数值计算与最优化复习1答案
数值计算课后习题答案(全)
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
数值计算课后答案1
习题一解答1．取 3.14 ，3.15 ，22，355作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对7113误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理 2 后，可以根据定理 2 更规地解答。
根据定理 2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（ 1）绝对误差 :e(x)= π－ 3.14 ＝3.14159265 － 3.14 ＝0.00159 ≈ 0.0016 。
相对误差：e r ( x)e(x)0.00160.51 10 3x 3.14有效数字：因为π＝ 3.14159265=0.314159265× 10，3.14 ＝0.314 ×10， m=1。
而π－ 3.14 ＝3.14159265 － 3.14 ＝0.00159所以│π－ 3.14 │＝ 0.00159 ≤ 0.005=0.5 ×10－2＝11021101 3 22所以， 3.14 作为π的近似值有 3 个有效数字。
（ 2）绝对误差 :e(x)= π－ 3.15 ＝3.14159265 － 3.14 ＝－ 0.008407 ≈－ 0.0085 。
相对误差：e r ( x)e(x)0.00850.27 10 2x 3.15有效数字：因为π＝ 3.14159265=0.314159265× 10，3.15 ＝0.315 ×10， m=1。
而π－ 3.15 ＝3.14159265 － 3.15 ＝－ 0.008407所以│π－ 3.15 │＝ 0.008407 ≤ 0.05=0.5 × 10－1＝110 11101 2 22所以， 3.15作为π的近似值有 2 个有效数字。
最优化复习题及答案
最优化复习题及答案一、选择题1. 最优化问题中，目标函数的值随着决策变量的变动而变动，我们称之为：A. 约束条件B. 可行域C. 目标函数D. 决策变量答案：C2. 在线性规划问题中，如果所有约束条件和目标函数都是线性的，则该问题被称为：A. 非线性规划B. 整数规划C. 线性规划D. 动态规划答案：C3. 以下哪个算法是用于求解无约束最优化问题的？A. 单纯形法B. 梯度下降法C. 拉格朗日乘子法D. 分支定界法答案：B二、填空题4. 在最优化问题中，满足所有约束条件的解称为________。
答案：可行解5. 当目标函数达到最大值或最小值时的可行解称为________。
答案：最优解6. 拉格朗日乘子法主要用于求解带有等式约束条件的________问题。
答案：最优化三、简答题7. 简述单纯形法的基本思想。
答案：单纯形法是一种用于求解线性规划问题的算法。
它通过在可行域的顶点之间移动，逐步逼近最优解。
在每一步中，选择一个进入基的变量，使得目标函数值增加最多，同时选择一个离开基的变量，使得目标函数值不降低。
通过这种方法，单纯形法能够找到线性规划问题的最优解。
8. 解释什么是局部最优解和全局最优解。
答案：局部最优解是指在目标函数的邻域内没有其他解比当前解更优的解。
而全局最优解是指在整个可行域内没有其他解比当前解更优的解。
局部最优解不一定是全局最优解，但全局最优解一定是局部最优解。
四、计算题9. 假设有一个生产问题，需要最小化成本函数 C(x, y) = 3x + 4y，其中 x 和 y 分别表示生产两种产品的产量，且满足以下约束条件： - 2x + y ≤ 12- x + 2y ≤ 18- x, y ≥ 0请求解该最优化问题。
答案：首先，我们可以画出约束条件所形成的可行域。
然后，检查可行域的顶点，这些顶点分别是 (0,0), (0,9), (6,0), (3,6)。
计算这些顶点处的成本函数值，我们得到：- C(0,0) = 0- C(0,9) = 36- C(6,0) = 18- C(3,6) = 30成本函数的最小值为 18，对应的最优解为 (x, y) = (6, 0)。
数值计算与最优化试卷(lu) - 答案
湖南大学课程考试试卷课程名称：《数值计算与最优化》 试卷编号：C 考试时间：120分钟一．填空题 （每空3分，共30分）1、Matlab 中，绘制线性二维图的命令是（ plot ）。
2、123456789A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，index=[1 3]，B=A(index,:)，B=( 123789⎡⎤⎢⎥⎣⎦)。
3、111031272A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，对A 进行LU 分解，L=( 100010231⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦)，U=( 111031004⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦)。
4、2()5f x x =+，则[1,2,3,4]f =( 0 )。
5、正方形的边长大约为100cm ，为了使测量面积误差不超过1cm 2，测量时边长误差不能超过（ 0.0005）厘米。
6、当阶n 为偶数时，Newton-Cotes 求积公式至少有（ n+1 ）次代数精度。
7、在Legendre 多项式中，P 2(x)=(21(31)2x - )。
8、()sin f x x =，()cos g x x =，在[,]ππ-上的内积(,)f g =( 0 )。
9、用松驰迭代法解方程组，要求迭代收敛，松驰因子应满足( 02w << )。
二．判断题（每个2分，共10分）1、 3.1415926535π=，则 3.1415具有5位有效数字。
（ ╳ ）2、如果矩阵A 的特征值为（1，3，5），则1(3)A I -+的特征值为111(,,)468。
（ √ ） 3、利用Jaccobi 迭代法求解Ax=b ，如果1()1I D A ρ--<，则迭代收敛。
（ √ ） 4、n 个节点的高斯求积公式具有2n+1次代数精度。
（ √ ） 5、(2,4,5)T x =-，1||||11x =，2||||5x =。
