(整理)多元函数的极限与连续
多元函数在某点极限、连续、偏微商、全微分之间的关系
多元函数在某点极限、连续、偏微商、全微分之间的关系多元函数的概念在数学上已经有些年头了，即在多个变量的情况下，它们之间的关系也是非常有趣的话题。
这些多变量函数有很多重要的性质，其中之一就是某点极限、连续、偏微分和全微分之间的关系。
在本文中，将讨论多变量函数在某点极限、连续、偏微分、全微分之间的关系，并介绍如何利用这些概念求解多元函数。
首先，多变量函数的某点极限定义如下：当x趋于某一特定的值（或者说给定的一组值）时，多变量函数的极限就是函数值在这个点处的限值。
如果该函数有定义域，那么极限就是函数值在限近点的限值；如果函数没有定义域，那么极限就是函数值在限近点的上限或下限。
如果存在极限，那么必须满足极限定义；如果不存在极限，那么就不存在这样的限值。
其次，多变量函数的连续性描述如下：如果一个函数在某一点处存在极限，那么函数就是连续的，反之则不是。
如果某一函数的极限存在，且接近这一点时函数值趋于一个常数，那么函数就是连续的；如果极限不存在，或者极限存在但接近这一点时函数值不趋于一个常数，那么函数就是非连续的。
接着，多变量函数的偏微分定义如下：在多变量函数f(x,y,z)中，偏导数f/x就是函数f关于x的偏微分。
这意味着当把其他两个变量y和z都看作是定值时，f关于x的偏微分就是求解f关于x的变化量。
如果在某一点处偏导数的值存在，那么这个点就是导数的定义点；此外，如果在某一点处f是连续的，则此处偏导数的值也可能存在。
最后，多变量函数的全微分定义如下：在多变量函数f(x,y,z)中，全微分就是求函数f关于x、y、z三个变量的变化量。
这里的变化量就是每一个变量的偏导数的乘积，即f/xyz，如果在某一点处存在全微分，则这个点就是全微分的定义点。
以上就是多变量函数在某点极限、连续、偏微分、全微分之间的关系的简单介绍。
它们之间的联系可以用来求解多变量函数，尤其是关于极限和偏导数的讨论。
下面，将介绍如何使用这些概念来求解多变量函数。
第十六章多元函数的极限与连续
第十六章 多元函数的极限与连续1． 证明: 对任何n R E ⊂, 它的导集d E 必为闭集.2． 设B A ,是n R 中两个不相交的开集, 证明∅=B A I .3． 证明: 对任何n R E ⊂, 它的边界E ∂必为一闭集.4． 证明闭域必为闭集.5． 讨论下列函数在)0,0(),(→y x 时的极限不存在:(1) 242),(y x y x y x f +=; (2) y x xy y x g +=),(; (3) 2322),(yx y y x y x h ++-=. 6. 设),(y x f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U ο内有定义, 且满足:(1) 在)(0P U ο中, 对每个0y y ≠, 存在)(),(lim 0y y x f x x ψ=→; (2) )(),(lim 0x y x f y y ϕ=→, 关于)(0P U ο中的x 一致. 试证明:),(lim lim ),(lim lim 0000y x f y x f x x y y y y x x →→→→=. 7. 设)(),(y x yx y x y x f ≠-+=. 证明: (1) m k ∃∀,, 使得在mx y = 或 my x =上, 有k y x f y x =→),(lim )0,0(),(;(2) ),(lim lim ),(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→≠. 8. 设22222)(),(y x y x y x y x f -+=. 证明: (1) ),(lim lim ),(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→=; (2) ),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在.9. 证明: 22y x r +=在2R 上一致连续.10. 设),(y x f 是2R 上的实值函数. 证明: ),(y x f 在2R 上连续的充要条件是对于R 中的每个开集G , 集合}),(),{()(21G y x f R y x G f∈∈=-亦必为开集. 11. 证明: 若n R E ⊂为一有界开集, 则m R E f →:在E 上一致连续的充要条件是:f 在E 上连续, 且对任何点E x ∂∈0, 极限)(lim 0x f Ex x x ∈→都存在(即f 在E 上的连续性能延拓到E ∂). 12. 设R R f n →:为连续函数. 试证: A x f r =∞→)(lim 存在(x r =), 则f 在n R 上一致连续. 13. 设n R E ⊂, R E f →:. 试证f 在E 上一致连续的充要条件是: 对E 中每一对点列}{k x , }{k y , 如果0lim =-∞→k k k y x , 便有 0)()(lim =-∞→k k k y f x f .。
9-1,2-多元函数的概念极限和连续
P → P0
函数 f ( P ) 在点 P0 处连续。 设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点， 的定义域的聚点，如果 f ( P ) 在点 P0 处不连续， 处不连续，则称 P0 是函数 f ( P ) 的间断 点。
故函数在(0,0)处连续.
