北京四中网校四重五步学习法

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四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法空间向量及其线性运算

空间向量及其线性运算一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●了解空间向量的概念，体会向量由平面向空间的推广过程．●掌握空间向量的线性运算，掌握向量共线的充要条件．●掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．重点难点：●重点：空间向量的线性运算和空间向量的数量积；空间向量共线与垂直的充要条件．●难点：空间向量的数量积，空间向量共线与垂直的充要条件．学习策略：●把向量的研究范围从平面扩大到空间，就得到空间向量，因此，空间向量是平面向量的推广，学习空间向量的相关概念及其运算时，完全类比平面向量的概念及其运算．二、学习与应用知识点一：空间向量的相关概念（一）空间向量的定义：在空间，我们把具有的量叫做向量．与平面向量一样，空间向量也用表示；记作：．注意：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的无关，只与有关，只要不改“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。

课堂笔记或者其它补充填在右栏。

预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID: #tbjx6#285416变，空间向量可在空间内任意，故我们称之为自由向量．（二）空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的叫做向量的长度或模，记作（三）空间向量的有关概念：零向量：长度为或者说起点和终点的向量，记为．单位向量：长度为的空间向量，即||a = ．相等向量：方向且模的向量．相反向量：方向但模的向量．共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫做共线向量或．a 平行于b 记作．共面向量：，叫做共面向量．两个规定：（1）与任意向量平行；（2）与任意向量垂直．注意：（1）当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是直线，也可能是直线．（2）向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是的．（四）两个向量的夹角已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作向量OA a =，OB b =，则A O B ∠叫做a 与b 的，记作．规定：,a b 〈〉的取值范围是当,0a b 〈〉=或π时，向量a 与b ，记作当,2a b π〈〉=时，向量a 与b ，记作知识点二：空间向量的加减法因为空间任意两个向量是共面的．定义空间向量的加法、减法、数乘向量及运算律与平面向量一样．（一）空间向量的加减法运算（1）如图,若,OA a AB b==，则OB =（2）如图，若,OA a OB b==则BA=（二）空间向量的加法运算律：加法交换律：a b+=加法结合律：()a b c++=注意：空间向量加法的运算律要注意以下几点：（1）首尾相接的若干向量之和，等于，即：1223341n nA A A A A A A A-++++=因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为，即：12233411n n nA A A A A A A A A A-+++++=；知识点三：空间向量的数乘（一）实数与空间向量的积的定义：实数λ与向量a 的积是一个，记为，模和方向规定如下：||a λ= ()R λ∈当0λ>时，a λ与向量a 的方向；当0λ=时，0a λ=；当0λ<时，a λ与向量a 的方向．（二）实数与空间向量的积的运算律：设λμ、为实数，则有结合律：)a λμ=（第一分配律：()a λμ+= 第二分配律：()a b λ+= （三）共线向量定理和共面向量定理共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是．共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与a 、b 共面的充要条件是．知识点四：空间向量的数量积（一）数量积定义已知空间两向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的，记作，即a b ⋅= ．注意：空间两向量的数量积是一个，实数与空间向量的积是一个．（二）空间向量数量积的运算律（1）a b ⋅= （交换律）；（2）()a b c ⋅+= （分配律）；（3）()a b λ⋅= ()R λ∈ （三）空间向量数量积的性质设,a b 是非零向量，e 是单位向量，则（1）||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>；（2）0a b ⋅=⇔ ；（3）2||a =或||a =；（4）cos,a b<>=；（5）||a b ⋅||||a b⋅CF的重心，M为DM、AQ．D【变式3】如图，平行六面体A 1B 1C 1D 1—ABCD ，M 分AC 成的比为12，N 分1A D 成的比为2，设AB a =，AD b =，1AA c =，试用a 、b 、c 表示MN ．例2．如图，已知长方体''''ABCD A B C D -，化简下列向量表达式：（1）'AA CB -；（2）111'222AD AB A A +-．总结升华：举一反三：【变式1】如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式：（1）111AA A B +；（2）11111122A B A D +；（3）111111122AA A B A D ++；（4）1111AB BC CC C A A A ++++．【变式2】已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则MG AB AD -+等于（）A ．32DB B ．3MG C ．3GM D ．2MG 例3．已知正方体''''ABCD A B C D -，点E 是上底面''''A B C D 的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值：（1）''BD xAD y AB z AA =++；（2）'AE xAD y AB z AA =++．举一反三：【变式】已知''''ABCD A B C D -是平行六面体．（1）化简12'23AA BC AB ++，并在图中标出其结果；（2）设M 是底面ABCD 的中心、N 是侧面''BCC B 对角线'BC 上的34分点，设'MN AB AD AA αβγ=++，试求α、β、γ的值．例4．若三棱锥O 一ABC 中G 是ΔABC 的重心，求证：1()3OG OA OB OC =++．总结升华：举一反三：【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：''2'AC AB AD AC ++=．【变式2】如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，试证：1()2EF AB DC =+．类型二：共线向量定理的应用例5．已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．（1）用向量法证明BD ∥平面EFGH ；（2）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任意一点O ，有1()4OM OA OB OC OD =+++．总结升华：举一反三：【变式1】设1e 、2e 是平面上不共线的向量，已知122AB e k e =+，123CB e e =+，122CD e e =-，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值．解：【变式2】V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且V A =VB =VC =VD ，13VP VC =，23VM VB =，23VN VD =．求证：V A ∥平面PMN ．【变式3】如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是A 1D 1、D 1D 、D 1C 1的中点．求证：平面EFG ∥平面AB 1C ．类型三：空间向量的数量积的计算例6．已知||2a =，||3b =，,60a b 〈〉=︒，求|2-3|a b 的值．解：举一反三：【变式1】已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|2|a b c -+等于（）AB ．5C ．6 D【变式2】设a b ⊥，,3a c π〈〉=，,6b c π〈〉=，且||1a =，||2b =，||3c =，则向量a b c ++的模是．【变式3】已知：0a b c ++=, ||3,||1,||4a b c ===，试计算a b b c c a ⋅+⋅+⋅．解：类型四：利用空间向量的数量积求线段的长度例7．在直二面角的棱上有两点A 、B ，AC 和BD 各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB ，设AB =8cm ，AC =6cm ，BD =24cm ，求CD 的长．总结升华：举一反三：【变式1】已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC =120°，PA =AB =BC =6，求线段PC 的长．【变式2】已知平行六面体''''ABCD A B C D-中，AB=4，AD=3，AA′=5，90BAD∠=，∠BAA′=∠DAA′=60°，则AC＇等于（）A．85 B．．50类型五：利用空间向量的数量积求异面直线所成的角例8．正四面体S—ABC中，E、F分别为SA和BC的中点，求异面直线BE和SF所成角．总结升华：举一反三：【变式1】如图所示，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求异面直线OA与BC所成角的余弦值．A CSEF【变式2】如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，M、N分别是11A B和1BB 的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值是（）ABC．25D．35【变式3】正四棱锥C ABDE-中，2CA AB==，M N，分别是AC BC，的中点，求EM AN，所成角的余弦值．类型六：空间向量的数量积在立体几何中的应用例9．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点．（1）求证：MN为AB和CD的公垂线；（2）求MN的长；（3）求异面直线AN与MC所成角的余弦值．DABCENM总结升华：举一反三：【变式】如图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．（1）求AC 1的长；（2）求AC 1与面ABCD 所成的角．三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

