2.2等差数列的概念及通项公式

等差数列的定义与通项公式

小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。请同学们做以下练习。
练习三
已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.
解：依题意得：
a1 3d 10 a1 6d 19
解之得：
a1 1 d 3
∴这个数列的首项是1，公差是3。
二、等差数列的判定：
例2、已知数列{an}的通项公式为 an 6n 1 问：这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？
1、若一个数列的通项公式为n的一次函数 an=pn+q,则这个数列为等差数列,p=公差d .
2、非常数列的等差数列通项公式是关于n的一次函数. 常数列的等差数列通项公式为常值函数。
（2）等差数列通项公式： an=a1 +(n-1)d
作业：
1、已知数列an ，满足
a
1
2, a n 1
（1）数列
1 an
a
2 an
n
2
是否是等差数列？说明理由。
（2）求数列 an 通项公式
1 1 1 是等差数列， (n 1) 3 1 (n 1) 3 an a1 an
1 an 3n 2
有些数列若通过取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
课堂小结：
（1）等差数列定义：
a
d 或 d （n>1) a a a n1 n n n1
等差数列的定义及通项公式
复习：
1、等差数列的概念：
一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。 2、等差数列的定义式： d=an-an-1 3、等差数列的通项公式。

高考数学必修五第二章 2.2 第1课时等差数列的概念及通项公式

§2.2 等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念.知识点一等差数列的概念思考给出以下三个数列： (1)0,5,10,15,20； (2)4,4,4,4，…； (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它们有什么共同的特征？答案从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.梳理一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零. 知识点二等差中项的概念思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b . 答案插入的数分别为3,2,0，a ＋b2.梳理如果三个数a ，A ，b 组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.知识点三等差数列的通项公式思考对于等差数列2,4,6,8，…，有a 2－a 1＝2，即a 2＝a 1＋2；a 3－a 2＝2，即a 3＝a 2＋2＝a 1＋2×2；a 4－a 3＝2，即a 4＝a 3＋2＝a 1＋3×2. 试猜想a n ＝a 1＋( )×2. 答案 n －1梳理若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用累加法证明.1.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)2.任意两个实数都有等差中项.(√)3.从通项公式可以看出，若等差数列的公差d>0，则该数列为递增数列.(√)4.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定成等差数列.(√)类型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，….考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用解由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列.反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n＋1－a n(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数.跟踪训练1数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 A解析∵a n＋1－a n＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{a n}是公差为2的等差数列.类型二等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列. 考点等差中项题点等差中项及其应用解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思与感悟在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项. 考点等差中项题点等差中项及其应用解由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得m ＋n ＝6.所以m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.类型三等差数列通项公式的求法及应用命题角度1 基本量(a 1，d )的计算例3 在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n . 考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项解由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36.解得d ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .反思与感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.等差数列{a n}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量.跟踪训练3(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项解(1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项.命题角度2等差数列的实际应用例4某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，可以建立一个等差数列{a n}来计算车费.令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.即需要支付车费23.2元.反思与感悟在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素.跟踪训练4在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温.考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解用{a n}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴a n＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.1.下列数列不是等差数列的是( ) A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D.－3，－2，－1,1,2考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 D2.已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) A.2 B.3 C.－2 D.－3 考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 C解析由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3.已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 考点等差中项题点等差中项及其应用答案 B解析因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ，又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4.已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A.52 B.62 C.－62D.－52考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 A解析公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝－5＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52. 5.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )A.92B.47C.46D.45考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1.判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.2.由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1.若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A.公差为1的等差数列 B.公差为13的等差数列C.公差为－13的等差数列D.不是等差数列考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 B解析由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列.2.在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A.52 B.51 C.50 D.49 考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 A解析因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d＝2＋100×12＝52.3.若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A.b －a B.b －a 2C.b －a 3D.b －a 4考点等差数列基本量的计算问题题点等差数列公差有关问题答案 C解析由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a3.4.已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A.15 B.22 C.7 D.29考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项答案 A解析设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.5.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A.第7项 B.第8项 C.第9项D.第10项考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3， ∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ，∴a7＝2＞0，a8＝－1<0.6.若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A.26 B.29 C.39 D.52 考点等差中项题点等差中项及其应用答案 C解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项. ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.7.一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( )A.14B.12C.13D.23 考点等差中项题点等差中项及其应用答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x 2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ， ∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8.已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A.15 B.30 C.31 D.64考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，a 7＋a 9＝2a 1＋14d ＝16，得⎩⎨⎧a 1＝－174，d ＝74，∴a 12＝a 1＋11d ＝－174＋11×74＝15.二、填空题9.若一个等差数列的前三项为a ，2a －1，3－a ，则这个数列的通项公式为________. 考点等差数列的通项公式题点求通项公式答案 a n ＝n 4＋1，n ∈N * 解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54. ∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74， ∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n 4＋1，n ∈N *. 10.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题答案 6766解析设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧ a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 11.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________.考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 ⎝⎛⎦⎤83，3解析设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3. 三、解答题12.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，设b n ＝a n 2n －1. (1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用(1)证明由已知a n ＋1＝2a n ＋2n，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1.又b 1＝a 1＝1，因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝n ，又b n ＝a n 2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·2n －1. 13.已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？试说明理由；(2)若a p ，a q (p ，q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由. 考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用解由题意可知，a 1＝3，d ＝4，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1.(1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34，∴135是数列{a n }的第34项.令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N *，∴4m ＋19是数列{a n }的第m ＋5项.(2)∵a p ，a q 是数列{a n }中的项，∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1.∴2a p ＋3a q ＝2(4p －1)＋3(4q －1)＝8p ＋12q －5＝4(2p ＋3q －1)－1，其中2p ＋3q －1∈N *，∴2a p ＋3a q 是数列{a n }的第2p ＋3q －1项.四、探究与拓展14.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 10＝________. 考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 110解析易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110. 15.已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.考点等差数列的通项公式题点求通项公式解由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项分别构成公差为－2的等差数列. 当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ， ∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数). 当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2 ＝7－2k .∴a n ＝7－n (n 为偶数).∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。