（ ╳ ）三．计算题（6个题中任选4个，每个10分，共40分,但学生自己必须注明做哪4个题，否则不给分）1、用列主元法求解方程组1231212332641077556x x x x x x x x -++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩ 解：增广矩阵形式 3264107075156-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（2分）选主元 1070732645156-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦消元 1070700.16 6.10 2.55 2.5-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （3分）选主元 107070 2.55 2.500.16 6.1-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦消元107070 2.55 2.500 6.2 6.2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （3分） 回代解得3211,1,0x x x ==-=（2分）2、给定f(x)用Newton解：给出均差表 (5分)3()22(1) 2.5(1)( 1.2)8.333333(1)( 1.2)( 1.4)N x x x x x x x =+----+---（3分）3(1.1)(1.1)22(1.11) 2.5(1.11)(1.1 1.2)8.333333(1.11)(1.1 1.2)(1.1 1.4) 2.25f N ≈=+----+---=（2分）3、利用牛顿法求解3()310f x x x =--=在02x =附近的实根，准确到四位有效数字。
最优化课后习题答案
最优化课后习题答案最优化课后习题答案最优化是一门重要的数学学科，它研究如何在给定的约束条件下，找到一个最优的解决方案。
在学习最优化课程时，我们通常会遇到一些习题，这些习题旨在帮助我们理解和应用最优化的原理和方法。
本文将为大家提供一些最优化课后习题的答案，以帮助大家更好地掌握这门学科。
1. 线性规划问题线性规划是最优化中的一个重要分支，它主要研究线性约束条件下的最优解。
下面是一个线性规划问题的示例：Maximize Z = 3x + 5ySubject to:x + y ≤ 62x + y ≤ 8x, y ≥ 0首先，我们需要将目标函数和约束条件转化为标准形式。
将不等式约束转化为等式约束，引入松弛变量，得到以下标准形式：Maximize Z = 3x + 5ySubject to:x + y + s1 = 62x + y + s2 = 8x, y, s1, s2 ≥ 0接下来，我们可以使用单纯形法求解该线性规划问题。
根据单纯形法的步骤，我们可以得到最优解为 Z = 22，x = 2，y = 4，s1 = 0，s2 = 0。
2. 非线性规划问题除了线性规划，最优化还涉及到非线性规划问题。
非线性规划是指目标函数或约束条件中存在非线性项的最优化问题。
下面是一个非线性规划问题的示例：Minimize f(x) = x^2 + 3x + 5Subject to:x ≥ 0对于这个问题，我们可以使用求导的方法来找到最优解。
首先，求目标函数的导数：f'(x) = 2x + 3将导数等于零，解得 x = -1.5。
由于约束条件x ≥ 0，所以最优解为 x = 0。
3. 整数规划问题整数规划是指在最优化问题中，决策变量必须取整数值的情况。
下面是一个整数规划问题的示例：Maximize Z = 2x + 3ySubject to:x + 2y ≤ 10x, y ≥ 0x, y 为整数对于这个问题，我们可以使用分支定界法来求解。
数值计算与最优化复习2答案
《数值计算与最优化》期末考试复习2一、填空（每题3分×12题）1．经过四舍五入得出1 6.1025x =，280.115x =，试问它们分别具有 5 ， 5 位有效数字。
1x +2x 的绝对误差限是 0.5ⅹ101-5+0.5ⅹ102-5 。
2．设()1(0)n n n f x a x a =+≠，则011[,,...,]n f x x x += 0 。
3．n 个节点的高斯求积公式具有 2n+1 次代数精度。
4．将区间[a,b]分为n 等份，复化梯形公式为 (b-a)/(2n)(f1+2f2+2f3+..+2fn+f n+1) 。
5．已知矩阵4316A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则1||||A = 9 ，||||A ∞= 7 。
6．矩阵369282271218A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的Crout 分解为A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
527042003- 1004103217．用迭代法解线性方程组(1)()k k x Bx f +=+,若0230B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，55f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则此方法 不收敛 （填“收敛”或者“不收敛”）。
8．设Ax=b ，用SOR 迭代法解线性方程组，收敛的条件是（1）A 为 可逆 矩阵；（2）ω的取值范围是 0<ω<2 。
910．求方程23xx e -12ln ln 3k k x x +=+则 发散 。
（填“收敛”或者“发散”） 11．线性规划问题的基可行解X 对应于可行域D 的 基变量 。
12．将下列数学模型123123123123123max 23..72325,0,z x x x s t x x x x x x x x x x x x =-+-⎧++≤⎪-+≥⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩为无约束化为标准型 。
解：min -z=x 1-2x 2+3x 3s.t. x 1+x 2+x 3+x 4=7x 1-x 2+x 3-x 5=2-3x 1+x 2+2x 3=5二、判断（每题1分×4题）1． 将3.141作为π的近似值，则它具有4位有效数字。
最优化计算方法课后习题答案----高等教育出社。施光燕