北京四中的学习方法

北京四中学习方法这是一种非常符合中国教育的学习方法。

这种教育，应付中国式的考试是一点问题也没有，素质教育21年，升学率100%，重点大学90%以上，一半考入清华、北大。

高考中基础题不失分，高考复习知识点命中率100%，题型覆盖率100%，直接命中高考题70%，贴题率90%。

高考中分值差异低于100分。

研究北京四中的模式发现自学是解决学习成绩问题唯一出路。

高考状元不上辅导班、不请家教，北京四中3：25放学，强迫学生养成自学能力。

1 .“自学是解决学习成绩问题唯一出路”做个游戏，家长用筷子喂孩子吃一顿饭，直到他厌烦为止，他要吃咸的就给他吃淡的，要吃甜的就给他苦的。

自学，就是要养成自己吃饭的能力。

2.学习是有规律的思维劳动，不是体力劳动与时间不成比例例如王涣生，第一个网络中学生，六年的中学课程有三年在病床上渡过，就这样一个病魔缠身的中学生，06年高考528分，考入首都师范大学计算机系，可见自学能力的高低很关键。

问题：1）学习方法和基础知识是造成学习成绩差异的根本原因2）被动学习是造成学生学习学习效率不高的原因。

从初中开始要求每天自学占40%以上。

3) 学习盲目是中游学生最困惑的问题。

尖子生与中等生根本差别是什么呢？基础不差，主要是学习方法。

尖子生就说：“小考之前小玩，大考之前大玩”。

中等生考试前搞了考前突击也没考第一，原因是学习方法，基础知识并没有多大差别。

3．学习方法和基础知识是学习成绩的构成要素学习成绩下滑后，家长给孩子找个辅导班，短期内学习成绩得到改善，实际上只是改善了孩子的基础知识，而学习方法在辅导班是学不到的。

