算法合集之《从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法》
网络流算法——精选推荐
⽹络流算法2018-03-13 19:02:13在图论中，⽹络流（英语：Network flow）是指在⼀个每条边都有容量（capacity）的有向图分配流，使⼀条边的流量不会超过它的容量。
通常在运筹学中，有向图称为⽹络。
顶点称为节点（node）⽽边称为弧（arc）。
⼀道流必须匹配⼀个结点的进出的流量相同的限制，除⾮这是⼀个源点（source）──有较多向外的流，或是⼀个汇点（sink）──有较多向内的流。
⼀个⽹络可以⽤来模拟道路系统的交通量、管中的液体、电路中的电流或类似⼀些东西在⼀个结点的⽹络中游动的任何事物。
⼀、最⼤流最⼩割定理最⼤流最⼩割定理提供了对于⼀个⽹络流，从源点到⽬标点的最⼤的流量等于最⼩割的每⼀条边的和。
这个定理说明，当⽹络达到最⼤流时，会有⼀个割集，这个割集中的所有边都达到饱和状态。
这等价于在⽹络中再也找不到⼀个从s到t的增⼴路径。
因为只要能找到⼀条增⼴路径，这条增⼴路径肯定要经过最⼩割集中的⼀条边，否则这个割集就不能称之为割集了。
既然这个割集中所有的边都饱和了，因此也就不会存在这样的增⼴路径了。
这个定理的意义在于给我们指明了⽅向：任何算法，只要最后能达到“再也找不到⼀条增⼴路径”，就可以说明这个算法最后达到了最⼤流。
⼆、最⼤流问题在优化理论中,最⼤流问题涉及到在⼀个单源点、单汇点的⽹络流中找到⼀条最⼤的流。
最⼤流问题可以被看作是⼀个更复杂的⽹络流问题（如循环问题（circulation problem））的特殊情况,。
s-t流（从源点s到汇点t）的最⼤值等于s-t割的最⼩容量，这被称为最⼤流最⼩割定理。
下⾯举例来说明这个问题：问题描述：给定⼀个有向图G=(V,E)，把图中的边看作管道，每条边上有⼀个权值，表⽰该管道的流量上限。
给定源点s和汇点t，现在假设在s处有⼀个⽔源，t处有⼀个蓄⽔池，问从s到t的最⼤⽔流量是多少。
这个问题有如下的⼀些限制：容量限制：也就是在每条通路上的流量都不能超过其capacity。
数学建模中的网络流问题与算法
数学建模中的网络流问题与算法数学建模是一种将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法求解的过程。
在实际问题中，常常需要解决网络流问题，即在网络中如何最大化或最小化流量的分配问题。
网络流算法是解决网络流问题的重要工具。
本文将分析网络流问题的基本概念和应用，并介绍常用的网络流算法。
一、网络流问题的基本概念1.网络流模型网络流模型是指将实际问题转化为图中节点和边的组合，并进行流量分配的问题。
其中，节点表示供给和需求单位，边表示可以流动的路径。
网络流模型常用于物流、运输、通信等领域的问题求解。
2.流量网络流问题中的流量表示在网络中通过路径的物理量。
流量可以是货物的数量、电信系统中数据的传输速率等。
流量可以是有向的或无向的，有时还会带有容量的限制。
3.割在网络中，将节点集划分为两个互不相交的子集，这个划分称为割。
割可以用来描述流量限制或流量约束。
在最小割问题中，割的容量描述了限制在网络中流量的最小边数。
二、网络流问题的应用1.最大流问题最大流问题是网络流问题中的一种，目标是在网络中从源节点到汇节点找到可行的最大流量。
最大流算法可以用于求解交通流优化问题、工作调度等。
2.最小割问题最小割问题是网络流问题中的另一种形式，目标是在网络中找到一个割，使得割的边数最小。
最小割算法可以用于求解电力系统分析、路网规划等问题。
3.多组源汇问题多组源汇问题是一种特殊的网络流问题，可以有多个源节点和汇节点，并且在每个节点之间还有容量限制。
多组源汇问题在物流调度、通信网络优化等领域有广泛应用。
三、常用的网络流算法1.最大流算法常用的最大流算法有Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法和Dinic算法等。
这些算法利用增广路径或增广路进行迭代，直到无法找到增广路径为止。
2.最小割算法最小割算法有Ford-Fulkerson算法和推进-重贴算法等。
这些算法通过不断削减割的容量来求解最小割问题。
3.二部图匹配算法二部图匹配算法可以看做是一种特殊的网络流算法。
算法设计与分析中的算法与网络流
算法设计与分析中的算法与网络流算法在计算机科学中扮演着重要的角色。
它们是解决问题的步骤和规则的有序集合，可以在计算机上自动执行。
在算法设计与分析的学习中，算法与网络流成为了一个重要的领域。
本文将探讨算法与网络流的关系以及在算法设计与分析中的应用。
一、算法与网络流的关系算法是解决问题的有序步骤，而网络流是一种用来描述物体、信息或能量在网络中传输的模型。
算法可以通过网络流来解决一系列相关问题，例如最短路径、最大流、最小割等。
网络流算法通过建立图模型，将问题转化为图中物体、信息或能量的流动问题，并使用各种技术和策略来解决。
二、网络流算法的应用1. 最短路径问题在网络中，最短路径算法可以用来找到两个节点之间最短路径的长度。
其中一个经典的算法是Dijkstra算法，它通过不断更新起始节点到其他节点的最短路径长度来求解。