习题二包括题目： P36页 5（1）（4）5（4）习题三包括题目：P61页 1(1)(2); 3; 5; 6; 14；15(1) 1(1)(2)的解如下3题的解如下5,6题14题解如下14. 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T-处的牛顿方向。
解：已知 (1)(4,6)T x=-，由题意得121212212121212(6)2(233)(3)()2(6)2(233)(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +++-----⎛⎫∇= ⎪+++-----⎝⎭∴ (1)1344()56g f x -⎛⎫=∇=⎪⎝⎭21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------⎛⎫∇= ⎪+--------+--⎝⎭∴ (1)2(1)1656()()564G x f x --⎛⎫=∇=⎪-⎝⎭(1)11/8007/400()7/4001/200G x --⎛⎫= ⎪--⎝⎭∴ (1)(1)11141/100()574/100d G x g -⎛⎫=-=⎪-⎝⎭15（1）解如下15. 用DFP 方法求下列问题的极小点（1）22121212min 353x x x x x x ++++解：取 (0)(1,1)T x=，0H I =时，DFP 法的第一步与最速下降法相同2112352()156x x f x x x ++⎛⎫∇= ⎪++⎝⎭， (0)(1,1)T x =，(0)10()12f x ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭(1)0.07800.2936x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， (1)1.3760() 1.1516f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭以下作第二次迭代(1)(0)1 1.07801.2936x x δ-⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭， (1)(0)18.6240()()13.1516f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪-⎝⎭0110111011101T T T TH H H H H γγδδδγγγ=+- 其中，111011126.3096,247.3380T T TH δγγγγγ===111.1621 1.39451.3945 1.6734Tδδ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， 01101174.3734113.4194113.4194172.9646T TH H γγγγ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以10.74350.40560.40560.3643H -⎛⎫= ⎪-⎝⎭(1)(1)1 1.4901()0.9776dH f x -⎛⎫=-∇= ⎪⎝⎭令 (2)(1)(1)1xx d α=+ ， 利用 (1)(1)()0df x d d αα+=，求得 10.5727α=-所以 (2)(1)(1)0.77540.57270.8535xx d⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)0.2833()0.244f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭以下作第三次迭代(2)(1)20.85340.5599x x δ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)(1)2 1.0927()()0.9076f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪⎝⎭22 1.4407T δγ=- ， 212 1.9922T H γγ=220.72830.47780.47780.3135T δδ-⎛⎫=⎪-⎝⎭1221 1.39360.91350.91350.5988T H H γγ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭所以22122121222120.46150.38460.38460.1539T T T TH H H H H δδγγδγγγ-⎛⎫=+-= ⎪-⎝⎭(2)(2)20.2246()0.1465d H f x ⎛⎫=-∇= ⎪-⎝⎭令 (3)(2)(2)2xxdα=+ ， 利用(2)(2)()0df x d d αα+=，求得 21α=所以 (3)(2)(2)11x x d ⎛⎫=+=⎪-⎝⎭， 因为 (3)()0f x ∇=，于是停止 (3)(1,1)T x =-即为最优解。
最优化习题答案及复习资料
6
,12
T
)
17 17
g
=(
6
,12
T
)
2 17 17
β g d = −
(d ) d 1
T
A
2
(1) T
(1)
A
(1)
=
1 298
− 90
d g β d (2) = −
+
2
1
(1)
=
−
289 210 289
α 线性搜索得步长：
= 1.7
2
x x α d (3) = (2) +
2 (2) = 11
x(1) = (1,1,1)T
.验证
d x x d (1) =(1,0,-1)是 f(x)在点 (1) 处的一个下降方向,并计算 min f( (1) +t (1) )
t>0
证明:
∇f (x) =
(2
x1,3x
2 2
+
2
x3−1,4
x
3+
2
x
2−1)T
∇f (x1) = (2,4,5)T
2
d
∇f
(
x
=
x2
−
(x2 − x1) f ′(x2) −
f f
′( x2) ′( x1)
或者
x
=
x1
−
(x2 − x1) f ′(x2) −
f f
′( x1) ′( x1)
证明：1）设ϕ(x) = a x2 + bx + c （ a ≠ 0 ）
则 ϕ ′(x) = 2ax + b
ϕ ′(x1) = 2a x1 + b = f ′(x1)
数值计算方法期末复习答案终结版