辅导班对学生的学习方法是致命的摧毁。

特别是初一年级，是方法教育的关键一年。

孩子学习如盖一栋楼，这栋楼第一层没盖好的话就会越盖越歪。

在初一先忍住不上辅导班，实在不行再改正还来得及。

比如，孩子得了感冒，到了医院不管不顾就给插了一根很粗的管子，花很多钱，打最好的药，很快感冒好了，可结果发现孩子的抵抗力没有了。

北京四中学生的学习方法

1、以学为先。

在他们心目中，学习是正事，理应先于娱乐，一心向学，气定神闲，心无旁骛，全力以赴，忘我备战。

2、随处学习。

善用零碎时间，每天在晨跑中、吃饭时、课间、课前、休息前等零碎时间里记忆词语，背诵公式，破解疑难，调整情绪。

无论怎样各具特色，有一点他们是一致的：保证学习时间，学会见缝插针利用好空余时间，经过日积月累，效果很可观3、讲究条理。

将重要的学习用品和资料用书立或指向装好，分类存放，避免用时东翻西找。

每天有天计划，每周有周计划，按计划有条不紊地做事，不一暴十寒。

4、学会阅读。

学会速读和精读，提高单位阅读量。

学会读一本书或者一个单元的目录、图解和插图，提前了解内容，获取更有效的信息。

当积极的阅读者，不断的提问，直到弄懂字里行间的全部信息为止，特别要弄懂知识的起点和终点，梳理好知识要点。

5、合理安排。

该做啥时就做啥，在合理的时候做合理的事情，不背道而驰。

比如抓课堂效率，当堂听，当堂记，当堂理解，不理解的话课下或者当天找时间主动找老师请教，做到堂堂清。

比如利用好时间，勉励自己完成当天的学习任务，做到日日清。

比如能够劳逸结合，张弛有度，动静相宜。

比如坚持紧跟老师步伐复习，不误入歧途。

比如坚持勤睁眼常开口，对课本上的东西多看，对未懂的内容能多问。

6、善做笔记。

尖子生往往一边听课一边记重点，不是事无巨细全盘记录，特别善于记下老师补充的东西，课本上没有的东西特别是思维方法更是认真记录。

能及时整理笔记，对老师强调的重要知识点格外注意，特别注意让知识系统化，积极思考能解决什麼问题。

7、作业规范。

认真审题，冷静应答，把每次作业当作高考，作业工整，步骤齐全，术语规范，表述严谨。

规范不仅训练仔细认真品质，更能养成细心用心习惯，从而激发学习潜能。

8、勤于思考，善于思考。

这一条是重中之重，应贯穿于听课、做作业、复习等各个阶段。

比如：做完一道题后，要对答案，这里应有一个反思的过程，要弄清这道题考的是什么，用了哪些方法，为什么用这样的方法，怎样才能达到举一反三、触类旁通的效果，学生可以百度李晓鹏教育博客，已有非常具体的范例和方法指导，我在这里就不再详述了。

等腰三角形

等腰三角形一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 通过观察发现等腰三角形的性质；● 掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明； ● 理解等腰三角形与等边三角形的相互关系； ● 能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形； ● 掌握等边三角形的特征和识别方法； ● 掌握一般文字命题的解题方法．重点难点：● 重点：等腰三角形的性质与判定． ● 难点：比较复杂图形、题目的推理证明．学习策略：● 通过轴对称的特征，探索出等腰三角形的性质及判定方法；在等腰三角形的基础上，探索等边三角形的性质和判定，并在此基础上体会“含30°角的直角三角形的性质”．二、学习与应用（一）由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看成由另一个图形经过后得到．（二）轴对称变换的性质：（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的、完全一样．（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于的对称点．知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

（三）作一个图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：（1）作出一些关键点或特殊点的．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．（四）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是；点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是；点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是．（五）点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是；点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是．知识点一：等腰三角形、腰、底边有两边的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫，第三条边叫，两腰的夹角叫，底边和腰的夹角叫．如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫三角形，其中AB、AC 为，BC为，∠A是，∠B、∠C是．知识点二：等腰三角形的性质（一）性质1：等腰三角形的两个底角（简称“”）．性质2：等腰三角形的顶角、底边上的、底边上的互相重合（简称“”）．在△ABC 中，AB =AC ，如图所示．作底边BC 的高AD ，则有,.A B A C A D A D =⎧⎨=⎩∴ Rt △ABD ≌ ． ∴ ∠B =∠C ，∠1=∠2．BD =CD ．于是性质1、性质2均得证．（三）说明：（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：；②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角的又一个重要依据．（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵ AB =AC ，AD ⊥BC ，∠1=∠2，∴ ；或∵ AB =AC ，BD =CD ，∠l =∠2，∴ ．②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的，通常情况只有条对称轴．知识点三：等腰三角形的判定定理（一）定理内容及证明如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也（简称“ ”），如图所示．证明：在△ABC 中，∠B =∠C ，作AD ⊥BC 于D ．则______,________________,_______.BAD BAD∠=⎧⎪∠==⎨⎪=⎩所以△ABD≌△ACD（AAS）．所以，AB=AC．（二）注意：（1）本定理的符号表示为：在△ABC中，．（2）本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据．另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆．知识点四：等边三角形（一）等边三角形定义：三边都的三角形叫等边三角形，如图所示．（二）注意：（1）由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括三角形．（2）等边三角形具有三角形的一切性质．知识点五：等边三角形的性质（一）等边三角形的性质：等边三角形三个内角都，并且每一个内角都等于．（二）理由如下：如上图所示，由AB=AC可得，同样可得∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C．而∠A+∠B+∠C=．则有∠A=∠B=∠C=．知识点六：等边三角形的判定（一）等边三角形的判定：（1）三个角都的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的三角形是等边三角形．（1）如下图所示，若∠A=∠B=∠C，可由∠A=∠B得，；由∠A=∠C得，．所以AB=AC=BC．于是判定（1）成立．（2）如上图所示，在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则有∠B==，于是∠A=∠B=∠C．由判定（1）得△ABC是等边三角形；若∠B=60°，则∠B==，于是∠A=60°，∠A=∠B=∠C．由判定（1）得△ABC是等边三角形．所以判定（2）成立．知识点七：直角三角形性质定理（一）定理内容：在直角三角形中，如果有一个锐角是，那么它所对的直角边等于的一半．（二）证明：如图所示，∠ACB=90°，∠A=30°．延长BC至B'使C B C B'=，则有AC 垂直平分BB'，故AB AB'=．又可得∠B=60°．于是△ABB'是，故2AB BB BC'==，所以___________BC=．即定理成立．类型一：与度数有关的计算例1．在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数．思路点拨：解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2=∠1+ ，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C=，所以把问题转化为欲找出∠2与∠B 之间有什么关系，变成△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了．总结升华：．举一反三：【变式1】如图，D、E在△ABC的边BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122°，求∠DAE的度数．DB C【变式2】△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30°，求∠EDC的度数．DC类型二：等腰三角形中的分类讨论例2．当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长．（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长．思路点拨：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“”，哪条边是“”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行讨论．总结升华：．举一反三：☆【变式1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数．☆【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250，求这个三角形的各个内角的度数．☆【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为400，求底角B的度数．☆【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，求腰长．类型三：证明题例3．（2011山东德州）如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．举一反三：☆【变式1】已知：如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB 于D，交AC于E．求证：BD+EC=DE．分析：因为DE=DF+ ，即结论为BD+EC=，分别证明BD=，CE=即可，于是运用“在同一三角形中，”易证结论成立．【变式2】已知，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ，CE 三等分∠ACB ，CD ⊥AB （如图所示）．求证：（1）AB =2BC ；（2）CE =AE =EB ．☆【变式3】已知：如图，ABC ∆中，AB ＝AC ，060=∠ABC ，AD ＝CE ，求BPD ∠的度数。

