相关回归(关联性)分析
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第十一章 两变量关联性分析
两变量关联性分析包括： 定量资料的直线相关分析 等级资料的秩相关分析 分类资料的关联性分析
学习要点
1、掌握基本概念： 直线相关、直线相关分析、相关系数、 直线回归、直线回归分析、 回归系数的意义；
2、熟悉直线相关分析、直线回归分析过程； 3、熟悉直线相关与回归的联系与区别； 4、掌握相关回归的图示方法。
第三节 分类变量的关联性分析
一、交叉分类2×2表的关联分析：（四格表的） 公式：可用基本公式或四格表专用公式
例11－6 研究吸烟方式与慢性气管炎 是否有关，某研究 者随机调查了200例年龄相仿的吸烟者，对每个个体 分别观察慢性气管炎 与否和吸烟方式两种属性，结果 如下表，试分析两种属性的关联性。
71.0
5
3987.4
47.8
12
4560.6
59.7
6
4970.6
62.8
13
4874.4
62.1
7
5359.7
67.3
14
5029.2
61.5
36
四、分析步骤：
1、由原始数据绘散点图，从图的散点分布趋势上 看，存在着直线趋势。
2、求
3、求回归系数b:
五、回归系数的假设检验 （即对β进行推断）
表11-1 14名中年健康妇女的基础代谢与体重的测量值
编号
1 2 3 4 5 6 7
基础代谢 （kJ/d）
4175.6 4435.0 3460.2 4020.8 3987.4 4970.6 5359.7
体重 （Kg）
50.7 53.7 37.1 51.7 47.8 62.8 67.3
编号
8 9 10 11 12 13 14
即y随x增大而增大 b<0表示直线从左上走向右下，
即y随x增大而减少 b=0表示直线与x轴平行，即x与y无关。
b的意义: 当x每变动一个单位时，y相应平均变动的数量。 ⑶ 求a、b并建立方程
Lxy：x y的离均差积和，Lxx：x的离均差平方和。
例11-1 在某地一项膳食调查中，随机抽取了14名40～60 岁的健康妇女，测得每人的基础代谢与体重数据，据 此数据如何判断两项指标间有无相关？
表11－6 310名胃病患者按胃病类型与职业属性
胃
病
职业
合计
浅表性胃炎 慢性胃炎 胃溃疡
机关干部
80
48
4
132
工厂工人
52
62
12
126
公交车司机
20
22
10
52
合计
152
132
26
310
H0:胃病类型与职业无关联 H1:胃病类型与职业有关联
根据
查界值表，判断P值，
今 拒绝H0,接受H1,可认为胃病类型与职业有关联 。 列联系数：
基础代谢 （kJ/d）
3970.6 3983.2 5050.1 5355.5 4560.6 4874.4 5029.2
体重 （Kg）
48.6 44.6 5/8.6 71.0 59.7 62.1 61.5
5800
5300
4800
基
础 代
4300
谢 (KJ/d) 3800
3300
2800
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 体重（Kg）
-
3
9
21
8
12.3
8
64
-
3
9
24
9
13.5
9
81
-
10
13.8
10
100
-
合计
-
55
385
-
3
9
27
3
9
30
55
373Baidu Nhomakorabea
246
二、秩相关系数的统计推断： 推断意义同直线相关系数的推断。
1、查表法：
根据n查p487 rs界值表，本例rs=-0.741 n=10,查得 rs0.05(10)=0.648 今 按0.05的水准，拒绝H0 ，认为贫血患儿的血红蛋白含量 与贫血体征间有相关关系，即血红蛋白含量越低贫血体 征越明显。
区别
回归
相关
资料 要求y服从正态分布， 要x 、y 双变量正 态分
要求上 x可以精确测量
布
应用上
说明两变量的依存变 说明两变量有无关系、
动数量关系
方向、密切程度。
二、联系： 1、同一份资料同时作相关、回归分析， 所得 r、b正负一致； 2、对r和b的检验是等价的，即同一份资料，同作回归相关分
析时，对r和b的检验虽用公式不同，但结论一样。
图11－1 14名中老年健康妇女基础代谢与体重的关系 6