2.2 等差数列的概念、通项公式

思考题 2 (1)2 与－4 的等差中项为________．
(2)
1 5＋
与 3
1 5－
3的等差中项为________．
(3)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则 a5 的值为( )
A．5
B．6
C．8
D．10
【答案】
(1)－1
5 (2) 2
(3)A
解析 (3)因为 a1＋a9＝2a5，所以 a5＝5.
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第二章 2.2 第一课时
高考调研
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【解析】设从海拔 1 km 到 10 km 的气温组成等差数列{an}，则 a1＝8.5，a5＝－17.5，∴d＝a5－4 a1＝－6.5.
∴a2＝2(℃)，a4＝－11(℃)，a8＝－37(℃)．
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1．下列说法正确的是( ) A．一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列 B．一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列
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【解析】 (1)设首项为 a1，公差为 d，则
a3＝a1＋2d＝5， a7＝a1＋6d＝13，
解得ad1＝＝21. ，
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1. ∴通项公式为 an＝2n－1.
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(2)由等差中项公式，得 2×(2a－1)＝a＋(3－a)，a＝54. ∴首项为 a＝54，公差为 2a－1－a＝a－1＝54－1＝14. ∴an＝54＋(n－1)×14＝n4＋1. ∴通项公式为 an＝n4＋1.

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3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
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4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的等差中项是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…，那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23，解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*，所以 153 是所给数列的第 45 项．答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.

等差数列的定义和通项公式

等差数列的定义和通项公式一、等差数列的定义和通项公式1、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母$d$表示。

2、等差数列的通项公式等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。

注：已知等差数列$\{a_n\}$中的任意两项$a_n$，$a_m(n,m∈\mathbf{N}^*,m≠n)$，则$\begin{cases}a_n=a_1+(n-1)d,\\a_m=a_1+(m-1)d\end{cases}\Rightarrow$$a_n-a_m=$$(n-m)d\Rightarrow$$\begin{cases}d=\frac{a_n-a_m}{n-m},\\a_n=a_m+(n-m)d。

\end{cases}$即已知等差数列中的任意两项，可求得其公差，进而求得其通项公式。

3、等差中项由三个数$a$，$A$，$b$组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。

这时，$A$叫做$a$与$b$的等差中项。

此时，$2A=a+b$，$A=\frac{a+b}{2}$。

若数列中相邻三项之间存在如下关系：$2a_n=a_{n+1}+a_{n-1}(n\geqslant2)$，则该数列是等差数列。

4、等差数列与函数的关系将等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$变形，整理得$a_n=nd+(a_1-d)$。