北京四中“3461”学习法详解

北京四中“3461”学习法详解北京四中的“3461”学习法中“3”指三个学习过程的排列规律；“4”指的是四个学习环节“学、查、改、纳”；“6”——是指高考状元具备的六个学习习惯；“1”一个学习计划。

“3”就是三个学习过程的排列规律(1）学校学习过程：主要完成、听、读、看、记，在学校老师那里获取知识。

(2）家庭学习过程：放学回家的学习过程，把学校学习的知识完成理解，发现没有学好的地方。

(3）周末把一周学习过程完成回顾，整理，对知识查缺补漏。

“4”指的是四个学习环节“学、查、改、纳”第一个过程：在学校学习主要是“学的环节”，记笔记就是一种学习习惯，学习成绩原自于学习习惯。

学生主要运用四个字“听、读、看、记”。

家长注意看孩子的课堂笔记。

家长每天上班，你怎么知道孩子在学校学习情况怎么样呢？很简单，回家用一分钟时间把孩子的课堂笔记扫描一遍。

就能知道他在学校学习情况。

注意孩子在听老师讲课时很难45分钟保持高度集中。

他们的课堂笔记是个大漏勺，每天回家后应该完成对课堂笔记的整理。

第二个学习过程：家庭学习，主要体现在“查和改”。

查：在学习完之后，很难有学生知道哪个地方学好，那个地方没学好。

就要完成查的过程。

怎么查呢？四招：课堂笔记、日复习、作业、考试。

改：找到漏洞后，就要完成改了。

作业的全对不能代表考试的全对。

“作业的最高境界做错的题，发现什么地方没学好。

”这是作业的最高境界。

改的方法就是：错题本。

“君子报仇7天不晚。

”错题本是日本学生发明的，80年代传到中国。

从北京四中传向全国。

河南有两个学校将“错题本”当作教学项目在全校推广。

每个班建立一个“错题银行”。

把做错的题存在里面。

什么时候取利息呢？在考试的时候，做错的题不再错，那就是“错题银行”的利息。

“6”——是指高考状元具备的六个学习习惯1.预习的习惯；2.复习的习惯；3.作业的习惯；4.思维的习惯；5.听课的习惯；6.作息的习惯。

有的同学考试的成绩没有作业的成绩好，就说考试没考好。

北京四中的学习方法

北京四中的学习方法北京四中模式：素质教育21年，升学率100%，重点大学90%以上，一半考入清华、北大。

高考中基础题不失分，高考复习知识点命中率100%，题型覆盖率100%，直接命中高考题70%，贴题率90%。

高考中分值差异低于100分。

研究北京四中的模式发现自学是解决学习成绩问题唯一出路。

高考状元不上辅导班、不请家教，北京四中3：25放学，强迫学生养成自学能力1 .“自学是解决学习成绩问题唯一出路”做个游戏，家长用筷子喂孩子吃一顿饭，直到他厌烦为止，他要吃咸的就给他吃淡的，要吃甜的就给他苦的。

自学，就是要养成自己吃饭的能力。

2.学习是有规律的思维劳动，不是体力劳动。

与时间不成比例例如王涣生，第一个网络中学生，六年的中学课程有三年在病床上渡过，就这样一个病魔缠身的中学生，06年高考528分，考入首都师范大学计算机系，可见自学能力的高低很关键。

