高中数学第二章章末综合检测苏教版必修5

合集下载

【苏教版】高中数学同步辅导与检测必修5第2章章末知识整合

章末知识整合[整合·网络构建]专题1 求数列的通项公式一、观察法[典例1] 写出以下数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．(1)－1，12，－13，14；(2)112，245，3910，41617；(3)－3，7，－15，31，…； (4)2，6，2，6，….分析：观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系，每一项分子与分母的关系，前后项间的关系归纳通项．解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，故有：a n ＝(－1)n ·1n .(2)112＝1＋112＋1，245＝2＋2222＋1， 3910＝3＋3232＋1， 41617＝4＋4242＋1， …，故a n ＝n ＋n 2n 2＋1(n ∈N *)．(3)正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n 来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，所以a n ＝(－1)n ·(2n ＋1－1)．(4)这样的摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示．a n ＝4＋(－1)n·2或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 （n 是奇数），6 （n 是偶数）.归纳拓展(1)观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键．(2)由数列的前n 项归纳出的通项公式不一定唯一．如数列5，0，－5，0，5，…的通项公式可为5cos （n －1）π2(n ∈N *)，也可为a n ＝5sin n π2(n ∈N *)．(3)已知数列的前n 项，写出数列的通项公式时，要熟记一些特殊数列．如{(－1)n}，{n }，{2n －1}，{2n }，{2n －1}，{n 2}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 等，观察所给数列与这些特殊数列的关系，从而写出数列的通项公式．[变式训练]1．写出下列数列的一个通项公式． (1)1，－14，19，－116，…；(2)2，6，23，25，…； (3)1，3，6，10，15，…； (4)1，－4，7，－10，13，….解：(1)a n ＝(－1)n ＋11n2(n ∈N *)．(2)原数列可写成2， 6，12，20，…，易得a n ＝n （n ＋1）(n ∈N *)．(3)因为3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，15＝1＋2＋3＋4＋5，…，所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2(n ∈N *)．(4)因为1，4，7，10，13，…组成1为首项，3为公差的等差数列，易得a n ＝(－1)n ＋1(3n －2)(n ∈N *)．二、利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求a n[典例2] 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N ＋)，求a n 的通项公式．分析：利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），将式中的S n 去掉求解．解：当n ＝1时，a 1＝5S 1－3＝5a 1－3，得：a 1＝34，当n ≥2时，由已知a n ＝5S n －3，得：a n －1＝5S n －1－3，两式作差得a n －a n －1＝5(S n －S n －1)＝5a n ，所以a n ＝－14a n －1.所以数列{a n }是首项a 1＝34，公比q ＝－14的等比数列．所以a n ＝a 1·q n －1＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n －1.归纳拓展已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是a n＝S n －S n －1(n ≥2)．这里常常因为忽略了n ≥2的条件而出错，即由a n ＝S n －S n －1求得a n 时的n 是从2开始的自然数，否则会出现当n ＝1时S n －1＝S 0，而与前n 项和定义矛盾．可见由a n ＝S n －S n －1所确定的a n ，当n ＝1时的a 1与S 1相等时，a n 才是通项公式，否则要用分段函数表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[变式训练]2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求{a n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1，而T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1.(2)n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n－1－2n ＋1.所以S n ＝2S n －1＋2n －1，① S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1.② ②－①得a n ＋1＝2a n ＋2，即a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，亦即a n ＋1＋2a n ＋2＝2.a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，a 2＋2a 1＋2＝2，所以{a n ＋2}是首项为3，公比为2的等比数列．所以a n ＋2＝3·2n －1，故a n ＝3·2n －1－2(n ∈N *)．三、叠加法[典例3] 已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n －n . (1)求a 2，a 3；(2)求证：a n ＝2n－n （n －1）2－1.分析：由数列{a n }的递推公式，令n ＝1，2逐项求出a 2，a 3；由递推公式的特点，可采用叠加法求通项．(1)解：因为a 1＝1，所以a 2＝a 1＋2－1＝2， a 3＝a 2＋22－2＝4.(2)证明：因为a n ＋1－a n ＝2n －n ，所以a 2－a 1＝21－1，a 3－a 2＝22－2，a 4－a 3＝23－3，…，当n≥2时，a n－a n－1＝2n－1－(n－1)．所以n≥2时，将以上(n－1)个式子相加，得a n－a1＝(21＋22＋…＋2n－1)－[1＋2＋…＋(n－1)]，所以a n＝2n－n（n－1）2－1.而n＝1时，a1＝1也适合上式．所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－n（n－1）2－1.归纳拓展(1)对n＝1时，检验a1＝1是否满足a n＝3n－12是必要的，否则就要写成分段函数的形式．(2)如果给出数列{a n}的递推公式为a n＝a n－1＋f(n)型，并且{f(n)}容易求和，这时可采用叠加法．对n＝1检验是必要的，否则就要写成分段函数的形式，这里说的f(n)易求和，指的是f(n)的形式为等差数列前n项和、等比数列前n项和，或是常见的特殊公式，如12＋22＋32＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）6等．[变式训练]3．已知数列{a n}满足a n＋1＝a n＋n2，且a1＝1，求{a n}的通项公式．解：因为a n＋1＝a n＋n2，所以a n＋1－a n＝n2.所以⎩⎪⎨⎪⎧a2－a1＝12，a3－a2＝22，…a n－a n－1＝（n－1）2.叠加即得a n－a1＝12＋22＋…＋(n－1)2＝（n－1）n（2n－1）6，所以a n ＝16n (n －1)(2n －1)＋1(n ∈N *)．四、叠乘法[典例4] 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋2)a n ，求a n . 分析：数列{a n }中的递推公式可化为a n ＋1a n ＝n ＋2n 可采用叠乘法求通项．解：因为a n ＋1a n ＝n ＋2n，所以n ≥2时，a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝31×42×53×64×75×…×nn －2·n ＋1n －1＝n （n ＋1）2，即a n a 1＝n （n ＋1）2. 又因为a 1＝1，所以a n ＝n （n ＋1）2.而a 1＝1也适合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝12n (n ＋1)．归纳拓展如果数列{a n }的递推公式为a n ＋1a n＝f (n )型时，并且{f (n )}容易求前n项的积，这时可采用叠乘法．叠乘的目的是使分子、分母相抵消．[变式训练]4．在数列{a n }中，已知a 1＝14，a n ＋1＝2n a n ，求a n .解：由a n ＋1＝2na n 得a n ＋1a n＝2n，所以a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1.叠乘得a n a 1＝2×22×…×2n －1＝2n （n －1）2，所以a n ＝2n （n －1）2·14＝2n 2－n －42(n ∈N *)．五、构造转化法[典例5] 已知{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝12a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求a n .分析：两边同除以⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，可转化为b n ＋1＝b n ＋t 的形式，即{b n }为等差数列．解：在a n ＋1＝12a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1的两边同乘以2n ＋1，得2n ＋1a n ＋1＝2n a n＋1，令b n ＝2n a n ，则b n ＋1＝b n ＋1.于是{b n }是以53为首项，以1为公差的等差数列．则b n ＝53＋(n －1)·1，即2n a n ＝n ＋23，故a n ＝n ＋232n .归纳拓展根据已知条件构造一个与{a n }有关的新的数列，通过新数列通项公式的求解求得{a n }的通项公式．新的数列往往是等差数列或是等比数列．例如形如a n ＝pa n －1＋q (p ，q 为常数)的形式，往往变为a n －λ＝p (a n －1－λ)，构成等比数列，求a n －λ通项公式，再求a n .[变式训练]5．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n －2，求a n . 解：由a n ＋1＝3a n －2，设a n ＋1＋k ＝3(a n ＋k )，其中k 是待定系数，即a n ＋1＝3a n ＋2k 与条件进行对比，得2k ＝－2，所以k ＝－1. 故a n ＋1－1＝3(a n －1)，所以{a n －1}是2－1＝1为首项，公比为3的等比数列．所以a n －1＝1×3n －1. 所以a n ＝3n －1＋1(n ∈N *)．专题2 数列的求和一、公式法[典例6] (1)求1＋4＋7＋…＋(3n ＋1)的值；(2)若数列{x n }满足log a x n ＋1＝1＋log a x n (n ∈N *，a ＞0，且a ≠1)且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，求x 101＋x 102＋…＋x 200的值．分析：(1)中1，4，7，…，3n ＋1是个等差数列，但容易这样求解：S n ＝n [1＋（3n ＋1）]2＝3n 22＋n .这是错误的，错在没搞清此数列有多少项．(2)可以作个变换log a x n ＋1－log a x n ＝log a x n ＋1x n ＝1，推导出{x n }是等比数列再求解．解：(1)因为数列中3×0＋1＝1，所以第1项1是n ＝0时得到的．所以此数列是首项为1，末项为3n ＋1，项数为n ＋1的等差数列．所以S n ＝（n ＋1）[1＋（3n ＋1）]2＝3n 22＋5n2＋1.(2)由log a x n ＋1＝1＋log a x n 得log a x n ＋1－log a x n ＝1，所以log a x n ＋1x n ＝1.所以x n ＋1x n＝a .所以数列{x n }是公比为a 的等比数列．由等比数列的性质得：x 101＋x 102＋…＋x 200＝(x 1＋x 2＋…＋x 100)a 100＝100×a 100.归纳拓展数列求和常用的公式有：等差数列：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d .等比数列：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.∑k ＝1nk ＝1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)．∑k ＝1nk 2＝12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．[变式训练]6．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若{c n }是1，1，2，…，求{c n }的前10项之和．