8第八章(阻抗和导纳)
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VCR相量形式：
du iC wCU m cos(wt y u 90) wCU m y u 90o dt o w CU y 90 I m y i m u I m cos(wt y i )
m m
U e jy U y 其中：U m m m
包含了正弦电压u(t)的振幅和初相两种信息，所以 U m
称为正弦电压u(t)的电压振幅相量，同样也有电流振幅相 I m 。为了与普通复数相区别，在表示相量的字母上加 量 一点。
如正弦电压： u(t ) 100cos(314 t 600 )
而： i3 (t ) 44.72 cos(wt 33.430 ) o I 44.7233.43
3m
I I I 1m 2m 3m
由此可知，采用相量的代数运算比采用繁琐的三角运算更为 简便，并得出下面的结论： (1)线性性质 表示若干个同频率正弦量线性组合的相量等于表示各个正 弦量的相量的同一线性组合。
2 s域模型 ②
→适用于线性动态电路的一般分析
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯 变换。 1 、 2 两种模型均与电阻模型作类比，从而得 类比 以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这是一 种手段，较简便地得到客观存在的动态电路时 域响应。
上一章曾求解过简单电路的正弦稳态问题，当时是通过待 定系数法求解微分方程的特解得出答案，即使电路简单，但 也显得麻烦。如果把时间的正弦函数变换为相应的复数(相量) 后，解微分方程特解的问题将可化作解代数方程的问题，且 可运用电阻电路的分析方法来处理正弦稳态分析问题，这就 是本章的主要内容。 本章分为两个部分，第一部分在引入阻抗、导纳的基础上 再引入相量模型，强调类比运用已熟悉的电阻电路的解法， 重点在求解电压、电流的瞬时值；第二部分引入相量图法， 重点在求解电压、电流的有效值和相位。
5.04 67.3V u (t ) 5.04 cos(wt 67.3)V U ac ac
变换与反变换均极为容易！原来的三角运算→复数的代数运算。
o o o o o U ab 1060 1060 180 10240 10 120
(d)相量图与波形图 +j
§8-1 变换方法的概念
变换方法的例子，如： 求解 解： ⑴ 取对数（变换） ⑵ 运算（求解） ⑶答案（反变换） 2.35 lg x = lg 5
x
2.35
5
lg 5 0.6989 lg x 0.2974 2.35 2.35
x lg 0.2974 1.983
1
由此例可知： (a)变换方法可使运算简化； (b与直接求解不同，需经三个步骤：变换、求解、反变换； (c)要知道如何“变换”和“反变换”。
o o
i3 (t ) i1 (t ) i2 (t ) 37.32 cos wt 24.64 sin wt
24.64 37.32
44.72 cos(wt 33.43 )mA
o
结论：同频率正弦量之和仍为一同频率的正弦量
由此可设想：i1、i2和i3的关系也可用相量表示。
20 30o i1 (t ) I 1m
如果：A ae j a , B be jb 则：A B abej ( a b )
(4)复数的除法 已知：A= a1 + ja2、B= b1 + jb2 ，则：
A a1b1 a2b2 a2b1 a1b2 j 2 2 2 B b1 b2 b12 b2
如果：A ae j a , B be j b A a j ( a b ) 则： e B b
A a
θ
a1
+1
3.复数的第二种形式 复数A除了可以表示为： A= a1+ja2之外。如右图所示，
+j a2
0
A a
还可以用模与辐角来表示：
A= acosθ+jasinθ = a(cosθ+jsinθ)。 根据欧拉恒等式：ejθ= cosθ+jsinθ
θ
a1
+1
所以A又可以表示为：A= aejθ。这就是复数的另一种形式， 称为复数A的极坐标形式。 在工程上也表示为：A
e jwt ) 假设：f1 (t ) Re( A 1 f (t ) 而：A 1 1
(2)sss电路KCL的相量形式
e jwt ) f 2 (t ) Re( A 2 f (t ) A
f (t ) A 2 2
A 则：f (t ) 1 f1 (t ) 2 f 2 (t ) A 1 1 2 A 2
§8-3 振幅相量