则从函数的角度来看$a_n=a_1+(n-1)d$是关于$n$的一次函数（$d≠0$时）或常函数（$d=0$时）。

它的图象是一条射线上的一系列横坐标为正整数的孤立的点，公差$d$是该射线所在直线的斜率。

（1）当$d>0$时，数列$\{a_n\}$是递增数列；（2）当$d=0$时，数列$\{a_n\}$是常数列；（3）当$d<0$时，数列$\{a_n\}$是递减数列；5、等差数列的性质若数列$\{a_n\}$是首项为$a_1$，公差为$d$的等差数列，则它具有以下性质（1）若$m+n=p+q(m,n,p,q∈\mathbf{N}^*)$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$。

高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5

6.等差数列通项公式的变形应用已知等差数列{an}中的任意两项 an,am(n,m∈N*,m≠n),
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一等差数列的通项公式
【例1】已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.

2.2 等差数列的概念及通项公式

§2.2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零．知识点二等差中项的概念如果三个数a ，A ，b 组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b .答案插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a ＋b2.知识点三等差数列的通项公式若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用累加法证明．1．数列4,4,4，……是等差数列．( √ ) 2．数列3,2,1是等差数列．( √ )3．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n ＋1，n ≥2，则{a n }是等差数列．( × )4．等差数列{a n }中，a 1，n ，d ，a n 任给三个，可求其余．( √ )题型一等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，….解由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．反思感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n ＋1－a n (n ≥1，n ∈N *)是不是一个与n 无关的常数．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2， ∴{a n }是公差为2的等差数列．题型二等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列．解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思感悟在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项．解由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得3m ＋3n ＝18，即m ＋n ＝6. 所以m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.题型三等差数列通项公式的求法及应用例3 在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n .解由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36.解得d ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n (n ∈N *)．反思感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．跟踪训练3 在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝15.a 1＋16d ＝39，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝2，所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5. 令2n ＋5＝91，得n ＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项．(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝－1.∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ，所以a 10＝13－10＝3.等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明由a n ＋1＝3a n ＋3n ，两边同时除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋13，即a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13. 由等差数列的定义知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以a 13＝13为首项，13为公差的等差数列．(2)解由(1)知a n 3n ＝13＋(n －1)×13＝n3，故a n ＝n ·3n －1，n ∈N *.典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2，而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)， ∴{a n }不是等差数列．(2)当n ≥2时，a n 是等差数列，公差为2. 当n ≥2时，a n ＝1＋2(n －2)＝2n －3，又a 1＝1不适合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.[素养评析] (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可． (2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2答案 D2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 C解析由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B解析因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ，又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列答案 B解析由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列．5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( ) A ．92 B ．47 C ．46 D ．45 答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1．设数列{a n }(n ∈N *)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 D解析 ∵a 4－a 2＝2d ＝6－4＝2.∴d ＝1.2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A ．52 B ．62 C ．－62 D ．－52 答案 A解析公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝a 1＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52. 3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．52 B ．51 C ．50 D ．49 答案 A解析因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d ＝2＋100×12＝52.4．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26 B ．29 C ．39 D ．52 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26，∴x ＋y ＋z ＝39.5．已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A ．15 B ．22 C ．7 D ．29 答案 A解析设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.6．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3， ∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ， ∴a 7＝2＞0，a 8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项．7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( )A.14B.12C.13D.23 答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x 2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ， ∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8．(2018·天津市南开中学检测)在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( ) A.12 B.13 C.14 D.16 答案 A解析由题意可得2a 4＋1＝1a 2＋1＋1a 6＋1，解得a 4＝12.二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a －1,3－a ，则这个数列的通项公式为．答案 a n ＝n 4＋1，n ∈N * 解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54. ∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74， ∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n 4＋1，n ∈N *. 10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．答案 6766解析设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧ a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎦⎤83，3 解析设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3. 三、解答题12．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，求{a n }的通项公式．解设数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12.13．(2018·辽宁省东北育才中学月考)已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明由1a n ＋1－2＝16a n －4a n ＋2－2＝a n ＋2(6a n －4)－2(a n ＋2)＝a n ＋24a n －8＝(a n －2)＋44(a n －2)＝1a n －2＋14，得1a n ＋1－2－1a n －2＝14，n ∈N *，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2是等差数列． (2)解由(1)知1a n －2＝1a 1－2＋(n －1)×14＝n ＋34，所以a n ＝2n ＋10n ＋3，n ∈N *.14．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 10＝ . 答案 110解析易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110. 15．已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项分别构成公差为－2的等差数列．当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ， ∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数)．当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2＝7－2k . ∴a n ＝7－n (n 为偶数)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。