另一个常用的算法是Floyd-Warshall算法，它通过动态规划的方式计算任意两个节点之间的最短路径长度。
2. 最大流问题最大流算法可以用来计算网络中从源节点到汇节点的最大流量。
其中最著名的算法是Ford-Fulkerson算法，它通过反复寻找增广路径来不断增加流量，直到达到最优解。
另一个常用的算法是Edmonds-Karp算法，它使用广度优先搜索来寻找增广路径。
3. 最小割问题最小割算法可以用来找到将图划分成两个部分的最小代价。
其中一个著名的算法是stoer-wagner算法，它通过不断合并最小割集合中的节点来计算最小割的大小。
4. 匹配问题匹配算法可以用来找到图中的最大匹配或完美匹配。
其中著名的算法是匈牙利算法，它通过构建交错树来寻找增广路径，从而不断增加匹配的大小。
三、算法设计与分析中的挑战在算法设计与分析中，我们需要考虑如何设计出高效的算法来解决问题。
然而，算法设计中的挑战在于如何权衡时间复杂度和空间复杂度。
某些算法可能会在时间上更高效，但却需要占用大量的空间。
相反，有些算法可能在空间上更高效，但却需要牺牲一些时间。
网络流EK算法讲解
网络流的Edmonds-Karp算法讲解（简称EK算法，时间复杂度为O(m^2n)）首先来看一下基本的网络流最大流模型。
有n个点，有m条有向边，有一个点很特殊，只出不进，叫做源点，通常规定为1号点。
另一个点也很特殊，只进不出，叫做汇点，通常规定为n号点。
每条有向边上有两个量，容量和流量，从i到j的容量通常用c[I,j]表示,流量则通常是f[I,j]。
通常可以把这些边想象成道路，流量就是这条道路的车流量，容量就是道路可承受的最大的车流量。
很显然的，流量<=容量。
而对于每个不是源点和汇点的点来说，可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站，所有”进入”他们的流量和等于所有从他本身”出去”的流量。
把源点比作工厂的话，问题就是求从工厂最大可以发出多少货物，是不至于超过道路的容量限制，也就是，最大流。
比如这个图。
每条边旁边的数字表示它的容量。
下面我们来考虑如何求最大流。
首先，假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量)，那么就把这一组流量，或者说，这个流，称为一个可行流。
一个最简单的例子就是，零流，即所有的流量都是0的流。
我们就从这个零流开始考虑，假如有这么一条路，这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点，并且，这条路上的每一段都满足流量<容量，注意，是严格的<,而不是<=。
那么，我们一定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值del ta。
我们把这条路上每一段的流量都加上这个del ta，一定可以保证这个流依然是可行流，这是显然的。
这样我们就得到了一个更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而这条路就叫做增广路。
我们不断地从起点开始寻找增广路，每次都对其进行增广，直到源点和汇点不连通，也就是找不到增广路为止。
网络流算法介绍与分析共91页文档
网络流算法介绍与分析
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
信息学奥赛网络流算法介绍与分析
信息学奥赛网络流算法介绍与分析网络流算法是指一类用于解决网络中最大流、最小割等问题的算法。
最大流问题是指在网络中找到从源节点到汇节点的最大流量，而最小割问题则是指在网络中找到一个割，使得源节点和汇节点之间的最小边权和。
网络流算法的核心思想是建立一个虚拟的可行流网络，然后通过不断调整网络中各个边的流量来达到最优解。
以下是三种常见的网络流算法介绍与分析。
1. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最经典的网络流算法之一，也是很多网络流算法的基础。
它通过不断寻找增广路径来求解最大流问题。
增广路径是指在残余网络中存在的一条从源节点到汇节点的路径，其各边的残余容量大于0。
通过不断增加该路径上的流量，直到找不到增广路径为止，就可以得到最大流量。
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度取决于增广路径的寻找方式，一般情况下为O(fE)，其中f为最大流量，E为网络中的边数。
2. Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是基于Ford-Fulkerson算法的改进算法，它使用广度优先来寻找增广路径。
在每次寻找增广路径时，Edmonds-Karp算法总是选择路径上经过的边权最小的边作为增广路径中的瓶颈边。
这种选择策略保证了每次增加的流量都是最小的，从而使得算法的收敛速度更快。
Edmonds-Karp算法的时间复杂度为O(VE^2)，其中V为网络中的节点数，E为网络中的边数。
3. Dinic算法Dinic算法是一种快速求解最大流问题的算法，它基于分层残余网络的概念。