问题：1）学习方法和基础知识是造成学习成绩差异的根本原因2）被动学习是造成学生学习学习效率不高的原因。

从初中开始要求每天自学占40%以上。

3) 学习盲目是中游学生最困惑的问题。

尖子生与中等生根本差别是什么呢？基础不差，主要是学习方法。

尖子生就说：“小考之前小玩，大考之前大玩”。

中等生考试前搞了考前突击也没考第一，原因是学习方法，基础知识并没有多大差别。

辅导班对学生的学习方法是致命的摧毁。

特别是初一年年级，是方法教育的关键一年。

孩子学习如盖一栋楼，这栋楼第一层没盖好的话就会越盖越歪。

在初一先忍住不上辅导班，实在不行再改正还来得及。

比如，孩子得了感冒，到了医院不管不顾就给插了一根很粗的管子，花很多钱，打最好的药，很快感冒好了，可结果发现孩子的抵抗力没有了。

家长通过补习班补知识来补知识，可是丢了孩子能力的培养。

北京四中网校经典学习方法

北京四中网校经典学习方法一、目标明确学习的第一步是要明确学习目标。

学生应该明确自己的学习目标，制定一个具体而又可行的计划。

目标应该具有明确性、可实现性、可量化性，并且要有一定的挑战性，以激发学习的积极性。

二、良好的学习环境良好的学习环境对学习非常重要。

学生应该找一个安静、整洁、明亮的学习环境，远离噪音和干扰。

合理利用学习工具如电脑、手机、平板等，同时要保持良好的学习姿势和舒适的学习物品，提高学习效率。

三、合理的学习计划制定一份合理的学习计划对于高效学习非常重要。

学生可以根据自己的学习目标和实际情况，制定一份科学合理的学习计划。

要注意合理安排学习时间，将难度较大的学习任务分成小块，制定具体的学习计划。

四、积极的学习态度学习的过程中要保持积极的学习态度。

学生应该相信自己的能力，对待学习要有积极的态度。

不要害怕困难，要克服困难，相信自己一定能够成功。

同时要保持良好的学习习惯，养成主动学习的习惯。

五、有效的学习方法有效的学习方法对于高效学习起着至关重要的作用。

学生应该不断探索和总结适合自己的学习方法，选择最适合自己的学习方法。

可以将学习任务分成小块，制定具体的学习计划，采用归纳、演绎、类比等学习方法，提高学习效果。

六、定期复习定期复习是学习的关键环节。

学生应该合理安排复习时间，将学过的知识进行系统整理、概括和总结。

通过复习巩固并加深对知识的理解和记忆，提高学习效果。

七、及时解决问题学习中遇到问题要及时解决。

学生应该主动寻求帮助，提问老师、同学或家长，寻求合适的答案和解决方法。

不要把问题放在心里，要勇于面对问题并积极寻找解决办法。

八、综合能力培养学习不仅要注重理论知识的学习，还应该注重综合能力的培养。

学生应该注重培养自己的实践动手能力、创新思维能力和团队协作能力，提高综合素质。

以上是北京四中网校的经典学习方法。

这些学习方法经过长期总结和实践，旨在帮助学生高效学习，取得优异的成绩。

希望以上内容对大家有所帮助。

学习的四重(方法)

学习的四重，即重基础、重方法、重自学、重精髓，这也是北京四中教育教学的理念。

在平时学习过程中，我们应该如何把这四重贯穿于每一环节，应该如何把握老师课堂上的重点难点以及容易混淆的知识点，是学习的关键。

北京四中的老师在上课时也会有针对性的给学生做这方面的引导，这点相信北京四中网校的学员印象一定非常深刻。

在这里我就这四重的学习方法与大家分享，有不理解的地方，可随时与我们联系；一、重基础也许有同学会问，什么是基础？感觉这个概念比较模糊。

其实知识点的排列来讲，旧知识点就是新知识点的基础，试想想，如果旧的知识没掌握好，新的知识学习起来是不是会感觉到非常的吃力？因此，在学习的积累过程中，没掌握好旧知识点，新知识点的接受和掌握势必会产生影响。

所以我们常常形象的跟学员讲，学习就与打扫卫生一样，如果角落的某个地方一次二次没扫干净，那么这块角落的灰尘是不是特别的厚？学习也是一样，每天都有一点不明白，时间长了不明白的知识点就不是一点了，那再进行新知识学习时，压力一定就会越来越大。

基础知识的不稳固也容易造成厌学和学习兴趣下降，因为当发现别人能听懂老师讲的知识，又能够理解，考试效果也不错时，总会怀疑自己不如别的同学或信心丧失。

也有同学也试图加强自己的基础知识，但是由于缺乏针对性，不知道自己的哪些基础知识薄弱，加上没有系统的学习体系，最后基础没补上来，对学习更没信心，因此基础知识的掌握非常关键。