25
例6 讨论函数
xy 2 2 x2 + y2 , x + y ≠ 0 f ( x, y) = 0, x2 + y2 = 0
在(0,0)的连续性． 的连续性． 解 取 y = kx 2 xy k kx lim 2 = lim 2 = 2 x →0 x + y 2 x→0 x + k 2 x 2 1 + k y→ 0 y = kx 极限不存在． 其值随k的不同而变化， 的不同而变化， 极限不存在． 处不连续． 故函数在(0,0)处不连续 ．
3
(3)连通，区域，有界
(1)如果 E 中的任意两点可以用完全含于 E 的折线段 连接起来， 连接起来，则称其为连通 则称其为连通的 连通的； (2)连通的开集成为区域 连通的开集成为区域(域)，连通的闭集称为闭域 连通的闭集称为闭域； 闭域； (3)无洞的连通区域称为单连通 否则为多连通 无洞的连通区域称为单连通的 单连通的， 否则为多连通的 多连通的； (4) 如果 E 含于某一个 含于某一个(有限个)(圆心在原点的)圆( 的 并集)，则称其为有界 则称其为有界的 有界的，否则称为无界 否则称为无界的 无界的。
1 x− y
y x
3) z =
8.2 多元函数的极限与连续
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。
本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。
一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。
在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。
我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。
即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。
二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。
具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。
三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。
其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。
四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。
但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。
根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。
五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。
具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。
多元函数的极限与连续性判定
多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。
一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。
2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。
(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。
二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
第十三章多元函数的极限和连续性
第十三章 多元函数的极限和连续性§1、平面点集一 邻域、点列的极限定义1 在平面上固定一点()000,M x y ，凡是与0M 的距离小于ε的那些点M 组成的平面点集，叫做0M 的ε邻域，记为()0,O M ε。
定义2 设(),nn n Mx y =，()000,Mx y =。
如果对0M 的任何一个ε邻域()0,O M ε，总存在正整数N ，当n N >时，有()0,n M O M ε∈。
就称点列{}n M 收敛，并且收敛于M，记为0l i m nn MM→∞=或()()()00,,n n x y x y n →→∞。
性质：（1）()()0000,,,n n n n x y x y x x y y →⇔→→。
（2）若{}n M 收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。
二 开集、闭集、区域设E 是一个平面点集。
1． 内点：设0M E ∈，如果存在0M 的一个δ邻域()0,O M δ，使得()0,O M E δ⊂，就称0M 是E 的内点。
2． 外点：设1M E ∉，如果存在1M 的一个η邻域()1,O M η，使得()1,O M E η⋂=Φ，就称1M 是E 的外点。
3． 边界点：设*M 是平面上的一点，它可以属于E ，也可以不属于E ，如果对*M 的任何ε邻域()*,O M ε，其中既有E 的点，又有非E 中的点，就称*M 是E 的边界点。
E 的边界点全体叫做E 的边界。
4． 开集：如果E 的点都是E 的内点，就称E 是开集。
5． 聚点：设*M 是平面上的一点，它可以属于E ，也可以不属于E ，如果对*M 的任何ε邻域()*,O M ε，至少含有E 中一个（不等于*M 的）点，就称*M 是E 的聚点。
性质：设0M 是E 的聚点，则在E 中存在一个点列{}n M 以0M 为极限。
6． 闭集：设E 的所有聚点都在E 内，就称E 是闭集。
7． 区域：设E 是一个开集，并且E 中任何两点1M 和2M 之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起来，而这条折线全部含在E 中，就称E 是区域。
多元函数的极限及连续性
返回 2
一、二重极限
定义1 设二元函数 f 定义在 D R2 上, P0 为 D 的
一个聚点, A 是一实数. 若 0, 0, 使得当
P U (P0; ) D 时, 都有 | f (P) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时以 A 为极限, 记作 lim f (P) A.
