2014届中考第一轮课件(第14讲_二次函数的图像及其性质)

a>0
a<0
抛物线有最高点，当x
最值
b 抛物线有最低点，当x＝－ 时， y b 2a ＝－ 时， y有最大 2a 2 4ac－ b 有最小值，y最小值＝ 4ac－ b2 4a 值，y最大值 ＝ 4a
越小，a 越小，抛物线的开口越大
二次项系数 a 的大小决定抛物线的开口大小；a 越大，抛物线的开口
抛物线开口向上，并向上 抛物线开口向下， 无限延伸 并向下无限延伸
第14讲┃ 考点聚焦
b 直线x＝－ 2a
b 4ac－b2 － ， 4a 2a
对称轴 顶点坐标
b 直线x＝－ 2a
b 4ac－b2 － ， 4a称轴的左侧，即当
增减性
第14讲┃ 归类示例
(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法：①
b 4ac －b2 配方法；②顶点公式法，顶点坐标为－ ， . 4a 2a
(2)画抛物线y＝ax ＋bx＋c的草图，要确定五个方 面，即①开口方向；②对称轴；③顶点；④与y轴交 点；⑤与x轴交点．
2
第14讲┃ 归类示例 ► 类型之三 二次函数的解析式的求法
第14讲┃ 归类示例
变式题1[2012· 烟台] 已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说 法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝ －3；③其图象的顶点坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随 x的增大而减小．则其中说法正确的有( A ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[解析] ①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本说法错误； ②图象的对称轴为直线x＝3，故本说法错误； ③其图象顶点坐标为(3，1)，故本说法错误； ④当x＜3时，y随x的增大而减小，本说法正确． 综上所述，说法正确的只有④，共1个．故选A.
第14讲┃
二次函数的图象及其性质
第14讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 二次函数的概念 一般地，如果____________ (a，b， y＝ax2＋bx＋c c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二 次函数 ①等号左边是函数，右边是关于自 变量x的二次式，x的最高次数是2; ②二次项系数a≠0
定义
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的结构特征
y＝a(x－h)2＋k (1)用配方法化成________________的形 式； (2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点 坐标； (3)在对称轴两侧利用对称性描点画图
第14讲┃ 考点聚焦 考点3 二次函数的性质
函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数， a≠0)
a>0
图象
a<0
开口 方向
第14讲┃ 归类示例
变式题2[2012· 泰安]设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3) 是抛物线y＝－(x＋1)2 ＋a上的三点，则y1 ，y2 ，y3 的大小 关系为(A ) A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 [解析] 根据二次函数的图象的对称性，找出点A的对 称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小． ∵函数的关系式是y＝－(x＋1)2＋a，图象如图， ∴对称轴是直线x＝－1， ∴点A关于对称轴的对称点A′是点(0，y1)， 那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3.故选A.
9 9 P －2， ，已知抛物线上的三点A(－5，0)，B(1，0)，P －2， ，设一般 2 2 9 －2， 的坐标代入，得 式，设y＝ax ＋bx＋c，把A(－5，0)，B(1，0)，P 2
2
a＝－1， a＋b＋c＝0， 2 25a－5b＋c＝0， ∴ 解得b＝－2， 5 4a－2b＋c＝9， 2 c＝2，
第14讲┃ 考点聚焦
考点2
二次函数的图象及画法 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是 b 4ac－b － ， 4a 2a 以____________为顶点，以直线 b x＝－ ______________为对称轴的抛物线 2a
2
图象
用描点法画 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的步骤
a的特性
常数项c 的 意义
c是抛物线与y轴交点的纵坐标，即x＝0时，y＝c
第14讲┃ 考点聚焦 考点3 用待定系数法求二次函数的解析式 方法 适用条件及求法 若已知条件是图象上的三个点，则设所 求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，将已知三 个点的坐标代入，求出a、b、c的值 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称 轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次 函数为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入， 求出待定系数，最后将解析式化为一般 形式