在日常的学习中，由于缺乏复习或者正确的复习，很多同学的基础知识的稳固，从知识积累的角度看，知识之间是有一定的关联性的，那么基础知识的稳固标准是什么呢？1、是什么？解决知识点的感知问题，在复习中可以就每天学的新知识点进行回忆，过电影式地对新知识进行回顾，首先明确新知识点是什么。

2、为什么？解决知识点的感知问题，对于每天学到的每一个新知识点进行过滤，用什么来衡量和检测自己是否把新知识点的来龙去脉都搞清楚。

3、什么？解决知识点的运用问题，在完成上述两个动作之后，可以通过基础的习题解决知识点的运用问题，如果基础类型的习题能够达到100%的正确率，说明已经掌握了新的知识点，就可以根据自己实际情况进行综合类型和难度习题的训练。

北京四中网校介绍

得到的不仅仅是知识
在中国，有这样一所中学，每年重本上线率百分之九十以上，考上清华北大的学生达一半以上。而且那里的学生每天下午三点半就放学了。
———北京四中
北京四中网校学校简介
北京四中网校以前只是北京四中的远程教育机构。2001年，北京四中网校开始面向全国的中、小学生进行远程学习辅导，利用先进的网络信息技术，依据北京四中近百年积淀的教育思想、教育理论为广大的中国家庭提供开放的学习平台和北京四中的教育资源。北京四中网校进行跨越时空、突出个性、自主学习的教学。强调学习的个性化、互动性，建设中国最大的基础教育网络学习社区。
知识网让我们能够随时随地运用网校资源进行学习。
高清课堂
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在北京四中网校，学到的是知识，获得的是能力。
我们不要被牵着鼻子走，我们才是学习的主人翁！
北京四中网校期待你的加入
北京四中网校
丰富的学习资源
雄厚的师资力量
优质的学习方法便捷的学习模式
丰富的学习资源：
雄厚的师资力量：
1.上百位北京四中一线名师教学
2.与国内顶尖教育专家深度合作
3.与地方最优秀中学合作，享受地方优秀中学教师指导
名师风采：
优质的学习方法：
四重五步学习法：重基础、重精髓、重方法、重自学，通过预习，听课，复习、作业及考试五个步骤，让同学们能够在掌握知识的同时还能够不断提高自己的学习能力。

四重五步法

“四重五步学习法”指导讲座作者：马宝林“四重五步学习法”学法指导，是“学会学习”的一个重要组成部分．“四重五步学习法”是教学理论研究和实践中的一个重要课题．因此，就此问题从四个方面做些探讨，以抛砖引玉。

一、“四重五步学习法”的指导意义１．教学方法改革的需要长期以来，教学改革偏重于对教的研究，但是对于学生是如何学的，学的活动是如何安排的，往往较少问津。

现代教学理论认为，教学方法包括“教”的方法和“学”的方法，正如前苏联教学论专家巴班斯基指出的那样：“教学方法是由学习方式和教学方式运用的协调一致的效果决定的。

”即教学方法是受教与学相互依存的教学规律所制约的。

当前，教学方法改革中的一个新的发展趋向，就是教法改革与学法改革相结合，以研究学生科学的学习方法作为创建现代化教学方法为前提，寓学法于教法之中，把学法研究的着眼点放在纵向的教法改革与横向的学法改革的交汇处．从这个意义上讲，“四重五步学习法”指导应该是教学方法改革的一个重要方面。

２．培养学生学习能力的需要埃德加富尔在《学会生存》一书中指出：“未来的文盲不再是不识字的人，而是没有学会怎样学习的人。

”“教会学生学习”已成为当今世界流行的口号。

前苏联教育家赞可夫在他的教学经验新体系中，把“使学生理解学习过程”作为五大原则之一。

就是说，学生不能只掌握学习内容，还要检查、分析自己的学习过程，要学生对如何学、如何巩固，进行自我检查、自我校正、自我评价。

“四重五步学习法”指导的目的，就是最大限度地调动学生学习的主动性和积极性，激发学生的思维，帮助学生掌握学习方法，培养学生学习能力，为学生发挥自己的聪明才智提供和创造必要的条件。

３．更好地体现学生为主体的需要我国著名教育家陶行知先生早就指出：“我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学。

”美国心理学家罗斯也说过：“每个教师应当忘记他是一个教师，而应具有一个学习促进者的态度和技巧。

”专家学者精辟地阐述了学生在整个教学过程中始终是认识的主体和发展的主体思想，强调了学法指导中以学生为主体的重要性。

北京四中网校家校联合指导手册

4、入学考试达到基本入围条件
学习模式
赠送（一门学科配套学案导学）
投资4800元一年全科（引领班）
投资9000元两年全科（培优班）
投资13000元三年全科（中考班）
赠送（一门，6个月共48节，价值1500元的学法指导课）
赠送（12个月48节，价值1500元的主题家庭教育课程）
我的档案
基本信息
学员姓名：
周二
周三
周四
学案导学复习（知识点）
良好
作业
习惯
养成
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专职班主任指导方法，跟踪引领，提高学习效率
北京四中权威家庭教育课程——
全面帮助家长学会教育方法
具体方法步骤
1、新课前，五分钟预习2、作业前，十分钟复习3、遵循“色笔区分”原则4、家长督促到位
（看色笔）
1、周末时间规划好，
玩和学合理分配2、名师引领，查缺补漏（建议1.5时）3、家长督促到位
（家长学校后台查询）
学案导学预习（知识点）
执行情况
家长监督
预复习落实□
作业习惯养成□
预复习落实□
作业习惯养成□
预复习落实□
作业习惯养成□
预复习落实□
作业习惯养成□
自己学
周五晚规划周末
玩的规划：
作业规划：

