(完整word版)高三数学空间向量专题复习附答案

一、利用向量处理平行与垂直问题
例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。

求证：AM B A ⊥1
练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？
例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 3
1,31==,求证：//MN 平面CDE
练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE
2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ︒=∠60ABC ，
,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点
F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.
二、利用空间向量求空间的角的问题
例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=4
1A 1B 1，D 1F 1=4
1D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。

例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且
=
11E D 41
D 1C 1,试求直线
E 1
F 与平面D 1AC
例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1C BD A --的大小。

z
x
1
C
F
D C
B
A
例4 已知E,F分别是正方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD-的棱BC和CD的中点，求：
（1）A1D与EF所成角的大小；
（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；
（3）二面角B
B
D
C-
-
1
1
的大小。

三、利用空间向量求空间的距离的问题
例1 直三棱柱AB C-A1B1C1的侧棱AA1，底面ΔAB C
求点B1到平面A1B C的距离。

例2如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2
=
=
=
=BD
CD
CB
CA
2
=
=AD
AB
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD
（III）求点E到平面ACD的距离。

例3如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，
F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。

空间向量与立体几何考点系统复习
一、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题）
例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。

求证：AM B A ⊥1
证明：如图，建立空间坐标系
)2
6
,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),6,0,3(1M A B A )6,1,3(),2
6
,0,3(1--=-=A AM 01=⋅A
练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？
解：以D 为原点建立如图所示的坐标系，
设存在点P （0，0，z ），
AP u u u r =(-a ,0,z )，AC u u u r =(-a ,a ,0)，1DB u u u u r =(a ,a ,a )， ∵B 1D ⊥面
P AC ，∴01=⋅DB ，
01=⋅DB
∴－a 2+az =0∴z =a ，即点P 与D 1重合 ∴点P 与D 1重合时，DB 1⊥面P AC
例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 3
1,31==,求证：//MN 平面CDE 证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF 长分别为3a ,3b ,3c
),0,2(c a BM AB NA NM -=++=
又平面CDE 的一个法向量)0,3,0(b = 由0=⋅ 得到⊥
因为MN 不在平面CDE 内
所以NM//平面CDE
练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE
证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D -xyz
)0,0,1(=,)2
1
,,1,1(=
因为)1,2
1
,0(1-=D
所以0,011=⋅=⋅D D
D D ⊥⊥11,
D DA D
E =I 所以2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ︒=∠60ABC ，
,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点
F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.
解答：根据题设条件，结合图形容易得到：
)3,32,0(,),,0(,)0,2,23(
a
a E a a D a a B - ),0,0(,)0,2
,23(a P a a C
),2,23(a a
a CP --=
假设存在点F
λ=),2
,23(a a
a λλλ--=。

⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=+=a a a CF BC BF λλλ,)21(,23 又)3
,32,
0(a
a AE =，)0,2,23(
a a AC = 则必存在实数21,λλ使得21λλ+=，把以上向量得坐标形式代入得
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧
=-==⇒⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=+=
-=-2321213322)21(2323212211λλλλλλλλλλa a a a a a a 即有23
21+-= 所以，在棱PC 存在点F ，即PC 中点，能够使BF ∥平面AEC 。

二、利用空间向量求空间的角的问题
例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=4
1A 1B 1，D 1F 1=4
1D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。

解：设正方体棱长为4，以1,,DD DC DA 为正交基底，建立如图所示空间坐标系
xyz D -
)4,1,0(1-=BE ,)4,1,0(1=DF ，⋅1BE 1DF ＝15
17
15|
|||,cos 1111=
<DF BE DF BE 例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC =
11E D 4
1
D 1C 1,试求直线
E 1
F 与平面D 1AC 所成角的大小 解：设正方体棱长为1，以1,,DD 为单位正交基底，建立如图所示坐标系D -xyz
1DB 为D 1AC 平面的法向量，)1,1,1(1=DB
)1,43
,21(1-=E
87
87,cos 11>=
<E DB 所以直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的正弦值为
87
87 例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1C BD A --的大小。