二、相关系数r意义及计算： 又称积差相关系数或简单相关系数，
是表示两变量有无相关、方向、密切程度的指标。其 波动范围：－1~＋1，无单位。 见P196图11-2
0<r<1 正相关 一变量增加，另一变量增加 －1<r<0 负相关 一变量增加，另一变量减少 r=0 零相关 无直线关系
32
二、直线回归分析的步骤：
1、建立回归方程式 ⑴一般表达式： 式中：x ：自变量 y ：应变量 ， ：y的估计值， a 常数 b回归系数 ⑵ a和b的意义： a 式中为常数，在图中为截距，即回归直线在 y轴上的交点。
a>0 表示直线与y轴的交点在原点之上 a<0 表示直线与y轴的交点在原点之下 a=0 表示直线通过原点。 b: 回归系数，在图中为直线斜率 b>0 表示直线从左下走向右上，
如 大气NO2含量与 汽车流量关系
五、应用直线相关回归时应注意：
1、作相关回归分析要有实际意义；
2、在作相关回归分析前，先绘散点图，根据散点分布 有直线趋势时才选线性回归分析；
3、回归分析时，应在实测范围内应用，不可外延。
如，儿童年龄与体重
，应在12岁以内用，
超出实测范围后，不一定呈直线趋势。
表11-1 14名中年健康妇女的基础代谢与体重的测量值
编号 1
基础代谢 （kJ/d）
4175.6
体重 （Kg）
50.7
编号 8
基础代谢 （kJ/d）
3970.6
体重 （Kg）
48.6
2
4435.0
53.7
9
3983.2
44.6
3
3460.2
37.1
10
5050.1
58.6
4
4020.8
51.7
11
5355.5
3、用回归解释相关，r2为决定系数
二、秩相关系数：
表11－2 贫血患儿的血红蛋白（g／dl）与贫血体征
编号 血红蛋白 秩次p
p2
贫血体征 秩次q
q2
pq
x
y
1
5.0
1
1
+++
10
100
10
2
5.8
2
4
++
8
64
16
3
6.1
3
9
+
6
36
18
4
7.3
4
16
-
3
9
12
5
8.8
5
25
++
8
64
40
6
9.1
6
36
++
8
64
48
7
11.1
7
49
建立回归方程后，只要b不等于0，就建立了方程式， 但要考虑， b不等于0，是因为总体回归系数β不等于 0？还是抽样误差造成的b不等于0？所以，应对总体 回归系数β作是否为0的假设检验。
检验方法有两种： 1、方差分析
2、t检验 方差分析与t检验的关系是：
F= t2 即
1、怎样进行F检验呢？
（1） H0：＝0 H1： 0α＝0.05。
3、过点（37，2272.5）和（70，5406.2）连线，即回归 线。
5800
5300
4800
基 础 代 4300 谢 (KJ/d) 3800
3300
y =1106.79+61.42x r = 0.964 p<0.001
2800
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 体重（Kg）
图11－1 14名中老年健康妇女基础代谢与体重的关系
第二节 直线回归（方程）的应用：
一、描述两变量的数量依存变化关系
如本例描述为：y=1106.79+61.42x
中老年妇女体重每增加1kg时，基础代谢每天平均增加 61.42 KJ。
二、利用回归方程进行统计控制（逆估计）
如要求y 变量在某一范围内波动时，可通过控制自变量x 的取值来实现。
95%CI：
Sb：回归系数的标准误
五、直线回归方程的图示（补充）
为了直观形象的分析，可在方格纸上作图，步骤如下： 1、绘出纵、横坐标、标目、图题。见图 2、在x的实测范围内任取相距较远的两x值，代入方程
求y1,y2。 如x1=37 y1=1106.7864+61.42*37=2272.5
x2=70 y2=1106.7864+61.42*70=5406.2
表11－3 吸烟习惯与患慢性气管炎
吸烟方式
自卷纸烟 过滤嘴
合计
慢性气管炎
有
无
22
53
15
110
37
163
合计
75 125 200
检验步骤： H0:两种属性之间无关联 H1:两种属性之间有关联
据自由度1查 界值表得： 拒明绝吸H0烟，方可式认不为同两对种患属气性管之炎间有有影关响联。，可以说
两个分类变量的关联程度可用Pearson列联系数 r描述，列联系数r越大关联性越强：