解：设{a n }的首项为a ，公比为q ，{b n }首项为b ，公差为d ，b 1＝0，由c 1＝a 1＋b 1＝1，知a 1＝1.c 2＝a 2＋b 2＝q ＋d ＝1， c 3＝a 3＋b 3＝q 2＋2d ＝2，解得q ＝2，d ＝－1，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)， b n ＝1－n (n ∈N *)．所以c n ＝2n －1＋(1－n )(n ∈N *)．所以{c n }前10项和为a 1＋a 2＋…＋a 10＋(b 1＋b 2＋…＋b 10)＝1－2101－2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤10×0＋10×92×（－1）＝978. 二、分组求和法[典例7] 求数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n 为奇数），2n （n 为偶数）的前2n 项和，分析：由数列{a n }的通项可知，数列{a n }中的奇数项构成一个等差数列，偶数项构成一个等比数列，故可将所有奇数项分成一组，将所有的偶数项分成一组求和．解：因为2n 为偶数所以奇数项与偶数项各有n 项，所以S 2n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(22＋24＋26＋…＋22n )＝n [1＋（2n －1）]2＋4（1－4n ）1－4＝n 2＋43(4n －1)．归纳拓展将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，运用的是化归的数学思想，通项变形是这种方法的关键．[变式训练]7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)，求{a n }的前n 项和S n .解：a n ＝n (n ＋1)＝n ＋n 2(n ∈N *)，所以S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋22＋32＋…＋n 2)＝n （n ＋1）2＋n （n ＋1）（2n ＋1）6＝n （n ＋1）（n ＋2）3. 三、裂项相消法[典例8] 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2. 分析：由于通项a n ＝1n 2－1＝1（n ＋1）（n －1）＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －1－1n ＋1(n ≥2)，所以采用裂项相消法．解：因为1n 2－1＝1（n －1）（n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1，所以原式＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1（n －1）－1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝34－2n ＋12n （n ＋1）. 归纳拓展裂项相消求和就是将数列的每一项拆成二项或多项．使数列中的项出现有规律的抵消项，从而达到求和的目的．常见的拆项公式有：(1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1； (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； (3)1n （n ＋1）（n ＋2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）； (4)1a ＋b＝1a －b (a －b )； (5)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)．[变式训练]8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1n 2（n ＋1）2，求{a n }的前n 项和S n .解：因为2n ＋1n 2（n ＋1）2＝（n ＋1）2－n 2n 2（n ＋1）2＝1n 2－1（n ＋1）2，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－142＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1（n ＋1）2＝1－1（n ＋1）2＝n （n ＋2）（n ＋1）2. 四、错位相减法[典例9] 求数列{n ·22n －1}的前n 项和．分析：该数列为非等差非等比数列，其通项a n ＝n ·22n －1可看成一个等差数b n ＝n ，与一个等比数列C n ＝22n －1相应项的积，所以本题可用错位相减法求解．解：S n ＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n ·22n －1，①从而22·S n ＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n ·22n ＋1.②①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．归纳拓展若数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该新数列前n 项和时，常常采用将{a n b n }的各项乘以公比，并向后错一项与{a n b n }的同项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种求和的方法称为错位相减法．[变式训练]9．求和：S n ＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n －2)·2n .解：因为S n ＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋[3(n －1)－2]·2n －1＋(3n －2)·2n ，①2S n ＝1×22＋4×23＋…＋[3(n －1)－2]·2n ＋(3n －2)·2n ＋1，②所以①－②得－S n＝1×2＋3×22＋3×23＋…＋3·2n －(3n －2)×2n ＋1＝3(2＋22＋…＋2n )－(3n －2)·2n ＋1－4＝3(2n ＋1－2)－(3n －2)·2n ＋1－4＝3×2n ＋1－6－3n ·2n ＋1＋2n ＋2－4＝2n ＋2＋3(1－n )·2n ＋1－10.所以S n ＝3(n －1)·2n ＋1－2n ＋2＋10.五、倒序相加法求和[典例10] 已知函数对一切x ∈R ，f (x )＋f (1－x )＝1.求f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)．解：因为S ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)，① 将①式右边反序得S ＝f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f (0)，② ①＋②，得2S ＝n ＋1，所以S ＝n ＋12. 归纳拓展倒序相加法是推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排序(反序)，再把它与原数列相加，这样就得数列{a k ＋a n ＋1－k }(k ＝1，2，…，n )的前n 项和，若该数列为等差(或等比)数列，则{a n }可用倒序相加法求和．[变式训练]10．设f (x )＝x 21＋x 2，求和S ＝f (2 014)＋f (2 013)＋f (2 012)＋…＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014. 解：因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝11＋x 2. 所以f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1. S ＝f (2 014)＋f (2 013)＋…＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014，又S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013＋…＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)，两式相加得2S ＝2 014＋2 013，所以S ＝4 0272. 专题3 数列应用题一、与等差数列有关的实际应用题 [典例11] 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min 可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多长时间？分析：由于本题每隔相等的时间关闭一个水龙头，使每个水龙头放水的时间构成等差数列．故可利用等差数列，前n 项和的知识求解．解：设共有n 个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为x 1，x 2，…，x n ，由已知可知x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1，所以数列{x n}成等差数列．每个水龙头1 min放水124n(这里不妨设水池的容积为1)，所以124n·(x1＋x2＋…＋x n)＝1，即S n＝24n.所以n（x1＋x n）2＝24n.所以x1＋x n＝48.又因为x n＝5x1，所以6x1＝48.所以x1＝8，x n＝40.故最后关闭的水龙头放水40 min.归纳拓展建立数学模型的一般步骤：(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题；②弄清题目中的主要已知事项；③明确所求的结论是什么．(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，根据题意列出满足题意的数学关系式(如函数关系式或方程或不等式)．建立数列模型时，应明确是否是等差数列模型，是求a n，还是求S n，n是多少．[变式训练]11．有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同金额，这是零存，到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取，它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×⎣⎢⎡⎦⎥⎤存期＋12存期×（存期＋1）×利率. (1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元，月利率为5.1‰，则到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额，月利率是5.1‰，希望到第12个月底取得本利和2 000元，那么每月初应存入多少钱？解：(1)设每期存入金额为A ，每期利率为p ，存的期数为n ，则各期利率之和为Ap ＋2Ap ＋3Ap ＋…＋nAp ＝12n (n ＋1)Ap ，连同本金可得本利和nA ＋12n (n ＋1)Ap ＝A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋12n （n ＋1）p . (2)当A ＝100，p ＝5.1‰，n ＝12时，本利和＝100×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12×12×13×5.1‰＝1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形，得A ＝本利和n ＋12n （n ＋1）p ＝2 00012＋12×12×13×5.1‰≈161.32(元)，即每月初应存入161.32元．二、与等差、等比数列有关的综合应用题[典例12] 某工厂三年的生产计划中，从第二年起，每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划的年产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同，求原计划中每年的产值．分析：将实际问题转化为数列，弄清哪部分为等差数列或等比数列，结合等差、等比数列性质求解．解：由题意得原计划三年中每年的产值组成等差数列，设为a－d，a，a＋d(d＞0)，则有(a－d)＋a＋(a＋d)＝300，解得a＝100.又由题意得(a－d)＋10，a＋10，(a＋d)＋11组成等比数列，所以(a＋10)2＝[(a－d)＋10][(a＋d)＋11]．将a＝100代入上式，得1102＝(110－d)(111＋d)，所以d2＋d－110＝0，解得d＝10，或d＝－11(舍)．所以原计划三年中每年的产值分别为90万元、100万元、110万元．归纳拓展读懂题意，将实际问题转化为等差或等比数列问题，找准首项，公差(公比)，弄清求什么．混合型应用题常有两种解法：一是归纳法，归纳出前n次(项)，寻找规律，再写出前n次(项)的通项(前n项和)，此时要注意下标或指数的规律．二是逆推法，寻找前后两项的逆推关系，再从逆推关系求a n，S n，此时应注意第(n－1)次变到第n次的变化过程．[变式训练]12．某地房价从2004年的1 000元/m2增加到十年后2014年的5 000元/m2，问平均每年增长百分之几？[注意：当x∈(0，0.2)时，ln(x＋1)≈x，取lg 2＝0.3，ln 10＝2.3]解：设年增长率为x，则每年的房价依次排列组成首项为1 000，公比为(1＋x)的等比数列．由题意可得1 000×(1＋x)10＝5 000，即(1＋x)10＝5.取自然对数有10ln(1＋x)＝ln 5＝ln 10×lg 5＝2.3×(1－lg 2)＝1.61，再利用ln(x＋1)≈x，可得x≈ln 510≈0.16＝16%.故每年约增长16%.。