四重五步郑五十七中2013-11-2

◆ 复习 ◆
艾宾浩斯的遗忘曲线表明，在学习20分钟以后，知识就被遗忘了42%；24小时以后遗忘就达到了66%。（考前突击的学生，往往成绩不稳定、波动比较大。）遗忘的规律，先快后慢，复习要先紧后松！
复习—对知识的记忆、整理
• 中考状元，95%以上的题他都是凭记忆能力做出来的，只有5%的题目，考的是思维能力。完全是考同一道题，考这个同学是记忆能力，考另一个同学就是思维能力！ • 日复习周复习阶段复习 • 笔记错题总结
6：选择曾经考过的题，变个角度或形式，再出一遍目的：考察学生平时的用心程度
精心准备对症下药Fra bibliotek短期提高
善于记忆经典的，美好的句式。善于积累生活感人的素材。善于记忆所有的名词佳句而且要做到活学活用
试卷分析
宏观微观
组卷原理（标准化考试）：
选择
Ⅰ卷
填空
基础知识（客观性习题）
文科：阅读作文
Ⅱ卷
巴纳特实验回忆测验分组甲乙丙内容一边听课一边做摘要一边听课一边看摘要单纯听课不记也不看摘要记忆效果好中差
课堂笔记怎么记？
单独的笔记本、一分为二
课堂笔记记什么？
重点、难点、疑点、新的发现
课堂笔记
• • • • • • 三点一线色笔区分预留空白课后整理字迹工整每日检查
初中学生的学习方法 ——北京四中“四重五步”学习法
北京四中远程教育研究院中国家校合作教育指导师温采雅
小学升入初中，学习上的变化
• 授课方式 • 作业数量 • 作业批改 • 管理方式
中学阶段的课程结构
（预赛）初一是适应期和调整期（复赛）初二是关键期和分化期（决赛）初三是选择期和提升期

北京四中网校百问

北京四中网校百问1、北京四中的四重教学理念是：（重基础、重精髓、重方法、重自学）2、有关学生责任感，北京四中提出“（今日）我以四中为荣，（明日）四中以我为荣”的誓言。

3、北京四中提出以“人文教育为基础，以科技教育为特色”的发展方向，把教学重点放在培养学生的（学习能力）、掌握科学的（学习方法），使学生全面、主动、健康、和谐地发展。

4、北京四中网校的战略定位：整合以北京四中为核心的优秀教育资源，利用网络技术开创个性化的教育服务，以授权经营商务模式为主，发展成为（中国基础教育服务）第一品牌，直至成为中国最大的（基础教育服务机构）和中国最大的（中小学生校外学习社区）。

☆5、北京四中网校家长学校以“（构建学习型家庭），与孩子共同成长”为办学理念，结合北京四中优秀的教学资源和学生、家长资源，运用互联网这一现代化传输手段，将正确的家庭教育理念和知识传递给广大家长。

6、四中网校（成长）论坛是家长们相互探讨家庭教育问题的空间。

家长可以就大家所共同关心的话题进行讨论交流，可以有效地促进家庭教育水平的提高。

7、新学员注册时，分校应指导学员按要求提供详尽、准确的个人资料并及时的更新。

若学员提供任何错误、不实、过时或不完整的资料，北京四中网校保留（结束或终止其注册学员资格）的权利。

8、家长学校《花季·雨季》栏目目的：在于帮助家长了解青春期孩子的生理、心理等成长特点，帮助家长在此基础上科学有效解决孩子青春期常见的恋爱、人际沟通、性行为等各种家教问题。

9、网络面授班：学生带着问题听课，老师根据学生提问更有针对性的备课、授课、答疑解惑，满足学生个性需求，学生可提前（7）天提问。

10、杨啟鸿，北京四中（物理）学科（高级）教师。

11、“北京四中网校作文大赛”是近几年深受学员喜爱的网校活动之一，2012年是第（六）届。

12、测评系统两种组卷测试模式，分别是：（自主测试）、（自适应测试）。

13、测试系统中“推荐测试”有四种类型，分别是：（最近测试）、（个人推荐）、（热门推荐）、（挑战难点）☆14、北京四中网校全国统一成长热线号码为（ 400 661 6666 ）15、李家声，北京四中（语文）学科（特级）教师。

简单的三角恒等变换

简单的三角恒等变换一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●了解倍角公式的内在联系； ●会利用倍角公式进行求值运算，培养运算和逻辑推理能力； ●能够利用和差化积、积化和差公式进行化简求值计算．重点难点：●重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点．●难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程．学习策略：⏹ 学好本节内容，要承接前面两角和与差的正弦、余弦和正切公式，尝试导出积化和差、和差化积、半角公式，灵活运用公式进行简单的恒等变换，提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用。

