解元次方程组
各类方程组的解法
各类方程组的解法 The pony was revised in January 2021一、一元一次方程步骤：系数化整、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1。
1、系数化整：分子分母带有小数或分数的系数化成整数，方法是分子分母同时乘一个数使得系数变成整数；2、去分母：将包含的分母去掉，方法是等式两边同时乘所有分母的最小公倍数；3、去括号：根据去括号法则将括号去掉；4、移项：过等号要变号，将含未知数的放等号左边，常数放等号右边；5、合并同类项：根据合并同类项法则将同类项合并：6、系数化1：将未知数的系数化成1，方法是等式两边同时除以未知数的系数。
注：不一定严格按照步骤，例如移项的同时可以合并同类项，a(A)=b（a、b是已知数，A是含未知数的一次二项式）型方程可以先将括号前的系数化成1，第5步系数为1时省略1且第6步不需要写。
二、二元一次方程（组）一个二元一次方程有无数个解，它表示平面内一条直线，直线上每个点的坐标都是方程的解。
由两个二元一次方程联立成的二元一次方程组代表空间内两条直线，其公共点坐标就是方程组的解。
当然，若两直线平行则方程组无解，若两直线重合则方程组有无数个解。
当方程组形式复杂时先根据一元一次方程的解法化简成一般形式，然后求解。
1、代入消元法：⑴将任意一个方程变形成“y=带x的式子”或者“x=带y的式子”的形式，代入另一个方程，变成一个一元一次方程；⑵解一元一次方程；⑶将解代入任意一个原方程解出另一个未知数的值，并写出解。
2、加减消元法：⑴方程两边同时乘一个合适的数使得有同一个未知数的系数的绝对值相等（若已有系数的绝对值相等则这一步跳过）；⑵两个方程左右加或减变成一元一次方程（系数相等用减，系数互为相反数用加）；⑶解一元一次方程；⑷将解代入任意一个方程解出另一个未知数的值，并写出解。
3、图像解法：根据图像与方程的关系，在同一个平面直角坐标系中画出两个方程代表的直线，找出公共点的横坐标与纵坐标（不推荐此方法，因为当解为分数时看不出，这只能表示一种关系）。
三元二次方程组的解法
三元二次方程组的解法
三元二次方程组是一种常见的数学问题，通常用来研究一般椭圆、双曲线、抛物线等曲线的参数方程和非线性方程问题。
它可以包含x，y，z三个变量，是线性组合，满足两个以上方程组的统一解。
三元二次方程组的解法可以分为两种：一种是拉格朗日-简化方程求解法，另一种是三次项系数求根法。
拉格朗日-简化方程求解法是当某个变量的项不存在时，它用作简化方程法。
主要包括以下步骤：（1）将等式方程组的每一个方程乘上其他变量的系数的乘积；（2）将所有乘积合并，从而得到不定方程；（3）根据不定方程的某个变量的系数，将不定方程的右端类分开，将未知数代入显式该系数的另一个变量，得到不定方程的解。
三次项系数求根法是根据已知等式中三次项的系数求出另外两个变量x，y使得整个系数等于零所建立的等式，并求解得出答案，具体步骤如下：（1）根据三次项中系数，构建一个方程；（2）根据三次项中系数，求三次式的组合形式；（3）解方程得到x,y的解。
三元二次方程组的解法对于解决复杂的数学问题是非常有用的，它可以帮助我们更好地理解椭圆、双曲线以及抛物线等曲线的参数方程和非线性方程问题。
除此之外，三元二次方程组是一种有趣的数学问题，可以通过命题让学生学习数学知识，培养学生的分析思维、审视能力以及对数学理论的不断追求。
最新第7讲-解二元(三元)一次方程组
【答案】B
【变 2】下列方程组中是二元一次方程组的是(
A．
x y=1 xy=2
【答案】B
B．
4x y=1
y=2x
3
)
C．
x2
x
2=0
y=x 1
D．
1 x
1=y
3x y=0
解读二 二元一次方程(组)的解 1． 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2． 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
【例
7】用加减消元法解方程组
2x 3x
3 y =3① 2 y=5②
下列解法错误的是(y
B．①×(－3)＋②×2，消去 x
C．①×2－②×3，消去 y
D．①×3－②×2，消去 x
【答案】A
【例 8】解方程组．
（1）
x
2
y
3=3
y
；
3x 2y=0
【答案】（1）
x=1 y=2
（2）
x y=1 5x 2 y=8
．
（2）
x 2y=5 2x 3y=
4
．
解读四 加减消元法解二元一次方程组
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边 分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法．
温馨提示： 当两个方程中同一个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较简单(或相对较小) 的未知数消元，将两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值分别转化成它们的最小公倍数， 然后加减消元．
A．3y－1－y＝5
B．y－1－y＝5
) C．3y－3＝5
【答案】D
《代入法解二元一次方程组》教学反思
《代入法解二元一次方程组》教学反思1、《代入法解二元一次方程组》教学反思1、发现的问题：在学习《二元一次方程组》时，学生对本节课的内容和前面学习的一元一次方程有点类似，学生学习起来感到枯燥无味。
课堂气愤涣散，效率不高。
2、解决问题的过程：在学习二元一次方程组时，可以用中国古代著名数学问题“鸡兔同笼”或“百鸡百钱”问题作为引入。
学生被这种有趣的问题吸引，积极思考问题的答案，以“趣”引思，使学生处于兴奋状态和积极思维状态，不但能诱发学生主动学习，而且还能增长知识，了解了我国古代的数学发展，培养学生的爱国主义精神。