1. 正弦稳态电路的特点 正弦稳态(sinusoidal steady state，简记为sss)电路中所有电 压、电流均为与激励同频率的正弦函数，因此在sss电路中所有 响应与激励仅在振幅、初相方面有差别。电路由三个特征降为 两个特征。 2. 振幅相量 在规定参考方向后，所有响应、激励均可用一个极坐标形式 的复数来表征---模a表明正弦量的振幅；辐角θ表明正弦量的初 相。赋予这一物理意义的复数，称为表征正弦函数的振幅相量。 以电压u(t)为例：
第八章
阻抗和导纳
重提基本结构
一个假设→集总模型（电阻电路和动态电路） 两类约束→VCR + KCL、KVL 三大基本方法 1.叠加方法 2.分解方法 3.变换域方法
模型的化简
---------模型的类比
变换与类比
变换 动态电路的时域模型
变换为
1 相量模型 →适用于正弦稳态分析 ①
注意：
(a)ω=314rad/s，相量本身并不包含ω这一因素。sss电路中所有 正弦量的ω都是一样的，毋需表明。必要时，把它视为相量以 逆时针方向旋转的角速度。 (b)相量图代替波形图，表明振幅和初相，简便直观！
§8-4 相量的线性性质和KCL、KVL的相量形式
通过一个实例说明相量的线性性质和KCL、KVL的相量形式。 已知sss电路的某节点如图所示，电流表达式为：
0 该电压的振幅相量为： U m 100 60
不能画等号，因为振幅相量是正弦波的变换式， u(t)与 U m wt ) 并非正弦波本身，u(t)的完整表示为： u(t ) Re(U m
u(t ) ，即一种对应关系，即： 但可表示为：U m u(t ) 如果：U m wt) 则： u(t ) Re(U m
u(t)= Um cos(wt y )
根据欧拉恒等式：
U me j (wt y ) U m cos(wt y ) jU m sin(wt y )
所以：
u (t ) Re[U m e j (wt y ) ] Re(U m e jy e jwt ) e jwt ) Re(U wt ) Re(U
jy k
jwt Re( U e )0 km k 1
K
其中： U km
Ukme
Ukmy k
U
k 1 K km
根据相量的线性性质，其相量形式 为：
0
例题
o u 10 cos( w t 60 )V, 已知： ab
求： u ac
解一
u bc 8 sin( wt 120 )V,
包含①、②两关系
（相位关系）
①、②—R在sss电路的特点来自u与i成比例
R元件相量图与波形图 +j
U m
0 ψu=ψi
u i
I m
+1
0
ωt
相量图
波形图
2.电容元件VCR的相量形式 在sss电路中，设 时域特点：
du 电容元件VCR时域形式：i C dt
u U m cos(wt y u )
因为：
i
k 1
K
k
0
所以：
jwt Re(I kme ) 0 k 1
K
其中：
I e jy k I y I km km km k
K k 1
I 根据相量的线性性质，其相量形式为： km 0
(3)sss电路KVL的相量形式
因为：
uk 0
k 1
K
所以：
i I m cos(wt y i )
VCR相量形式：
u Ri RI m cos(wt y i ) U m cos(wt y u )
u、i同频率正弦波，且 ① ②
RI m y i U m y u
即
RI U m m
U m RI m （振幅关系）
y u y i
§8-2 复数
1.复数的形式 复数A表示为：A=a1+ja2，其中a1称为实部，a1=Re A，a2称
为虚部，a2=Im A，j称为虚数单位， j 1 。
2.复数的模与辐角 复数A可以表示为复平面上一条 有方向的线段 称为虚轴， OA
+j a2
0
OA ，如右图所
示。其中“+1”称为实轴，“+j” 长度a称为复数 A的模(恒为正)，与实轴的夹角θ 称为复数A的辐角。
o
得：
o u ab U ab 1060 (5 j8.66)V o o 90 u U 8120 (6.93 j4)V
bc bc
(b)复数运算
U U 1.93 j4.66 5.04 67.3V U ac ab bc
(c)反变换
U bc
0
u(t)
-120o
30o -67.5o
+1
0
ubc uac uab ωt
U ab
U ac
uab、ubc、uac的相量图
uab、ubc、uac的波形图
§8-5 三种基本电路元件VCR的相量形式
1.电阻元件VCR的相量形式 电阻VCR的时域形式：u=Ri 在sss电路中，设 时域特点：
+1
i (t ) -5sin( 314t 60° )
的(振幅)相量及相量图。