二、学习与应用1.两角和与差正弦公式差角的正弦公式：对于任意角,αβ，有sin()αβ-=简记作：；和角的正弦公式：对于任意角,αβ，有sin()αβ+=简记作：．2. 两角和与差余弦公式差角的余弦公式：对于任意角,αβ，有cos()αβ-=简记作：；和角的余弦公式：对于任意角,αβ，有cos()αβ+=简记作：；3. 两角和与差的正切公式差角的正切公式：tan()αβ-= ，简记作：；和角的正切公式：tan()αβ+= ，简记作：．“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？知识点一：二倍角公式sin2α=，cos2α=,tan2α=．要点诠释：（1）注意二倍角的相对性，是α的二倍角，α是的二倍角，是2α的二倍角等等；（2）利用二倍角公式的等价变形：1cosα-=，1cosα+=进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换；（3）公式2Tα只有在且时成立．当ππ()2k kα=+∈Z时，常利用诱导公式，即tan2α= =0 ．知识点二：积化和差公式sin cosαβ=cos sinαβ=cos cosαβ=sin sinαβ=要点诠释：规律1：公式右边中括号前的系数都有．规律2：中括号中前后两项的角分别为和．规律3：每个式子的右边分别是这两个角的．知识点三：和差化积公式sin sinx y+=sin sinx y-=cos cosx y+=cos cosx y-=要点诠释：规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有．规律2：在所有的公式中，左边都是角A与B的弦函数相，右边都是2A B+与2A B-的弦函数．规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦，右边是两个余弦，于是得出“”；而第四个公式中，左边是两个余弦，右边没有余弦，于是得出“”．知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。

实数.实数

实数单元复习与检测一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 了解平方根、立方根的概念，会用符号表示一个数的平方根或立方根；● 了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小； ● 了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算。

重点难点：● 重点：算术平方根和平方根的概念及其求法； ● 难点：平方根和实数的概念.学习策略：● 通过实际背景理解平方根、立方根及实数的概念，并借助一定量的练习加深理解，掌握解题技巧，提高计算能力和解题能力。

二、学习与应用（一）正数有个平方根，它们互为；0的平方根是；没有平方根。

（二）平方根等于本身的数是；算术平方根等于本身的数是或。

（三） 7=，则_____x =，x 的平方根是_____;7=，则_____x =，x 的立方根是_____。

（四）正数有个立方根，0的立方根是；负数有个立方根；任何数都有个立方根。

（五）实数的分类：(1)按属性分类：“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾---复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？(2)按符号分类：（六）有理数包括和，如果把整数看作分母是1的分数，那么有理数实质就是。

从这个意义上说，判断一个数是不是有理数，就是看它能不能写成的形式，能写成的就是，不能写成的就是。

注：（1）正数的平方根有个，它们互为，其中正的那个叫它的；零的平方根和算术平方根都是；负数没有平方根。

（2）求一个数的平方根，就是把所有之后等于这个数的数都求出来，而判断一个数是不是另一个数的平方根，是检查把这个数_ _ __ _ _之后等不等于另一个数；二者的含意不同，要求不同，切勿混淆。

例如“2是4的平方根”这种说法是_ _ __ _ _，但反过来，如果说“4的平方根是2”就是_ _ __ _ _ 。

北京四中的学习方法帮助孩子养成良好的学习习惯

北京四中的学习方法有利于帮忙孩子养成良好的学习习惯之阿布丰王创作北京四中模式：素质教育21年，升学率100%，重点大学90%以上，一半考入清华、北大。

高考中基础题不失分，高考复习知识点命中率100%，题型覆盖率100%，直接命中高考题70%，贴题率90%。

高考中分值差别低于100分。

研究北京四中的模式发现自学是解决学习成绩问题唯一出路。

他非常的不方便和难受。

只有让他自己学会吃饭，才干做想吃什么就挟什么。

因此，只有自学，才干让他养成自己吃饭的能力。

2.学习是有规律的思维劳动，不是体力劳动。

问题：1）学习方法和基础知识是造成学习成绩差别的根来源根基因。

2）主动学习是造成学生学习学习效率不高的原因。

从初中开始要求每天自学占40%以上。

3) 学习盲目是中游学生最困惑的问题。

尖子生与中等生根本不同是什么呢？基础不差，主要是学习方法。

尖子生就说：“小考之前小玩，大考之前大玩”。

中等生考试前搞了考前突击也没考第一，原因是学习方法，基础知识并没有多大不同。

辅导班对学生的学习方法是致命的摧毁。

特别是初一年年级，是方法教育的关键一年。

孩子学习如盖一栋楼，这栋楼第一层没盖好的话就会越盖越歪。

在初一先忍住不上辅导班，实在不成再改正还来得及。

比方，孩子得了感冒，到了医院不管掉臂就给插了一根很粗的管子，花很多钱，打最好的药，很快感冒好了，可结果发现孩子的抵抗力没有了。