分层残余网络是指在残余网络上按照路径长度构建的一种分层结构。
Dinic算法首先通过BFS构建分层残余网络，然后使用DFS在分层残余网络上增广路径。
与Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法相比，Dinic算法避免了重复增广路径的情况，从而大大减少了算法的时间复杂度。
Dinic算法的时间复杂度为O(V^2E)，其中V为网络中的节点数，E 为网络中的边数。
网络流问题及其求解方法
网络流问题及其求解方法网络流问题是指在一个有向图中，给定网络的容量限制，找到从源点到汇点的最大流量。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，比如在运输、通信、电力等领域。
本文将介绍网络流问题以及几种常见的求解方法。
1. 网络流问题的定义网络流问题可以用有向图来表示。
图中的每条边具有一个容量，表示该边能够通过的最大流量。
同时，图中有一个源点，表示流量的起点，以及一个汇点，表示流量的终点。
问题的目标是找到从源点到汇点的最大流量。
2. 求解方法一：最短增广路径算法最短增广路径算法是一种基于广度优先搜索的方法。
算法的思想是在图中不断寻找增广路径，即从源点到汇点且每条边的流量都满足容量限制的路径。
然后通过增加路径上的流量来更新网络的流量，并继续寻找下一个增广路径。
直到找不到增广路径为止，即可得到最大流量。
3. 求解方法二：最大流-最小割定理最大流-最小割定理是网络流问题的一个重要性质。
该定理指出，网络的最大流量等于它的最小割。
最小割是指将网络分成两个部分，一部分包含源点，另一部分包含汇点，并且割边的总容量最小。
根据该定理，可以通过寻找最小割来求解网络流问题。
4. 求解方法三：Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种经典的求解网络流问题的方法。
该算法通过不断寻找增广路径来更新网络的流量，直到无法再找到增广路径为止。
算法的关键在于如何选择增广路径，一种常见的选择策略是使用深度优先搜索。
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度与最大流的大小有关，一般情况下为O(fE)，其中f为最大流量，E为图中边的数量。
总结：网络流问题是一个重要的优化问题，在实际应用中具有广泛的应用。
本文介绍了网络流问题的定义以及几种常见的求解方法，包括最短增广路径算法、最大流-最小割定理和Ford-Fulkerson算法。
这些算法都可以有效地求解网络流问题，并在实践中得到广泛应用。
通过研究网络流问题及其求解方法，可以为实际问题的建模和解决提供有力的工具。
算法合集之《浅谈网络流算法的应用》
例 一
赛车问题
问题描述
构 图
优 化
1、建立N个点代表阿P的N辆车，分别以1到N标号； 2、建立N个点代表阿Q的N辆车，分别以N+1到2N标号； 3、如果阿P的第I辆车能够跑赢阿Q的第J辆车，则加一条弧IN+J， 容量为1，表示两辆四驱车最多只能交手一次； 4、增加一个源点S，S与 1到N中的每一个结点I都连一条弧SI，容 量为阿P的第I辆车的寿命；
2、顶点i（1≤i≤n）到顶点i+n； 3、i+n（1≤i≤n）到t；
4、i+n(（1≤i<n-a）到i+a+1；
5、i+n(（1≤i<n-b）到i+b+1 且容量、费用、第2类弧的流量都是固定，所以只要用四个1..n的数 组分别存储剩下的四类弧的流量即可，这样只需要4*1000*2/1024≈8KB。
你的任务就是：合理的安排列车的进站与出站，使得车站的总获利最 大。
{如果列车a从第i车道离开时，列车b刚好到站（即Reach[a]+Stay[a] =Reach[b]），则它不能进入第i车道。}
例 二
列车调度
问题描述
构 图
优 化
例 二
列车调度
问题描述
构 图
优 化
例 二
列车调度
问题描述
构 图
优 化
引 言
浅谈网络流算法的应用
相信大家早已对网络流算法的轮廓以及解法都 进行了研究，这里只是我在平时做题过程中的一 些体会，主要针对它的应用范围、具体应用方法 以及诸多的优化技巧。 例 一 例 三 赛车问题 餐厅问题 例 二 例 四 列车调度 终极情报网
正 文
例 一
网络流算法介绍
Leapin' Lizards
题意:有一间房子,有n*m个pillars,第一个矩阵表 示相应的pillars能跳几个Lizards,第二个矩阵表 示哪个pillars上有Lizard. d表示能跳的最大范 围.Lizard跳出边界就能逃跑,问最少还有几个 Lizards跑不了. 思路:拆点,最大流.将每个>0的pillars拆开,有L 的点由源点向其引一条边,边容量为1,能跳出边 界的点向汇点引边,边容量为无穷. 其他题目: pku 3498
二分图匹配例题BOJ1155
流网络示例
流速/流量f 流速限制 容量c
水源
蓄水池 汇点T 水管/边
源点S
网络流三个性质
容量限制：f(u,v) <= c(u,v) 对称性：f(u,v) == -f(v,u) 收支平衡: 对于不是源点也不是汇点的任意结 点,流入该结点的流量和等于流出该结点的流 量和。
只要满足这三个性质,就是一个合法的网络流.