2.2.2等差数列前n项和公式

练习3 已知一个共有n项的等差数列前4项之和为26,末四项之和为110,且所有项的和为 187，求n.
n=11
提示：a1+a2+a3+a4=26
a1+an=34
an+an-1+an-2+an-3=110
Sn

n(a1 2
an )

34n 2
187,n
11
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）
解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
24 d 3 7
(2)
∵
Sn

na1

1 2
n(n
1)d
1
n(12 2d ) n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2 5 12
∴Sn图象的对称轴为 n
由(1)知 24 7
+ S =100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1
2S = 101 +101+101 + … + 101 + 101 + 101
100101
S=
2
=5050
实例2
如图，表示堆放的钢管共8层，自上而下各层的钢管数组成等差数列4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11，求钢管的总数 .
Sn

n(a1 2
an )
Sn

na1

n(n 1) 2
d
2．等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法；

2.2等差数列定义式及通项公式

2.2 等差数列(一)[学习目标]1．理解等差数列的定义，掌握定义式，并会用它证明一个数列是等差数列． 2．掌握等差中项的概念，并会用它证明三个数成等差数列．3．会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题． [知识链接]第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？ [预习导引] 1．等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．任取等差数列的相邻两项1,n n a a -或1,n n a a +，则等差数列的定义可以用式子表示为：2．等差中项的概念若三个数a ，A ，b 构成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，并且A ＝a ＋b2.任取等差数列的相邻三项11,,n n n a a a -+，则等差中项可以用式子表示为：3．等差数列的通项公式若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝a 1＋(n －1)d . 其推导方法为累加法，累加法还适用于1()n n a a f n --= 4．等差数列的单调性等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则数列{a n }为递减数列．题型一等差数列的概念例1 已知数列的通项公式为65n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？跟踪演练1 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？题型二等差中项及其应用例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．跟踪演练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项．题型三等差数列的通项公式及应用例3已知递减等差数列{a n}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？跟踪演练3已知{a n}为等差数列，a3＝5，a7＝13，求它的通项公式：题型四等差数列的实际应用例4梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．跟踪演练4三位自然数中，6的倍数有多少个？当堂达标A组1．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是()A．b－a B.b－a2 C.b－a3 D.b－a42．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是()A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项3．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为()A．26 B．29 C．39 D．524．已知数列{a n}满足a2n＋1＝a2n＋4，且a1＝1，a n>0，则a n＝________.5．已知数列{na}的通项公式lgna=，判断该数列是否为等差数列？B组6．若数列{a n}满足3a n＋1＝3a n＋1，则数列是()A．公差为1的等差数列B．公差为13的等差数列C．公差为－13的等差数列D．不是等差数列7．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________．8．已知等差数列{a n}：3,7,11,15，….(1)135,4m＋19(m∈N*)是{a n}中的项吗？试说明理由．(2)若a p，a q(p，q∈N*)是数列{a n}中的项，则2a p＋3a q是数列{a n}中的项吗？并说明你的理由．。

等差数列的概念、性质及其应用

等差数列的概念、性质及其应用等差数列是数学中的一种常见数列形式，也是初等数学中较为基础的概念之一。

它在数学、物理等领域中都有广泛的应用。

本文将围绕等差数列展开，介绍等差数列的概念、性质及其应用。

一、等差数列的概念等差数列是指数列中的任意两个相邻项之间的差恒定的数列。

设数列的首项为a1，公差为d，则数列中的任意一项可以表示为an=a1+(n-1)d。

其中，a1为首项，d为公差，n为项数。

二、等差数列的性质1. 通项公式：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，通过这个公式可以计算出等差数列中任意一项的值。

2. 首项和末项：等差数列的首项为a1，末项为an，根据通项公式可得an=a1+(n-1)d。

3. 公差：等差数列中任意两个相邻项之间的差称为公差，常用字母d表示。

4. 项数：等差数列中项的个数称为项数，常用字母n表示。

5. 求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn=n/2*(a1+an)来计算。

三、等差数列的应用等差数列在实际应用中有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 金融领域：等差数列常用于计算利息、贷款等金融问题中。