解 ： (1)振幅相量
+j
o i (t )= -5sin(314t 60 ) o o = 5cos(314t 60 90 ) m =5150 o I
。 5 150 5
。 150 0
+1
(2)相量图
o i2 (t ) I 2m 4060
I 20 30o 4060o I 1m 2m 20[cos( 30o ) j sin( 30o )] 40[cos 60o j sin 60o ] (17.32 j10) (20 j 34.64) 37.32 j 24.64 44.7233.43o
i2 i1
arctan(24.64/37.32)=33.43o
i3
i1 (t ) 20 cos(wt 30 )mA ,
o
i2 (t ) 40 cos(wt 60 )mA ,
o
未知量i3(t)可根据KCL求得：
i1 (t ) 20 cos wt cos 30 o 20 sin wt sin 30 o i2 (t ) 40 cos wt cos 60 40 sin wt sin 60
o
u ac u ab ubc
运用三角方法求解 运用KVL相量形式：
解二
U U U ac ab bc
省略下标m。分三步： (a)、 (b)、 (c)。
(a)把已知正弦量变换为对应的相量。 若选定以cos为标准, sin必须先化为cos，即：
A sin( wt ) A cos(wt 90 )
a
wk.baidu.com
。
4.复数的运算 (1)复数的相等 已知：A= a1 + ja2、B= b1 + jb2
当：a1 = b1 、a2 = b2 时，A=B成立。
(2)复数的加减 已知：A= a1 + ja2、B= b1 + jb2 则：A±B = (a1±b1) + j(a2 ±b2) (3)复数的乘法 已知：A= a1 + ja2、B= b1 + jb2 则：A· B = (a1b1 - a2b2)+ j(a2b1 + a1b2)
u(t)属于正弦函数的时域描述，而振幅相量属于复数域描述。 在不引起混淆时可将振幅相量简称为相量。
2. 相量图 相量在复平面上可用一有向线段 表示，称为相量图。
Umsinψ
+j Um ψ Um
ψ 0
Umcosψ
相量与ejωt的乘积是时间t的复值 函数，在复平面上可用一恒定角速 度ω逆时针旋转的相量表示，因为 乘积的辐角ωt+ψ随时间而增长的。 例题 求：
du iC wCU m cos(wt y u 90) wCU m y u 90o dt o w CU y 90 I m y i m u I m cos(wt y i )
m m
U e jy U y 其中：U m m m
包含了正弦电压u(t)的振幅和初相两种信息，所以 U m
称为正弦电压u(t)的电压振幅相量，同样也有电流振幅相 I m 。为了与普通复数相区别，在表示相量的字母上加 量 一点。
如正弦电压： u(t ) 100cos(314 t 600 )
而： i3 (t ) 44.72 cos(wt 33.430 ) o I 44.7233.43
3m
I I I 1m 2m 3m
由此可知，采用相量的代数运算比采用繁琐的三角运算更为 简便，并得出下面的结论： (1)线性性质 表示若干个同频率正弦量线性组合的相量等于表示各个正 弦量的相量的同一线性组合。
2 s域模型 ②
→适用于线性动态电路的一般分析
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯 变换。 1 、 2 两种模型均与电阻模型作类比，从而得 类比 以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这是一 种手段，较简便地得到客观存在的动态电路时 域响应。
上一章曾求解过简单电路的正弦稳态问题，当时是通过待 定系数法求解微分方程的特解得出答案，即使电路简单，但 也显得麻烦。如果把时间的正弦函数变换为相应的复数(相量) 后，解微分方程特解的问题将可化作解代数方程的问题，且 可运用电阻电路的分析方法来处理正弦稳态分析问题，这就 是本章的主要内容。 本章分为两个部分，第一部分在引入阻抗、导纳的基础上 再引入相量模型，强调类比运用已熟悉的电阻电路的解法， 重点在求解电压、电流的瞬时值；第二部分引入相量图法， 重点在求解电压、电流的有效值和相位。
5.04 67.3V u (t ) 5.04 cos(wt 67.3)V U ac ac
变换与反变换均极为容易！原来的三角运算→复数的代数运算。
o o o o o U ab 1060 1060 180 10240 10 120