一、 名词解释1．误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差，简称误差。
2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。
如果近似值*x 的误差限是1102n -⨯，则称*x 准确到小数点后n 位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。
3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。
计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。
4. 向量范数：设对任意向量n x R ∈，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x ，若||||x 满足（1）||||0x ≥，且||||0x =当且仅当0x =； （2）对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ； （3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。
5. 插值法：给出函数()f x 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似的方法。
6相对误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*x 的相对误差，记为*()r e x ，即**()()r e x e x x=7. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A 。
若||||A 满足（1）||||0A ≥，且||||0A =当且仅当0A =； （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ；（3）对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+； （4）||||||||AB A =||||B 称||||A 为矩阵A 的范数。
最优化计算方法与实现 复习题
最优化计算方法与实现 复习题 （工程硕士用） 一、 填空题（1）MATLAB 在数值运算具备了比其他软件更全面、更强大的_____________功能（2）语句(5,4)b ones =的功能是_________________________________。
（3）A 为矩阵，语句A(r,:)表示_____________________（4）在MATLAB 中，实现循环结构，用__________________或___________语句。
（5）建立优化问题数学模型的三要素包括：____________________________________(6) 用MATLAB 求解最优化问题数学模型时，问题的类型一般都是___________________。
（7）函数optimset 的主要功能是_______________________。
（创建或优化选项参数结构） （8）优化工具箱要求非线性不等式约束为____________________________。
（9）在函数调用格式：[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)中，A 表示____________________，Aeq 表示_______________________，lb 表示___________________，ub 表示_______________。
（10）在Matlab 中,求解无约束优化问题的多变量函数有_________________________________________ （11）将代数式0.8cos(/8)| 1.5|e π-++写成MATLAB 语言的表达式______________________（12）整数规划包含四种类型，分别是_____________________________________________. (13)线性规划的主流解法是__________________________________。
最优化方法练习题答案
练习题一1、建立优化模型应考虑哪些要素?答：决策变量、目标函数和约束条件。
2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。
min f(x)答：针对一般优化模型s..t g i x 0,i 1,2, m，讨论解的可行域D，若存在一点h j x 0,j 1, ,pX*D，对于X D均有f(X*) f(X)则称X*为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列X(1),X(2),,X(K) ，满足f(X(K1))f(X(K))，则迭代法收敛；收敛的停止准则有x(k1)x(k)x(k1) x(k)，，x(k)f x(k1) fx(k)fx(k1) f x(k)fx(k)，，等等。
f x(k)练习题二1、某公司看中了例 2.1中厂家所拥有的3种资源R1、R2、和R3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。
如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例 2.1的对偶问题）。
解：确定决策变量对3种资源报价y1,y2,y3作为本问题的决策变量。
确定目标函数问题的目标很清楚——“收购价最小”。
确定约束条件资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。
因此有如下线性规划问题：min w 170y1100y2150y35y12y2y310s..t2y13y25y318y1,y2,y30*2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。
答：略。