的一个聚点. 若 M 0, 0, 使得 P( x, y)U (P0; ) D, 都有 f ( x, y) M ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时, 有非正常极限 , 记作 lim f ( x, y) ,
( x, y ) ( x0 , y0 )
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
x2 y2 0, 而并不要求 x y 0.
(证法二) 作极坐标变换 x r cos, y r sin. 这时
( x, y) (0, 0) 等价于 r 0 ( 对任何 ). 由于
| f (x, y) 0 |
x2 y2 xy x2 y2
1 r 2 | sin 4 | 1 r 2 ,
y2 y
lim lim
lim
lim( y 1) 1,
y0 x0
x y
y0 y
y0
x2 y2 x y
x2 x
lim lim
lim
lim( x 1) 1.
x0 y0
x y
x0 x
x0
当沿斜率不同的直线 y mx, ( x, y) (0, 0) 时, 有
x2 y2 x y 1 m
x)
lim ( x 1)
x0
1,
( y x2x)
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
(整理)多元函数的极限与连续.
数学分析第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§ 1 平面点集与多元函数一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E .1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ⨯, 1||||),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<y y x x y x 的区别.3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:（1）内点、外点和界点：内点：存在)(A U 使E A U ⊂)( 集合E 的全体内点集表示为E int ,.外点：存在)(A U 使φ=E A U )(界点：A 的任何邻域内既有E 的点也有不属于E 的点。
E 的边界表示为E ∂集合的内点E ∈, 外点E ∉ , 界点不定 .例1 确定集} 1)2()1(0|),( {22<++-<=y x y x E 的内点、外点集和边界 .例2 )( , } ] 1 , 0 [ , )(0|),( {x D x x D y y x E ∈≤≤=为Dirichlet 函数.确定集E 的内点、外点和界点集 .（2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点:聚点：A 的任何邻域内必有属于E 的点。
第十六章 多元函数的极限与连续
数组(x, y, z)时, 三维欧氏空间3中的点集
S {( x, y, z) | z f ( x, y),( x, y) D} R3
就是二元函数 f 的图象. 通常z f (x, y)的图象是一空 间曲面, f 的定义域D便是该曲面在xOy平面上的投影.
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
R 2 ( x, y ) x , y .
C ( x, y) x 2 y 2 r 2 .
S ( x, y ) a x b, c y d .
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
§1 平面点集与多元函数
n n n
n 0. 也等价于 lim n
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
§1 平面点集与多元函数
定理16.1(柯西准则) 平面点列{Pn}收敛的充要条件 是: 任给正数, 存在正整数N, 使得当nN时, 对一切 正整数p, 都有
Pn , Pn p .
E U (O; r )
其中O是坐标原点, 则称E是有界点集. 否则就是 无界点集.
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
§1 平面点集与多元函数
点集E的直径—点集E的直径就是
d ( E) sup P 1, P 2 ,
P 1, P 2 E
其中 (P1, P2)表示P1与P2两点之间的距离, 当P1, P2的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)时, 有
由于点A的任一圆邻域可以包含在点A的某一方邻域 邻域”泛指这两种形状的邻域, 并以记号U(A; )或 U(A)来表示.
