高等数学1试卷(附答案)

一、填空题(共6小题，每小题３分,共１8分)

1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是

π

。

2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =,则2y dy dx x

=

-

。

3． 函数2

sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2

44

1()3

x x o x -+。

4．

1

1

dx =⎰

。

5． 函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡20π，上的最大值为

6

π

+。

6． 222222lim 12n n

n n n n n n →∞⎛⎫

+++

⎪+++⎝

⎭

＝

4

π。

二、选择题（共7小题,每小题3分,共21分）

１. 设21cos sin ,0

()1,0x x x f x x x x ⎧

+<⎪=⎨

⎪+≥⎩

，则0x =是()f x 的 D 。 A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 Ｃ.振荡间断点 D ．连续点

2. 设()232x x f x =+-,则当0x →时,下列结论正确的是 Ｂ 。

A ．是等价无穷小与x x f )(

B ．同阶但非等价无穷小与x x f )( C.高阶的无穷小是比x x f )( D ．低阶的无穷小是比x x f )(

3.

1

+∞=⎰

C 。

A ．不存在 Ｂ.0 C ．2π D ．π

4. 设()f x 具有二阶连续导数,且(0)0f '=，0

lim ()1x f x →''=-,则下列叙述正确的是 A 。

Ａ.(0)f 是()f x 的极大值 B ．(0)f 是()f x 的极小值 Ｃ.(0)f 不是()f x 的极值 D.(0)f 是()f x 的最小值

5.曲线2x

y d t π-=⎰的全长为 D 。

A ．1

B ．2 C.3 Ｄ．４

6． 当,a b 为何值时,点( 1, 3 )为曲线32

y ax bx =+的拐点？

Ａ 。 A.32a =-

,92b = B. 32a =，92b =- Ｃ.32a =-

，92b =- D. 32a =，92

b = 7. 曲线2x

y x -=⋅的凸区间为 D 。

A.2(,)ln 2-∞- B ．2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2

-∞

三、计算题(共７小题，其中第1~５题每小题６分,

第６～7题每小题８分,共４6分）

1. 2

1lim cos x x x →∞⎛⎫ ⎪⎝

⎭ 解：()2

1

cos lim ,

1

t t t x

t →==原式令

)0

0(

cos ln lim

2

型t

t t e →= (3

分）

t

t t t e cos 2sin lim

⋅-→=

12

e

-

=

(6分)

2. 222,arctan )1ln()(dx y

d t

t y t x x y y 求确定所由参数方程设函数⎩⎨

⎧-=+==。 解:

)]

1[ln()

arctan (2t d t t d dx dy +-=2

21211

1t t t ++-

=2t =, (3分) 22dx y d dx dx dy d ⎪⎭⎫ ⎝⎛=dt dx dt t d 1)2(⋅=212121t t +⋅=t

t 412+=． (6分)

3. 2

(1)

x

x xe dx e +⎰． 解:

=

原式1

(

)1

x

x d e -+⎰ （2分)

=111x x x dx e e -+++⎰ ＝11()11

x x x x x de e e e -+-++⎰

=

ln 11

x x x x e C e e -++++ (6分）

4.

求

40

⎰

解：

(0)t t =≥，则2

2x t dx tdt ==， (2

分）

2

4222

0000

2

2

1

222(1)

111

2[ln1]2ln3

2

t t

tdt dt t dt

t t t

t

t t

===-+

+++

=-++=

⎰⎰⎰⎰

（6分)

5. 设曲线()n

f x x

=在（1, 1) 处的切线与x轴的交点为(,0)

n

x，求n

n

n

x)

(

lim

∞

→

。

解:1

1

(1)n

x

f nx n

-

=

'==，所以()

f x在点(１,１)处的切线方程为:

(1)1

y n x

=-+…….．(*)

(2)

分

由题意知切线(＊)与x轴的交点为(,0)

n

x,

即

n

x

x

n

n

n

1

1

1

)1

(

0-

=

⇒

+

-

=

(5)

分

从而可得:

n

n

n

n

n n

x)

1

1(

lim

)

(

lim-

=

∞

→

∞

→

＝1

-

e．(6)

分

6. 设连续函数)

(x

f满足x

x

f

x

f2

sin

)

(

)

(=

-

+,求积分2

2

2

()sin

I f x x dx

π

π

-

=⎰．解:方程两端同乘2

sin x并从

2

π

-积分到

2

π

,得：

22

22

22

2

22

44

4

()sin()sin

sin2sin2(*)

f x xdx f x xdx

xdx xdx I

ππ

ππ

ππ

π

--

-

+-

===

⎰⎰

⎰⎰)3(分

2

2

2

()sin

f x xdx t x

π

π

-

-=-

⎰又令

22

22

22

()sin()()()sin

f t t dt f t tdt

ππ

ππ

-

-

--=

⎰⎰(5分)