(整理)多元函数的极限与连续

数学分析

第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时

第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )

§ 1 平面点集与多元函数

一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E .

1. 常见平面点集:

⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,

}|),{(b ax y y x +≥等.

⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ⨯, 1||||),{(≤+y x y x }.

⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.

极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.

⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .

⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域.

2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.

空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集

}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-

3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:

（1）内点、外点和界点：

内点：存在)(A U 使E A U ⊂)( 集合E 的全体内点集表示为E int ,.

外点：存在)(A U 使φ=E A U )(

界点：A 的任何邻域内既有E 的点也有不属于E 的点。E 的边界表示为E ∂

集合的内点E ∈, 外点E ∉ , 界点不定 .

例1 确定集} 1)2()1(0|),( {22<++-<=y x y x E 的内点、外点集和边界 .

例2 )( , } ] 1 , 0 [ , )(0|),( {x D x x D y y x E ∈≤≤=为Dirichlet 函数.

确定集E 的内点、外点和界点集 .

（2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点:

聚点：A 的任何邻域内必有属于E 的点。

孤立点：E A ∈但不是聚点。孤立点必为界点 .

例3 |),( {y x E =} 1sin x

y =. 确定集E 的聚点集 .

解 E 的聚点集] 1 , 1 [-⋃=E .

4．区域：

（1）( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集:

E int E =时称E 为开集 , E 的聚点集E ⊂时称E 为闭集.

E int 存在非开非闭集.

2R 和空集φ为既开又闭集. （2） ( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 . （3） 有界集与无界集:

（4） 点集的直径)(E d ： 两点的距离) , (21P P ρ.

（5） 三角不等式：

||21x x -（或||21y y -）|||| )()(2121221221y y x x y y x x -+-≤-+-≤.

或),(),(),(323121P P P P P P ρρρ+≤

二. 2R 中的完备性定理:

1． 点列的极限: 设2) , (R y x P n n n ⊂=, 2000) , (R y x P ⊂=.

定义1。 0l i m P P n n =∞

→的定义 ( 用邻域语言 ) ),(,,00εεP U P N n N n ∈>∃>∀或ερ<),(0n P P

例4 ) , (n n y x → ) , (00y x ⇔0x x n →, 0y y n →, ) (∞→n .

例5 设0P 为点集E 的一个聚点 . 则存在E 中的点列} {n P , 使0lim P P n n =∞

→. 2．2R 中的完备性定理：

（1）Cauchy 收敛准则:

.

（2）. 闭域套定理:

（3）. 聚点原理: 列紧性 , Weierstrass 聚点原理.

（4） 有限复盖定理:

三．二元函数:

1. 二元函数的定义、记法、图象：

2. 定义域：

例6 求定义域：

ⅰ> ),(y x f 192222-+--=

y x y x ; ⅱ> ),(y x f )1ln(ln 2+-=x y y . 3. 二元函数求值:

例7

),(y x f 232y x -=, 求 ) , 1 ( , ) 1 , 1 (x y f f -. 例8 ),(y x f )1ln(22y x ++=, 求)sin , cos (θρθρf .

4. 三种特殊函数:

⑴ 变量对称函数: ),(y x f ),(x y f =,例8中的函数变量对称.

⑵ 变量分离型函数: ),(y x f )()(y x ψφ=.例如

y x e xy z 32+=, ,22+++=y x xy z ),(y x f 2

)())((xy x xy y xy -+=等 .

但函数y x z +=不是变量分离型函数 .

⑶ 具有奇、偶性的函数

四．n 元函数

二元函数 推广维空间 记作n R

作业 P92 1

—8 .

§ 2 二元函数的极限

一. 二重极限 二重极限亦称为全面极限

1. 二重极限

定义1 设f 为定义在2R D ⊂上的二元函数，0P 为D 的一个聚点，A 是确定数

若 εδδε<-⋂∈>∃>∀A P f D P U P )(,),(,

0,000则A P f P P =→)(lim 0 或),(lim ),(),(00y x f y x y x →A =

例1 用“δε-”定义验证极限 7)(lim 22)

1,2(),(=++→y xy x y x . 例2 用“δε-”定义验证极限 0lim 2

22

0=+→→y x xy y x . 例3

⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=).0,0(),( , 0),0,0(),( ,),(222

2y x y x y x y x xy y x f

证明

0),(lim )0,0(),(=→y x f y x . ( 用极坐标变换 ) P 94 E2.

2. 归结原则：

定理 1 A P f D

P P P =∈→)(lim 0, ⇔ 对D 的每一个子集E , 只要点0P 是E 的聚点 , 就有A P f E

P P P =∈→)(lim 0. 推论1 设D E ⊂1, 0P 是1E 的聚点 .若极限)(lim 10P f E P P P ∈→不存在 , 则极限)(lim 0P f D

P P P ∈→也不存在 . 推论2 设D E E ⊂21,, 0P 是1E 和2E 的聚点. 若存在极限1)(lim 1

0A P f E P P P =∈→, 2)(lim 20A P f E P P P =∈→, 但21A A ≠, 则极限)(lim 0P f D

P P P ∈→不存在. 推论3 极限)(lim 0P f D P P P ∈→存在, ⇔ 对D 内任一点列} {n P , 0P P n →但0P P n ≠,

数列)}({n P f 收敛 .

通常为证明极限)(lim 0

P f P P →不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明极限与方向有关 . 但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等 ⇒/ 全面极限存在

例4 ⎪⎩

⎪⎨⎧=≠+=. )0,0(),( , 0),0,0(),( , ),(22y x y x y x xy y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在.