大学基金投资的数学建模

大学基金投资的数学建模
摘要：
在如今高速发展的社会下，数学应用对于企业的生产、投资和规划有着不可缺少的作用。

本文是关于学校基金最优化的建模——在一段时期内，如何合理地投资基金使得每年的收益最多，从而达到每年的奖金最多。

在建模的问题分析中，关于基金的最优使用方案可以转化为求n年如何把基金投入不同期限的投资项目，所得利息最大的分配问题。

在满足每年能发下相同奖学金的前提下，应尽可能的投入期限长的投资最大化收益，同时在多种不同的投资组合中分析计算出1到10年的最佳组合。

对于本文的问题，可以做成简单的数学模型。

对于基金M使用n年的情况，
可以把M分成n分，其中把第i(i=1,2,3,…,10)份基金
M投资期限为i年，那么
i
只有当
M按最佳投资策略投资i年后的本金与收益金的和作为该年的奖金，且把i
基金Mn按照最佳的方案投资n年后的本金与收益的和等于当年的奖金与原基金M之和时，每年的发放奖金数达到最大。

问题1：如果仅考虑把全部的基金都投入科研。

可以选择出n=10内的基金投资组合的最佳分配，利用上述原理得到一个多元方程组，问题也转为解多元方程的问题，用Lingo软件求解。

问题2：如果仅考虑将全部经费投入到科研也可投入教学，类似问题1，只是多了三种投资期限，同理也可选择出N年内的最佳组合，列出方程组，用Lingo 软件解出最优解。

问题3：如果将全部的基金的一部分投入科研，另一部分投入教学，并要求第14年末的奖学金比其他年度多30%，同样也是选择最佳的投资组合，列出方程，用Lingo软件解出。

关键字：
基金数学模型科研教学
一、问题重述
某大学获得了一笔数额为M元的经费，打算将其投入到学校教学或科研中。

经行家分析，投入到科研上，这笔经费给学校带来的年平均收益情况见下表1（譬如某人或学科组申请到此基金的一部分作为科研经费，申请时间3个月，3个月期满必须归还校基金会）。

表1：科研基金年平均收益率（%）
种类3个月6个月一年二年三年五年
收益率（%）
假设投入到教学中，用于建设精品课程，分1年、3年、5年建设课程（建设期满投入全部收回），行家估算，这笔基金给学校带来的平均收益见表2。

表2：教学基金年平均收益率（%）
种类一年三年五年
收益率（%）
学校计划在n年内每年用部分收益奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原经费数额。

学校希望获得最佳的经费使用计划，以提高每年的奖金额。

请你帮助学校在如下情况下设计经费使用方案；并对M=100万元，n=10年给出具体结果：
1．只投入到科研上不投入到教学中；
2．可投入到科研上也可投入教学中；
3．学校在经费到位后的14年（假如是2019年）要举行建校100周年校庆，希望这一年的奖金比其它年度多30%
二、模型假设
（1）每年所发放奖金额保持相同；
（2）两种收益假设在这几年内保持不变；
（3）将所得收益及时取出，扣除部分用于年发放奖金外立即投入科研和教学；（4）行家对于投资带来的利益的估算是可靠的、科学的和稳定的；
（5）投入的资金在使用期满后能确保收回；
（6）投资方式的选择不收收益率以外的其他因素影响；
（7）不考虑投资的风险问题
三、符号说明
M 学校获得的基金总额
Y在只投资科研的情况下每年发放的奖金数额
1
Y在投资科研和教学的情况下每年发放的奖金数额
2
Y只投资教学且第十四年的奖金比其他年份提高30%时，其他年份的奖金
3
4Y 投资科研和教学且第十四年的奖金比其他年份提高30%时，其他年份的奖金 i M 投资期限为i 年的第i 份资金的投资额
四、问题分析
问题1分析：
对于固定的基金M 元，只投入到科研上不投入到教学中。