例如，某人每月存款1000元，存款期限为10个月，假设存款的年利率为5%，那么可以通过等差数列的求和公式计算出存款的总金额。

2. 物理学：等差数列可以用来描述物体在匀速运动中的位移变化。

例如，某物体以每秒10米的速度匀速向前运动，可以通过等差数列的通项公式计算出物体在任意时间点的位置。

3. 数学研究：等差数列是数学中的一个重要概念，研究等差数列的性质有助于深入理解数列的规律和数学推理的方法。

等差数列是数学中的一个重要概念，它在数学、物理、金融等领域中都有广泛的应用。

通过等差数列的概念、性质及其应用的介绍，我们可以更好地理解等差数列的本质和作用，进一步拓展数学思维，并将其运用到实际问题中。

希望本文能对读者对等差数列有更深入的了解和应用提供帮助。

2.2 等差数列

2.2 等差数列1、等差数列的概念：1 2,n n d a a n n N d -=-≥∈（）为常数（用来判断数列是否为等差数列）2、等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a ；推广：d m n a a m n )(-+=，从而mn a a d mn --=。

3、等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++=+≥⇔=+课堂训练一.选择题。

1.2005是数列7,13,19,25,31,, 中的第（）项. A. 332 B. 333 C. 334 D. 3352.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是（）A.公差为2的等差数列B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列3.若a ∈、b 、c R ，则“2b a c =+”是“a 、b 、c 成等差数列”的（） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4.等差数列3,7,11,,--- 的一个通项公式为（）A. 47n -B. 47n --C. 41n +D. 41n -+5.首项为24-的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（） A. 83d >B. 3d <C. 833d ≤<D. 833d <≤ 6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，，32313n n n a a a --++，是（）A.一定不是等差数列B. 一定是递增数列C.一定是等差数列D. 一定是递减数列二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上. 7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a = . 8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = .9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = .10.如果等差数列{}n a 的第5项为5，第10项为5-，则此数列的第1个负数项是第项. 【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,--- 中的项，若是，是第几项？12.已知(1)2f =，2()1(1)()2f n f n n N +++=∈，求(101)f .同步提升例1若{a n }是等差数列,a 15＝8,a 60＝20,求a 75.【解答】设{a n }的公差为d .方法一由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415.∴a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24.方法二∵a 60＝a 15＋(60－15)d ,∴d ＝a 60－a 1560－15＝20－860－15＝415,∴a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.【总结】方法一.先求出a 1,d ,然后求a 75;方法二.应用通项公式的变形公式a n ＝a m ＋(n －m )d 求解.【变式1】在等差数列{a n }中,已知a m ＝n ,a n ＝m ,求a m ＋n 的值.【变式1】在等差数列{a n }中,已知a m ＝n ,a n ＝m ,求a m ＋n 的值.【解答】方法一设公差为d ,则d ＝a m －a n m －n ＝n －mm －n＝－1, 从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0.方法二设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b (a ,b 为常数), 则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝am ＋b ＝n ，a n ＝an ＋b ＝m ，得a ＝－1,b ＝m ＋n .∴a m ＋n ＝a (m ＋n )＋b ＝0. 二.等差数列的性质例2已知等差数列{a n }中,a 1＋a 4＋a 7＝15,a 2a 4a 6＝45,求此数列的通项公式. 【解答】∵a 1＋a 7＝2a 4,a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15, ∴a 4＝5.又∵a 2a 4a 6＝45,∴a 2a 6＝9,即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9, (5－2d )(5＋2d )＝9,解得d ＝±2. 若d ＝2,a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3; 若d ＝－2,a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .【总结】要求通项公式,需要求出首项a 1和公差d ,由a 1＋a 4＋a 7＝15,a 2a 4a 6＝45直接求解很困难,我们可以换个思路,利用等差数列的性质,注意到a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝2a 4问题就简单了.【变式2】成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数. 【解答】设这四个数为a －3d ,a －d ,a ＋d ,a ＋3d ,则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.∴这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.三.等差数列的判断例3已知数列{a n }满足a 1＝4,a n ＝4－4a n －1 (n ≥2),令b n ＝1a n －2.(1)求证:数列{b n }是等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.分析计算b n ＋1－b n ＝常数,然后求出b n ,最后再由a n 与b n 的关系求出a n .(1)证明∵a n ＝4－4a n －1 (n ≥2),∴a n ＋1＝4－4a n(n ∈N *). ∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12.∴b n ＋1－b n ＝12,n ∈N *.∴{b n }是等差数列,首项为12,公差为12.(2)解b 1＝1a 1－2＝12,d ＝12.∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n2.∴1a n －2＝n 2,∴a n ＝2＋2n. 【总结】判断一个数列{a n }是否是等差数列,关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数.