2 —> 3
此时的残量网络中不存在s-t通路 定义S为s可达的点集 定义T为可达t的点集 显然S＋T = V (S,T)中所有弧都满载，否则残量网络将不为0， 使s-t有通路 所以|f| = c(S,T)
3 —> 1
由|f| <= c(S,T)（任意割） 当|f| == c(S,T) |f|为最大值 从上面的证明，我们可以得到求最大流从增广 路径算法。 从2->3的证明给出了从最大流构造最小割的过 程，即求出s的可达点集S， 再令T = V - S
网络流问题
类比：求最短路径 把实际问题的道路地图抽象为有向图，然后 用一定算法求解最短路径。 我们也可以将一个有向图看作一个流网络来 解决另一类型的问题 。 匹配问题、运输问题、任务分配问题。。。
信息学竞赛中的网络流算法
信息学竞赛中的网络流算法网络流算法是信息学竞赛中常见且重要的一类算法，它在解决各种与网络相关的问题时发挥着重要作用。
本文将介绍网络流算法的基本概念、应用领域以及一些常见的算法模型。
一、网络流算法的基本概念1.1 网络流与流量在网络中，每条边都有一个容量上限，而从源点到汇点的路径上的流量就是指通过该路径的流量大小。
网络流算法的目标通常是找到从源点到汇点的一条路径，使得路径上的流量之和达到最大或最小。
1.2 流量网络模型流量网络模型是网络流算法中的核心概念之一。
它由一组节点和连接这些节点的有向边组成。
每条边都有一个容量上限，表示该边能够通过的最大流量。
同时，还有一个源点和一个汇点，分别表示流量的来源和目的地。
二、网络流算法的应用领域2.1 最大流问题最大流问题是网络流算法中经典的问题之一。
它的目标是找到从源点到汇点的一条路径，使得路径上的流量之和达到最大值。
最大流问题在各种实际场景中都有广泛的应用，比如网络传输中的数据流优化，以及电力输送中的最大效用配电等。
2.2 最小割问题最小割问题是网络流算法中另一个重要的问题。
它的目标是找到一个割，将源点和汇点分别划分到割的两边，并使得割的容量之和最小。
最小割问题通常与最大流问题密切相关，求解最小割问题可以用来解决最大流问题。
2.3 匹配问题匹配问题是网络流算法中常见的问题之一。
它的目标是找到两组节点之间的最佳匹配方案，使得匹配的边的数量最大化。
匹配问题可以应用于各种实际场景中，比如婚姻配对、任务分配等。
三、常见的网络流算法模型3.1 Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是求解最大流问题的一种经典算法。
它基于广度优先搜索的思想，通过不断寻找增广路径来逐步增大流量，直到无法找到增广路径为止。
Edmonds-Karp算法具有时间复杂度为O(V*E^2)的特点。
3.2 Dinic算法Dinic算法是一种高效的求解最大流问题的算法。
它基于分层网络和阻塞流的思想，通过多次构建层次图来快速计算最大流。
网络流题目+题解
网络流建模汇总 by Edelweiss目录最大流 (4)《POJ 1149 PIGS》 (4)《POJ 1637 Sightseeing tour》 (8)《POJ 2391 Ombrophobic Bovines》 (9)《POJ 2699 The Maximum Number of Strong Kings》 (10)《POJ 3281 Dining》 (11)《JOJ 2453 Candy》 (11)《ZOJ 2760 How Many Shortest Path》 (12)《WOJ 1124 Football Coach》 (12)《SGU 326 Perspective》 (13)《SGU 438 The Glorious Karlutka River =)》 (14)《SPOJ 287 Smart Network Administrator》 (14)《SPOJ 962 Intergalactic Map》 (15)《小结》 (15)最小割 (15)《HOJ 2634 How to earn more》 (16)《HOJ 2713 Matrix1》 (16)《POJ 1815 Friendship》 (17)《ZOJ 2532 Internship》 (17)《Ural 1277 Cops and Thieves》 (18)《SPOJ 839 Optimal Marks》 (18)《SPOJ 1693 Coconuts》 (19)《Beijing Regional 2008 Problem A Destroying the bus stations》 (19)《小结》 (20)有上下界 (21)《POJ 2396 Budget》 (21)《小结》 (22)最小费用流 (22)《HOJ 2543 Stone IV》 (22)《HOJ 2715 Matrix3》 (23)《HOJ 2739 The Chinese Postman Problem》 (23)《POJ 3680 Intervals》 (24)《SPOJ 371 Boxes》 (24)《BASHU 2445 餐巾问题》 (25)《剪刀石头布》 (25)《小结》 (26)最大流《POJ 1149 PIGS》【题目大意】有M个猪圈，每个猪圈里初始时有若干头猪。