3、用单纯形法求解下列线性规划问题：minz x1x2x3minz 4 x2x3x1x22x3 2 x12x2x3 22x1x2x3 3；x22x3x4 2（1）s.t.x3（2）s.t.x2x3x55x1 4x1,x2,x30 x i0 (i 1,2,,5) 解：（1）引入松弛变量x4，x5，x6minz x1x2x30*x40*x50*x6x1x22x3x4=22x1x2x3x5 =3s..tx3 x6=4x1x1,x2,x3,x4,x5,x60cj→1-1 100 0CB 基b x1 x2 x3 x4 x5 x 60 x4 2 1[1]-2 10 00 x5 3 2110 1 00 x6 4 -1 0100 1cj-zj1-1 100 0 因检验数σ2<0，故确定x2为换入非基变量，以x2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x4作为换出的基变量。
最优化方法习题答案
习题一1.1利用图解法求下列线性规划问题： （1）21x x z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 5x 2x 2x x 3.t .s 212121 解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在A 点取得最优值，最优值z=5（2）21x 6x z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+0x ,x 7x x 1x x 2.t .s 212121 解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点A 处取得最优值，最优值z=-6.（3）21x 2x 3z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≤+-0x ,x 4x 2x 1x x .t .s 212121 解：如图所示，可行域为图中阴影部分，易得原线性规划问题为无界解。
（4）21x 5x 2z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 2x x 6x 2x .t .s 212121 解：由图可知该线性规划可行域为空，则原问题无可行解。
1.2 对下列线性规划问题，找出所有的基解，基可行解，并求出最优解和最优值。
（1）4321x 6x 3x 2x 5z min -+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++0x ,x ,x ,x 3x 2x x x 27x 4x 3x 2x .t .s 432143214321 解：易知1x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21p 1，2x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12p 2，3x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=13p 3，4x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=24p 4。
①因为21p ,p 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧--=+--=+43214321x 2x 3x x 2x 4x 37x 2x ，令非基变量为0x x 43==，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=311x 31x 21，所以得到一个基解)0,0,311,31(x )1(-=是非基可行解； ②因为31p ,p 线性无关，可得基解)0,511,0,52(x)2(=，543z 2=；③因为41p ,p 线性无关，可得基解611,0,0,31(x )3(-=，是非基可行解；④因为32p ,p 线性无关，可得基解)0,1,2,0(x )4(=，1z 4-=；⑤因为42p ,p 线性相关，42x ,x 不能构成基变量； ⑥因为43p ,p 线性无关，可得基解)1,1,0,0(x )6(=，3z 6-=；所以)6()4()2(x ,x ,x是原问题的基可行解，)6(x 是最优解，最优值是3z -=。
最优化计算方法课后习题答案解析
习题二包括题目： P36页 5〔1〕〔4〕 5〔4〕习题三包括题目：P61页 1(1)(2); 3; 5; 6; 14；15(1) 1(1)(2)的解如下 3题的解如下 5,6题14题解如下14. 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T-处的牛顿方向。
解： (1)(4,6)T x=-，由题意得∴(1)1344()56g f x -⎛⎫=∇=⎪⎝⎭21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------⎛⎫∇= ⎪+--------+--⎝⎭∴(1)2(1)1656()()564G x f x --⎛⎫=∇=⎪-⎝⎭∴(1)(1)11141/100()574/100d G x g -⎛⎫=-=⎪-⎝⎭15〔1〕解如下15. 用DFP 方法求以下问题的极小点〔1〕22121212min 353x x x x x x ++++解：取 (0)(1,1)T x=，0H I =时，DFP 法的第一步与最速下降法一样2112352()156x x f x x x ++⎛⎫∇= ⎪++⎝⎭， (0)(1,1)T x =，(0)10()12f x ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭(1)0.07800.2936x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， (1)1.3760() 1.1516f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭以下作第二次迭代(1)(0)1 1.07801.2936x x δ-⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭， (1)(0)18.6240()()13.1516f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪-⎝⎭其中，111011126.3096,247.3380T T TH δγγγγγ===11 1.1621 1.39451.3945 1.6734T