在投入科研有6种选择方式所以的组合，选择获得的利润最大。

由题目给出的年利率可知，科研基金投资的时间越长，每年的年收益越大，因此我们尽可能的长期投资。

如果全部用来投资5年期的科研项目获得利润最高，但是由于每年要发放一定的奖金，不能这样做，要保证每年末都有固定的奖金额S 。

因此要拿出必要的钱投资用于每年的奖金发放，把M 分成n 份，其中第i （n i ≤≤1）份基金i m ，那么只有当第i （11-≤≤n i ）份基金i m 按最优投资方式存i 年后的本利和等于当年的奖金发放数，并且第n 份基金按最佳投资方式投资n 年后的本利和等于原有基金M 与当年的奖金发放数之和时，每年发放的奖金才能达到最多。

问题二的分析：
本问题中投资方式增多了，观察可发现投资精品课程建设的收益率在1年，3年，5年时都比投资科研项目要高。

因此在这些期限投资精品课程收益较高，4年和5年的情况下也考虑投资精品的组合方式。

这就仅仅需要比较的是如果是两年期的，是投资1个2年期的科研项目收益多，还是连续2年投资1 年期的教学项目收益多，从中分析找出最佳分配。

问题三的分析：
对于该问题需要注意下第14年的奖金数额比其他年度多30%，其他可以跟前两个问题类似，对比前面两种模型就能求得相应的最优值。

五、模型的建立于求解
问题一：只投入到科研上不投入到教学中
把基金M 元分成n 份，其中把第i （1≤i ≤10）份基金Mi 投资期限为i 年，那么只有当Mi 按最佳投资策略投资i 年后的本金与收益金的和作为该年的奖金数，并且把基金Mn 按最佳投资策略投资n 年后的本金与收益金的和等于当年的奖金数与原基金M 之和时，每年发放的奖金数将达到最大值。

然后考虑投资策略的最佳方案：由于三个月及六个月的利润太低，故不给以考虑。

若定期i 为年的投资年利率为i R ，定期为j 年的投资年利率为j R ，则一定资金M 投资i 年再投资j 年，i+j 年后的本利和为：
M(1+i*i R )(1+*j R );
同样，一定资金M 投资j 年再投资i 年，i+j 年后的本利和为：
M(1+j*j R )(1+i*i R );
有乘法的交换率可知：
M(1+i*i R )(1+*j R )= M(1+j*j R )(1+i*i R );
即投资i+j 年后的本利和与采用不同投资方法的先后顺序无关。

设用（i ，j ）的形式表示投资方案，其中（i ，j ）表示先投资i 年，再投资j 年。

择最佳的方案。

将基金M 份成10份，对比上表可得最佳的分配方案为（1），（2），
（3），（3，1），（5），（5,1）(5,2),(5,3),(5,3,1),（5,5），又知当Mi 按最佳投资策略
投资i 年后的本金与收益金的和作为该年的奖金数，并且把基金Mn 按最佳投资策略投资n 年后的本金与收益金的和等于当年的奖金数与原基金M 之和时，每年发放的奖金数将达到最大值。

则可列出n=1～10年的等式：
M1(1+1. 584%)=Y1
M2(1+2×%)=Y1
M3(1+3×%)=Y1
M4(1+%)(1+3×%)=Y1
M5(1+5×%)=Y1
M6(1+5×%)(1+1. 584%)=Y1
M7(1+2×%)(1+5×%)=Y1
M8(1+3×%)(1+5×%)=Y1
M9(1+%)(1+3×%)(1+5×%)=Y1
M10(1+5×%)(1+5×%)=M Y +1
M Mi i =∑=10
1
运用Matlab 软件设计程序可得当n=10,M=100万元基金时，投资科研最佳的投资方案的奖金：Y=万元。

最佳投资方案的投资收益如下
问题2：可投入到科研上也可投入教学中
仍将M分成M1，M2，…，Mn共n份，Mi可作为投资科研或教学，其本金与利润之和作第i年的奖金，最后一笔除奖金外，还应留下原基金M。

由于可以投资科研也可投资教学，通过对表1与表2年平均收益率看，教学的收益率比科研的高，所以如果投资同一种类（同一投资期）的项目，只投资教学的就行了。

有问题一的原理在下表中用形如（i，j）的形式表示投资方案，其中（i，j）表示先投资i年，再投资j年。

由上表有上表可知，在n=10年的投资方案中，只能有1,3,5年期限的投资组合中选择最佳的方案。

将基金M份成10份，对比上表可得最佳的分配方案为：（1），（1,1），（3），（3，1），（5），（5,1）(5,1,1),(5,3),(5,3,1),（5,5），又知当Mi按最佳投资策略投资i年后的本金与收益金的和作为该年的奖金数，并且把基金Mn按最佳投资策略投资n年后的本金与收益金的和等于当年的奖金数与原基金M之和时，每年发放的奖金数将达到最大值。