高中数学必修5第二章综合测试(答案)

1 高中数学必修五第二章数列1．如果,,1)()1(*∈+=+N n n f n f 且,2)1(=f 则=)100(f （）A.99B.100C.101D.1022．已知数列｛n a ｝的前n 项和n S =3n a －2,那么下面结论正确的是（）A ．此数列为等差数列B ．此数列为等比数列C ．此数列从第二项起是等比数列D ．此数列从第二项起是等差数列3．在等比数列｛n a ｝中，,60,482==n n S S 则n S 3等于（） A.26 B.27 C.62 D.63 4. 等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（） A 、23 B 、2131n n -- C 、2131n n ++ D 、 2134n n -+ 5. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前100项和为（） (A) 100101 (B) 99101(C) 99100 ( D) 101100 6.已知等比数列{}n a 的前n 项为n S ,33S =,627S =，则此等比数列的公比q 等于（）A ．2B ．2-C ．21D ．12- 7．若数列{}n a 是等差数列，1233a a a ++=，5679a a a ++=，则4a = .8.在等比数列{}n a 中，3254=a a ，=+++82212log log log a a a .9.设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = _______10．设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+（I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）求数列{}n a 的通项公式.11.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．(1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<．。

苏教版高中数学(必修5)单元测试-第二章

12．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q＝_____.
13．已知数列{an}中，an＝则a9＝(用数字作答)，设数列{an}的前n项和为Sn，则S9＝(用数字作答).
14．已知等比数列{an}的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为．
15．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝8，a4＋a5＋a6＝－4，则a13＋a14＋a15＝，该数列的前15项的和S15＝.
7．在等差数列{an}中，3(a2＋a6)＋2(a5＋a10＋a15)＝24，则此数列前13项之和为()．
A．26B．13C．52D．156
8．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于()．
A．160B．180C．200D．220
9．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于()．
A． B．1＋ C． D．2＋
5．过圆x2＋y2＝10x内一点(5，3)有k条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为数列的末项ak，若公差d∈ ，则k的取值不可能是()．
A．4B．5C．6D．7
6．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()．
A．15B．30C．31D．64
16．等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝．
三、解答题
17．设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且＝9S2，S4＝4S2，求数列{an}的通项公式．
18．设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项和S10＝110且a1，a2，a4成等比数列．

苏教版高中数学五(必修)第二章《数列》单元测试试卷

苏教版高中数学五（必修）第二章《数列》单元测试试卷时间:100分钟满分:100分班级 __________ 姓名 ______________ 学号 _________、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项，请将每题答案写在下面的表格中）1.在数列 1, 1 , 2, 3, 5, 8, x , 21, 34, 55,…中，X 等于A • 11B • 12C . 13D . 142. 在数列｛ a n ｝中， a 〔— 2 , 2a n 1=1, 则a 101的值为A • 49B • 50C . 51D . 52 1 23 n3. 已知数列1011 , 1011 ,10石，…，10 11 . …，使数列前n 项的乘积不超过105的最大正整数n 是A • 9B•10 C . 11D . 124.在公比为整数的等比数列 ①』中，如果a1 - a 4 =18,a 2a 3 =12,那么该数列的前项之和为225A • 513B • 512C . 510D .8 5. 等差数列｛a n ｝中，a 1a 4 a^ — 39 , a3 a 6 a^ — 27 , 则数列｛a n ｝的前9项的和S 9等于A • 66B • 99C . 144D . 297 6. 已知命题甲：“任意两个数 a , b 必有唯一的等差中项”，命题乙：“任意两个数 a , b必有两个等比中项” •则 A •甲是真命题，乙是真命题 B •甲是真命题，乙是假命题 C •甲是假命题，乙是真命题 D •甲是假命题，乙是假命题7. 设S n 是等差数列'a n '的前n 项和，若 —=5，则―9的值为a39 S51A • 1B • - 1C • 2D •-28.在等差数列 a n 坤，若S 4 = 1, S 8 = 4，则a 17 a 18 a 19 a 20的值为 A • 9B • 12C • 16D • 17n-19.数列｛a n ｝、｛b n ｝的通项公式分别是 a n =an+b （a 丰 0, a 、b € R ）, b n =q - （q>1）,则数列｛a n ｝、｛b n ｝中，使a n =b n 的n 值的个数是 A 、2 B 、1 C 、0 D 、可能为0,可能为1,可能为210. 在各项均不为零的等差数列 'a n?中，若a n1-a ；•a n 4 =0（ n 一 2），则务二-4 n 二A. -2E. 0C. 1D. 2、填空题：(本大题共6小题，每小题4分，共24 分)11. 在等比数列中，若a i ,a io 是方程3x 2—2x —6=0的两根，贝U 84 6= _______________________12. 等差数列110, 116, 122, 128，…在［400 , 600］内的共有 _________ 项•213. 已知数列的 S n = n +n +1，贝V a 8+a g +a 10+8仆+a 12= ____________________ 。

苏教版高中数学必修五期末综合测试卷.doc

必修5期末综合测试卷姓名___________学号_________成绩_________第一卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列{}n a 满足0101321=++++a a a a ，则有（）A.01011>+a aB. 01002<+a aC. 0993=+a aD. 5151=a2．设a>0，b>0，则下列不等式中不恒成立的是（）A ．11()()a b a b++≥4 B ．a 3+b 3≥2ab 2 C ．a 2+b 2+2≥2a+2b D ．||a b -≥a b -3. 在ABC ∆中,如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么A 等于（）A. 30B. 60C. 120D. 1504.已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和为（）A.15B.17C.19D.215．如果1032x x -<-，那么22412921x x x x -+--+等于（） A ．2x －1 B ．1－2xC ．3－4xD ．4x －36.在ABC ∆中A= 60，1=b ，面积为3，则CB A c b a sin sin sin ++++的值为（） A. 338 B. 3392 C. 3326 D. 239 7.若等比数列的前n 项和n S 满足3231510=S S ,则公比q 为（）A.21-B. 21 C.-2 D.与首项1a 有关 8．如果kx 2－2x+6k<0，（k ≠0）的解集为全体实数，则k 的取值范围是（） A ．k>66 B ．k<66- C ．k>66或k<66- D ．k 为任意实数 9.一个三角形三个内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则这三内角所成等差数列的公差为（） A.0 B. 12π C. 6π D. 4π 10、.已知钝角三角形三边成等差数列，公差为1，其最大角不超过 120，则最小边的取值范围是 ( )A.30≤<aB.323<≤a C.32≤<a D.251<≤a 11.若数列{}n a 的前n 项和)23(21n n n n S -=，则这个数列（） A.是等差数列非等比数列 B.是等比数列非等差数列C.既是等差数列也是等比数列D.既非等差数列也非等比数列 12．满足约束条件3210411,x y x y x y Z+⎧+<⎪+≤⎨⎪∈⎩的目标函数z=5x+4y 的最大值（）A ．12B ．13C ．14D ．15第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．设全集U=R ，集合A={x| x 2－4x+3≤0}，B={x| (x －1)(x －a)<0}，且A ⊆B ，则实数a的取值范围是_______________.14.在ABC ∆中，B b A a cos cos =,在ABC ∆是_________三角形.15.数列{}n a 中，11=a ，对于所有2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a _____.16．已知232x y+=，（x>0，y>0），则xy 的最小值是______________. 三、（第17小题）、解答题：本小题满分12分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17．在ABC ∆中，已知A ＞B ＞C ，且A=2C ，b=4，a+c=8，求a 、c 的长。

苏教版数学高二-必修五章末检测第2章数列 (A)