【变式3】若1b ＋c , 1c ＋a , 1a ＋b 是等差数列,求证:a 2,b 2,c 2成等差数列. 证明∵1b ＋c , 1c ＋a , 1a ＋b 是等差数列,∴1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a .∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2＋c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2∴a 2＋c 2＝2b 2,∴a 2,b 2,c 2成等差数列. 【小结】1.证明数列{a n }为等差数列的方法(1)定义法:a n ＋1－a n ＝d (d 为常数,n ≥1)⇔{a n }为等差数列或a n －a n －1＝d (d 为常数, n ≥2)⇔{a n }为等差数列.(2)等差中项法: 2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列.(3)通项法:a n ＝pn ＋q (p 、q ∈R )⇔{a n }是等差数列,只要说明a n 为n 的一次函数, 就可下结论说{a n }是等差数列.2.三个数成等差数列可设为:a －d ,a ,a ＋d 或a ,a ＋d ,a ＋2d ;四个数成等差数列可设为: a －3d ,a －d ,a ＋d ,a ＋3d 或a ,a ＋d ,a ＋2d ,a ＋3d . 一.选择题1.在等差数列{a n }中,a 1＋3a 8＋a 15＝120,则2a 9－a 10的值为( ) A.24 B.22 C.20 D.－8 【解答】A2.已知等差数列{a n }中,a 2＝－9, a 3a 2＝－23,则a n 为( )A.14n ＋3B.16n －4C.15n －39D.15n ＋8 【解答】C解析∵a 2＝－9, a 3a 2＝－23,∴a 3＝－23×(－9)＝6,∴d ＝a 3－a 2＝15,∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝－9＋(n －2)·15＝15n －39.3.等差数列{a n }的公差d <0,且a 2·a 4＝12,a 2＋a 4＝8,则数列{a n }的通项公式是( )A.a n ＝2n －2 (n ∈N *)B.a n ＝2n ＋4 (n ∈N *)C.a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *)D.a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *) 【解答】D解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，a 4＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ,即a n ＝8＋(n －1)(－2),得a n ＝－2n ＋10.4.等差数列{a n }中,若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450,则a 2＋a 8等于( ) A.45 B.75 C.180 D.300 【解答】C解析方法一设{a n }首项为a 1,公差为d ,a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＋a 1＋5d ＋a 1＋6d ＝5a 1＋20d 即5a 1＋20d ＝450,a 1＋4d ＝90,∴a 2＋a 8＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋8d ＝180.方法二∵a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 2＋a 8,∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝52(a 2＋a 8)＝450,∴a 2＋a 8＝180.5.一个等差数列的首项为a 1＝1,末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数,那么项数n 的取值个数是( )A.6B.7C.8D.不确定【解答】B解析由a n ＝a 1＋(n －1)d ,得41＝1＋(n －1)d ,d ＝40n －1为整数.则n ＝3,5,6,9,11,21,41共7个.二.填空题6.若m ≠n ,两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差分别为d 1和d 2,则d 1d 2的值为______.【解答】43解析n －m ＝3d 1,d 1＝13(n －m ).又n －m ＝4d 2,d 2＝14(n －m ).∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43.7.已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列,且a 4＝6,a 6＝4,则a 10＝______.【解答】125解析 1a 6－1a 4＝14－16＝2d ,即d ＝124.∴1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512,∴a 10＝125. 8.已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m －n |＝______.【解答】12解析由题意设这4个根为14, 14＋d , 14＋2d , 14＋3d .则14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋3d ＝2,∴d ＝12,∴这4个根依次为14, 34, 54, 74, ∴n ＝14×74＝716,m ＝34×54＝1516或n ＝1516,m ＝716,∴|m －n |＝12.三.解答题9.等差数列{a n }的公差d ≠0,试比较a 4a 9与a 6a 7的大小. 【解答】设a n ＝a 1＋(n －1)d ,则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11da 1＋30d 2)＝－6d 2<0,∴a 4a 9<a 6a 7.10.已知数列{a n }满足a 1＝15,且当n >1,n ∈N *时,有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ,设b n ＝1a n,n ∈N *.(1)求证:数列{b n }为等差数列.(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.(1)证明当n >1,n ∈N *时, a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4,且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是等差数列,且公差为4,首项为5.(2)解由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.∴a n ＝1b n＝14n ＋1,n ∈N *. ∵a 1＝15,a 2＝19,∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145,∴n ＝11.即a 1a 2＝a 11,∴a 1a 2是数列{a n }中的项,是第11项.2.2 等差数列课堂训练参考答案：1.C2.A3.C4.D5.D6.C7.108.219.23n - 10.811.由题意知27n a n =-,由2752n -=,得29.5n N *=∉,∴52不是该数列中的项. 又由2727n k -=+解得7n k N *=+∈,∴27k +是数列{}n a 中的第7k +项.12.∵(1)2f =，2()1(1)2f n f n ++=，∴1(1)()2f n f n +-=，∴{}()f n 是以2为首项，12为公差的等差数列，∴13()22f n n =+，∴(101)52f =.。