网络流算法介绍与分析
网络流算法介绍与分析网络流问题可以用于解决很多实际中的应用问题，比如交通流量优化、航空航线规划、电力网络规划等。
因此，网络流算法在实际应用中具有重要的意义。
最常用的最大流算法是Ford-Fulkerson算法，它基于增广路径的思想，通过不断寻找增广路径来增加流量，直至无法找到增广路径为止。
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度为O(Ef)，其中E是图中边的数量，f是最大流的流量。
Ford-Fulkerson算法还有一个重要的改进算法，即Edmonds-Karp算法。
Edmonds-Karp算法在Ford-Fulkerson算法的基础上加入了BFS遍历，以保证每次选择的增广路径是最短的路径。
这样可以保证算法的时间复杂度为O(V*E^2)，其中V是图中顶点的数量，E是图中边的数量。
另一个重要的最大流算法是Dinic算法，它基于层次图和分层网络的概念，通过构建分层网络并使用DFS遍历的方式来寻找增广路径。
Dinic算法的时间复杂度为O(V^2*E)，其中V是图中顶点的数量，E是图中边的数量。
Dinic算法比Edmonds-Karp算法效率更高。
最小割算法主要包括Ford-Fulkerson算法和Stoer-Wagner算法。
Ford-Fulkerson算法可以利用网络中的最大流来求解最小割问题，它的时间复杂度和最大流算法一样。
Stoer-Wagner算法是一个基于图的割的概念的算法，通过不断选择割最小的边来合并两个顶点集合，直至整个图只剩下一个顶点。
Stoer-Wagner算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是图中顶点的数量。
以上介绍的只是网络流算法中的几个典型算法，实际上还有很多其他的网络流算法，比如Push-Relabel算法、Capacity Scaling算法等。
这些算法各自有其适用的场景和特点，可以根据具体的问题选择合适的算法。
总的来说，网络流算法是一类非常强大的图论算法，可以应用于各种实际问题的求解。
第11讲 网络流
输入格式：输入文件的第一行包含两个用空格隔开的整数N和M，其中2≤N≤3000，1≤M≤N-1，N为整个有线电视网的结点总数，M为用户终端的数量。第一个转播站即树的根结点编号为1，其他的转播站编号为2到N-M，用户终端编号为N-M+1到N。接下来的N-M行每行表示—个转播站的数据，第i+1行表示第i个转播站的数据，其格式如下：K A1 C1 A2 C2 … Ak CkK表示该转播站下接K个结点(转播站或用户)，每个结点对应一对整数A与C，A表示结点编号，C表示从当前转播站传输信号到结点A的费用。最后一行依次表示所有用户为观看比赛而准备支付的钱数。输出格式：输出文件仅一行，包含一个整数，表示上述问题所要求的最大用户数。
输入输出格式
输入输出样例
1
PART ONE
题目背景什么是电阻?这个大家应该都知道。什么是电路?大家也应该知道。但是本题当中，电路的定义或许有点不同：电路都带有正、负极接点，正极在左，负极在右。具体地：电路分为以下几类：单独的一个1Ω电阻(及其两端的接点)是电路(虽然导线也可以被视为0Ω的电阻，但是单独的导线不是电路)如果A和B都是电路，设1,2,3是从左到右的三个接点，那么将A的正负极分别接在1与2上，将B的正负极分别接在2与3上，那么1到3的部分是电路，其中1为正极，3为负极。如果A和B都是电路,设1,2,3,2',3',1’是六个接点，其中1在2和3的左侧，2在2’的左侧，3在3’的左侧，2,和3,在1’的左侧，并且1与2，1与3，2’与1’，3’与1’间均连有导线, 那么将A的正负极分别接在2与2’上，将B的正负极分别接在3与3’上，那么1到1'的部分是电路，其中1为正极，1’为负极。现在给出一个电路，求它正负极之间的电阻。