第2章数列(A)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 011，则序号n 等于________．2．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________.3．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为________．4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于________．5．已知在等差数列{a n }中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．6．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4＝________.7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q ＝________.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝________.910．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是______秒．11．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝________. 12．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 取到最大值的n 是________．13．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的第________项． 14．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0.给出下列结论：①0<q <1；②a 99·a 101－1<0；③T 100的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是______．(填写所有正确的序号)二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．16．(14分)已知等差数列{a n}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{a n}的前n项和S n. 17．(14分)已知数列{log2(a n－1)} (n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1a n＋1－a n<1.18．(16分)在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋2n.(1)设b n＝a n2n－1.证明：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的前n项和．19．(16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12S n (n ＝1,2,3，…)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝log 32(3a n ＋1)时，求证：数列{1b n b n ＋1}的前n 项和T n ＝n 1＋n.20．(16分)已知数列{a n }的各项均为正数，对任意n ∈N *，它的前n 项和S n 满足S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)，并且a 2，a 4，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n ＋1a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T 2n .第2章数列(A)答案1．671解析由2 011＝1＋3(n －1)解得n ＝671.2．15解析在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝a 4＋a 12，∴a 12＝16－1＝15.3．120解析由a 5＝a 2q 3得q ＝3.∴a 1＝a 2q＝3，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3(1－34)1－3＝120. 4．180解析 ∵(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝3(a 1＋a 20)＝－24＋78＝54，∴a 1＋a 20＝18.∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝180. 5．－4解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝23＋5d ≥0a 7＝23＋6d <0，解得－235≤d <－236， ∵d ∈Z ，∴d ＝－4.6．8解析 ∵a 2＋a 6＝34，a 2·a 6＝64，∴a 24＝64， ∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8.7．－1或2解析依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0.∴q ＝－1或q ＝2.8．3∶4解析显然等比数列{a n }的公比q ≠1，则由S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝12⇒q 5＝－12，故S 15S 5＝1－q 151－q 5＝1－(q 5)31－q 5＝1－⎝⎛⎭⎫－1231－⎝⎛⎭⎫－12＝34. 9．n 2＋n解析由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .10．15解析设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式得na 1＋n (n －1)d 2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15.11.1316解析因为a 23＝a 1·a 9，所以(a 1＋2d )2＝a 1·(a 1＋8d )．所以a 1＝d .所以a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝1316. 12．20解析 ∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ，∴99－105＝3d .∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400.∴当n ＝20时，S n 有最大值．13．50解析将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个，即⎝⎛⎭⎫11，⎝⎛⎭⎫12，21，⎝⎛⎭⎫13，22，31，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，2n －1，…，n 1，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.14．①②④解析 ①中，⎩⎪⎨⎪⎧ (a 99－1)(a 100－1)<0a 99a 100>1a 1>1⇒⎩⎨⎧a 99>10<a 100<1⇒q ＝a 100a 99∈(0,1)，∴①正确． ②中，⎩⎨⎧ a 99a 101＝a 21000<a 100<1⇒a 99·a 101<1，∴②正确． ③中，⎩⎨⎧T 100＝T 99·a 1000<a 100<1⇒T 100<T 99，∴③错误． ④中，T 198＝a 1a 2…a 198＝(a 1·a 198)(a 2·a 197)…(a 99·a 100)＝(a 99·a 100)99>1，T 199＝a 1a 2…a 198·a 199＝(a 1a 199)…(a 99·a 101)·a 100＝a 199100<1，∴④正确．15．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0.解得a 1＝－10，d ＝2.所以a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12.(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，q ＝3.所以数列{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 1(1－q n )1－q＝4(1－3n )． 16．解设{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，d ＝－2. 因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．17．(1)解设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ，所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1. 18．(1)证明由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知，b n ＝n ，a n 2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1. ∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.19．(1)解由已知⎩⎨⎧ a n ＋1＝12S n ，a n ＝12S n －1(n ≥2)，得a n ＋1＝32a n (n ≥2)． ∴数列{a n }是以a 2为首项，以32为公比的等比数列．又a 2＝12S 1＝12a 1＝12，∴a n ＝a 2×(32)n －2(n ≥2)． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，12×(32)n －2， n ≥2.(2)证明 b n ＝log 32(3a n ＋1)＝log 32[32×(32)n －1]＝n . ∴1b n b n ＋1＝1n (1＋n )＝1n －11＋n. ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －11＋n) ＝1－11＋n ＝n 1＋n. 20．解 (1)∵对任意n ∈N *，有S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)，① ∴当n ＝1时，有S 1＝a 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或2.当n ≥2时，有S n －1＝16(a n －1＋1)(a n －1＋2)．② ①－②并整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0. 而数列{a n }的各项均为正数，∴a n －a n －1＝3. 当a 1＝1时，a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，此时a 24＝a 2a 9成立；当a 1＝2时，a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，此时a 24＝a 2a 9不成立，舍去．∴a n ＝3n －2，n ∈N *.(2)T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1) ＝－6a 2－6a 4－…－6a 2n＝－6(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－6×n (4＋6n －2)2＝－18n 2－6n .。

苏教版高中数学必修五第二章综合自我检测.doc

第二章综合自我检测（总分150分，测试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个时符合题目要求的.1.数列}{n a 为等比数列，下列结论中不正确的是（）A.{}2n a 为等比数列 B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为等比数列C.{}n a lg 为等比数列D.{}n a 为等比数列2.等比数列{}n a 的前n 项和为S n =3n+1－a ，则实数a 的值为（） A ．3 B ．31 C ．－3 D ．－31 3.等差数列共有12+n 项，其中奇数项和为132，偶数项和为120，则=n （）A.9B.10C.11D.124.设f(n)=1+3121++……+)(41*∈N n n，则必有 ( ) A ．f(1)=1 B ．f(1)=1+21 C ．f(1)=1+3121+ D ．f(1)=1+413121++ 5.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为（） A. 14 B. 15 C. 16 D. 176.已知 11=a , 131+=+n n n a a a , 给出的数列的第34项是 ( )A . 10334 B. 1001 C . 1041 D . 41 7.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(1个分裂为2个).经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成 ( )A 511个B 512个C 1023个D 1024个8.已知等差数列{a n }的前n 项和分别为n S ，若5418a a -=，8S 则等于（）A ．18B ．36C ．54D ．729.数列n 2421 , ,421 ,21 ,1+++++++ 各项的和为 ( )A ．n n --+221 B.12--n n C.322--+n n D. 222--+n n10.已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 |m －n|=（）A ．1B ．43C ．21D ．83 11.如果某人在听到“神舟六号”飞船安全回收的喜讯，1h 后将这一喜讯传给2个人，这2 个人又以同样的速度各传给未听到喜讯的另2个人，……，如果每人只传2人，这样继续下去，要把喜讯传遍一个有2047人（包括第一个人）的小镇，所需时间为（）A.8hB.9hC.10hD.11h12.若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是：（）A ．4005B ．4006C ．4007D ．4008二、填空题：本大题共4小题，共16分，把答案填在题中横线上.13.在等差数列{}n a 中，若22015105=+++a a a a ，则______24=S .14.在等差数列{}n a 中若8776,S S S S ><，给出以下命题①前七项递增，后面的项递减 ②69S S >③1a 是最大项 ④7S 是n S 的最大项.其中是真命题的有______________.(写出所有满足条件的序号)15.数列 ,325, 164, 83, 42, 21的前10项和=10S _______. 16.如图：n 2(n>4)个正数排成n 行n 列方阵，符号*(1,1,)ij a i n j n i j N ≤≤≤≤∈、表示位于第i 行第j 列的正数，已知每一行的数成等差数列，每一列数成等比数列，且各列数的公比都等于q ，若5.011=a ,124=a ,4132=a ，则q =____46a =_________. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在等差数列{}n a 中，已知10010=S ，10100=S ，求110S .a 11 a 12 a 13 … a 1na 21 a 22 a 23 … a 2n… … …a n1 a n2 a n3 … a nn18.已知等差数列{}n a 中，0≠n a ，公差0≠d ，(1)求证：方程02212=++++n n n a x a x a )(*N n ∈有公共根；(2)设(1)中方程的另一根为{}n b ，求证⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n b 为等差数列.19.已知数列{}n a 的首项11=a ，其递推公式为221+=+n n n a a a )(*N n ∈，求其前五项及它的通项公式.20.用分期付款方式购买总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都支付100万元，并加付此前欠款的利息，设每月利率为1%，若首付300万后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部付清贷款后，买这批住房实际支付多少万元？21.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知).3,2,1(2,111 =+==+n S n n a a n n 证明：（Ⅰ）数列}{nS n 是等比数列；（Ⅱ）.41n n a S =+22.在正项等比数列{}n a 中，n a a a A ++=21，n a a a B 21=，na a a C 11121+++= ， 3,2,1=n .试判断)lg (lg 21C A -与B nlg 1的大小关系.第二章综合自我检测参考答案一、选择题：1.C2.A3.B4.D5.C6.B7.B8.D9.C 10.C 11.C 12.B二、填空题：13.12 14.3、4 15.256509 16.21,83 三、解答题： 17.0 18.略 19.11=a ,322=a ,213=a ,524=a ,315=a ；12+=n a n 20.第10个月应付111万元；全部付清贷款后，买这批住房实际支付2510万元21.略22.)lg (lg 21C A -=B n lg 1。