2.2等差数列1

高度(km) 温度(℃) 1 28 2 21.5 3 15 4 8.5 5 2 … …
8844.43米
减少6.5
9 -24
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
我国现行储蓄制度规定银行支付利息方式为单利,即不把利息加入本金计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是: 本利和=本金×(1+利率×存期)
x, 3x, 5 x, 7 x, 9 x, … 公差 d= 2x
探究1
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：（1）2 ，( 3 ) ， 4 (3)a , ( ab ) , b
2
（2）-12，( -6 ) ，0
2.等差中项:
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b 成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项
P45 作业本
a2 4 1 3
1，4，7，10，13，16，…
等差数列的通项公式如果一个数列 a1 , a 2 , a3 , …，an , …
是等差数列，它的公差是d，那么
a2 a1 d
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d a5 a4 d (a1 3d ) d a1 4d
47 7 20 0 (n 1) n (舍) 7 2
练一练
4. 在等差数列中
(1)已知a4 10, a7 19, 求a1与d.
a1 1, d 3
(2)已知a3 9, a9 3，求a12
a1 11, d 1
a12 0
( 3 ) 10072，10144，10216，10288，10360

等差数列的通项求和及其性质

等差数列通项求和及其性质1.等差数列概念及通项公式1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

2) 等差数列的判定方法:（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。

（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

3) 等差数列的通项公式：如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。

说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。

通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *. 2.等差数列性质2.1等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.2已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2. 2.3等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；当d ＝0时，数列{a n }为常数列． 3.等差数列求和（倒序相加法）等差数列的前n 项和：① 2)(1n n a a n S +=②d n n na S n 2)1(1-+= 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。

2.2等差数列之定义和通项

n 1个
an an1 d
方法二累加法
将所有等式相加得
an a1 (n 1)d
题型二、等差数列的通项公式运用
KEY：通项公式待定系数法/方程(组)思想/n必正整数
题型二、等差数列的通项公式运用
总结一

等差数列的通项公式
思考：已知等差数列{an }的首项为a1，公差为d，求an . 方法一：不根据等差数列的定义得到
完 a3 d，
所以a2 a1 d a3 a2 d (a1 d) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d) d a1 3d
某此系统抽样所抽取的样本号分别是: 7，19，31，43，55，67，79，91，103，
115.
如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
定义的解读
定义中的关键词：从第2项起/每一项与其前一项的差/等于同一个常数由定义得等差数列的递推公式：
an1 an d (d是常数）
说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据.
题型一、判断等差数列
练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。
(1) 1, 1, 1, 1, 1. (2) 4, 7,10,13,16. (3) 3, 2, 1,1, 2, 3. (4) 1, 2, 3, 4, 5, 6. (5) 5, 9,13, , 4n 1, .
课前小练
D
A
21 B
等差数列—定义与通项公式
学习巧招之二：重视预习和复习，既然人总是要学会自立的，那就从做好每一题，从认真自学开始吧。你能一辈子赖住你父母吗？父母总会老去。你总要迈出那一步，那，何不早一点。

2.2等差数列(一)