多元函数在某点极限、连续、偏微商、全微分之间的关系
多元函数在某点极限、连续、偏微商、全微分之间的关系多元函数是在数学中极为常见的，它们在物理学、化学、工程学、经济学等科学中得到了应用。
针对某点极限、连续、偏微分、全微分之间的关系，本文将对多元函数作出详细讨论。
首先，来看某点极限。
当某多元函数在某点处取到极限时，它在该点处取到的极限值就是函数的极限值。
这时，多元函数的极限值越小，函数的极限越大，反之亦然。
因此，极限值可以反映函数在某点处的连续性。
其次，论及连续性。
多元函数的连续性是指函数图象上的连续性，即若函数在某点处的极限存在，则该多元函数在该点上是连续的。
因此，某点的极限与连续性有一定的联系，可以通过极限值来反映函数的连续性。
再次，论及偏微分。
当求解多元函数某点处的最大或最小值时，必须求解偏微分，因此偏微分显得尤为重要。
它是指函数在某个方向上的增长率，即沿某一极限方向求解函数在某点处的切线斜率，可以反映函数在某点处的变化状况。
最后，论及全微分。
全微分指的是对多元函数在每一点处的变化性的研究，因此使用全微分可以完整地反映函数的变化状况。
而且，当求解多元函数某点处的最大或最小值时，也可以使用全微分，将多元函数在最大或最小点处的变化幅度求出来。
总而言之，某点极限、连续、偏微分、全微分之间的关系是十分密切的，可以通过对多元函数各个方面的研究来体现。
当求解某多元
函数某点处的最大或最小值时，可以根据这些不同的关系来确定哪种方法是最合适的。
第十六章 多元函数极限与连续
第十六章 多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数1. 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出他们的聚点与界点。
(1)[,)[,);a b c d ´ (2){(,)0};x y xy ¹(3){(,)|0};x y xy = (4)2{(,)|}x y y x > (5){(,)|2,2,2}x y x y x y <<+> (6)22{(,)|10,01}x y x y y x +==＃或； (7)22{(,)|10,12};x y x y yx +?＃或(8){}N +Î（x,y）|x,y ; (9)1{(,)|sin };x y y x=解：（1）有界集、区域，其聚点为{(,)|,}.E x y a x b c y d =＃＃(2)开集，聚点为2,E R =界点为{(,)|0};x y xy = (3)闭集，{(,)|0},E x y xy ==界点为{(,)|0}.EE x y xy ?==（4）区域，开集，其聚点为2{(,)|},E x y x y = 界点为2{(,)|}.x y y x = （5）有界集，区域，开集，其聚点为{(,)|2,2,2},E x y x yxy =＃?界点为{(,)2,02{(,)|2,02}{(,)|2,02}x y x yx y y xx y x y x=＃=＃+=＃（6）有界集，闭集，其聚点为22{(,)10,01},E x y x y y x =+==＃或界点为EE ?。
（7）有界集、闭集，其聚点为22{(,)|10,12};E x y x y yx =+?＃或界点为22{(,)|10,12}.Ex y x y y x ?+==＃或（8）闭集，其聚点是空集，界点为{(,)|,}.x y x y z Î （9）闭集1{(,)|sin ,0}{(0,)1}E x y y x y y x==> ，界点为.EE ?2.试问集合{(,)|0,0}x y x a y b d d <-<<-<与集合{(,)|,},(,)(,)x y x a y b x y a b d d -<-< 是否相同？ 解：不相同，第一个点集为第二个点集的子集。
第八章 多元函数的极限与连续、偏导数
sin xy 2. lim ; x 0 x y 0
2
1 cos( x y ) 3. lim 2 . 2 2 2 x 0 ( x y ) x y y 0
2
微积分
三.证明 lim
x 0 y 0
xy x2 y2
0.
xy 1 1 四.证明 极限 lim 不存 在 . x 0 x y y 0
( 2)找两种不同趋于方式使 lim f ( x , y )存在, ,
x x0 y y0
但两者不相等则可断言极限不存在 , .