高中数学苏教版必修五第二章数列单元测试试卷(二)

A． B． C． D．
2．若数列满足 (n )，则称为“梦想数列”，已知数列为“梦想数列”，且，则
A．18B．16C．32D．36
3．已知数列中，＝0，＝1，且当n为奇数时，；当n为偶数时，，则此数列的前20项的和为
A． B． C． D．
4．已知数列的首项＝2，，则＝
A．7268B．5068C．6398D．4028
所以
，
故
．
若，即，即，
可得，所以，
综上，使得的最大的的值为9．
15．
（1）求出An，Bn，Cn的表达式；
（2）为获得尽量多的积分，如果你是一பைடு நூலகம்闯关者，试分析这几种积分方案该如何选择？小明通过试验后觉得自己至少能闯过12关，则他应该选择第几种积分方案？
14．（本小题满分11分）
已知数列的前n项和为，满足 ( )；数列为等差数列．且，．
（1）求数列和的通项公式；
已知为数列的前n项和，，(n )，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
13．（本小题满分10分）
某学习软件以数学知识为题目设置了一项闯关游戏，共有15关，每过一关可以得到一定的积分，现有三种积分方案供闯关者选择．方案一：每闯过一关均可获得40积分；方案二：闯过第一关可获得5积分，后面每关的积分都比前一关多5；方案三：闯过第一关可获得0.5积分，后面每关的积分都是前一关积分的2倍．若某关闯关失败则停止游戏，最终积分为闯过的各关的积分之和，设三种方案闯过n(1≤n≤15且n )关后的积分之和分别为An，Bn，Cn，要求闯关者在开始前要选择积分方案．
（2）若为数列的前n项和，求满足不等式的n的最大值．

苏教版高中数学必修五章末综合测评(二).docx

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是 .【导学号：92862068】【解析】法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，得a 1＋2d ＝2，即a 1＝2－2d .所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 22＝－3，化简得d 2－6d ＋9＝0，所以d ＝3，a 1＝－4.故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝10，所以a 3＝2.所以由a 1＋a 3＝2a 2，得a 1＝2a 2－2，代入a 1＋a 22＝－3，化简得a 22＋2a 2＋1＝0，所以a 2＝－1.公差d ＝a 3－a 2＝2＋1＝3，故a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20. 【答案】 202．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝ . 【解析】法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎨⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝1. ∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5.故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98. 【答案】 983．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝kn 2，若对所有的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，则实数k 的取值范围是．【解析】由S n ＝kn 2，得a n ＝k (2n －1)． ∵a n ＋1>a n ，∴{a n }是递增数列， ∴k >0.【答案】 (0，＋∞)4．已知数列{a n }，a n ≠0，若a 1＝3,2a n ＋1－a n ＝0，则a 6等于．【解析】因为2a n ＋1－a n ＝0，a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝3，公比为q ＝12的等比数列，所以a n ＝a 1q n －1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以a 6＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫126－1＝332.【答案】 3325．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝ .【解析】设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ， ∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1， ∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1.【答案】 16．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝ . 【解析】当n ＝1时，S 1＝2a 1－1， ∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)， ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列， ∴a n ＝2n －1，n ∈N *. 【答案】 2n －1，n ∈N *7．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是．【解析】设三边为a ，aq ，aq 2(q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12，较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12. 【答案】5－128．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知S n T n ＝7nn ＋3，则a 5b 5＝ . 【解析】 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9＝214.【答案】 2149．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是．图1【解析】从题图中可观察图案的构成规律：n ＝1时，有1个；n ＝2时，有3个； n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…… 第n 个图案比第n －1(n ≥2)个图案增加了n 个星星． ∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.【答案】 a n ＝n (n ＋1)210．等比数列{a n }的公比q <0，已知a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，则{a n }的前2 016项和等于．【解析】由a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，得q n ＋1＝q n ＋2q n －1，即q 2－q －2＝0，又q <0，解得q ＝－1，又a 2＝1，∴a 1＝－1， S 2 016＝－1×[1－(－1)2 016]1－(－1)＝0.【答案】 011．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝ .【解析】 ∵a n ＝2n －7，∴a 1＝－5，a 2＝－3，a 3＝－1，a 4＝1， a 5＝3，…，a 15＝23，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝(5＋3＋1)＋(1＋3＋5＋…＋23)＝9＋12×(1＋23)2＝153.【答案】 15312．把正偶数按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，其中每一组都比它的前一组多一个数，那么第11组的第2个数是．【解析】按照题中的分组方法，前10组共有1＋2＋ (10)10×(1＋10)2＝55个偶数，故第10组的最后一个偶数为110，所以第11组的第2个数是114.【答案】 11413．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a 1 元/m 2，顶层由于景观好价格为a 2 元/m 2，第二层价格为a 元/m 2，从第三层开始每层在前一层价格上加价a100元/m 2，则该商品房各层的平均价格为元/m 2.【解析】设第二层到第22层的价格构成数列{b n }，则{b n }是等差数列，b 1＝a ，公差d ＝a100，共21项，所以其和为S 21＝21a ＋21×202·a 100＝23.1a ，故平均价格为123(a 1＋a 2＋23.1a )元/m 2.【答案】 123(a 1＋a 2＋23.1a ) 14．给出数阵： 0 1 … 9 1 2 … 10 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 9 … … …其中每行、每列均为等差数列，则此数阵所有数的和为 .【导学号：92862069】【解析】设b 1＝0＋1＋2＋…＋9，b 2＝1＋2＋3＋…＋10，…，b 10＝9＋10＋…＋18，则{b n }是首项b 1＝45，公差d ＝10的等差数列，∴S 10＝45×10＋10×92×10＝900.【答案】 900二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.【导学号：92862070】(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1,2，…)．(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2得n＝63，所以b6与数列{a n}的第63项相等．16．(本小题满分14分)在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋2n.(1)设b n＝a n2n－1.证明：数列{b n}是等差数列．(2)求数列{a n}的前n项和S n.【解】(1)证明：由已知a n＋1＝2a n＋2n，得b n＋1＝a n＋12n＝2a n＋2n2n＝a n2n－1＋1＝b n＋1.∴b n＋1－b n＝1，又b1＝a1＝1.∴{b n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知，b n＝n，a n2n－1＝b n＝n.∴a n＝n·2n－1.∴S n＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，两边乘以2得，2S n＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n－1＋n·2n，两式相减得，－S n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴S n＝(n－1)·2n＋1.17．(本小题满分14分)数列{a n}的前n项和记为S n，a1＝t，点(S n，a n＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N*.(1)当实数t为何值时，数列{a n}是等比数列．(2)在(1)的结论下，设b n＝log4a n＋1，c n＝a n＋b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n.【解】(1)∵点(S n，a n＋1)在直线y＝3x＋1上，∴a n＋1＝3S n＋1，a n＝3S n－1＋1(n≥2，且n∈N*)．∴a n＋1－a n＝3(S n－S n－1)＝3a n，即a n＋1＝4a n，n≥2.又a 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1＝3t ＋1，∴当t ＝1时，a 2＝4a 1，数列{a n }是等比数列．(2)在(1)的结论下，a n ＋1＝4a n ，a n ＋1＝4n ，a n ＝4n －1，所以b n ＝log 4a n ＋1＝n . c n ＝a n ＋b n ＝4n －1＋n,那么T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n )＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )＝4n －13＋(1＋n )n2.18．(本小题满分16分)已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．【解】 (1)由已知，a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)．当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0，解得q ＝1±52.(2)证明：若q ＝1，则{a n }的每项a n ＝a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然构成等差数列．若q ≠1，由S m ，S n ，S l 构成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)q －1，整理得q m ＋q l ＝2q n ，因此，a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1(q m ＋q l )＝2aq n ＋k －1＝2a n ＋k ，所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．19．(本小题满分16分)设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和S n ，并且对于所有的n ∈N *，都有8S n ＝(a n ＋2)2.(1)写出数列{a n }的前3项；(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程)；(3)设b n ＝4a n ·a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m 的值．【解】 (1)当n ＝1时，8a 1＝(a 1＋2)2， ∴a 1＝2；当n ＝2时，8(a 1＋a 2)＝(a 2＋2)2， ∴a 2＝6；当n ＝3时，8(a 1＋a 2＋a 3)＝(a 3＋2)2， ∴a 3＝10.(2)∵8S n ＝(a n ＋2)2， ∴8S n －1＝(a n －1＋2)2(n >1)，两式相减得：8a n ＝(a n ＋2)2－(a n －1＋2)2，即a 2n －a 2n －1－4a n －4a n －1＝0，也即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0. ∵a n >0，∴a n －a n －1＝4，即{a n }是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.(3)b n ＝4a n ·a n ＋1＝4(4n －2)(4n ＋2)＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1(2n －1)－1(2n ＋1). ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1(2n －1)－1(2n ＋1) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝12－14n ＋2<12. ∵T n <m20 对所有n ∈N *都成立，∴m 20≥12，即m ≥10，故m 的最小值是10.20．(本小题满分16分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与an 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．【解】 (1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d ， a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d . (2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2－32d －d ＝… ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2. 整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－3d )＋2d .由题意，a m ＝4 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000，解得d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1＝1 000(3m－2m＋1)3m－2m.故该企业每年上缴资金d的值为1 000(3m－2m＋1)3m－2m时，经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元．。