则可列出n=1～10年的等式：
M1(1+1. 98%) =Y2
M2(1+%)(1+%)=Y2
M3(1+3×%)=Y2
M4(1+%)(1+3×%)=Y2
M5(1+5×%)=Y2
M6(1+5×%)(1+1. 98%)=Y2
M7(1+%)(1+%) (1+5×%)=Y2
M8(1+3×%)(1+5×%)=Y2
M9(1+%)(1+3×%)(1+5×%)=Y2
M10(1+5×%)(1+5×%)=M Y +2
M Mi i =∑=10
1
运用Matlab 软件设计程序可得当n=10, M =100万元基金时，投资教学最佳的投资方案的奖金：Y=万元。

最佳投资方案的投资收益如下
设学校希望第十四年后将校庆年度的奖金比其他年度的奖金在其基础上提高30%，仍将M 分成n 份，分别记为M1，M2，…, Mn 。

通过问题二可知，教学的收益率比科研的高，所以如果投资同一种类（同一投资期）的项目，只投资教学的利润将最高，则投资方案如下表所示
M1(1+1. 98%) =Y3
M2(1+%)(1+%)=Y3
M3(1+3×%)=Y3
M4(1+%)(1+3×%)=Y3
M5(1+5×%)=Y3
M6(1+5×%)(1+1. 98%)=Y3
M7(1+%)(1+%) (1+5×%)=Y3
M8(1+3×%)(1+5×%)=Y3
M9(1+%)(1+3×%)(1+5×%)=Y3
M10（1+5×%）（1+5×%）=Y3
M11（1+5×%）（1+5×%）(1+1. 98%)=Y3
M12（1+5×%）（1+5×%）(1+1. 98%)(1+1. 98%)=Y3
M13（1+5×%）（1+5×%）(1+3×%)=Y3
M14（1+5×%）（1+5×%）(1+3×%)(1+1. 98%)=（1+30%）Y3+M
M Mi i =∑=14
1
运用Matlab 软件设计程序可得当n=14, M =100万元基金时，投资教学最佳的投资方案的奖金：万元，第十四年奖金*Y3=元
六、模型检验和推广
在题目所给的条件下，我们把模型从固定的10年扩展到任意n年的情况。

（1）在投资和科研的情况下，n年的最佳投资方案
如果投资的年限为n年，当n≤5时，按照模型(一)中的方案；
当n≥6时，先投资[n/5]次5年期限的投资项目，剩余的年限大小一定小于5：若为4，则选择（3,1）方案；
若为3，则选择（3）方案；
若为2，则选择（2）方案；
若为1，则选择（1）方案；
也即n年期限的最优方案可为：
（投资[n/5]次5年期限的投资项目，（3,1））
（投资[n/5]次5年期限的投资项目，（3））
（投资[n/5]次5年期限的投资项目，（2））
（投资[n/5]次5年期限的投资项目，（1））
设第n年，由X5次5年期限，X3次3年期限，X2次2年期限，X1次1年期限组成。

[n/5]=X5；
[(n-5* X5)/3]= X3；
[(n-5* X5)/2]= X2；
[n-5* X5 -3* X3]= X1；
Y i *（1+%）X5*（1+%）X3*（1+%）X2*（1+%）X1*=S1；
Y n *（1+%）X5*（1+%）X3*（1+%）X2*（1+%）X1*=S1+102；
运用Lingo软件编程，可求出投资年限为i的第i份资金的投资额Y i，及每年的奖金额为S i。

（2）在投资和科研的情况下，n年的最佳投资方案
如果投资的年限为n年，当n≤5时，按照模型(一)中的方案；
当n≥6时，先投资[n/5]次5年期限的投资项目，剩余的年限大小一定小于5：若为4，则选择（3,1）方案；
若为3，则选择（3）方案；
若为2，则选择（1,1）方案；
若为1，则选择（1）方案；
也即n年期限的最优方案可为：
（投资[n/5]次5年期限的投资项目，（3,1））
（投资[n/5]次5年期限的投资项目，（3））
（投资[n/5]次5年期限的投资项目，（1,1））
（投资[n/5]次5年期限的投资项目，（1））
设第n年，由X5次5年期限，X3次3年期限，X2次2年期限，X1次1年期限组成。