微积分
2、二元函数的连续性
定义：设 ( x, y )满足： f
(1)在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义
( 2)
( 3)
( x , y ) ( x 0 , y0 )
多元函数连续的概念
闭区域上连续函数的性质
微积分
思考题
若点 ( x , y ) 沿着无数多条平面 曲 线 趋 向 于 点 ( x 0 , y0 ) 时 ， 函 数
f ( x, y) 都 趋 向 于
( x , y ) ( x 0 , y 0 )
A，能否断定
lim
f ( x , y ) A？
微积分
2 2
0, ,
当 0 ( x 0)2 ( y 0)2 时，
1 ( x y ) sin 2 0 原结论成立． 2 x y
2 2
微积分
sin( x 2 y ) 例3 求极限 lim . 2 2 x 0 x y y 0 2 2 2 sin( x y ) lim sin( x y ) x y , 解 lim 2 x 0 2 x2 y x2 y2 x0 x y y0
第二讲多元函数
第一节 多元函数
一. 多元函数 二. 元函数的极限与连续
引例：一个小乡村里的惟一商店有 两种牌子的果汁，当地牌子的进价每瓶3元，外地牌子 的进价每瓶4元. 店主估计，若当地牌子的每瓶卖x元， 外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出当地牌子的果汁
7 5x 4 y 瓶，外地牌子的果汁 8 6 x 7 y 瓶. 问：店
2
旋转抛物面
z a x y
2 2
2
z x y
2
2
上半球面
正圆锥面
复杂的二元函数的例子
z sin x sin y
z sin x 2 y 2
z xye
x2 y2
并非每一个曲面都表示 一个二元函数
x2 y 2 z 2
z x2 y2
2 2
z x y
值之间的任何值至少一 次.
D上连续, 且 性质３ （零点定理） 若函数f ( x, y)在有界闭区域
它取得一个大于零的函 数值和一个小于零的函 数值, 则至少 有一点( , ) D, 使得f ( , ) 0.
性质４ （有界性定理）
它必在D上有界.
若函数f ( x, y)在有界闭区域 D上连续, 则
小结：
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．所谓定义区域， 是指包含在定义域内的区域或闭区域． 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 p0处的极限, 而
该点又在此函数的定义 区域内 , 则极限值就是函数在该 点的
函数值,即
p p0
lim f ( P) f ( p0 )
思考题: 一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。
例如, 二元函数
z 1 x y
(整理)第六章多元函数微积分复习概要
第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f xy =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0l i m (,)x x y y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0l i m ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 内有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dzx y z ∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz u x du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。
《数学分析》第十六章 多元函数的极限和连续
D = {(x, y)| x2 + y2 1 } 如图
y 1 x2 + y2 = 1
o D
1
x
易知, 圆内部的每一点都是 D 的内点. 但 圆周上的点不是 D 的内点.
又如 z = ln (x+y)的定义域 D = {(x, y)| x+y > 0}
的聚点.
一般, 集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点. 但若 E 是开集, 则 E 的边界点一定是 E 的 聚点, 自证.
邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点这些概念 都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可 推广到 4 维以上的空间中去, 但不再 有几何意义.
y A
f (x) 0 x x0 x
x x0
y = f (x) f (x)
x
lim f (x) A用 语言表示. 就是 >0, >0.
xx0
当0<|x – x0|< 时, 有|f (x) – A |< .
设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D. 如图
E E0 , 所以 E 是开集.
5. 连通集
设 E 是一非空平面点集, 若X ,YE. 都 可用完全含于 E 的折线将它们连接起来, 则称 E 为连通集. 如图
X Y
E 连通
X
Y
E 不连通
几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是 连成一片的. E 中的点都可用折线连接.
例1, 2中的 D 都是连通集. 如图
{( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}， 这个点集称为二元函数的图形.
2.1、2.2：多元函数的概念、极限与连续
例2.9
证明
x
lim
x
x2
y y2
0.
y
证 因为 xx2y2,yx2y2,
所以
x y 0 x2 y2
x y x2 y2
x2y2 x2y2 x2y2 x2y
2 0 (x2y2 ), x2 y2
由夹逼原理知，
x y
lim
n 维空间中两点间距离公式
设两点为 P (x1,x2, ,xn),Q (y1,y2, ,yn), |P | ( y Q 1 x 1 ) 2 ( y 2 x 2 ) 2 ( y n x n ) 2 . 特殊地，当 n =1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间两
点间的距离．
P 0
点P0的去心U °邻 (P0):域
U °( P 0 ) ( x ,y ) |0 ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 .
