【杏林教案】24章圆

2．作圆的关键是什么？
2．做一做(投影片§3．4B)
(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
(2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答．
[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？ 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 投影片(§3．4C)
他作的圆符合要求吗？与同伴交流．
[师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．
作法
图示
1．连结AB 、BC
2．分别作AB 、BC 的垂直 平分线DE 和FG ，DE 和
FG 相交于点O
3．以O 为圆心，OA 为半径作圆
⊙O 就是所要求作的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．有关定义
由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形．
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)．
Ⅲ．课堂练习
已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？
解：如下图．
O 为外接圆的圆心，即外心．
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．
Ⅳ．课时小结
即为点C到直线AB的距离．
它们分别是相交、相切、相离．
直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，
直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．
(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：
d＜r时，直线与圆相交；
d＝r时，直线与圆相切；
d＞r时，直线与圆相离．
投影片(§3．5．1B)
[例1]已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm．
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
(2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
分析：根据d与r间的数量关系可知：
d＝r时，相切；d＜r时，相交；d＞r时，相离．
3．议一议(投影片§3．5．1C)
(1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？
对于(3)，小颖和小亮都认为直径AB垂直于CD．你同意他们的观点吗？
[师]请大家发表自己的想法．
[师]因为直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，直线CD是⊙O的切线，因此有圆的切线垂直于过切点的直径．
这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论．
在图(2)中，AB与CD要么垂直，要么不垂直．假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD、垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此CD与⊙O相交，这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾，所以AB与CD垂直．
这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾．第三步是肯定假设错误，故结论成立．
Ⅲ．课堂练习
随堂练习
Ⅳ．课时小结
本节课学习了如下内容：
1．直线与圆的三种位置关系．
(1)从公共点数来判断．
(2)从d与r间的数量关系来判断．
2．圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
Ⅴ．课后作业
习题3．7
(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直
线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
[师]大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．
[师]回答得非常精彩．通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠α＝90°时，d达到最大．此时d＝r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小．第(2)题就解决了．[师]从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？请大家互相交流．
[师]很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
2．做一做
已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直
径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手．
即可，而由已知条件可知AT＝AB，所以∠
大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗？从公共点的个数和
分别为两圆的切线，所以PT⊥OP
PN＋∠OPO＇即可
d与R和r具有怎样的关系？反之当d与R和r满足这
一关系时，这两个圆一定外切吗？
(2)当两圆内切时(R＞r)，圆心距d与R和r具有怎样
的关系？反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个
圆一定内切吗？
[师]如图，请大家互相交流．
[师]由此可知，当两圆相外切时，有d＝R＋r，反过来，当d＝R＋r时，两圆相外切，即两圆相
(3)转动轮转n °，传送带上的物品A 被传送多少厘米？
在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：l ＝180
n R
． 下面我们看弧长公式的运用． 三、例题讲解
制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即AB 的长(结果精确到0.1mm)．
四、想一想 投影片(§3．7C)
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长 3m 的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． (1)这只狗的最大活动区域有多大？
(2)如果这只狗只能绕柱子转过n °角，那么它的最 大活动区域有多大？
[师]请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式． 五、弧长与扇形面积的关系
[师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式为l ＝
180
n
πR ，n °的圆心角的扇形面积公式为S 扇形
＝
360
n πR 2
，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n ．半径R 有关系，因此l 和S 之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流．
六、扇形面积的应用 投影片(§3．7D)
扇形AOB 的半径为12cm ，∠AOB ＝120°，求AB 的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1cm 2
)
Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结
2
·(结果精确到0.1cm)2
分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的周长，从中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长．在高h 、底面圆的半径r 、母线l 组成的直角三角形中，根据勾股定理求出母线l ，代入S 侧＝πrl 中即可
如图，已知Rt △ABC 的斜边AB ＝13cm ，一条直角边AC ＝5cm ，以 直线AB 为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．
分析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和．根据S 侧＝
360
n πR 2
或S 侧＝πrl 可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为AB 垂直于底面圆，在Rt △ABC 中，由OC 、
AB ＝BC 、AC 可求出r ，问题就解决了．
Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结
本节课学习了如下内容：
探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算． Ⅴ．课后作业 习题3．11
三、圆心角、弧、弦之间关系定理[师]大家先回忆一下本部分内容．
1．如图在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的1
3
，圆的半径
为2cm，求AB的长．
四、圆心角与圆周角的关系
五、弧长，扇形面积，圆锥的侧面积和全面积
Ⅲ．课时小结
本节课我们复习巩固了圆的概念及对称性；垂径定理及其逆定理；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；圆心角和圆周角的关系；弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．
Ⅳ．课后作业
复习题 A组
2．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，D是
AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，求AD的长．
3．如图(2)，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠CAE＝∠B，
你认为AE与⊙O相切吗？为什么？
3．圆和圆的位置关系
[师]还是请大家先总结内容，再进行练习．
设⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r，圆心距为d，在下列情况下，⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？
①R＝6cm，r＝3cm，d＝4cm；②R＝6cm，r＝3cm，d＝0；
③R＝3cm，r＝7cm，d＝4cm；④R＝1cm，r＝6cm，d＝7cm；
⑤R＝6cm，r＝3cm，d＝10cm；⑥R＝5cm，r＝3cm，d＝3cm；⑦R＝3cm，r＝5cm，d＝1cm．
三、有关外接圆和内切圆的定义及画法
Ⅲ．课堂练习
Ⅳ．课时小结
本节课巩固了如何确定圆；点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系；如何作三角形的外接圆和内切圆．
Ⅴ．课后作业
复习题 B组。