谢 (KJ/d) 3800
3300
2800
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
体重（Kg）
图11－1 14名中老年健康妇女基础代谢与体重的关系
29
由上图可见，中老年健康妇女的体重（x）与基础代 谢（y）存在一种依存变化的数量关系，当体重增加 时，其基础代谢也增加，所有散点呈线性趋势。
直线回归：当一变量随另一变量有规律的依存变化时， 此依存变化的数量关系称直线回归关系，简称回归。
2、 t 检验法：
（1） H0：＝0 H1： 0α＝0.05
（2）
式中：Sb为回归系数的标准误， Syx为 的标准误，又称剩余标准差，
即残差。
根据n-2定自由度，查t界值表，得t0.001(13)=4.221 按所定检验水准，拒绝H0 ,可认为有回归关系。
3、总体回归系数的置信区间
直线回归分析：据实测值建立一条回归方程式 （在图上绘一条最接近各实测点的直线）， 描述其两变量的数量变化关系的方法过程。
5800
5300
4800
基 础 代 4300 谢 (KJ/d) 3800
3300
2800
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
体重（Kg）
图11－1 14名中老年健康妇女基础代谢与体重的关系
根据
查r界值表，查得r0.001(12）=0.780 本例
r=0.964
P<0.001 所得结论与t检验一致。
相关程度
>0.7
密切相关
0.4~0.7 中度相关
<0.4
低度相关
第二节 秩相关 Rank correlation
一、秩相关分析（Spearman秩相关）定义：
研究两非正态分布（或未知分布、等级）变量有无相 关、方向、密切程度的相关方法。是一种非参数统计方 法。
第一节 线性相关
Linear correlation
一、概念 相关： 指两个变量间存在着相互关系，为
相关关系，简称相关。 直线相关：
指两定量变量的数量变化在散点图上呈 直线趋势的相互关系。
直线相关分析：研究两定量正态分布变量有 无关系、方向、密切程度的方法。
例11-1 在某地一项膳食调查中，随机抽取了14名40～60岁的健康妇女， 测得每人的基础代谢与体重数据，据此数据如何判断两项指标间有 无相关？
直线回归(linear regression)是回归分析中 最基本、最简单的一种，故又称简单回归 (simple regression),或者称简单线性回归。
一、直线回归概念：
为了直观地说明直线回归的概念，现以表11-1 数据在直角坐标系中描点绘散点图，如下：
5800
5300
4800
基
础 代
4300
（2）求SS总，SS回，SS剩，F。
方差分析表
变异来源
SS
v
MS
F
总变异 4645447.042 13
回归
4318229.172 1 4318229.172 158.36
剩余
327217.87 12
27268.16
（3）据v回，v剩，查F界值表，F> 绝 间H有F0回,0可.0归1认(1,关1为2)系=中9..老33年，健P<康0.0妇1，女按体α重＝与0.基05础水代准谢，之拒
介于0~1间 ，无单位
二、2×2配对资料的关联性分析
问有无关联：四格表专用公式，见204页。 问有无差别：b+c>40
三、R×C表分类资料的关联性分析
例11－8 欲探讨职业类型与胃病类型是否有关联，某 医生将收治的310名胃病患者按主要的职业类型与胃 病类型两种属性交叉分类，分析职业类型与胃病类 型是否有关联。
用计算器的SD功能求：
10
三、相关系数r的统计推断（假设检验）：
根据样本资料计算的r不等于0，并不能说明总体 相关系数也不等于0，要考虑会不会出现总体上是无相 关关系的，但因抽样误差的原因，使得样本相关系数r 不等于0呢？所以应对相关系数r的进行统计推断。
方法：1、t检验
2、查r表
2、查表法
两变量关联性分析包括： 定量资料的直线相关分析 等级资料的秩相关分析 分类资料的关联性分析
学习要点
1、掌握基本概念： 直线相关、直线相关分析、相关系数、 直线回归、直线回归分析、 回归系数的意义；
2、熟悉直线相关分析、直线回归分析过程； 3、熟悉直线相关与回归的联系与区别； 4、掌握相关回归的图示方法。