苏教版高中数学必修5第2章章末过关检测卷(二)(附答案)

章末过关检测卷(二)(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．在等差数列{a n }中，已知a 6＝8，则前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 解析：由等差数列的求和公式和性质可得：S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝11a 6＝88. 答案：B2．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，＋∞ B ．(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 解析：依题意可知⎩⎨⎧a 9≤0，a 10＞0，即⎩⎨⎧－24＋8d ≤0，－24＋9d ＞0，解得83＜d ≤3.答案：D3．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9根B ．10根C ．19根D ．29根解析：设钢管被放成n 层，则钢管数为S n ＝n （n ＋1）2，当n ＝19时，钢管数为190，当n ＝20时，钢管数为210＞200，故知只能放19层，剩余钢管为10.答案：B4．(2014·天津卷)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1，2a 1－1，4a 1－6.因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1 ·(4a 1－6)．解得a 1＝－12.答案：D5．等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24解析：由等比数列的前三项为x ，3x ＋3，6x ＋6，可得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(此时3x ＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x ＝－3，公比q ＝3x ＋3x ＝2，所以第四项为[6×(－3)＋6]×2＝－24.答案：A6．等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是( )A ．a 11B ．a 10C ．a 9D ．a 8解析：因为数列{a n }的前11项的平均值是5，即a 1＋a 112＝5，故得a 11＝15，又数列前11项的和为55，抽取1项后，余下10项的和为40，故知抽取的项是15，即抽取的项是a 11.答案：A7．等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11解析：由已知a n ＝70＋(n －1)·(－9)＝79－9n . 令a n ＝0得n ＝799，所以n ＝9时，|a 9|＝|－2|＝2，即绝对值最小的项为a 9. 答案：B8．若{a n }，{b n }满足a n ·b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项和为( )A.12B.512C.13D.712解析：b n ＝1a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1（n ＋1）（n ＋2），用裂项法可求{b n }的前10项和为512.答案：B9．将全体正整数排成一个三角数阵(如图所示)，根据图中规律，数阵中第n 行(n ≥3)的从左到右的第3个数是( )1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … … … …A.n （n －1）2B.n （n ＋1）2C.n （n －1）2＋3D.n （n ＋1）2＋3解析：由第一行起每行中的第一个数构成一个数列{a n }，由表格可知a n －a n －1＝n －1，由叠加法可得a n ＝1＋n （n －1）2，故第n 行第3个数为n （n －1）2＋3.答案：C10．各项都是正数的等比数列{a n }中，公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于( )A.－1－52 B ．2＋ 5 C.5＋12 D.5－12解析：由2a 5＝a 3＋a 6，得2a 1q 4＝a 1q 2＋a 1q 5，即2q 2＝1＋q 3，q 2－1＝q 3－q 2，因为q ≠1，所以q 2－q －1＝0，解得q ＝1±52，又a n >0，所以q ＝1＋52.而a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 1q 2（1＋q 2）a 1q 3（1＋q 2）＝1q ＝5－12. 答案：D11．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列．则( )A ．d ＜0B ．d ＞0C ．a 1d ＜0D ．a 1d ＞0解析：因为{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以2a 1a n ＝2a 21＋a 1(n －1)d ，又由于{2a 1a n }为递减数列，所以2a 1a n 2a 1a n ＋1＝2－a 1d ＞1＝20，所以a 1d ＜0.答案：C12．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( )A ．qB ．12qC ．(1＋q )12D ．(1＋q )12－1解析：设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，所以该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2015·课标全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝______．解析：由题意知{a n }为等比数列．首项a 1＝2，公比q ＝2，由S n＝2（1－2n ）1－2＝126，得n ＝6.答案：614．在数列{a n }和{b n }中，b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，a 1＝2，且对任意n ∈N *都有3a n ＋1－a n ＝0，则数列{b n }的通项公式b n ＝________．解析：由3a n ＋1＝a n ，a 1＝2得a n ＝2×13n ＋1，又因为b n ＝a n ＋a n ＋12，所以b n ＝2×13n －1＋2×13n2＝13n －1＋13n ＝43n .答案：43n15．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋2tn ，当且仅当n ＝7时S n 最大，则t 的取值范围是________．解析：数形结合，利用二次函数图象可得对称轴x ＝t ∈(6.5，7.5)．答案：(6.5，7.5)16．(2015·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝__________.解析：因为 a 2，a 3，a 7成等比数列，所以 a 23＝a 2·a 7，所以 (a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.① 又因为 2a 1＋a 2＝1，所以 3a 1＋d ＝1.② 由①②解得a 1＝23，d ＝－1.答案：23－1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)17．(本小题满分10分)(2015·重庆卷)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和为S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝2，3a 1＋3×22d ＝92，解得a 1＝1，d ＝12，故{a n }的通项公式a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12.(2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2，故{b n }的前n 项和T n ＝1×（1－2n ）1－2＝2n －1.18．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{}a n 的公差d 为整数．又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{}a n 的通项公式为a n ＝13－3n (n ∈N *)．(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫110－3n －113－3n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎪⎪⎫110－3n －110 ＝n 10（10－3n ）.19．(本小题满分12分)(2015·北京卷)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a 4＝4＋2(n －1)＝2n ＋2 (n ＝1，2，…)． (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4. 所以b 6＝4×26－1＝128. 由128＝2n ＋2得n ＝63，所以b 6与数列{a n }中的第63项相等．20．(本小题满分12分)(2015·广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列． (1)解：当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．因为 4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以 4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以 a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n＝2a n ＋1－a n2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．21．(本小题满分12分)用分期付款的方式购买某家用电器一件，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天还款一次，每次还款数额相同，20个月还清，月利率为1%，按复利计算．若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，请问买这件家电实际付款多少元？每月还款多少元？(最后结果保留4个有效数字)参考数据：(1＋1%)19＝1.208，(1＋1%)20＝1.220，(1＋1%)21＝1.232.解：由题易得x (1＋1%)19＋x (1＋1%)18＋…＋x (1＋1%)＋x ＝1000(1＋1%)20，即x ·（1＋1%）20－11%＝1 000×(1＋1%)20，所以x ＝1 000×1%×（1＋1%）20（1＋1%）20－1≈55.45，即每月还款55.45元．所以买这件家电实际付款55.45×20＋150＝1 259(元)，每月还款55.45元．22．(本小题满分12分)(2014·课标全国Ⅰ卷)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3，由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而a 1＝32. 所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1. (2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则 S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.。