(d)相量图与波形图 +j
§8-1 变换方法的概念
变换方法的例子，如： 求解 解： ⑴ 取对数（变换） ⑵ 运算（求解） ⑶答案（反变换） 2.35 lg x = lg 5
x
2.35
5
lg 5 0.6989 lg x 0.2974 2.35 2.35
x lg 0.2974 1.983
1
由此例可知： (a)变换方法可使运算简化； (b与直接求解不同，需经三个步骤：变换、求解、反变换； (c)要知道如何“变换”和“反变换”。
o o
i3 (t ) i1 (t ) i2 (t ) 37.32 cos wt 24.64 sin wt
24.64 37.32
44.72 cos(wt 33.43 )mA
o
结论：同频率正弦量之和仍为一同频率的正弦量
由此可设想：i1、i2和i3的关系也可用相量表示。
20 30o i1 (t ) I 1m
如果：A ae j a , B be jb 则：A B abej ( a b )
(4)复数的除法 已知：A= a1 + ja2、B= b1 + jb2 ，则：
A a1b1 a2b2 a2b1 a1b2 j 2 2 2 B b1 b2 b12 b2
如果：A ae j a , B be j b A a j ( a b ) 则： e B b
A a
θ
a1
+1
3.复数的第二种形式 复数A除了可以表示为： A= a1+ja2之外。如右图所示，
+j a2
0
A a
还可以用模与辐角来表示：
A= acosθ+jasinθ = a(cosθ+jsinθ)。 根据欧拉恒等式：ejθ= cosθ+jsinθ
θ
a1
+1
所以A又可以表示为：A= aejθ。这就是复数的另一种形式， 称为复数A的极坐标形式。 在工程上也表示为：A
e jwt ) 假设：f1 (t ) Re( A 1 f (t ) 而：A 1 1
(2)sss电路KCL的相量形式
e jwt ) f 2 (t ) Re( A 2 f (t ) A
f (t ) A 2 2
A 则：f (t ) 1 f1 (t ) 2 f 2 (t ) A 1 1 2 A 2
§8-3 振幅相量
1. 正弦稳态电路的特点 正弦稳态(sinusoidal steady state，简记为sss)电路中所有电 压、电流均为与激励同频率的正弦函数，因此在sss电路中所有 响应与激励仅在振幅、初相方面有差别。电路由三个特征降为 两个特征。 2. 振幅相量 在规定参考方向后，所有响应、激励均可用一个极坐标形式 的复数来表征---模a表明正弦量的振幅；辐角θ表明正弦量的初 相。赋予这一物理意义的复数，称为表征正弦函数的振幅相量。 以电压u(t)为例：
第八章
阻抗和导纳
重提基本结构
一个假设→集总模型（电阻电路和动态电路） 两类约束→VCR + KCL、KVL 三大基本方法 1.叠加方法 2.分解方法 3.变换域方法
模型的化简
---------模型的类比
变换与类比
变换 动态电路的时域模型
变换为
1 相量模型 →适用于正弦稳态分析 ①
注意：
(a)ω=314rad/s，相量本身并不包含ω这一因素。sss电路中所有 正弦量的ω都是一样的，毋需表明。必要时，把它视为相量以 逆时针方向旋转的角速度。 (b)相量图代替波形图，表明振幅和初相，简便直观！
§8-4 相量的线性性质和KCL、KVL的相量形式
通过一个实例说明相量的线性性质和KCL、KVL的相量形式。 已知sss电路的某节点如图所示，电流表达式为：
0 该电压的振幅相量为： U m 100 60
不能画等号，因为振幅相量是正弦波的变换式， u(t)与 U m wt ) 并非正弦波本身，u(t)的完整表示为： u(t ) Re(U m
u(t ) ，即一种对应关系，即： 但可表示为：U m u(t ) 如果：U m wt) 则： u(t ) Re(U m
u(t)= Um cos(wt y )
根据欧拉恒等式：
U me j (wt y ) U m cos(wt y ) jU m sin(wt y )
所以：
u (t ) Re[U m e j (wt y ) ] Re(U m e jy e jwt ) e jwt ) Re(U wt ) Re(U
jy k
jwt Re( U e )0 km k 1
K
其中： U km
Ukme
Ukmy k
U
k 1 K km
根据相量的线性性质，其相量形式 为：
0
例题
o u 10 cos( w t 60 )V, 已知： ab
求： u ac
解一
u bc 8 sin( wt 120 )V,
包含①、②两关系