解： 求出平面BD A 1与平面BD C 1的法向量
)1,1,1(,)1,1,1(21-=-=n n
3
1
||||,cos 2121=<n n n n
例4 已知E,F 分别是正方体1111D C B A ABCD -的棱BC 和CD 的中点，求： （1）A 1D 与EF 所成角的大小；
（2）A 1F 与平面B 1EB 所成角的大小； （3）二面角B B D C --11的大小。

解：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示坐标系
z
1
C
D -xyz
（1）)1,0,1(1--=A
)0,21
,21(--=
2
1|
|||,cos 11=>=
<EF D A EF D A A 1D 与EF 所成角是060 （2）)1,2
1,1(1--=F A ,)0,1,0(=AB
3
1,cos 11=<A （3）)1,1,1(1-=AC ,)0,1,1(-=AC ，3
6|
|||,cos 11=
>=
<AC AC AC AC 二面角B B D C --11的正弦值为
3
6 三、利用空间向量求空间的距离的问题
例1 直三棱柱AB C-A 1B 1C 1的侧棱AA 1，底面ΔAB C 中，∠C=90°，A C=B C=1，求点B 1到平面A 1B C 的距离。

解1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：
A （1,0,0），
B （0,1,0），
C （0,0,0）A 1（1,0, 3 ），B 1（0,1, 3 ），C 1（0,0, 3 ） ∴A 1 =（－1,1,－ 3 ），C A 1 =（－1,0,－ 3 ）11A B =（1,－1,0） 设平
面
A 1
B C
的一个法向⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
011C A n B A n ⎪⎩⎪⎨
⎧=--=-+-⇒030
3z x z y x ⎪⎩
⎪⎨⎧==-=⇒103z y x
即)1,0,3(-=
所以，点B 1到平面A 1B C 的距离=
=
d 例2如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2====BD CD CB CA
2==AD AB
（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；
（II ）求异面直线AB 与CD
E
F
D C B A （III ）求点
E 到平面ACD 的距离。

解：（I ）略
（II ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则
(1,0,0),(1,0,0),B D -13
3,0),(0,0,1),(,(1,0,1),(1,3,0).22
C A E BA C
D =-=--u u u r u u u r
.2
cos ,,4BA CD BA CD BA CD ∴<>==
u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为2
.4
（III ）解：设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =r
则
.(,,).(1,0,1)0,.(,,3,1)0,
n AD x y z n AC x y z ⎧=--=⎪⎨=-=⎪⎩r u u u r r u u u r 0,
30.x z z +=⎧⎪∴-=
令1,y =得(3,1,3)n =r 是平面ACD 的一个法向量，又13
(2EC =-u u u r
∴点E 到平面ACD 的距离.321
77EC n h n
===u u u r r r
例3如图，直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE ＝EB ，
F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E 的大小；
（Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离。

解（Ⅰ）略
（Ⅱ）以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直线为x 轴， AB 所在直线为y 轴，过O 点平行于AD 的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系O —xyz ，如图. ⊥AE Θ面BCE ，BE ⊂面BCE ， BE AE ⊥∴，
在AB O AB AEB Rt 为中,2,=∆的中点，
).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(1
C E A OE -∴=∴
).2,2,0(),0,1,1(== 设平面AEC 的一个法向量为),,(z y x =， 则⎩⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.022,
0,0,0x y y x n AC 即解得⎩⎨⎧=-=,,x z x y 令,1=x 得)1,1,1(-=是平面AEC 的一个法向量.
x C
A
B
O
D
y
z
E
又平面BAC 的一个法向量为)0,0,1(=，
.3
331|
|||),cos(==⋅=
∴n m ∴二面角B —AC —E 的大小为.3
3arccos
（III ）∵AD//z 轴，AD=2，∴)2,0,0(=， ∴点D 到平面ACE 的距离.33
2
32===d。