苏教版高中数学同步辅导与检测：必修5 第2章2.1数列

第2章数列2.1 数列A级基础巩固一、选择题1．下列命题中错误的是( )A．f(n)＝2n－1(n∈N*)是数列的一个通项公式B．数列通项公式是一个函数关系式C．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列答案：C2．下列说法中正确的是( )A．数列2，3，5可表示为{2，3，5}B．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列C．集合{1，3，5，7}与集合{7，5，3，1}是相同的集合D．数列1，3，5，7，…可记为{2n＋1}(n∈N*)解析：考查数列的定义及数列与数集的区别．3．数列1，3，7，15，…的一个通项公式是a n ＝( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2n －1解析：由数列的前四项可知，该数列的一个通项公式为a n ＝2n－1.答案：D4．数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，n 2，n ≥2，则这个数列的前3项是( )A ．1，4，9B ．2，4，9C ．2，1，4D ．2，6，11解析：考查数列的通项．答案：B5．已知数列12，23，34，45，…，nn ＋1，…，则0.96是该数列的第( )A ．20项B ．22项C ．24项D ．26项解析：由a n ＝nn ＋1，令nn ＋1＝0.96，解得n ＝24.即a 24＝0.96.二、填空题6．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n12n ＋1，则a 10＝______；a 2n ＋1＝________．解析：a 10＝(－1)1012×10＋1＝121，a 2n ＋1＝(－1)2n ＋112（2n ＋1）＋1＝－14n ＋3.答案：121 －14n ＋37．已知a n ＝n 2－7n ＋6，则从第________项起{a n }的各项为正数．解析：由n 2－7n ＋6＞0得n ＜1或n ＞6，而n ∈N *，所以n ＞6. 答案：78．由数列53，108，17a ＋b ，a －b 24，…，可得有序数对(a ，b )为________．解析：从上面的规律可以看出⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，a －b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝412，b ＝－112.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫412，－112三、解答题9．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来．(1)a n ＝(－1)n ＋2；(2)a n ＝n ＋1n.解：(1)a 1＝1，a 2＝3，a 3＝1，a 4＝3，a 5＝1.图象如图①所示． (2)a 1＝2，a 2＝32，a 3＝43，a 4＝54，a 5＝65.图象如图②所示．图① 图②10．已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n －23n ＋1.(1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列的项？ (3)判断数列{a n }的单调性，并求数列的最大项、最小项．解：(1)由a n ＝3n －23n ＋1，令n ＝10，得a 10＝3×10－23×10＋1＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得：9n ＝300，所以n ＝1003，由于n 不是正整数，因此，98101不是该数列的项．(3)由于a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1－33n ＋4－⎝⎛⎭⎪⎫1－33n ＋1 ＝9（3n ＋1）（3n ＋4）. 又n ∈N ＋，(3n ＋1)(3n ＋4)>0，所以a n ＋1>a n ，即数列{a n }是递增数列，所以数列中的最小项为a 1＝14，无最大项．B 级能力提升一、选择题11．在数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…的每相邻两项中插入4个数，构成一个新数列，则新数列的第36项( )A ．不是原数列的项B ．是原数列的第7项C ．是原数列的第8项D ．是原数列的第9项解析：在数列中插入四个数后，原数列中的k 项变为新数列中的[5(k －1)＋1]项．依题意得，5(k －1)＋1＝36，解得k ＝8.故选C.答案：C12．数列1，－1，－1，1，1，－1，－1，1，…的一个通项公式可以是( )A ．a n ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4B ．a n ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4 C ．a n ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋1 D ．a n ＝（－1）n ＋1＋12解析：令n ＝1，2，3，检验可知，数列的通项为a n ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫n π2＋π4. 答案：A 13．已知a n ＝n 2－21n2，则数列{a n }中相等的连续两项是( )A ．第9项，第10项B ．第10项，第11项C ．第11项，第12项D ．第12项，第13项解析：假设a n ＝a n ＋1，则有n 2－21n 2＝（n ＋1）2－21（n ＋1）2，解之得n ＝10，所以，相等的连续两项是第10项和第11项．答案：B 二、填空题14．数列32，83，154，245，356，487，…的一个通项公式为________．解析：数列的分母具有明显规律，因而只要进一步观察分子，发现分母比分子的平方小1，故知数列的通项公式为a n ＝（n ＋1）2－1n ＋1＝n 2＋2n n ＋1(n ∈N *)．答案：a n ＝n 2＋2nn ＋1(n ∈N *)15．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n ∈N ＋)，那么a n ＋1－a n等于________．解析：因为a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，所以a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2.所以a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 答案：12n ＋1－12n ＋2三、解答题16．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N ＋)，且{a n }单调递增，求实数k 的取值范围．解：因为a n＝n2－kn，所以a n＋1＝(n＋1)2－k(n＋1)．所以a n＋1－a n＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k. 因为数列{a n}单调递增，所以a n＋1－a n>0，即2n＋1－k>0对n∈N＋恒成立．所以k<2n＋1对任意n∈N＋恒成立．而2n＋1的最小值为3.故只需k<3即可．所以k的取值范围为(－∞，3)．。

2012年苏教数学必修5：第2章章末综合检测

(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上) 1．数列的通项公式为a n＝2n－1，则2047是这个数列的第________项．解析：由2n－1＝2047，∴2n＝2048，∴n＝11.答案：112．在等差数列{a n}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.解析：法一：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，因此，a5＋a8＝18.法二：根据等差数列的性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36218.答案：183．各项不为零的等差数列{a n}中，2a3－a27＋2a11＝0，则a7的值为________．解析：由等差数列的性质知：a3＋a11＝2a7，∴2a3－a27＋2a11＝4a7－a27＝0，∴a7＝0或a7＝4，∵a n≠0∴a7＝4.答案：44．在数列{a n}中，a1＝3且对任意大于1的正整数n，点(a n，a n－1)在直线x－y－3＝0上，则a n＝________.解析：∵当n∈N*且n≥2时，点(a n，a n－1)在直线x－y－3＝0上，∴a n－a n－1＝3，即数列{a n}是首项为3，公差为3的等差数列．∴数列的通项公式为a n＝3＋(n－1)3＝3n，∴a n＝3n2.又∵a1＝3符合a n＝3n2，∴a n＝3n2.答案：3n25.数列{a n}的前20项由如图所示的流程图依次输出的a值构成，则数列{a n}的一个通项公式a n＝________.解析：由流程图知a 1＝0＋1＝1， a 2＝a 1＋2＝1＋2，a 3＝a 2＋3＝1＋2＋3，…，a n ＝a n －1＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＝n (n ＋1)2.答案：n (n ＋1)26．(2010年高考福建卷改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于________．解析：设等差数列的公差为d ，则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6，∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11，∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时S n 取最小值．答案：67．(2010年高考湖北卷改编)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q .∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列．∴a 3＝a 1＋2a 2， ∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ， ∴q 2－2q －1＝0， ∴q ＝1±2. ∵各项都是正数， ∴q ＞0， ∴q ＝1＋2，∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 答案：3＋3 28．一个等比数列，它的前4项和为前2项之和的2倍，则此数列的公比为__________．解析：当q ＝1时，S 4＝2S 2满足题意；当q ≠1时，a 1(1－q 4)1－q ＝2a 1(1－q 2)1－q，∴1＋q 2＝2.∴q ＝1(舍去)，q ＝－1.答案：－1或19．已知数列{a n }中，a n ≠0，若a 1＝3,2a n ＋1－a n ＝0，则a 6＝________. 解析：∵2a n ＋1－a n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝12， ∴数列{a n }是首项a 1＝3，公比q ＝12的等比数列．∴a n ＝a 1q n －1＝3×(12)n －1，∴a 6＝3×(12)5＝332.答案：33210．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________. 解析：∵a 1＝1，a 2＝2，∴{a 2n }是以a 1＝1，公比为4的等比数列．∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 21(1－q n)1－q＝1－4n 1－4＝13(4n －1)．答案：13(4n－1)11．已知a ，b ，c ，d 是公比为2的等比数列，则2a ＋b2c ＋d＝________.解析：将b ，c ，d 都用a 表示，即b ＝2a ，c ＝22a ＝4a ， d ＝23a ＝8a ，∴2a ＋b 2c ＋d ＝2a ＋2a 2×4a ＋8a ＝4a 16a ＝14. 答案：1412．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ改编)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝______.解析：∵a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，且{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 2＝35，a 8＝310.∴a 8a 2＝32，即q 6＝32. ∴q 3＝62.∴a 4a 5a 6＝a 35＝(a 2q 3)3＝(35·62)3＝5 2.答案：5 213．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________．解析：由a 1＋a 3＋a 5＝105，得3a 3＝105， ∴a 3＝35，由a 2＋a 4＋a 6＝99，得3a 4＝99.∴a 4＝33， ∴d ＝－2，∴a n ＝a 4＋(n －4)×(－2)＝41－2n ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0得392≤n ≤412，∴n ＝20时，S n 达到最大值．答案：2014．有限数列A ＝(a 1，a 2，…，a n )，S n 为其前n 项和，定义S 1＋S 2＋…＋S nn为A 的“凯森和”，如有99项的数列(a 1，a 2，…，a 99)的“凯森和”为1000，则有100项的数列(1，a 1，a 2，…，a 99) 的“凯森和”为________．解析：S 1＋S 2＋…＋S 99＝99a 1＋98a 2＋…＋2a 98＋a 99，又S 1＋S 2＋…＋S 9999＝1000，∴99a 1＋98a 2＋…＋2a 98＋a 99＝99000，对A ＝(1，a 1，a 2，…，a 99)来说，设其“凯森和”为x ，则 100x ＝100×1＋(99a 1＋98a 2＋…＋2a 98＋a 99) ＝100＋99000， ∴x ＝991.答案：991二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋14n ＋27求a 11b 11. 解：法一：∵a 11＝a 1＋a 212，b 11＝b 1＋b 212， ∴a 11b 11＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝212(a 1＋a 21)212(b 1＋b 21)＝S 21T 21. ∵S n T n ＝7n ＋14n ＋27，∴S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43.∴a 11b 11＝43. 法二：设S n ＝(7n ＋1)kn ，T n ＝(4n ＋27)kn .由a n ＝S n －S n －1＝(7n ＋1)kn －(7n －6)k (n －1)＝k (14n －6)，b n ＝T n －T n －1＝(4n ＋27)kn －(4n ＋23)k (n －1)＝k (8n ＋23)，可得a 11＝148k ，b 11＝111k .∴a 11b 11＝148k 111k ＝43.17．(本小题满分14分)(2010年高考山东卷)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n . (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·(1n －1n ＋1)，所以T n ＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n 4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).18．(本小题满分16分)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解：(1)∵a n ＋1＝2S n ， ∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝2S n ， ∴S n ＋1S n＝3. 又∵S 1＝a 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公比为3的等比数列． ∴S n ＝3n －1(n ∈N *)．当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2·3n －2，且a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝12·3n －2 n ≥2.(2)T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ，当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2①∴3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1② ①－②得－2T n ＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1＝2＋2·3(1－3n －2)1－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1，∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ≥2)，又∵T 1＝a 1＝1也满足上式，∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ∈N *)．19．(本小题满分16分)某家用电器一件现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812≈1.1)解：设每期应付款x 元，则第1期付款与到最后一次付款所生利息之和为x (1＋0.008)11；第2期付款与到最后一次付款所生利息之和为x (1＋0.008)10，…，第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为：x (1＋0.008)11＋x (1＋0.008)10＋…＋x ＝1.00812－11.008－1x .又所购电器的现价及其利息之和为2000×1.00812，于是有1.00812－11.008－1x ＝2000×1.00812.解得x ＝16×1.008121.00812－1≈175(元)．即每期应付款175元．20．(本小题满分16分)在等比数列{a n }中，a 4＝23，a 3＋a 5＝209.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的公比大于1，且b n ＝log 3a n2，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0，由题意得⎩⎨⎧a 1q 3＝23a 1(q 2＋q 4)＝209，解得q ＝3或13.当q ＝3时，a 1＝281， ∴a n ＝281×3n －1＝2×3n －5；当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×(13)n －1＝2×33－n .(2)由(1)及数列{a n }的公比大于1，得a n ＝2×3n －5.∴b n ＝log 3a n 2＝log 33n －5＝n －5，∴b n ＋1－b n ＝1(常数)，b 1＝－4，∴{b n }是以－4为首项，以1为公差的等差数列， ∴S n ＝n (b 1＋b n )2＝n 2－9n 2.。