第三节 分类变量的关联性分析
一、交叉分类2×2表的关联分析：（四格表的） 公式：可用基本公式或四格表专用公式
例11－6 研究吸烟方式与慢性气管炎 是否有关，某研究 者随机调查了200例年龄相仿的吸烟者，对每个个体 分别观察慢性气管炎 与否和吸烟方式两种属性，结果 如下表，试分析两种属性的关联性。
71.0
5
3987.4
47.8
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4560.6
59.7
6
4970.6
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4874.4
62.1
7
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67.3
14
5029.2
61.5
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四、分析步骤：
1、由原始数据绘散点图，从图的散点分布趋势上 看，存在着直线趋势。
2、求
3、求回归系数b:
五、回归系数的假设检验 （即对β进行推断）
表11-1 14名中年健康妇女的基础代谢与体重的测量值
编号
1 2 3 4 5 6 7
基础代谢 （kJ/d）
4175.6 4435.0 3460.2 4020.8 3987.4 4970.6 5359.7
体重 （Kg）
50.7 53.7 37.1 51.7 47.8 62.8 67.3
编号
8 9 10 11 12 13 14
即y随x增大而增大 b<0表示直线从左上走向右下，
即y随x增大而减少 b=0表示直线与x轴平行，即x与y无关。
b的意义: 当x每变动一个单位时，y相应平均变动的数量。 ⑶ 求a、b并建立方程
Lxy：x y的离均差积和，Lxx：x的离均差平方和。
例11-1 在某地一项膳食调查中，随机抽取了14名40～60 岁的健康妇女，测得每人的基础代谢与体重数据，据 此数据如何判断两项指标间有无相关？
表11－6 310名胃病患者按胃病类型与职业属性
胃
病
职业
合计
浅表性胃炎 慢性胃炎 胃溃疡
机关干部
80
48
4
132
工厂工人
52
62
12
126
公交车司机
20
22
10
52
合计
152
132
26
310
H0:胃病类型与职业无关联 H1:胃病类型与职业有关联
根据
查界值表，判断P值，
今 拒绝H0,接受H1,可认为胃病类型与职业有关联 。 列联系数：
基础代谢 （kJ/d）
3970.6 3983.2 5050.1 5355.5 4560.6 4874.4 5029.2
体重 （Kg）
48.6 44.6 5/8.6 71.0 59.7 62.1 61.5
5800
5300
4800
基
础 代
4300
谢 (KJ/d) 3800
3300
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30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 体重（Kg）
-
3
9
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8
12.3
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9
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合计
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二、秩相关系数的统计推断： 推断意义同直线相关系数的推断。
1、查表法：
根据n查p487 rs界值表，本例rs=-0.741 n=10,查得 rs0.05(10)=0.648 今 按0.05的水准，拒绝H0 ，认为贫血患儿的血红蛋白含量 与贫血体征间有相关关系，即血红蛋白含量越低贫血体 征越明显。
区别
回归
相关
资料 要求y服从正态分布， 要x 、y 双变量正 态分
要求上 x可以精确测量
布
应用上
说明两变量的依存变 说明两变量有无关系、
动数量关系