δδ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， 01101174.3734113.4194113.4194172.9646T TH H γγγγ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以 令 (2)(1)(1)1xx d α=+ ， 利用 (1)(1)()0df x d d αα+=，求得 10.5727α=-所以 (2)(1)(1)0.77540.57270.8535x x d ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)0.2833()0.244f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭以下作第三次迭代(2)(1)20.85340.5599x x δ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)(1)2 1.0927()()0.9076f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪⎝⎭22 1.4407T δγ=- ， 212 1.9922T H γγ=所以 令 (3)(2)(2)2xxdα=+ ， 利用(2)(2)()0df x d d αα+=，求得 21α= 所以 (3)(2)(2)11x x d ⎛⎫=+=⎪-⎝⎭， 因为 (3)()0f x ∇=，于是停顿 (3)(1,1)T x =-即为最优解。
最优化理论试题及答案
最优化理论试题及答案一、单项选择题1. 以下哪个函数是凸函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = -x^2C. f(x) = x^3D. f(x) = e^x答案：A2. 线性规划问题的基本解是：A. 基本可行解B. 可行解C. 基本解D. 基本最优解答案：A3. 单纯形法中，如果目标函数的最优值是无界的，则对应的解是：A. 无解B. 可行解C. 基本可行解D. 基本最优解答案：A4. 在拉格朗日乘数法中，拉格朗日函数是：A. 目标函数和约束条件的乘积B. 目标函数和约束条件的和C. 目标函数和约束条件的差D. 目标函数和约束条件的商答案：B5. 以下哪个算法用于解决非线性规划问题？A. 单纯形法B. 内点法C. 匈牙利法D. 动态规划答案：B二、多项选择题1. 以下哪些条件是凸优化问题的必要条件？A. 目标函数是凸函数B. 所有约束条件是凸集C. 目标函数是凹函数D. 所有约束条件是凹集答案：A, B2. 在线性规划中，以下哪些是可行域的性质？A. 非空B. 凸集C. 闭集D. 有界答案：A, B, C3. 以下哪些方法可以用于解决整数规划问题？A. 分支定界法B. 割平面法C. 单纯形法D. 动态规划答案：A, B, D4. 以下哪些是拉格朗日乘数法的用途？A. 寻找局部最优解B. 寻找全局最优解C. 确定约束条件的活跃性D. 确定目标函数的梯度答案：A, C5. 以下哪些是动态规划的基本要素？A. 状态B. 决策C. 阶段D. 策略答案：A, B, C三、填空题1. 一个函数f(x)是凸函数，当且仅当对于任意的x1, x2和任意的λ∈[0,1]，有f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)。
2. 线性规划问题的标准形式是：最大化或最小化目标函数z = c^T x，满足约束条件Ax ≤ b和x ≥ 0。
3. 单纯形法的基本思想是通过不断地从一个基本可行解移动到另一个基本可行解，直到找到最优解。
最优化方法习题答案
x3
-M
0
0
0
5
-1
1
2
x4
x5
1+ 2 M
0
3
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
1 3
1
x5
2 3
0
以 x1 为换入基， x5 作为换出基有
-1- M 3
1 3 1
3
-M
0
0
0
5
3
-1
1
1
3
x1
x2
x3
x4
x5
0
x2
0
x1
1
0
1
2
1
1
2
0
1
2
3
3 M
-5.5
2
2
1
1
1.5
2
2
3 3
0.5
22
以 x 4 换入， x 2 换出有
⑤因为 p2 , p4 线性相关， x 2 , x 4 不能构成基变量；
⑥因为 p3, p4 线性无关，可得基解 x(6) (0,0,1,1) ， z6 3 ；
所以 x(2) , x(4) , x(6) 是原问题的基可行解， x(6) 是最优解，最优值是 z 3 。
（2） max z x1 x2 2x3 x4 x5
x1 2x2 3x3 4x4 7 s.t.2x1 x2 x3 2x4 3
x1, x2 , x3, x4 0
解：易知
x1 的系数列向量
p1
1
2
，x 2
的系数列向量
p2
2
1
最优化方法习题答案
s.t.3x1 2x2 6 x1, x2 , x3 0
解：引入剩余变量 x 4 , x5 和人工变量 x6 , x7 ,利用两阶段法得到辅助线性规划 max w x6 x7 max z' 2x1 3x2 x3
x1 x2 x3 x4 1 s.t. x1 2x2 x5 4
xi 0,i 1,2,3,4,5
解：易知
x1
的系数列向量
p1
1
1
，
x2
的系数列向量
p2
1
2
，
x3
的系数列向量
p3
1
0
，
x4
的系数列向量 p4
1
0
，
x5 的系数列向量 p5
0
1
。
①因为 p1, p2
1 3 1
3
-M
0
0
0
5
3
-1
1
1
3
x1
x2
x3
x4
x5
0
x2
0
x1
1
0
1
2
1
1
2
0
1
2
3
3 M
-5.5
2
2
1
1
1.5
2
2
3 3
0.5
22
以 x 4 换入， x 2 换出有
x1
0
x4
0
x1
1
x2
x3
-3
-2
2
1
3
1
x4
x5
0
3M
-10
最优化计算方法课后习题集答案解析
解：取 ， 时，DFP法的第一步与最速下降法相同
， ，
，
以下作第二次迭代
，
其中，
，
所以
令 ， 利用 ，求得
所以 ，
以下作第三次迭代
，
，
所以
令 ， 利用 ，求得
所以 ， 因为 ，于是停止
即为最优解。
习题四
包括题目： P95页 3；4；8；9(1)；12选做；13选做
3题解如下
3.考虑问题 ，其中
X1,x2,x3≥0 （3）
求出点（1,1,0）处的一个下降可行方向.