苏教版高中数学必修5同步训练第二章章末检测

第二章章末检测1、等比数列,33,66x x x ++,…的第四项等于( ) A.-24B.0C.12D.242、现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9B.10C.19D.293、设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列{}12n a a 为递减数列,则( ) A. 0d < B. 0d > C. 10a d > D. 10a d <4、某工厂月生产总值的平均增长率为q ,则该工厂的年平均增长率为( ) A. q B. 12q － C. ()q +121 D. ()1q +-1215、各项都是正数的等比数列{}n a 中,公比1q ≠,且356,,a a a 成等差数列,则3546a a a a ++等于( ) A.B.C.D.6、将全体正整数排成一个三角数阵(如图所示),根据图中规律,数阵中第n 行(3n ≥)的从左到右的第3个数是( )A.()12n n - B.()12n n + C.()132n n -+ D.()132n n ++ 7、若{}{},n n a b 满足21,32n n n a b a n n ⋅==++,则{}n b 的前10项和为( )A.12 B. 512C. 13D. 7128、等差数列{}n a 的首项为70,公差为9-,则这个数列中绝对值最小的一项为( ) A. 8a B. 9aC. 10aD. 11a9、等差数列{}n a 中, 15a =-,它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项,余下10项的平均值是4,则抽取的是( ) A. 8a B. 9a C. 10a D. 11a10、设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列, n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列,则1a =( ) A. 2 B. 2-C.12 D. 12-11、已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,若237,,a a a 成等比数列,且1221a a +=,则1a = , d = .12、数列{}n a 是等差数列,若11a +,33a +,55a +构成公比为q 的等比数列,则q =__________.13、数列{}n a 中, 12a =,12n n a a +=,n S 为{}n a 的前n 项和,若126n S =,则n =__________.14、在数列{}n a 和{}n b 中, n b 是n a 与1n a +的等差中项, 12a =,且对任意*n N ∈都有130n n a a +-=,则数列{}n b 的通项公式n b =________.15、已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且1212112a a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,34534511164a a a a a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭.1.求{}n a 的通项公式.2.设21n n n b a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,求数列{}n b 的前n 项和n T .答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：由题意知()()23366x x x +=+,即2430x x ++=,解得3x =-或1x =- (舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.2答案及解析：答案：B解析：设钢管被放成n 层,则钢管数为()12n n n S +=,当19n =时,钢管数为190,当20n =时,钢管数为210200>,故知只能放19层,剩余钢管为10.3答案及解析：答案：D 解析：设12na a nb =,则1112n a a n b ++=,由于{}12na a 是递减数列,则1n n b b +>,即11122nn a a a a +>.∵2xy =是单调增函数, ∴111n n a a a a +>,∴()110n n a a a a d -+>, ∴()10n n a a a d -->, 即()10a d ->, ∴10a d <4答案及解析：答案：D 解析：设第一年第1个月的生产总值为1,公比为()1q +,该厂一年的生产总值为()()()21111111S q q q =+++++⋯++.则第2年第1个月的生产总值为()121q +,第2年全年生产总值()()()()12132312211111S q q q q S =++++⋯++=+,所以该厂生产总值的年平均增长率为()2121112111S S S q S S =-=-+-.5答案及解析：答案：D 解析：由5362a a a =+,得4251112a q a q a q =+,即2323221,1q q q q q =+-=-,因为1q ≠,所以210q q --=,解得q =, 又0n a >,所以12q +=. 而()()221353246111121a q q a a a a q a q q ++===++6答案及解析：答案：C 解析：由第一行起每行中的第一个数构成一个数列{}n a ,由表格可知11n n a a n --=-,由叠加法可得()112n n n a -=+,故第n 行第3个数为()132n n -+.7答案及解析：答案：B 解析：()()21113212n n n b a n n n =++==++,用裂项法可求{}n b 的前10项和为512.8答案及解析：答案：B 解析：由已知()()7019799n a n n ⋅=+--=-. 令0n a =得9,79n =所以9n =时9,22a =-=, 即绝对值最小的项为9a .9答案及解析：答案：D解析：试题分析:设抽取的是第n 项. ∵111155,a 40n S S =-=∴15n a =又∵11611,a 55S ==,解得65a =由15a =-61261a a d -==-令1552(1)n =-+-∴11n = 故答案为:D10答案及解析：答案：D 解析：因为等差数列{}n a 的前n 项和为()112n n n S na d -=+,所以124,,S S S 分别为111,21,46a a a --.因为124,,S S S 成等比数列,所以()()21112146a a a -=⋅-.解得11.2a =-11答案及解析：答案：23, 1?- 解析：∵237,,a a a 成等比数列,∴2327a a a =⋅,即()()()211126a d a d a d +=++,化简得132d a =-. 又121231a a a d +=+=,∴1312a =,即12,13a d ==-.12答案及解析：答案：1解析：因为1351,3,5a a a +++成等比,所以()()111141a a d +⋅+++⎡⎤⎣⎦()21121a d =+++⎡⎤⎣⎦,令11a x +=,1d y +=,则()()242x x y x y +=+,即222444x xy x xy y +=++,所以0y =,即10d +=,所以1q =.13答案及解析：答案：6解析：∵12a =,12n n a a +=∴数列{}n a 是首项为2,公比为2的等比数列∴2(12)12612n n S -==- ∴264n = ∴6n =考点:等比数列定义与前n 项和公式14答案及解析：答案：43n 解析：由13n n a a +=,12a =得1132n n a +=⨯,又因为12n n n a b a ++=,所以111122114332333n n n n n nb --⨯+=+==⨯15答案及解析：答案：1.设公比为q ,则11n n a a q -=.由已知,得111123411123411111+2{11164a a q a a q a q a q a q a q a q a q ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭,化简,得212612{64a q a q ==.又10a >,故2q =,11a =,所以12n n a -=.2.由1问知222112n n n n n b a a a a ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭ 111424n n --=++. 因此()11111441244n n n T n --⎛⎫=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭11414214114nn n --=++-- ()1144213n n n -=-++. 解析：1.本题考查了数列通项、前n 项和及方程与方程组的基础知识.设出公比根据条件列出关于1a 与q 的方程,求得1a 与q ,可求得数列的通项公式;2.由1中求得数列通项公式,可求出n b 的通项公式,由其通项公式可知其和可分成两个等比数列,分别求和即可求得.【点评】本题在求数列{}n b 的前n 项和过程中运用了分组求和,这是一种很重要的数学方法,在平时的解题中时常用到,应熟练掌握.。