[n/5]=X5；
[(n-5* X5)/3]= X3；
n-5* X5 -3* X3= X1；
Y i *（1+%）X5*（1+%）X3*（1+%）X1*=S2；
Y n *（1+%）X5*（1+%）X3*（1+%）X1*=S2+102；
运用Lingo软件编程，可求出投资年限为i的第i份资金的投资额Y i2，及每年的奖金额为S2。

（3）某一年或某几年的奖金出现变化
如果像问题三中某一年的奖金额发生变化，或者某几年的奖金额发生变化而其他年份保持不变，只需对相应的年份的方程改变其方程右端的奖金数额，再用Lingo软件编程求解即可。

（4）本模型被广泛应用，模型都可以推广到现实生活中去，这就很好的体现了数学建模的意义所在，我们可以通过对一个问题的解答，而将其运用到更多的现实事件中。

比如定量评估问题，比较好的做法（个人意见）模糊综合评价，权重用层次分析法、主成分分析法，更建议主成分分析法，因为有时候各指标间的相互影响会很影响结果，而层次分析法是默认各指标间相互独立的。

七、模型的优缺点
为了让基金能投资更长的时间以增高利润，在基金到位一年后才发放奖金，这在现实中是有它的实际有意的。

我们在模型中并没有涉及月份投资的情况，但在实际中月份投资的影响是不可忽略的，这是我们模型的不足之处。

附录：
问题一：
>>syms M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 Y1;
>>[M1,M2,M3,M4,M5,M7,M8,M9,M10,Y1]=solve(‘M1*(1+=Y1’,’M2*(1+2*=Y1’,’M3*(1+3*=Y’,’M4*(1+*(1+3*=Y1’,’M5*(1+5*=Y1’,’M6*(1+5**(1+=Y1’,’M7*(1+2**(1+5*=Y’,’M8*(1+3**(1+5*=Y1’,’M9*(1+*(1+3**(1+5*=Y’,’M10*(1+5**(1+5*=Y1+100’,’100=M1+M2+M3+M4+M5+M6+M7+M8+M9+M10’);
>>Y1=vpa(Y1,4);
问题二:
>>syms M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 Y2;
[M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,M8,M9,M10,Y2]=slove(‘M1*(1+=Y2’,’M2*(1+*(1+=Y2’,’M 3*(1+3*=Y2’,’M4*（1+）*(1+3*=Y2’,’M5*(1+5*）=Y2’,’M6*(1+5*）*(1+=Y2’,’M7*(1+*(1+*(1+5*）=Y2’,
’M8*(1+3**(1+5*）=Y2’,’M9*(1+*(1+3*）*(1+5*）=Y2’,’M10*(1+5*）*(1+5*）=Y2+100’,’100=M1+M2+M3+M4+M5+M6+M7+M8+M9+M10’);
>>Y2=vpa(Y2,4);
问题三：
>>Syms M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 M13 M14 Y3;
>>[M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,M8,M9,M10,M11,M12,M13,M14,Y3]=slove(‘M1*(1+= Y3’,’M2*(1+*(1+=Y3’,’M3*(1+3*=Y3’,’M4*（1+）*(1+3*=Y3’,’M5*(1+5*=Y3’,’M6*(1+5 *）*(1+=Y3’,’M7*(1+*(1+*(1+5*）=Y3’,’M8*(1+3**(1+5*）=Y3’,’M9*(1+*(1+3* 252）*（1+5*）=Y3’,’M10*(1+5**(1+5*=Y3’,’M11*
(1+5**(1+5**(1+=Y3’,’M12*(1+5**(1+5**(1+*(1+=Y3’,’M13*(1+5**(1+5**(1+3*=Y3’,’M14*(1+5**(1+5**(1+3**(1+=*Y3+100’,’M1+M2+M3+M4+M5+M6+M7+M8+M9+M 10+M11+M12+M13+M14=100’);
>>Y3=vpa(Y3,4);。