解：首先检查在点（1,1,0）处哪些约束为有效约束。检查易知（1），X3≥0为有效约束。设所求可行方向d=(d1,d2,d3)T。根据可行方向d的定义，应存在a>0，使对∀t∈（0，a）能有
X+td=(1+td1,1+td2,0+td3)T
（1）
s.t.
（2）
s.t.
（1）解：非线性规划的K-T条件如下：
（1）
（2）
（3）
再加上约束条件 （4）
为求出满足（1）~（4）式的解，分情况考虑：
①若（4）式等号不成立，即 ，那么由（2）式得 ，将 代入（1）式解得 ， ，所得值不满足 的条件，故舍去。
②若（4）式等号成立，由（1）式可以解得 ， ，代入（4）式有：
JBi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
di0
1
1
0
-5/6
-1/6
1
10/6
4
0
0
38/6
2
0
1
-9/6
数值计算课后习题答案(全)
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
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《数算与最化》复值计优习1
一．填空题
1、Matlab中，清除屏幕的命令是（ clc ）。
2、y=100:-4:1,length(y)=( 25 )。
3、设y有5位有效数字，绝对误差限为( 0.5ⅹ10-4 )。
4、设pi的相对误差限≤0.000125,pi的有效数字位为( 4 )。
5、x i =i(i=1,2,3),f(x i )=x i ^3,f(x 1,x 2,x 3)=( 6 )。
6、用抛物型求积公式计算⎰-++1
14)12(dx x x 的值为( 8/3 )。
7、f(x)=x 3-6x 2+5x+1=0的Newton迭代公式为( x k+1=x k -(x k ^3-6x k ^2+5x k +1)/(3x k ^2-12x k +5) )。
8、A-qI的最大特征值为n，A的最大特征值为( n+q )。
9、Euler方法的局部离散误差为( O(h 2) )。
10、B的最小特征值为m，B -1-zI的最大特征值为( 1/m-z )。
11、用松驰迭代法解方程组，要求迭代收敛，松驰因子应满足( 0<w<2 )。
12、4次Newton-cotes求积公式的代数精度为( 5 )。
二．
1、四阶Runge-Kutta方法的局部离散误差为O(h 5)。
（ √ ）
2、非线性规划中的目标函数只能是非线性函数，约束函数可以为非线性函数。
（ ⅹ ）
3、clear是Matlab中清内存变量命令。
（ √ ）
4、Gauss型求积公式的代数精度不一定比Newton-cotes求积公式代数精度高。
(√ )
三．计算题
1、已测得直角三角形的斜边c和一直角边a的近似值为c *=5 , a *=3 ,若最大可能的误差分别是±0.15和±0.12，试求直角边所对应的角A可能的绝对误差？解：A=arcsin(a/c)
2、设x 0=-1 , x 1=0 , x 2=1 , x 3=2 , Lagrange 插值，并求出x=1.5时的值，估计出误差的范围。
解：L0(x)=-x(x-1)(x-2)/6 L1(x)=(x+1)(x-1)(x-2)/2
L2(x)=-(x+1)x(x-2)/2 L3(x)=(x+1)x(x-1)/6
Y(x)=(1+e)L0(x)+2L1(x)+(1+1/e)L2(x)+(1+1/e 2)L3(x) y(1.5)=1.2446
3、利用复化1/3simpson 公式计算⎰++=103)1(dx x x I ，取n=10，并与真值进行对比。
解：真解为7/4。
H=0.1
I=h/3*(f1+f11+4*(f2+f4+f6+f8+f10)+2*(f3+f5+f7+f9))=1.7376
4、求方程x2-x-1=0在x0=1附近的根，试给出三个迭代公式，并判断每一种迭代公式的收敛性，选一种收敛的迭代公式迭代3步，比较每一步的结果。
解：迭代公式如下：
第一种：x n+1=x n2-1 一阶导数2x>1 ，迭代不收敛
<1, 迭代收敛
第三种：x n+1=(x n+1)/x n 一阶导数-1/x2=1, 迭代不收敛
对第二种方法：
X0=1
X1=1.414
X2=1.553
5、给定实验数据如下：
x i-2-101234
y i-22-70251546
利用最小二乘拟合求三次拟合多项式。
解：设三次多项式为：s(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3
Xi yi xi2 xi3 xi4 xi5 xi6 xiyi xi2yi xi3yi