图论中网络流算法及优化
图论中网络流算法及优化图论中的网络流算法及优化一、引言网络流算法是图论中的重要分支，它被广泛应用于解决各种实际问题，如交通流、电力传输等。
本文将介绍网络流算法的基本概念和常用的优化方法。
二、网络流算法1. 最大流问题最大流问题是网络流算法中最基本的问题之一。
其目标是在给定网络中找到从源点到汇点的最大流量。
常用的解决方法包括：（1）Ford-Fulkerson算法：该算法通过不断寻找增广路径来增加流量，直到无法再找到增广路径为止。
（2）Edmonds-Karp算法：在Ford-Fulkerson算法的基础上，引入了BFS搜索策略来寻找增广路径，提高了算法的效率。
2. 最小割问题最小割问题与最大流问题密切相关。
最小割是指将网络划分为两个部分，并且使得网络中横跨这两个部分的边的权重之和最小。
常用的解决方法包括：（1）Ford-Fulkerson算法：该算法在求解最大流问题的同时可以得到最小割的结果。
（2）Dinic算法：通过构造分层图和阻塞流的概念，提高了算法的效率。
三、网络流算法的优化网络流算法在实际应用中可能面临大规模问题的挑战，因此需要采用一些优化方法来提高算法的效率和准确性。
1. 改进的数据结构使用合适的数据结构可以减少算法的时间和空间复杂度。
例如，使用邻接矩阵或邻接表来存储图的信息，选择合适的数据结构来表示流量、残余网络等。
2. 快速增广快速增广是一种对增广路径进行选择的策略，可以减少算法的时间复杂度。
常见的快速增广方法包括Dinic算法和HLPP算法。
3. 预流推进预流推进是一种改进的增广策略，它通过将多余的流量分配到其他边上，减少了增广路径的数量。
常用的预流推进算法包括Push-Relabel 算法和Preflow-Push算法。
4. 分阶段算法对于大规模的网络流问题，可以采用分阶段算法来解决。
分阶段算法将整个问题划分为多个子问题，并结合贪心、动态规划等方法进行求解。
四、总结网络流算法在图论中扮演着重要的角色，可以解决许多实际问题。
信息学竞赛中的网络流问题与算法
信息学竞赛中的网络流问题与算法信息学竞赛中的网络流问题与算法在计算机科学中具有重要的地位和应用。
网络流问题是指在一个网络模型中，计算流量在网路中的传输情况，并求解最大流或最小割的问题。
本文将介绍网络流问题的基本概念、流网络的建模方法以及常用的网络流算法。
1. 网络流问题的基本概念网络流问题是图论中的一类重要问题，主要研究在有向图中从源点到汇点的最大流或最小割。
在一个网络模型中，节点表示交通枢纽或物流中转站，边表示路径或管道，边上的权值表示流量的限制。
通过计算网络中流量的分配情况，可以求得最大流或最小割的解。
2. 流网络的建模方法为了描述网络流问题，需要建立一个流网络模型。
在流网络模型中，节点表示网络中的交叉点或者站点，边表示网络中的路径或者道路，边上的权值表示流量的限制。
通过引入源点和汇点，将问题转化为从源点到汇点的最大流或最小割问题。
3. 常用的网络流算法3.1 Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最经典的网络流算法之一，主要用于求解最大流问题。
该算法采用贪心的策略，不断在残量网络中寻找增广路径，并更新流量的分配情况，直到不存在增广路径为止。
最终，得到的流量即为最大流。
3.2 Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson算法的改进版本，通过利用广度优先搜索（BFS）来寻找增广路径，提高了算法的效率。
该算法在每次寻找增广路径时将优先选择最短路径，从而减少了搜索的次数。
3.3 Dinic算法Dinic算法是一种高效的网络流算法，主要用于求解多源汇点的最大流问题。
该算法基于分层图的思想，通过在残量网络中构建分层图，并使用多次的BFS来寻找增广路径，从而实现了较快的计算速度。
4. 网络流问题的应用网络流问题广泛应用于交通运输、通信网络、电力网络等领域。
在交通运输中，可以利用网络流算法求解最优的货物调度问题，有效提高运输效率和节约成本。
网络流概念及相关算法介绍
网络流概念及相关算法介绍引言实现Ford-Fulkerson的时间复杂度主要取决于如何寻找增加路径p。
Edmonds-Karp实现正是通过采用了广度优先的搜索策略得以使其复杂度达到O(V*E^2)。
由于这种算法的效率不很理想，我们在此不多着墨，而主要介绍下述push-relabel算法的思想。
