物理光学梁铨廷版习题答案

第一章光的电磁理论1.1在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为Ex=0，Ey=0，Ez=(102)Cos[π×1014(t−xc )+π2]，（各量均用国际单位），求电磁波的频率、波长、周期和初相位。

解：由Ex=0，Ey=0，Ez=(102)Cos[π×1014(t−xc )+π2]，则频率υ= ω2π=π×10142π=0.5×1014Hz，周期T=1/υ=2×10-14s，初相位φ0=+π/2（z=0，t=0），振幅A=100V/m，波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。

1.2.一个平面电磁波可以表示为Ex=0，Ey=2Cos[2π×1014(zc−t)+π2]，Ez=0，求：（1）该电磁波的振幅，频率，波长和原点的初相位是多少？（2）波的传播和电矢量的振动取哪个方向？（3）与电场相联系的磁场B的表达式如何写？解：（1）振幅A=2V/m，频率υ=ω2π=2π×10142π=1014Hz，波长λ=cυ= 3×1081014=3×10−6m，原点的初相位φ0=+π/2；（2）传播沿z轴，振动方向沿y 轴；（3）由B =1c (e k ⃗⃗⃗⃗ ×E ⃗⃗ )，可得By=Bz=0，Bx=2c Cos [2π×1014(zc−t)+π2]1.3.一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为Ey=0，Ez=0，Ex=102Cos [π×1015(z0.65c −t)]，试求：（1）光的频率；（2）波长；（3）玻璃的折射率。

解：（1）υ=ω2π=π×10152π=5×1014Hz ； （2）λ=2πk=2ππ×1015/0.65c=2×0.65×3×1081015m =3.9×10−7m =390nm ； （3）相速度v=0.65c ，所以折射率n=cv =c0.65c ≈1.541.4写出：（1）在yoz 平面内沿与y 轴成θ角的k ⃗ 方向传播的平面波的复振幅；（2）发散球面波和汇聚球面波的复振幅。

解：（1）由E ̃=A ⃗ exp(ik ⃗ ∙r ⃗ )，可得E ̃=A ⃗ exp⁡[ik (ycosθ+zsinθ)]；（2）同理：发散球面波Ẽ(r ，t)=A r exp⁡(ikr )=A1rexp⁡(ikr )， 汇聚球面波Ẽ(r ，t)=A r exp⁡(−ikr )=A1rexp⁡(−ikr )。

1.5一平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播。

其频率为4×1014Hz，电场振幅为14.14V/m，如果该电磁波的振动面与xy 平面呈45º，试写出E，B 表达式。

解：E⃗=E y e y⃗⃗⃗⃗ +E z e z⃗⃗⃗⃗ ，其中E y=10exp[i(2πλx−2πυt)]=10exp[i(2πυcx−2πυt)]=10exp[i(2π×4×10143×108x−2π×4×1014t)]=10exp[i(83×106π)(x−3×108t)]，同理：E z=10exp[i(83×106π)(x−3×108t)]。

B⃗⃗ =1c(k0⃗⃗⃗⃗ ×E⃗⃗ )=−B y e y⃗⃗⃗⃗ +B z e z⃗⃗⃗⃗ ，其中B z=103×108exp[i(83×106π)(x−3×108t)]=B y。

1.6一个沿k方向传播的平面波表示为E=100exp{i[(2x+3y+4z)−16×105t]}，试求k方向的单位矢k0。

解：|k⃗|=√22+32+42=√29，又k⃗=2e x⃗⃗⃗⃗ +3e y⃗⃗⃗⃗ +4e z⃗⃗⃗⃗ ，∴k0⃗⃗⃗⃗ =√29(2e x⃗⃗⃗⃗ +3e y⃗⃗⃗⃗ + 4e z⃗⃗⃗⃗ )。

1.9证明当入射角θ1=45º时，光波在任何两种介质分界面上的反射都有r p=r s2。

证明：r s=sin(θ1−θ2)sin(θ1+θ2)=sin45ºcosθ2−cos45ºsinθ2 sin45ºcosθ2+cos45ºsinθ2=cosθ2−sinθ2 cosθ2+sinθ2=1−tanθ21+tanθ2r p=tan(θ1−θ2) tan(θ1+θ2)=(tan45º−tanθ2)/(1+tan45ºtanθ2) (tan45º+tanθ2)/(1−tan45ºtanθ2)=(1−tanθ21+tanθ2)2=r s21.10证明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面时，下表面的入射角也是布儒斯特角。

证明：由布儒斯特角定义，θ+i=90º，设空气和玻璃的折射率分别为n1和n2，先由空气入射到玻璃中则有n1sinθ=n2sin i，再由玻璃出射到空气中，有n2sinθ′=n1sin i′，又θ′=i，∴n1sin i′= n1sinθ⇒i′=θ，即得证。

1.11平行光以布儒斯特角从空气中射到玻璃(n=1.5)上，求：（1）能流反射率R p和R S；（2）能流透射率T p和T s。

解：由题意，得n=n2n1= 1.5，又θ为布儒斯特角，则θ+ i=90°.....①n1sinθ=n2si̇n i⇒sinθ=nsini..... ②由①、②得，θ=56.31°，i=33.69°。