（2）区域
内点：设E是平面上的一个 P是 点平 集面 ，上的一
个点．如果存 P的在某点一邻 U(P域 )E，
则称P为E的内点.
y 0
证
(x2y2)sinx21y2 0
x2y2sinx21y2 x2 y2
0, ,
当 0(x0 )2(y0 )2时，
(x2y2)sin x2 1y20. 原结论成立．
例2.8
证明
x2y2 lim sinx
y0
(xy0)
.
x0 xy
xx0 yy0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
（4）二重极限的几何意义：
> 0，P0 的去心 邻域 Uº(P0, )。 在 Uº(P0, )
数学分析之多元函数的极限与连续
是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为使 U ( A ;) IE ,则称
点 A 是 E 的外点；由 E 的全体外点所构成的集合 称为 E 的外部.
(iii) 界点—— 若 0, 恒有
用并记号 U(A;)或 U ( A ) 来表示.
点 A 的空心邻域是指:
( x , y )0 ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 2 ( 圆 )
或
( x , y ) | x x 0 | , | y y 0 | , ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) ( 方 ) ,
只有当 EE时, E 的外部与 E c 才是两个相同
的集合.
例1 设平面点集（见图 16 – 3）
y
D ( x ,y )1 x 2 y 2 4 .( 4 )
满足 1x2y24的一切点都 是 D 的内点; 满足 x2 y2 1
O 12x
的一切点是 D 的界点, 它们都属 于D; 满足 x2 y2 4的一切点也
图 16 – 3
是 D 的界点, 但它们都不属于 D.
点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内-外” 来区分 的. 此外，还可按 “疏-密” 来区分，即在点 A 的近 是旁否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系: (i) 聚点—— 若在点 A 的任何空心邻域 U o ( A ) 内都
含有 E 中的点，则称点 A 是点集 E 的聚点． 注1 聚点本身可能属于E，也可能不属于E. 注2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域 U ( A ) 内都含有 E 中的无穷多个点”.
E ( x ,y )( x ,y ) 满 足 条 件 P .
多元函数微分学
2 2
问在(0,0)处，f(x, y)的偏导数是否存在？偏 Biblioteka 数是否连续？f(x, y)是否可微？
5.方向导数 , 定义5 设 z f ( x , y )在 点M 0 ( x0, y0 )的 某 邻 域 内 有 定 义
xy si n x y ) （ 证 明l i m 0. 2 2 x 0 x y y 0
si n ( ) xy 求lim x 0 y y 0
例2
例3
xy 2 lim 2 是否存在? 4 x 0 x y y0
xy l n (x 2 y 2 ) x 2 y 2 0, 研 究 函 数 ( x, y) f 0 x2 y2 0 在( 0,0)处 的 连 续 性 。
(2) z x 4 y 3 2 x
在1, 2处
( 34dx 12dy)
xy x2 y2 0 2 例9 设f ( x , y ) x y 2 x2 y2 0 0 求f x (0,0), f y (0,0), 并 讨 论 f ( x , y ) 在 (0,0) 处 的 可 微 性 .