五、一般性的push-relabel算法很多渐进意义下最优的算法都是采用了push-relabel算法的思想，而且很多其他的相关问题，比如最小费用流问题，也可以用这种方法很好的解决。
首先介绍的是一般性的push-relabel算法。
不同于Ford-Fulkerson方法在残留网络中寻找增加路径的方式，push-relabel算法在运行的过程中只关注某一个顶点以及它的相邻顶点，在这个过程中，它并不像Ford-Fulkerson方法保持着“流的保持”性质，而是以一个“先流”进行运作。
这个先流同样是一个V×V →R的函数，满足容量限制和斜对称性，同时，它对所有的u∈V-{s}满足f(V,u)>=0。
我们记e(u)=f(V,u)。
如果e(u)>0我们就说顶点u溢出。
为了步入正题，我们还需要介绍push-relabel算法引入的一个额外的高度函数。
设G=(V,E)是一个流网络，源点是s，汇点是t，f是G中的一个先流。
如果函数h:V→N满足h(s)=|V|，h(t)=0，而且对残留网络中所有的边(u,v)有h(u)<=h(v)+1，那么称h是一个高度函数。
正如其名称一样，push-relabel算法有两个基本操作:push和relabel。
一般性的push-relabel算法就是通过往复执行这两种操作完成的：GENERIC-PUSH-RELABEL(G)先流初始化while 存在可以执行的push或relabel操作选择一个可以执行的push或relabel操作执行。
网络流算法详解
v1 15 s 4 8 v2 3
12
v3 16
9
7 v4
2 5
t
6
图 1 网络流的一个例子
v1 10/15 s 4/4 5/8 0/3 v2
5/12 0/9 4/7 5/6
v3 9/16 0/2 v4 5/5 t
图 2 图 1 的一条流 f
v1 5 s 4 10 3 8
7 5 13 3
v3 9 2 v4
网络流算法详解
网 络 流 算 法 在 许 多 实 际 问 题 中 有 应 用 ， 如 匹 配 问 题 ， 著 名 的 Hall 婚 姻 定 理 。 这里不证明“最大流最小割定理” ，简单解释求最大流的 Ford-Fulkerson 算法。接下来分别 详述时间复杂度为 O(VE2)的 Edmonds-Karp 算法和时间复杂度为 O(V2E)的 Dinic 算法。至 于较新的预留推进算法就不介绍了，这个算法证明比较难，感兴趣的可以看看算法导论。 本文所用到的网络流如图 1，s 为原点，t 为汇点，边上的值表示边的容量 c(u,v)，如 c(s,v1)=15，c(v1,v2)=8。流用符号 f(u,v)表示，如图 2，流的容量 f(s,v1)=10，f(v1,v2)=5。剩 余容量 cf (u,v)=c(u,v)-f(u,v)。在原剩余网络中找到一条流后，修改原网络边的剩余容量得到 剩余网络 Gf，如图 3 所示。注意剩余网络中有一些新添加的边即反向边的容量，为流的反 馈。在图 3 中，有 f(v1,v3)=5,那么有 f(v3,v1)=- f(v1,v3)=-5，然后 cf(v3,v1)=c(v3,v1)-f(v3,v1)=0-(5)=5。
△ f=3。
v1 5 s 4 10 3 8 v2 7 5 13 3 v4 v3 9 2 5 t 7
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从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法
福建师大附中江鹏
1. 引论
A. 对网络流算法的认识
网络流算法是一种高效实用的算法，相对于其它图论算法来说，模型更加复杂，编程复杂度也更高，但是它综合了图论中的其它一些算法（如最短路径），因而适用范围也更广，经常能够很好地解决一些搜索与动态规划无法解决的，看似NP的问题
B. 具体问题的应用
网络流在具体问题中的应用，最具挑战性的部分是模型的构造。
这没用现成的模式可以套用，需要对各种网络流的性质了如指掌（比如点有容量、容量有上下限、多重边等等），并且归纳总结一些经验，发挥我们的创造性。
2. 例题分析
【问题1】项目发展规划（Develop）
Macrosoft®公司准备制定一份未来的发展规划。
公司各部门提出的发展项目汇总成了一张规划表，该表包含了许多项目。
对于每个项目，规划表中都给出了它所需的投资或预计的盈利。
由于某些项目的实施必须依赖于其它项目的开发成果，所以如果要实施这个项目的话，它所依赖的项目也是必不可少的。
