数学物理方法期末测验考试答案
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天津工业大学(2009—2010学年第一学期)
《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院)
特别提示:请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。
一
填空题(每题3分,共10小题)
1. 复数 i e +1 的指数式为:i ee ;
三角形式为:)1sin 1(cos i e + .
2. 以复数 0z 为圆心,以任意小正实数ε 为半径作一圆,则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 .
3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系?).
4. 给出矢量场旋度的散度值,即=⨯∇⋅∇f ϖ
0 .
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5. 一般说来,在区域内,只要有一个简单的闭合曲线其内有不属
于该区域的点,这样的区域称为 复通区域 .
6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导,而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导,则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 .
7. δ函数的挑选性为
⎰
∞
∞
-=-)()()(00t f d t f ττδτ.
8. 在数学上,定解条件是指 边界条件 和
初始条件 .
9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、
输运方程 和 稳定场方程 .
10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222
=Θ++Θ
-Θ-l l dx d x dx
d x .
二
计算题(每小题7分,共6小题)
1. 已知解析函数)(z f 的实部xy y x y x u +-=22),(,求该解析函数(0)0(=f ).
解: y x u x +=2,x y u y +-=2,2=xx u ,2-=yy u . 0xx yy u u +=, (,)u x y 是调和函数. 2分 利用柯西-黎曼条件
x y u v =,x y v u =-, 即,x y v x -=2,y x v y +=2, 2分 于是,
⎰+++-=
)
,()2()2(y x C
dy y x dx x y v
⎰
⎰+++-+
++-=
)
0,()
0,0()
,()
0,()2()2()2()2(x y x x C dy y x dx x y dy y x dx x y
C x y xy +-+=2
222
2. 2分
所以,)2
1()(2i
z z f -=. 1分
2. 给出如图所示弦振动问题在0x 点处的衔接条件. 解:
),0(),0(00t x u t x u +=-, 2分
0sin sin )(21=--ααT T t F , 2分
又因为
),0(sin 011t x u tg x -=≈αα, ),0(sin 022t x u tg x +-=≈αα, 2分 所以,
)(),0(),0(00t F t x Tu t x Tu x x -=--+. 1分
3. 由三维输运方程推导出亥姆霍兹方程.
解:三维输运方程为
02=∆-u a u t (1分)
分离时间变数t 和空间变数r ϖ
,以
)()(),(r v t T t r u ϖ
ϖ= (2分) 上式代入方程,得
v v
T
a T ∆='2 (1分)
令上式等于同一常数2k -, 2
2
k v v T
a T -=∆=' (2分) 则得骇姆霍兹方程为
02=+∆v k v (1分)
4. 在00=z 邻域把m z z f )1()(+=展开(m 不是整数).
解:先计算展开系数:
m z z f )1()(+=, m f 1)0(=;
)(1)1()(1z f z
m
z m z f m +=
+='-; m m f 1)0(='; 2)1)(1()(-+-=''m z m m z f m m m f 1)1()0(-=''; 5分
)()1()
1(2
z f z m m +-=
,
所以,m z )1(+在00=z 邻域上的泰勒级数为
+-++
=+21!
2)1(1!11)1(z m m z m z m m m m ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+-+
+=Λ2!2)1(!111z m m z m m . 2分
5. 计算⎰
=-22sin 21z z
zdz
.
解: 因为4
π
π±→n z (n 为整数,包括零),有0)sin 21(2→-z ,因
此,40π
π±
=n z 是极点.但是,在2=z 圆内的极点只有4
π
±
.又由于
1分
4]sin 21)
4[(lim 2
4
π
π
π-=--
→z z z z , 2分 4]sin 21)
4[(lim 2π
π
π-=-+
-→z z z z , 2分
所以, i sf sf i z zdz z 2
22)]4
(Re )4([Re 2sin 21ππππ-=-+=-⎰=. 2分
6. 求拉氏变换][cos t L ω,ω为常数. 解: Θ )(2
1cos t i t
i e e t ωωω-+=
, s p e L st -=
1][ 2分 ∴ ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=-)(21][cos t i t i e e L t L ωωω
][2
1
][21t i t i e L e L ωω-+= 2分 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-=
ωωi p i p 1121 2分 2
2ω
+=p p
0Re >p 1分