【杏林教案】24章圆

2．作圆的关键是什么？

2．做一做(投影片§3．4B)

(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？

(2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？

[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答．

[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？ 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 投影片(§3．4C)

他作的圆符合要求吗？与同伴交流．

[师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．

作法

图示

1．连结AB 、BC

2．分别作AB 、BC 的垂直 平分线DE 和FG ，DE 和

FG 相交于点O

3．以O 为圆心，OA 为半径作圆

⊙O 就是所要求作的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．有关定义

由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形．

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)．

Ⅲ．课堂练习

已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？

解：如下图．

O 为外接圆的圆心，即外心．

锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．

Ⅳ．课时小结

即为点C到直线AB的距离．

它们分别是相交、相切、相离．

直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，

直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．

(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：

d＜r时，直线与圆相交；

d＝r时，直线与圆相切；

d＞r时，直线与圆相离．

投影片(§3．5．1B)

[例1]已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm．

(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？

(2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？

分析：根据d与r间的数量关系可知：

d＝r时，相切；d＜r时，相交；d＞r时，相离．

3．议一议(投影片§3．5．1C)

(1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？

对于(3)，小颖和小亮都认为直径AB垂直于CD．你同意他们的观点吗？

[师]请大家发表自己的想法．

[师]因为直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，直线CD是⊙O的切线，因此有圆的切线垂直于过切点的直径．

这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论．

在图(2)中，AB与CD要么垂直，要么不垂直．假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD、垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此CD与⊙O相交，这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾，所以AB与CD垂直．

这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾．第三步是肯定假设错误，故结论成立．

Ⅲ．课堂练习

随堂练习

Ⅳ．课时小结

本节课学习了如下内容：

1．直线与圆的三种位置关系．

(1)从公共点数来判断．

(2)从d与r间的数量关系来判断．

2．圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．

Ⅴ．课后作业

习题3．7

(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直

线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？

[师]大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．

[师]回答得非常精彩．通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠α＝90°时，d达到最大．此时d＝r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小．第(2)题就解决了．[师]从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？请大家互相交流．

[师]很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．

2．做一做

已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．

分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直

径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手．

即可，而由已知条件可知AT＝AB，所以∠

大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗？从公共点的个数和

分别为两圆的切线，所以PT⊥OP

PN＋∠OPO＇即可

d与R和r具有怎样的关系？反之当d与R和r满足这

一关系时，这两个圆一定外切吗？

(2)当两圆内切时(R＞r)，圆心距d与R和r具有怎样

的关系？反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个

圆一定内切吗？

[师]如图，请大家互相交流．

[师]由此可知，当两圆相外切时，有d＝R＋r，反过来，当d＝R＋r时，两圆相外切，即两圆相