（相位关系）
①、②—R在sss电路的特点来自u与i成比例
R元件相量图与波形图 +j
U m
0 ψu=ψi
u i
I m
+1
0
ωt
相量图
波形图
2.电容元件VCR的相量形式 在sss电路中，设 时域特点：
du 电容元件VCR时域形式：i C dt
u U m cos(wt y u )
因为：
i
k 1
K
k
0
所以：
jwt Re(I kme ) 0 k 1
K
其中：
I e jy k I y I km km km k
K k 1
I 根据相量的线性性质，其相量形式为： km 0
(3)sss电路KVL的相量形式
因为：
uk 0
k 1
K
所以：
i I m cos(wt y i )
VCR相量形式：
u Ri RI m cos(wt y i ) U m cos(wt y u )
u、i同频率正弦波，且 ① ②
RI m y i U m y u
即
RI U m m
U m RI m （振幅关系）
y u y i
§8-2 复数
1.复数的形式 复数A表示为：A=a1+ja2，其中a1称为实部，a1=Re A，a2称
为虚部，a2=Im A，j称为虚数单位， j 1 。
2.复数的模与辐角 复数A可以表示为复平面上一条 有方向的线段 称为虚轴， OA
+j a2
0
OA ，如右图所
示。其中“+1”称为实轴，“+j” 长度a称为复数 A的模(恒为正)，与实轴的夹角θ 称为复数A的辐角。
o
得：
o u ab U ab 1060 (5 j8.66)V o o 90 u U 8120 (6.93 j4)V
bc bc
(b)复数运算
U U 1.93 j4.66 5.04 67.3V U ac ab bc
(c)反变换
U bc
0
u(t)
-120o
30o -67.5o
+1
0
ubc uac uab ωt
U ab
U ac
uab、ubc、uac的相量图
uab、ubc、uac的波形图
§8-5 三种基本电路元件VCR的相量形式
1.电阻元件VCR的相量形式 电阻VCR的时域形式：u=Ri 在sss电路中，设 时域特点：
+1
i (t ) -5sin( 314t 60° )
的(振幅)相量及相量图。
解 ： (1)振幅相量
+j
o i (t )= -5sin(314t 60 ) o o = 5cos(314t 60 90 ) m =5150 o I
。 5 150 5
。 150 0
+1
(2)相量图
o i2 (t ) I 2m 4060
I 20 30o 4060o I 1m 2m 20[cos( 30o ) j sin( 30o )] 40[cos 60o j sin 60o ] (17.32 j10) (20 j 34.64) 37.32 j 24.64 44.7233.43o
i2 i1
arctan(24.64/37.32)=33.43o
i3
i1 (t ) 20 cos(wt 30 )mA ,
o
i2 (t ) 40 cos(wt 60 )mA ,
o
未知量i3(t)可根据KCL求得：
i1 (t ) 20 cos wt cos 30 o 20 sin wt sin 30 o i2 (t ) 40 cos wt cos 60 40 sin wt sin 60
o
u ac u ab ubc
运用三角方法求解 运用KVL相量形式：
解二
U U U ac ab bc
省略下标m。分三步： (a)、 (b)、 (c)。
(a)把已知正弦量变换为对应的相量。 若选定以cos为标准, sin必须先化为cos，即：
A sin( wt ) A cos(wt 90 )
a
wk.baidu.com
。
4.复数的运算 (1)复数的相等 已知：A= a1 + ja2、B= b1 + jb2
当：a1 = b1 、a2 = b2 时，A=B成立。
(2)复数的加减 已知：A= a1 + ja2、B= b1 + jb2 则：A±B = (a1±b1) + j(a2 ±b2) (3)复数的乘法 已知：A= a1 + ja2、B= b1 + jb2 则：A· B = (a1b1 - a2b2)+ j(a2b1 + a1b2)
u(t)属于正弦函数的时域描述，而振幅相量属于复数域描述。 在不引起混淆时可将振幅相量简称为相量。
2. 相量图 相量在复平面上可用一有向线段 表示，称为相量图。
Umsinψ
+j Um ψ Um
ψ 0
Umcosψ
相量与ejωt的乘积是时间t的复值 函数，在复平面上可用一恒定角速 度ω逆时针旋转的相量表示，因为 乘积的辐角ωt+ψ随时间而增长的。 例题 求：