-2 -22 4 -8 16 -32 64 44 -88 176
-1 -7 1 -1 1 -1 1 7 -7 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 1 1 1 1 1 2 2 2
2 5 4 8 16 32 64 10 20 40
3 15 9 27 81 243 729 45 135 405
4 46 16 64 256 1024 4096 184 736 2944
于是得到正规方程为：
7a0+7a1+35a2+91a3=41
7a0+35a1+91a2+371a3=292
35a0+91a1+371a2+1267a3=798
91a0+371a1+1267a2+4955a3=3574
解方程得:a0=0.8095,a1=2.0198,a2=-2.5,a3=1.1944
S(x)=0.8095+2.0198x-2.5x2+1.1944x3
6、利用LU 分解求下列方程组的解
2x 1-
x 2+x 3=3
x 1+x 2+x 3=6
x 1+x 2-2x 3=-3
要求求出L 和U 矩阵并给出求解过程。
解：
LY=b y=[3,4.5,-9]’
UX=y x=[1,2,3]’
7解：直接用单纯形求解(x4,x5为基变量)：
C 5 0 21 0 0
X1 x2 x3 x4 x5 b
1 -1 6 -1 0 2
1 1
2 0 -1 1
Zj 0 0 0 0 0
λj 5 0 21 0 0
无解。
于是，先考虑引入自由变量x6和x7
Min z=x6+x7
s.t. x1-x2+6x3-x4+x6=2
x1+x2+2x3-x5+x7=1 xi>0
利用单纯形求该问题的最优解(x6,x7为基变量)。
C 0 0 0 0 0 1 1
X1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 b
X6 1 -1 6 -1 0 1 0 2 1/3
X7 1 1 2 0 -1 0 1 1 1/2
Zj 2 0 8 -1 -1 1 1 3
λj -2 0 -8 1 1 -1 -1
X3入基x6出基
X3 1/6 -1/6 1 -1/6 0 1/6 0 1/3
X7 2/3 4/3 0 1/3 -1 -1/3 1 1/3 1/4
Zj 2/3 4/3 0 1/3 -1 -1/3 1 1/3
λj -2/3 -4/3 0 -1/3 1 2/3 0
X2入基x7出基
X3 1/4 0 1 -1/8 -1/8 1/8 1/8 3/8
X2 1/2 1 0 1/4 -3/4 -1/4 3/4 1/4
Zj 0 0 0 0 0 0 0 0
λj 0 0 0 0 0 1 1
最优解x6=x7=0 min z=x6+x7=0
在此基础上，再求原问题的解：
C 5 0 21 0 0
X1 x2 x3 x4 x5 b
X3 1/4 0 1 -1/8 -1/8 3/8 3/2
X2 1/2 1 0 1/4 -3/4 1/4 1/2
Zj 21/4 0 21 -21/8 -21/8 63/8
λj -1/4 0 0 21/8 21/8
X1入基x2出基
X3 0 -1/2 1 -1/4 1/4 1/4
X1 1 2 0 1/2 -3/2 1/2
Zj 5 -1/2 21 -11/4 -9/4 31/4
λj 0 1/2 0 11/4 9/4
最优解x1=1/2，x3=1/4 min z=31/4
8、给定微分方程：y’=x2+x+1 , y(0)=1 , 0≤x≤1 , 试写出改进的Euler公式和隐式Euler公式，令h=0.2，求出每一种方法的结果。
解：改进的Euler公式:y n+1=y n+h/2(f(x n,y n)+f(x n+1,y n+hf(x n,y n)))
Y n+1=y n+h/2(x n2+x n+1+x n+12+x n+1+1)
=y n+h/2(x n2+x n+1+(x n+h)2+x n+h+1)
=y n+hx n2+hx n+h2x n+h/2(h2+h+2)
Y0=1;
Y1=y0+0.2/2(0.2^2+0.2+2)=1.224
Y2=1.5040
Y3=1.8560
Y4=2.2960
Y5=2.8400
隐式Euler公式:y n+1=y n+hf(x n+1,y n+1)
Y n+1=y n+h(x n+12+x n+1+1)
Y0=1
Y1=1.2480
Y2=1.5600
Y3=1.9520
Y4=2.4400
Y5=3.0400
四．证明推导题
证明Jacobi迭代收敛。
证明：Jacobi迭代格式可表示为：X(k+1)=BX(k)+F，其中B=。