中值定理证明不等式

中值定理证明不等式

摘要：不等式是初等数学中最基本的内容之一。中值定理是数学分析中最重要的定理之一，是研究数学问题的重要工具，并且它在数学解题中有着广泛的应用。本文本文要介绍的是如何利用中值定理证明不等式，对各种不同特点的问题类型进行分析、总结，并结合典型例子给出恰当的方法，对提高证明题的能力有很大的帮助。

关键字：中值定理、证明、不等式。

The identification of inequality by adopting isovalue

theorem

Abstracts:Inequality is that the elementary mathematics is hit by one of the most fundamental content.The isovalue theorem

is one of the important theorems,which is an important

tool to study in mathematic problems,and has a great

application in solving mathematics problems.The paper

focuses on how to identify inequality,analying and

summariz ing the solutions according to problems with

different characteristics,combining typical examples to

show resonable solutions to them.It can improve the

ability of identification greatly.

Key words:Isovalue theorem;identification;inequality.

引言

我们在日常教学中会常常遇到不等式的证明问题，不等式是初等数学中最基本的内容之一。我们有必要把这类问题单独拿出来进行研究，找出它们的共性，以方便我们日后的教学研究工作的开展。不等式也是数学中的重要内容，也是数学中重要方法和工具。中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及积分中值定理等。以拉格朗日中值定理(也称微分中值定理)为中心，介值定理是中值定理的前奏，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定积分中值定理则是它的推广。

第一章、微分中值定理部分

1.1、微分中值定理理论

在一般数学分析教材中，拉格朗日定理和柯西定理的证明，通常都以洛尔定理为其预备定理，证明的关键有于构造出辅助函数来。尽管辅助函数的引入基于十分明显的几何事实，但是这种新颖的论证方法仍然成为教学上的难点，对于如何去构造出同时能满足几个条件的辅助函数来，初学者常有不可捉摸之感，犹以拉格朗日中值定理首当其冲。为此，教学中必须重视突破难点，着力去阐明拉格朗日中值定理的论证方法。

介值定理：设函数F(x)在闭区间[a，b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值F(a)=A及F(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数c，在开区间(a，b)内至少有一点，使得。

ξ()()F c a b ξξ=<<罗尔定理(Roll)：如果函数F(X)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F(a)=F(b)，那么至少有一点,，使得。

()a b ξξ<<'()0F ξ=拉格朗日中值定理(Lagrange)：如果函数F(X)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么至少有一点，使

()a b ξξ<<'()()()()F b F a F b a ξ−=−成立。

柯西中值定理（Cauchy）：如果函数F(X)及G(X)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且(X)≠0，那么至少有一点，使等式

G ，()a b ξξ<<,,()()()

()()()

F b F a F

G b G a G ξξ−=−成立。

证明不等式和等式是涵盖面很大的一类问题，证明的方法又很多，这里要介绍的是如何针对不同问题的特点利用以上中值定理来证明不等式和等式。1.2、拉格朗日中值定理证明不等式的巧用

我们知道．证明不等式的常用方法是：比较法、分析法、综合法数学归纳法等，这些方法是证明不等式的有效方法，但是．它们在证明某些不等式时这些方法就感到不方便，甚至根本证明不了。例如：1(0)x e x x >−≠求证：1(0)

x e x x >−≠求证：证明这两个等式时，上述方法就无法应用我们再仔细观察上述不等式就会

发觋．它们都有一个共同的特征．不等式进行变形后具有拉格朗日公式的形式．针对这种情况、给出一种证明方法．使上述不等式就能较快地得出证明，本文给出的方法就是用拉格朗日中值定理证明不等式的方法．拉格朗日中值定理是证明不等式一个有力工具．下面我们举例说明．

利用微分中值定理证明的关键在于函数和区间的选取。

例11h

h

≠+证明:对一切h>-1，h 0成立不等式

∈证明:考虑函数f(x)=ln(1+x),x (0,h)

[]0h 显然函数在，上连续，在开区间上得

，

()()ln 1ln 1ln1.01

1h

h h h θθ+=+−=<<+;(1)

11h h

h h h

θ∴<<++当h>0时，;(2)

11h h

h h h

θθ∴<<++当-11+h>1+h>0由（1）（2）知，当h>-1时,且h 0时,

≠。

()ln 11h

h h h <+<+例211()(),n n n n na b a b a nb b a −−−〈−〈−求证：当01时成立

1x F x ,(1)

n n x nx n −′==>证明：设F（），则（）'

1F x n nx −=当x>0时，（）为增函数，在区间上应用拉格朗日中值定理:

'()()

()()

F b F a F a b b a

ξξ−=<<−0,a b ξ′<<<由于F (x)单调递增,且故有

'''1

1

()()(),n n n n b a F a F F x na nb b a

ξ−−−<<<<−即11

()()

n n n n na b a b a nb b a −−−<−<−移项得这类证明问题关键是选取F(X)及在某区间上应用拉格朗日中值定理。选对函数和区间外，有时还要结合增减性来判断。

例3''()0,(0),

F x x <≥函数F(x)满足F(0)=0,求证：对任何a>0，b>0,有F(a+b)

证明：不妨设0

'1()(0)()

()F a F F a F a a

ξ−==

'11()()F a F ξξ=∈即，（0，a）

在[b，a+b]上应用拉格朗日中值定理得

'2()()

()F a b F b F a

ξ+−=

'22()()(),(,)

F a b F b aF b a b ξξ+=+∈+即