在 点M 0沿 任 一 方 向的 方 向 导 数 都 存 在 ， 且 l
M0 M0
当 l 与grad f ( M 0 )同方向时，z在M 0的方向 导数取最大值，且最大 grad f ( M 0 )， 值 当 l 与grad f ( M 0 )反方向时，z在M 0的方向 导数取最小值，且最小 grad f ( M 0 ) 值
多元函数微分法
1. 多元函数的极限:
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数学分析第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§ 1 平面点集与多元函数一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E .1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ⨯, 1||||),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<y y x x y x 的区别.3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:（1）内点、外点和界点：内点：存在)(A U 使E A U ⊂)( 集合E 的全体内点集表示为E int ,.外点：存在)(A U 使φ=E A U )(界点：A 的任何邻域内既有E 的点也有不属于E 的点。
E 的边界表示为E ∂集合的内点E ∈, 外点E ∉ , 界点不定 .例1 确定集} 1)2()1(0|),( {22<++-<=y x y x E 的内点、外点集和边界 .例2 )( , } ] 1 , 0 [ , )(0|),( {x D x x D y y x E ∈≤≤=为Dirichlet 函数.确定集E 的内点、外点和界点集 .（2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点:聚点：A 的任何邻域内必有属于E 的点。
孤立点：E A ∈但不是聚点。
孤立点必为界点 .例3 |),( {y x E =} 1sin xy =. 确定集E 的聚点集 .解 E 的聚点集] 1 , 1 [-⋃=E .4．区域：（1）( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集:E int E =时称E 为开集 , E 的聚点集E ⊂时称E 为闭集.E int 存在非开非闭集.2R 和空集φ为既开又闭集. （2） ( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 . （3） 有界集与无界集:（4） 点集的直径)(E d ： 两点的距离) , (21P P ρ.（5） 三角不等式：||21x x -（或||21y y -）|||| )()(2121221221y y x x y y x x -+-≤-+-≤.或),(),(),(323121P P P P P P ρρρ+≤二. 2R 中的完备性定理:1． 点列的极限: 设2) , (R y x P n n n ⊂=, 2000) , (R y x P ⊂=.定义1。
0l i m P P n n =∞→的定义 ( 用邻域语言 ) ),(,,00εεP U P N n N n ∈>∃>∀或ερ<),(0n P P例4 ) , (n n y x → ) , (00y x ⇔0x x n →, 0y y n →, ) (∞→n .例5 设0P 为点集E 的一个聚点 . 则存在E 中的点列} {n P , 使0lim P P n n =∞→. 2．2R 中的完备性定理：（1）Cauchy 收敛准则:.（2）. 闭域套定理:（3）. 聚点原理: 列紧性 , Weierstrass 聚点原理.（4） 有限复盖定理:三．二元函数:1. 二元函数的定义、记法、图象：2. 定义域：例6 求定义域：ⅰ> ),(y x f 192222-+--=y x y x ; ⅱ> ),(y x f )1ln(ln 2+-=x y y . 3. 二元函数求值:例7),(y x f 232y x -=, 求 ) , 1 ( , ) 1 , 1 (x y f f -. 例8 ),(y x f )1ln(22y x ++=, 求)sin , cos (θρθρf .4. 三种特殊函数:⑴ 变量对称函数: ),(y x f ),(x y f =,例8中的函数变量对称.⑵ 变量分离型函数: ),(y x f )()(y x ψφ=.例如y x e xy z 32+=, ,22+++=y x xy z ),(y x f 2)())((xy x xy y xy -+=等 .但函数y x z +=不是变量分离型函数 .⑶ 具有奇、偶性的函数四．n 元函数二元函数 推广维空间 记作n R作业 P92 1—8 .§ 2 二元函数的极限一. 二重极限 二重极限亦称为全面极限1. 二重极限定义1 设f 为定义在2R D ⊂上的二元函数，0P 为D 的一个聚点，A 是确定数若 εδδε<-⋂∈>∃>∀A P f D P U P )(,),(,0,000则A P f P P =→)(lim 0 或),(lim ),(),(00y x f y x y x →A =例1 用“δε-”定义验证极限 7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x . 例2 用“δε-”定义验证极限 0lim 2220=+→→y x xy y x . 例3⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=).0,0(),( , 0),0,0(),( ,),(2222y x y x y x y x xy y x f证明0),(lim )0,0(),(=→y x f y x . ( 用极坐标变换 ) P 94 E2.2. 归结原则：定理 1 A P f DP P P =∈→)(lim 0, ⇔ 对D 的每一个子集E , 只要点0P 是E 的聚点 , 就有A P f EP P P =∈→)(lim 0. 推论1 设D E ⊂1, 0P 是1E 的聚点 .若极限)(lim 10P f E P P P ∈→不存在 , 则极限)(lim 0P f DP P P ∈→也不存在 . 推论2 设D E E ⊂21,, 0P 是1E 和2E 的聚点. 若存在极限1)(lim 10A P f E P P P =∈→, 2)(lim 20A P f E P P P =∈→, 但21A A ≠, 则极限)(lim 0P f DP P P ∈→不存在. 