方向、密切程度。
二、联系： 1、同一份资料同时作相关、回归分析， 所得 r、b正负一致； 2、对r和b的检验是等价的，即同一份资料，同作回归相关分
析时，对r和b的检验虽用公式不同，但结论一样。
图11－1 14名中老年健康妇女基础代谢与体重的关系 6
二、相关系数r意义及计算： 又称积差相关系数或简单相关系数，
是表示两变量有无相关、方向、密切程度的指标。其 波动范围：－1~＋1，无单位。 见P196图11-2
0<r<1 正相关 一变量增加，另一变量增加 －1<r<0 负相关 一变量增加，另一变量减少 r=0 零相关 无直线关系
32
二、直线回归分析的步骤：
1、建立回归方程式 ⑴一般表达式： 式中：x ：自变量 y ：应变量 ， ：y的估计值， a 常数 b回归系数 ⑵ a和b的意义： a 式中为常数，在图中为截距，即回归直线在 y轴上的交点。
a>0 表示直线与y轴的交点在原点之上 a<0 表示直线与y轴的交点在原点之下 a=0 表示直线通过原点。 b: 回归系数，在图中为直线斜率 b>0 表示直线从左下走向右上，
如 大气NO2含量与 汽车流量关系
五、应用直线相关回归时应注意：
1、作相关回归分析要有实际意义；
2、在作相关回归分析前，先绘散点图，根据散点分布 有直线趋势时才选线性回归分析；
3、回归分析时，应在实测范围内应用，不可外延。
如，儿童年龄与体重
，应在12岁以内用，
超出实测范围后，不一定呈直线趋势。
表11-1 14名中年健康妇女的基础代谢与体重的测量值
编号 1
基础代谢 （kJ/d）
4175.6
体重 （Kg）
50.7
编号 8
基础代谢 （kJ/d）
3970.6
体重 （Kg）
48.6
2
4435.0
53.7
9
3983.2
44.6
3
3460.2
37.1
10
5050.1
58.6
4
4020.8
51.7
11
5355.5
3、用回归解释相关，r2为决定系数
二、秩相关系数：
表11－2 贫血患儿的血红蛋白（g／dl）与贫血体征
编号 血红蛋白 秩次p
p2
贫血体征 秩次q
q2
pq
x
y
1
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1
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建立回归方程后，只要b不等于0，就建立了方程式， 但要考虑， b不等于0，是因为总体回归系数β不等于 0？还是抽样误差造成的b不等于0？所以，应对总体 回归系数β作是否为0的假设检验。
检验方法有两种： 1、方差分析
2、t检验 方差分析与t检验的关系是：
F= t2 即
1、怎样进行F检验呢？
（1） H0：＝0 H1： 0α＝0.05。
3、过点（37，2272.5）和（70，5406.2）连线，即回归 线。
5800
5300
4800
基 础 代 4300 谢 (KJ/d) 3800
3300
y =1106.79+61.42x r = 0.964 p<0.001
2800
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 体重（Kg）
图11－1 14名中老年健康妇女基础代谢与体重的关系
第二节 直线回归（方程）的应用：
一、描述两变量的数量依存变化关系
如本例描述为：y=1106.79+61.42x
中老年妇女体重每增加1kg时，基础代谢每天平均增加 61.42 KJ。
二、利用回归方程进行统计控制（逆估计）
如要求y 变量在某一范围内波动时，可通过控制自变量x 的取值来实现。
95%CI：
Sb：回归系数的标准误
五、直线回归方程的图示（补充）
为了直观形象的分析，可在方格纸上作图，步骤如下： 1、绘出纵、横坐标、标目、图题。见图 2、在x的实测范围内任取相距较远的两x值，代入方程
求y1,y2。 如x1=37 y1=1106.7864+61.42*37=2272.5
x2=70 y2=1106.7864+61.42*70=5406.2
表11－3 吸烟习惯与患慢性气管炎
吸烟方式
自卷纸烟 过滤嘴
合计
慢性气管炎
有
无
22
53
15
110
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163
