小学奥数数论经典50题

优秀篇

奇偶性

1.（1984 年第1 届迎春杯试题）有6 个学生都面向南站成一行，每回只能有5 个学生向后转，则最

少要转回就能使这6 个学生都面向北．

2.是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 45

若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。

位值原理

3.(2009 年第7 届希望杯5 年级2 试第4 题，5 分)一个十位数字是0 的三位数，等于它的各位数字

之和的67 倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的倍。

4. a ，b ，c 分别是三位数中的不同的数码，用a ，b ，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位

数之和是2234 ，那么另一个三位数是几？

数的整除

5.（2008 年西城实验数学水平测试）一个自然数的末两位数字为17，它的数字和为17，且能被17

整除．请你写出满足条件的最小五位自然数：

6. 300301302303304…998999 能否被11 整除？如果不能，那么余数是多少？

7. 已知一个五位回文数等于45 与一个四位回文数的乘积（即abcba = 45⨯deed ），那么这个五位回文

数最大的可能值是.

8. （2008 年第6 届走美杯4 年级决赛第6 题，10 分）207 ，2007 ，20007 ，等首位是2 ，个位

是7 ，中间数字全部是0 的数字中，能被27 整除而不被81整除的最小数是。

9. 六位数20□□08 能被99 整除，□□是.

10.在小于5000 的自然数中，能被11 整除，并且数字和为13 的数，共有个．

质数、合数

11.（2010 年十一学校试题）与6 互质的最小的合数是多少？

12.（2010 年“数学解题能力展示”六年级初试第5 题）用0～9 这10 个数字组成若干个合数，每个数

字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是．

13.（2009 年西城实验小升初试题）若三个不同的质数ab2c +a = 2006 .求a +b +c 的值.

因数与倍数

14.（2010 年第8 届希望杯6 年级2 试试题）张老师带领六（1）班的学生会种树，学生恰好可平均

分成5 组，已知师生每人种的树一样多，共种树527 棵，则六（1）的学生有人。

15.（1984 年第1 届迎春杯试题）甲数是36 ，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4 ，乙

数应该是．

16.两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是．

17.设a 与b 是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72 ，那么 a 与b 之和可以有

种不同的值．

完全平方数

18.如果1，2，3 ，n 可以这样重排，使得每个数加上它的序号的和都是平方数，那么n 就称为“迎

春数”．例如，自然数1，2，3，4，5 可以重新排列为3，2，1，5，4；这时每个数加上它的序号的和都是平方数，那么5 就是一个“迎春数”．问：在6，7，8，9，10，11 中哪几个是“迎春数”?

19.（2010 年8 月西城实验小升初试题）1512a 是一个完全平方数，则a 的最小值是多少？

20.一个房间中有100 盏灯，用自然数1，2，…，100 编号，每盏灯各有一个开关．开始时，所有的

灯都不亮．有100 个人依次进入房间，第1 个人进入房间后，将编号为1 的倍数的灯的开关按一下，然后离开；第2 个人进入房间后，将编号为2 的倍数的灯的开关按一下，然后离开；如此下去，直到第100 个人进入房间，将编号为100 的倍数的灯的开关按一下，然后离开．问：第100 个人离开房间后，房间里哪些灯还亮着？

21.已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是．

带余除法

22. 123123 123 除以99 的余数是多少？

123个123

23.（2009 年第14 届华杯赛试题）在大于2009 的自然数中，被57 除后，商与余数相等的数共有

个.

24.如果

1 = 1!

1⨯ 2 = 2!

1⨯ 2 ⨯ 3 = 3!

1⨯ 2 ⨯ 3⨯⨯ 99 ⨯100 =100!

那么1!+ 2!+ 3!++100!的个位数字是．

余数综合

25. 对任意的自然数n ，证明A = 2903n - 803n - 464n + 261n 能被1897 整除．

26.一个自然数除429、791、500 所得的余数分别是a 5 、2a 、a ，求这个自然数和a 的值.

27.一个大于10 的数，除以3 余1，除以5 余2，除以11 余7，问满足条件的最小自然数是多少？

28.一个自然数被5、6、7 除时余数都是1，在10000 以内，这样的数共有多少个？

29.一个自然数被7 ，8 ，9 除的余数分别是1 ，2 ，3，并且三个商数的和是570 ，求这个自然数．

整数分拆

30.把14 分拆成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14 如何分拆？

这个最大的乘积是多少？

超常篇

整数分拆

1.把48 分拆成若干个互不相等的自然数之和，且使所有加数的乘积尽可能大，如何分拆？

2.把1993 分拆成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？

数的整除

3. （2005 年第 10 届华杯赛总决赛二试第 4 题，10 分）abc 表示一个十进制的三位数，若abc 等于由

a ，

b ，

c 三个数码所组成的全体两位数的和，写出所有满足上述条件的三位数。

4. 一个自然数的末两位数字为 17，能被 17 整除．满足该条件的最小的五位自然数是多少？

5. 已知 51 位数55 55 25个5 99 9 能被 13 整除，中间方格内的数字是多少？

25个9 位值原理