知力作用下的位移计算,完全可以通过 静定结构的位移计算求出。 将求得的系数与自由项代入力法典型方程,解出各多余未知力X1,X2,…, Xn然后将已求 得的多余未知力和荷载共同作用在基本结构上,利用平衡条件,求出其余的反力和内力。在绘 制原结构的最后内力图时,可利用基本结构的单位内力图与荷载内力图按叠加法得到,即:
超静定结构的内力计算
力法
△1 =0 , △2=0
6.8
图6.9 力法解二次超静定刚架
超静定结构的内力计算
力法
设各单位未知力X1=1、X2=1 和荷载分别作用于基本结构上,A点沿X1 方向的位移分别为 δ11、 δ12、 △1P ;沿X2 方向的位移分别为δ21、 δ22、 △2P (如图6.9(c)、(d)、(e))所示。根据叠加 原理,上述位移条件可表示为:
在上述方程中,主对角线上未知力的系数δii( i=1,2,…,n) 称为主系数,它代表单位未知 力Xi=1 单独作用在基本结构上时,在i 处沿Xi 自身方向上所引起的位移,其值恒为正。其余的 系数δij( i≠j ) 称为副系数,它代表基本结构在未知力Xi 处,由未知力Xj=1 单独作用时引起的沿 Xi 方向的位移。自由项△iP 表示外荷载(或温度改变、支座移动)作用下,基本结构沿未知力Xi 方向所引起的位移。副系数δij( i≠j ) 和自由项△iP 的值可以为正、负或零。根据位移互等定理, 副系数存在以下关系:
七、超静定结构的特性
超静定结构有不同于静定结构的一些特性: (1) 由于存在多余约束,超静定结构的内力仅由静力平衡条件不能确定,必须同时考虑变形 条件才能求出,因此超静定结构的内力与材料性质和截面尺寸有关,即与杆件的刚度有关。 6.18
【例6.3】 如图6.13(a)所示的等截面梁 ,已知 端支座转动角度为 , 端支座下沉位移 。试求 梁的弯矩图。
6.16
图6.13 例6.3图
超静定结构的内力计算
力法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解 (1) AB为一次超静定梁,去掉B支座多余约束,代以多余约束反力X1,基本体系如图6.13(b) 所示。
(2) 在X1 和θ、a共同作用下,基本体系与原结构受力相同。为了使两者变形也相同,必须 令基本体系在多余约束处的位移与原结构相同,即:
超静定结构的内力计算
力法
6.13
(2) 由已知点的位移条件,列出力法的典型方程:
11 X1 12 X 2 1P 0 21 X1 22 X 2 2P 0
(3) 作基本体系的 M 1, M 2, M P 图,利用图乘法求系数和自由项,并解方程求得X1、X2。
11
2
M 1 ds
1 (1 l l 2 l)
取结点B,由∑X=0 ,已知
x2
3 7
ql

3
NBC
ql 7
图6.12 求各杆轴力及剪力
超静定结构的内力计算
力法
同一超静定结构在求解时可选择各种不同形式的基本结构,结果必然相同。
五、超静定结构在温度变化、支座移动时的内力计算
对于超静定结构,即使没有荷载作用时也可能产生内力,如支座移动、温度变化以及制造 装配方面的误差都可以引起结构的内力。用力法计算由于支座移动、温度变化等引起结构的内 力时,其基本思路、原理和步骤与荷载作用下的内力计算基本相同,不同的只是力法的典型方 程中自由项的计算。以下只以支座移动时的计算为例来讲述。
图6.7 解除超静定结构多余约束
6.6
超静定结构的内力计算
力法
【例6.1】 确定如图6.8(a)所示结构的超静定次数。
图6.8 超静定结构
解 此结构去掉与地面相连的三根支杆后,桁架内部可看做两刚片(如图6.8(b)所示)用四根链杆 相连,是一次超静定结构。欲使其成为静定结构,在这四根链杆中任意去掉一根都可以。形成 的静定结构如图6.8(c)所示,被截断的杆件的作用力以一对多余未知力X1代替。
超静定结构的内力计算
力法
下面结合具体例子说明力法的运用。 【例6.2】 用力法计算如图6.10(a)所示的刚架,各杆的EI 相等且为常数,绘制内力图。
图6.10 超静定刚架
解 (1) 由几何组成分析知,该结构是二次超静定结构,去掉处的两个多余约束,得到基本结 构,如图6.10(b)所示。 6.12
l3
EI 2
3 3EI
X1
3EI l2
(
a) l
(3) 求内力。原超静定结构内力与基本体系相同,而支座移动在基本体系(静定结构)中不引
起内力,所以最后弯矩为:
M= M i X i
6.17
i
超静定结构的内力计算
力法
原结构的弯矩图如图6.13(e)所示。 由此可以看出,计算超静定结构由于支座移动引起的内力时,其力法方程右端项应等于原 结构相应处的位移,而自由项为基本结构由于支座移动产生的与多余未知力相应的位移。该两 项可直接由基本结构中变形关系求出。结构的最后内力全部由多余未知力引起。
图6.2 超静定梁
6.4
图6.3 超静定刚架 图6.4 超静定拱
超静定结构的内力计算
力法
(4) 超静定桁架,如图6.5所示。 (5) 超静定组合结构,如图6.6所示。
图6.5 超静定桁架
图6.6 超静定组合结构
超静定结构的计算方法很多,依据基本未知量选择的不同可以分为两类:一类是以多余未 知力为未知量的力法,即本节将要介绍的;另一类是以结点位移为未知量的位移法。其他的计 算方法大多由这两种方法派生而来,比如力矩分配法等。
二、超静定次数的确定
超静定结构多余约束力的数目,称为超静定次数。 结构的超静定次数可以这样来确定:如果结构去掉 个多余约束后即变为静定结构,则该结 构的超静定次数就为 。 解除超静定结构多余约束的方法主要有如下几种: (1) 去掉一根支杆或切断一根链杆,相当于解除一个约束(如图6.7(a)、(b)所示)。
6.5
超静定结构的内力计算
力法
(2) 去掉一个固定铰支座或切开一个单铰,相当于解除两个约束(如图6.7(c)、(d)所示)。 (3) 去掉一个固定支座或切断一根梁式杆件,相当于解除三个约束(如图6.7(e)、(f)所示)。 (4) 将固定支座改为固定铰支座或将梁式杆件中某截面加一单铰(刚结改成铰结),相当于解 除一个约束(如图6.7(g)、(h)所示)。 注意:(1)不能去掉必要约束,使剩余结构成为几何可变体系;(2)应把多余约束全部去掉,不能 只是去掉其中的一部分。运用该方法确定超静定结构的超静定次数时,应尽量使解除多余约束 后的静定结构为我们所熟悉的简支梁、悬臂梁等形式。
2P
M 2M Pds 1 (1 l ql2 3 l ql2 l l) 5ql4
EI
EI 3 2 4 2
8EI
超静定结构的内力计算
力法
将各系数、自由项代入典型方程,得
X1
3 28
ql
3 X 2 7 ql
(4) 由公式 M M 1X1 M 2 X2 M P 求各截面弯矩值,并绘制弯矩图,如图6.11(a)所示。
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