（1）R p=tan2(θ−i)tan2(θ+i)=0，R s=sin2(θ−i)sin2(θ+i)=0.148= 14.8%，（2）由R p+T p=1，可得T p=1，同理，T s=85.2%。

1.12证明光波在布儒斯特角下入射到两种介质的分界面上时，t p=1n⁄，其中n=n2∕n1。

证明：t p= 2sinθ2cosθ1sin(θ1+θ2)cos(θ1−θ2)，因为θ1为布儒斯特角，所以θ2+θ1=90°，t p=2sinθ2cosθ1 sin90°cos(θ1−θ2)=2sinθ2cosθ1 cos(90°−θ2−θ2)=2sinθ2cosθ1sin(2θ2)=2sinθ2cosθ1 2sinθ2cosθ2=sinθ2sinθ1，又根据折射定律n1sinθ1=n2sinθ2，得sinθ2sinθ1=n1n2=1n，则t p=1n，其中n=n2∕n1，得证。

1.17利用复数表示式求两个波E1=a cos(kx+ωt)和E2=−a cos(kx−ωt)的合成。

解：E=E1+E2=a[cos(kx+ωt)−cos(kx−ωt)]=aexp[i(kx+ωt)]−aexp[i(kx−ωt)]=aexp(ikx)(e iωt−e−iωt)=2a sin(ωt)exp(i cos kx−sin kx)=−2aexp[i(kx+π2)]sin(ωt)。

1.18两个振动方向相同的单色波在空间某一点产生的振动分别为E1= a1cos(φ1−ωt)和E2= a2cos(φ2−ωt)。

若ω= 2π×1015Hz，a1=6V/m，a2=8V/m，φ1=0，φ2=π∕2，求该点的合振动表达式。

解：E=E1+E2= a1cos(φ1−ωt)+a2cos(φ2−ωt)=6cos(−2π×1015t)+8cos(π2−2π×1015t)=6cos(2π×1015t)+ 8sin(2π×1015t)=10cos(arccos610−2π×1015t)=10cos(53°7′48′′−2π×1015t)。

1.20求如图所示的周期性三角波的傅立叶分析表达式。

解：由图可知，E(z)= {z(0<z≤λ2⁄)−z+λ(λ∕2<z≤λ)，A0=2λ∫E(z)ⅆzλ=2λ(∫zⅆzλ∕2+∫(−z+λ)ⅆzλλ∕2)=λ2，A m=2λ∫E(z)cosλ(mkz)ⅆz=2λ（∫E(z)cos mkzⅆz λ2⁄+∫E(z)cos mkzⅆzλλ2⁄）=⁡2λ·(−22m2k2)=−8λ·λ2m2(2π)2=−2λm2(2π)2，（m为奇数），B m=2λ∫E(z)sinmkzⅆz=0λ，所以E(z)=λ4−2λπ2∑(cos mkz m2⁄)∞m=1=λ4−2λπ2(cos kz12+cos3kz32+cos5kz52+···)。

1.21试求如图所示的周期性矩形波的傅立叶级数的表达式。

解：由图可知，E(z)= 1(−λ∕a<z<λ∕a)，A0=2λ∫E(z)ⅆzλ=2λ(∫ⅆzλ∕a+∫ⅆzλλ−λ∕a)=4aA m=2λ∫E(z)cosλ(mkz)ⅆz=2λ(∫cos mkzⅆz+λa⁄∫cos mkzⅆzλλ−λa⁄)=2πmsin2mπa，B m=2λ∫E(z)sinmkzⅆz=0λ，所以E(z)=2a+∑2πm∞m=1sin2mπacos mkz。

1.22利用复数形式的傅里叶级数对如图所示的周期性矩形波做傅里叶分析。

解：由图可知，E(z)={1(0<z<λ2⁄)−1(λ2⁄<z<λ)，A0=2λ∫E(z)ⅆzλ=∫ⅆzλ∕2+∫(−1)ⅆzλλ∕2=0， A m =2λ∫E (z )cos λ0(mkz )ⅆz =0， B m =2λ∫E (z )sinmkz ⅆz λ0， =2λ(∫sin mkz ⅆz λ0−∫sin mkz ⅆz λλ∕2)=1πm (2−2cos mπ)， 所以E (z )=1π∑1m(2−∞m=12cos mπ)sin mkz=4π(sin kz +13sin 3kz +15sin 5kz +···)1.23氪同位素k r 86放电管发出的红光波长为λ=605.7nm ，波列长度约为700mm ，试求该光波的波长宽度和频率宽度。

解：由题意，得，波列长度2L =700mm ， 由公式Δλ=λ22L=605.72700×106=5.2×10−4nm ，又由公式2L =c/Δν，所以频率宽度Δν= c2L =3×108700×10−3Hz =4.3×108Hz 。

1.24某种激光的频宽Δv =5.4×104Hz ，问这种激光的波列长度是多少？解：由相干长度D max =λ2Δλ=cΔν，所以波列长度2L =λ2Δλ=cΔν=3×1085.4×104=5.55×103m。