合计
75 125 200
检验步骤： H0:两种属性之间无关联 H1:两种属性之间有关联
据自由度1查 界值表得： 拒明绝吸H0烟，方可式认不为同两对种患属气性管之炎间有有影关响联。，可以说
两个分类变量的关联程度可用Pearson列联系数 r描述，列联系数r越大关联性越强：
谢 (KJ/d) 3800
3300
2800
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
体重（Kg）
图11－1 14名中老年健康妇女基础代谢与体重的关系
29
由上图可见，中老年健康妇女的体重（x）与基础代 谢（y）存在一种依存变化的数量关系，当体重增加 时，其基础代谢也增加，所有散点呈线性趋势。
直线回归：当一变量随另一变量有规律的依存变化时， 此依存变化的数量关系称直线回归关系，简称回归。
2、 t 检验法：
（1） H0：＝0 H1： 0α＝0.05
（2）
式中：Sb为回归系数的标准误， Syx为 的标准误，又称剩余标准差，
即残差。
根据n-2定自由度，查t界值表，得t0.001(13)=4.221 按所定检验水准，拒绝H0 ,可认为有回归关系。
3、总体回归系数的置信区间
直线回归分析：据实测值建立一条回归方程式 （在图上绘一条最接近各实测点的直线）， 描述其两变量的数量变化关系的方法过程。
5800
5300
4800
基 础 代 4300 谢 (KJ/d) 3800
3300
2800
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
体重（Kg）
图11－1 14名中老年健康妇女基础代谢与体重的关系
根据
查r界值表，查得r0.001(12）=0.780 本例
r=0.964
P<0.001 所得结论与t检验一致。
相关程度
>0.7
密切相关
0.4~0.7 中度相关
<0.4
低度相关
第二节 秩相关 Rank correlation
一、秩相关分析（Spearman秩相关）定义：
研究两非正态分布（或未知分布、等级）变量有无相 关、方向、密切程度的相关方法。是一种非参数统计方 法。
第一节 线性相关
Linear correlation
一、概念 相关： 指两个变量间存在着相互关系，为
相关关系，简称相关。 直线相关：
指两定量变量的数量变化在散点图上呈 直线趋势的相互关系。
直线相关分析：研究两定量正态分布变量有 无关系、方向、密切程度的方法。
例11-1 在某地一项膳食调查中，随机抽取了14名40～60岁的健康妇女， 测得每人的基础代谢与体重数据，据此数据如何判断两项指标间有 无相关？
直线回归(linear regression)是回归分析中 最基本、最简单的一种，故又称简单回归 (simple regression),或者称简单线性回归。
一、直线回归概念：
为了直观地说明直线回归的概念，现以表11-1 数据在直角坐标系中描点绘散点图，如下：
5800
5300
4800
基
础 代
4300
（2）求SS总，SS回，SS剩，F。
方差分析表
变异来源
SS
v
MS
F
总变异 4645447.042 13
回归
4318229.172 1 4318229.172 158.36
剩余
327217.87 12
27268.16
（3）据v回，v剩，查F界值表，F> 绝 间H有F0回,0可.0归1认(1,关1为2)系=中9..老33年，健P<康0.0妇1，女按体α重＝与0.基05础水代准谢，之拒
介于0~1间 ，无单位
二、2×2配对资料的关联性分析
问有无关联：四格表专用公式，见204页。 问有无差别：b+c>40
三、R×C表分类资料的关联性分析
例11－8 欲探讨职业类型与胃病类型是否有关联，某 医生将收治的310名胃病患者按主要的职业类型与胃 病类型两种属性交叉分类，分析职业类型与胃病类 型是否有关联。
用计算器的SD功能求：
10
三、相关系数r的统计推断（假设检验）：
根据样本资料计算的r不等于0，并不能说明总体 相关系数也不等于0，要考虑会不会出现总体上是无相 关关系的，但因抽样误差的原因，使得样本相关系数r 不等于0呢？所以应对相关系数r的进行统计推断。
方法：1、t检验
2、查r表
2、查表法