推论3 极限)(lim 0P f D P P P ∈→存在, ⇔ 对D 内任一点列} {n P , 0P P n →但0P P n ≠,数列)}({n P f 收敛 .通常为证明极限)(lim 0P f P P →不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明极限与方向有关 . 但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等 ⇒/ 全面极限存在例4 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=. )0,0(),( , 0),0,0(),( , ),(22y x y x y x xy y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在.例5二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限:ⅰ> )0,0(),(lim →y x 222y x y x +; ⅱ> )0,3(),(lim →y x y xy sin ; ⅲ>)0,0(),(lim →y x xy xy 11-+; ⅳ> )0,0(),(lim →y x 2222)1ln(y x y x +++. 3．极限),(lim ),(),(00y x f y x y x →+∞=的定义:定义2．设f 为定义在2R D ⊂上的二元函数，0P 为D 的一个聚点，若 M P f D P U P M >⋂∈>∃>∀)(,),(,0,000δδ则+∞=→)(lim 0P f P P 或),(lim ),(),(00y x f y x y x →+∞=其他类型的非正常极限， →),(y x 无穷远点的情况.例7 验证)0,0(),(lim →y x +∞=+22321yx . 二. 累次极限 二次极限1. 累次极限的定义:定义3．设00,,,y x R E E y x ⊂分别是y x E E ,的聚点，二元函数f 在集合y x E E ⨯上有定义。
若对每一个0y y E y y ≠∈存在极限),(lim 0y x f E x x x ∈→ 记作),(lim )(0y x f y E x x x ∈→=φ若)(lim 0y L yE y y y φ∈→=存在，则称此极限为二元函数f 先对x 后对y 的累次极限 记作)(lim lim 00y L x y E x x x E y y y φ∈→∈→= 简记)(lim lim 00y L x x y y φ→→= 例8 22),(y x xy y x f +=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 .例9 2222),(yx y x y x f +-=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . 例10 x y y x y x f 1sin 1sin),(+=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . 2. 二重极限与累次极限的关系:⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 )⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在. 例如函数yx y x f 1sin ),(=在点) 0 , 0 (的情况 . ⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例如例10中的函数, 由)0,0(),( , 0|||| |),(|→→+≤y x y x y x f . 可见全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在. ⑷ 两个累次极限存在( 甚至相等 ) ⇒/ 二重极限存在 . ( 参阅例4和例8 ).综上 , 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系 . 但有以下确定关系.定理2 若二重极限),(lim ),(),(00y x f y x y x →和累次极限),(lim lim 00y x f y y x x →→(或另一次序)都存在 , 则必相等.推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等 .推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时 , 二重极限不存在 .但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 ⇒/ 二重极限不存在 . 参阅⑵的例.作业提示: P 99 1、2、4§ 3 二元函数的连续性 ( 4 时 )一． 二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入 .1. 连续的定义:定义 用邻域语言定义相对连续 . 全面连续 .函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .例1 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y x xy y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .例2 ⎩⎨⎧+∞<<∞-<<=. , 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f ( [1]P 124 E4 ) 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿任何方向都连续 , 但并不全面连续.函数的增量: 全增量、 偏增量 . 用增量定义连续性 .函数在区域上的连续性 .2. 二元连续( 即全面连续 ) 和单元连续 :定义 ( 单元连续 )二元连续与单元连续的关系: 参阅[1]P 132 图16—9.3. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.仅证复合函数连续性.二.三. 二元初等函数及其连续性:二元初等函数, 二元初等函数的连续性.四.一致连续性: 定义.五.有界闭区域上连续函数的性质:1.2.有界性与最值性. ( 证)3.4.一致连续性.( 证)5.介值性与零点定理. ( 证)Ex[1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5；P137—138 1，4.。