1 5 ∴ 所求抛物线的关系式为y＝－ x2－2x＋ . 2 2
第14讲┃ 归类示例
9 －2， 2
解法二 ：∵由解法一知抛物线的顶点为P 式，
，可设顶点
9 设y＝a(x＋2) ＋ ，把x＝1，y＝0代入，得 2
2
9 0＝a(1＋2) ＋ ， 2
2
1 1 9 2 ∴a＝－ .∴y＝－ (x＋2) ＋ ， 2 2 2 1 2 5 即y＝－ x －2x＋ . 2 2
命题角度： 1. 一般式，顶点式，交点式； 2. 用待定系数法求二次函数的解析式． 例3 已知抛物线经过点A(－5，0)，B(1，0)，且 顶点的纵坐标为 ，求二次函数的解析式． [解析] 根据题目要求，本题可选用多种方法求关系式．
第14讲┃ 归类示例
解：解法一：∵抛物线与x轴的两个交点为A(－5，0)，B(1，0)，由对 称性可知，它的对称轴为直线x＝ －5＋1 2 ＝－2，∴抛物线的顶点为
第14讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据配方法的步骤进行计算． (2)由(1)得出抛物线的对称轴，顶点坐标列表 ，注意抛物线与x轴、y轴的交点及对称点等特 殊点的坐标，不要弄错． (3)开口向上，在抛物线的左边，y随x的增大 而减小． (4)抛物线y＝x2－4x＋3与直线y＝2的交点的 横坐标即为方程x2－4x＋3＝2的两根．
归类示例
► 类型之一 二次函数的定义 命题角度： 1.二次函数的概念． 2.二次函数的一般式。 例1 若y＝(m＋1)xm2－6m－5是二次函数，则m＝( A ) A．7 B．－1 C．－1或7 D．以上都不对 [解析] 让x的次数为2，系数不为0，列出方程与不等式解 答即可． 由题意得：m2－6m－5＝2，且m＋1≠0. 解得m＝7或－1，且m≠－1， ∴m＝7，故选A.
第14讲┃ 归类示例
9 －2， 2
解法三：由解法一知抛物线过点P
，∵A(－5，0)，
B(1，0)是抛物线与x轴的交点，设交点式，设y＝a(x＋5)(x－ 9 1)，把x＝－2，y＝ 代入， 2 9 1 得a(－2＋5)(－2－1)＝ ，∴a＝－ . 2 2 1 1 2 5 ∴y＝－ (x＋5)(x－1)，即y＝－ x －2x＋ . 2 2 2
b x<－ 时，y随x的增大 b 2a x<－ 时，y随x的增大 2a 而增大；在对称轴的右 而减小；在对称轴的右 b 侧，即当x>－ 时，y b 2a 侧，即当x>－ 时，y 2a 随x的增大而减小，简 随x的增大而增大，简 记左增右减 记左减右增
第14讲┃ 考点聚焦
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c( a、b、c为常数， a≠0)
第14讲┃ 归类示例 解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)＋3 －4＝(x－2)2－1. (2)由(1)知图象的对称轴为直线x＝2， 顶点坐标为(2，－1)，列表： x … 0 y … 3 1 2 3
0 －1 0
4 … 3 …
描点作图如下图． (3)y1>y2. (4)如图，点C，D的横坐标x3，x4即为方程x2－4x＋ 3＝2的根．
第14讲┃ 归类示例
二次函数的关系式有三种： 1．一般式y＝ax2＋bx＋c； 2．顶点式y＝a(x－m)2＋n，其中(m，n)为顶点坐标； 3 ． 交 点 式 y ＝ a(x － x1)(x － x2) ， 其 中 (x1,0) ， (x2,0)为抛物线与x轴的交点．一般已知三点坐标用一 般式求关系式；已知顶点及另一个点坐标用顶点式； 已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标及另一个点的坐标 用交点式．此题属于第三种情形．
第14讲┃ 归类示例
利用二次函数的定义，二次函数中自变量的最高 次数是2，且二次项的系数不为0.
第14讲┃ 归类示例 ► 类型之二 二次函数的图象与性质
命题角度： 1. 二次函数的图象及画法； 2. 二次函数的性质． 例2 (1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3变成y＝(x－ h)2＋k的形式； (2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象； (3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点 ，且x1<x2<1，请比较y1、y2的大小关系(直接写结果)； (4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表 示出来．
1.一般式
2.顶点式
第14讲┃ 考点聚焦
若已知二次函数图象与x轴的两个交点 的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二 次函数为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三 3.交点式 点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数) 或其他已知条件代入，求出待定系数a， 最后将解析式化为一般形式
第14讲┃ 归类示例