复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定顺序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2,a3,…,an,…简记为{an}。如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
分析：由a, A, b成等差数列得：
ab A a b A, A . 2 ab 反之，若 A , 即A a b A, 2 即a, A, b成等差数列. ab A a , A, b 成等差数列. 2
等差中项：
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做 a与b的等差中项.
思考:
观察一下面的这四个数列： 0, 5, 10, 15, 20 …… 48, 53, 58, 63 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5 10 072, 10 144, 10 216, 10 288, 10 360 这些数列有什么共同特点呢？ ① ② ③ ④
思考:
观察一下上面的这四个数列： 0, 5, 10, 15, 20 …… 48, 53, 58, 63 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5 10 072, 10 144, 10 216, 10 288, 10 360 这些数列有什么共同特点呢？以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数. ① ② ③ ④
练习：
教材P 39练习第1、2、4题.
课堂小结
1. 等差数列定义：即an－an－1 ＝d (n≥2).
2.等差数列通项公式：

&2.2.2等差数列的前n项和公式1

1 练习：的前n项和为练习：已知数列 {an } 的前项和为Sn = n + n 2 求这个数列的通项公式。求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分差数列吗？如果是，别是什么？别是什么？
2
练习:
• 等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,则该数列前多少项和最小? • 在首项为正数的等差数列{an}中,它的前3 项和与前11项和相等,问此数列的前多少项和最大? • 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知 a3=12,且S12>0,S13<0, (1)求公差d的取值范围; (2)该数列前几项的和最大.
练习数
如果 a 1
列 {a + a 2
n
}是公差为 − 2的等差数列， + a 3 = 12,求 S 12 .
12×(12−1)×(−2) s12 =12×6+ =−60. 2
例2、计算（1）1+3+5+……+（2n-1） 1+3+5+ + 2n（2）2+4+6+……+2n 2+4+6+ +2n （3）1+3+5+…+（2n+3） 1+3+5+ + 2n+3）（4）1+4+7+……+（3n+1） 1+4+7+ + 3n+1）
李先生为今年上高中的儿子办理“ 例5、李先生为今年上高中的儿子办理“教育储蓄” 日起，每个月的1 储蓄”，从8月1日起，每个月的1号都存入 100元存期三年， 100元，存期三年，已知当年“教育储蓄” （1）已知当年“教育储蓄”存款的月利率是 2.7‰，问到期时， 2.7 ，问到期时，李先生一次可支取本息共多少元？多少元？已知当年同档次的“零存整取” （2）已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率为1.725 1.725‰，问李先生办理“教育储蓄” 月利率为1.725 ，问李先生办理“教育储蓄” 零存整取”多收益多少元？比“零存整取”多收益多少元？

第二章 2.2 第1课时等差数列的概念及通项公式

§2.2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．知识点二等差中项的概念如果三个数a ，A ，b 组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2. 思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b .答案插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a ＋b 2. 知识点三等差数列的通项公式若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用累加法证明．1．数列4,4,4，……是等差数列．( )2．数列3,2,1是等差数列．( )3．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n ＋1，n ≥2，则{a n }是等差数列．( ) 4．等差数列{a n }中，a 1，n ，d ，a n 任给三个，可求其余．( )题型一等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a ，a ，a ，a ，a ，….跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( )A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为5的等差数列C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列题型二等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列．反思感悟在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项．题型三等差数列通项公式的求法及应用例3 在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n .反思感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．跟踪训练3 在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项．(2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)．(1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由；(2)求{a n }的通项公式．[素养评析] (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1．下列数列不是等差数列的是( )A ．1,1,1,1,1B ．4,7,10,13,16C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,22．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－33．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于() A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( )A ．公差为1的等差数列B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列 D ．不是等差数列5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )A ．92B ．47C ．46D ．451．判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1．设数列{a n}(n∈N*)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于() A．4 B．3 C．2 D．12．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为()A．52 B．62 C．－62 D．－523．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为()A．52 B．51 C．50 D．494．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为()A．26 B．29 C．39 D．525．已知在等差数列{a n}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于()A．15 B．22 C．7 D．296．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b等于( ) A.14 B.12 C.13 D.238．(2018·天津市南开中学检测)在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( ) A.12 B.13 C.14 D.16二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a －1,3－a ，则这个数列的通项公式为．10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是．三、解答题12．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，求{a n }的通项公式．13．(2018·辽宁省东北育才中学月考)已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．14．已知数列{a n}中，a1＝1，a n－1－a n＝a n a n－1(n≥2，n∈N*)，则a10＝. 15．已知数列{a n}满足：a1＝10，a2＝5，a n－a n＋2＝2(n∈N*)，求数列{a n}的通项公式．。