现在请你担任Macrosoft®公司的总裁，从这些项目中挑选出一部分，使你的公司获得最大的净利润。
●输入
输入文件包括项目的数量N，每个项目的预算Ci和它所依赖的项目集合Pi。
格式如下：第1行是N；
接下来的第i行每行表示第i个项目的信息。
每行的第一个数是Ci，正数表示盈利，负数表示投资。
剩下的数是项目i所依赖的项目的编号。
每行相邻的两个数之间用一个或多个空格隔开。
●输出
第1行是公司的最大净利润。
接着是获得最大净利润的项目选择方案。
若有多个方案，则输出挑选项目最少的一个方案。
每行一个数，表示选择的项目的编号，所有项目按从小到大的顺序输出。
●数据限制
0≤Ｎ≤1000
-1000000≤Ci≤1000000
●输入输出范例
Sample Input Sample Output
6
-4
1
2 2 -1 1 2 -
3 3 5 3
4 3 1 2 3 4 6
【分析解答】
1. 抽象原题（图论模型）
给定包含N 个顶点的有向图G =（V, E ），每个顶点代表一个项目，顶点有一权值Ci 表示项目的预算。
用有向边来表示项目间的依赖关系，从u 指向v 的有向边表示项目u 依赖于项目v 。
问题：求顶点集的一个子集V ’，满足对任意有向边〈u,v 〉∈E ，若u ∈V ’，则v ∈V ’，使得V ’中所有顶点的权值之和最大。
1 -1 5
-4 2 -3
2. 搜索
枚举V 的所有符合条件的子集，时间复杂度O(2n )，指数级。
无论如何剪枝优化，也摆脱不了非多项式。
3. 动态规划
本题的结构是有向无环图，而非树形结构，不适合动态规划。
如果一定要做，实质类似于搜索，由于状态数量众多，仍是指数级的时间复杂度。
4. 网络流
流网络的构造方法：
建立N 顶点代表N 个项目，另外增加源s 与汇t 。
若项目i 必须依赖于项目j ，则从顶点i 向顶点j 引一条容量为无穷大的弧。
对于每个项目i ，若它的预算C 为正（盈利），则从源s 向顶点i 引一条容量为C 的边；若它的预算C 为负（投资），则从顶点i 向汇t 引一条容量为-C 的边。
求这个网络的最小割（S, T ），设其容量C(S,T)＝F 。
设R 为所有盈利项目的预算之和（净利润上界），那么R-F 就是最大净利润；S 中的顶点就表示最优方案所选择的项目。
2 4
3 5 6 1
5 1
+∞ +∞ 1
+∞ +∞
3 +∞ +∞
2 4
最小割：S ＝{s,1,2,3,4,6}；T ＝{5,t}
C(S,T)＝5 净利润R- C(S,T)＝8－5＝3
证明算法的正确性：
● 建立项目选择方案与流网络的割（S,T ）的一一对应关系：
任意一个项目选择方案都可以对应网络中的一个割（S,T ），S={s}+{所有选择的项目}，T=V-S 。
对于任意一个不满足依赖关系的项目选择方案，其对应的割有以下特点：
存在一条容量为+∞弧〈u,v 〉，u 属于S 而v 属于T 。
这时割的容量是无穷大，显然不可能是网络的最小割。
● 对于任意一个割（S,T ），如果其对应一个符合条件的方案，它的净利润是R-C(S,T)。
导致实
际净利润小于上届R 的原因有：
1．未选取盈利项目i ，即顶点i 包含在T 中，那么存在一条从源s 至顶点i 的容量为Ci 的弧
2．选取投资项目i ，即顶点i 包含在S 中，那么存在一条从顶点i 至汇的容量为－Ci 的弧 C(S,T)就是上述两种弧的容量之和。
综上所述，割的容量越小，方案的净利润就越大。
● 最小割的求法：
根据最大流最小割定理，网络的最小割可以通过最大流的方法求得。
2 4
3 5 6 1 s
t
5, 3 1, 1
+∞,0 +∞,3 1,0
+∞,2 +∞,0
3,0 +∞,2 +∞,0
2,2 4,4
本题解题的关键在于流网络数学模型的建立。
本题建模的独到之处在于：以前的网络流问题通常使用流量表示解答方案，而本题使用割表示解答方案，并充分利用了割的性质，流只是求得最小割的手段。
这为我们开辟了一条构造网络流解决问题的新思路。
初看这个问题，要把它和网络流联系起来，有相当的难度。
必须熟练地掌握流网络的各种性质，经过反复的类比尝试，才能发现它们之间的共性。
【联想思考】
作为本题的一个衍生，给每个项目估计一个完成时间，并假设公司同时只能进行一个项目。
现在的问题是：如何选择一些能在给定时间内完成的项目，使得公司得到最大收益。
这个问题我至今还没有找到有效算法，希望有兴趣的同学来共同研究。
3. 编程技巧
◆ 数据结构：邻接表
◆ 直接表示原问题
优点：节省空间
缺点：编程复杂度大，不具有通用性
2 4
3 5 6 1 s
t。