3、教学反思：一堂成功的`数学课，往往给人以自然、和谐、舒服的享受，在数学教学中，我们要紧密联系学生的生活实际，在现实世界中寻找数学题材，让教学贴近生活，让学生在生活中看到数学，摸到数学，体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力。
让学生接触与生活有关的数学问题，势必会激发学生的学习兴趣，从而有效的提高课堂教学效率，使学生真正喜欢数学、学好数学、用好数学。
2、《加减法解二元一次方程组》的教学反思本节课是加减法解二元一次方程组的第2课时，是在学习过直接采用加减消元法解二元一次方程组的基础上，来进一步解决较复杂的二元一次方程组的求解问题的。
我应用“先学后教，当堂训练”的教学模式，对教学过程精心设计，创设情境，复习设疑，引发兴趣；提出问题，学生讨论，分散难点；自主学习与小组互动、合作学习相结合，培养学生观察能力、合作意识和探索精神；以学生自学、互学为主，把课堂还给了学生，面向全体，促进课堂动态生成，让学生全面发展，课堂教学生命化，取得了良好的课堂效果，得到了教研组听课老师的好评。
但其中也有一些不足。
优点：1、组内帮扶作用发挥的突出。
虽然大家都知道加减消元法，但有些同学不太明确怎样变形成可直接加减的形式，而通过组内帮扶，正好能帮助教师分散解决个别问题，从而大大提高了这节课的'课堂效率。
中考复习：一元二次方程组的解法归纳
含有两个未知数且含未知数项的次数为1的方程称为二元一次方程，将两个二元一次方程合在一起称为二元一次方程组.二元一次方程组的解是满足两个二元一次方程的公共解.解二元一次方程组的方法很多，灵活选用合适的方法解不同的二元一次方程组，可以有效地提高解题的效率.一、换元法换元法是将复杂方程转化为简单方程的一种方法.灵活运用换元法可大大降低运算量.运用换元法解题的步骤为：首先分析方程组中的复杂结构，将方程组中某些相同的部分设为新的未知数（称为“元”），然后将新元代入原方程组得到新的方程组，解新的方程组，再将求得的值代回换元的式子中求出原未知数的值，即可解题.1.整体换元法整体换元法指的是当一个方程中含有（或者可配凑出）相同的因式时，可以将这个相同的因式看成一个整体并将这个整体设为一个新未知数（称为“元”），然后将原方程组转化为关于新“元”的方程组.通过整体换元，可以调整方程及方程组的结构，使方程组变成易于处理的简单形式，进而快速求解.例1解方程组：■■■■■■■1x +1x +y=3,3x -1x +y =1.解：设1x =a ，1x +y=b ，则方程组转化为■■■a +b =3,①3a -b =1,②①+②解得a =1，将a =1代入到方程①中解得b =2.代回得■■■■■1x =1,1x +y=2,解得■■■■■x =1,y =-12,所以原方程的解为■■■■■x =1,y =-12.评注：设1x =a ，1x +y =b 后可将原方程组转化为简单的二元一次方程组.先求解换元后的二元一次方程组，然后将值代回到换元的式子中求出原方程组的解.本题也可以将两方程直接相加求出1x的值，进而代回后求得1x +y 的值，然后求得最终结果.这种操作的本质也是整体换元思想.2.比值换元法当一个方程（或方程组）中出现形如x a =y b的方程时，可将x a 与y b 设为一个相同的新“元”，进而用新“元”表示x 和y ，将原方程组转化为关于新“元”的方程组.解这个关于新“元”的方程组，再将新“元”的值代回到换元的式子中，即可解题.例2解方程组：■■■■■x 5+y6=0,①3(x -y )-4(3y +x )=85.②解：由①得x 5=-y 6，设x 5=-y6=k ，则x =5k ，y =-6k .将x =5k ，y =-6k 代入方程②中得3(5k +6k )-4[3×(-6k )+5k ]=85，化简整理得85k =85，解得k =1，中考复习：一元二次方程组的解法归纳代回得x =5，y =-6，所以原方程组的解为{x =5,y =-6.评注：根据方程①的结构，设x 5=-y6=k ，将x 和y 用新“元”k 表示，然后代入方程②中，求出k 的值，最后将k 代回换元的式子中求得x 和y 的值.本题若直接去分母消元求解，则运算量较大.二、消元法消元法指的是由一些未知数间的已知等量关系，通过有限次的恒等变形，消去其中某些未知数，从而得到另一些相关未知数间的等量关系的方法.消元法是解方程组的基本方法，常见的有代入消元法和加减消元法，都是将方程组中未知数的个数由多化少，逐一求出未知数的解.1.代入消元法运用代入消元法解二元一次方程组，首先需从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，或者将两个方程相加（相减），得到两个未知数系数相同或者相反的新方程，将这个新方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入原方程组中的其中一个方程，求得其中一个未知数的值，再将这个值代入变形后的关系式，即可求得另一个未知数的值，从而得到原方程组的解．例3解方程组：■■■2015x +2016y =2017,①2016x +2017y =2018.②解：由①-②得x +y =1③，由③得x =1-y ，将x =1-y 代入①中得2015(1-y )+2016y =2017，即2015+y =2017，解得y =2，将y =2代入③中解得x =-1.所以原方程组的解为{x =-1,y =2.评注：本题采用常规的加减或者代入消元法求解，运算量都较大.观察到两个方程的相同未知数的系数之差相等，因此，直接将两个方程作差得到一个新方程，将这个新方程中的一个未知数用另一个未知数表示，再运用代入消元法即可解题.2.加减消元法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．由于二元一次方程组的形式各异，因此往往需要利用等式的性质将二元一次方程组中的方程变形，使得两个方程中的其中一个未知数的系数有相同或相反的特点，然后运用加减消元法即可解题.例4已知■■■4x -3y =3,①x +2y =1,②求x -2y 的值.解:由②×4得4x +8y =4,③将①与③作差得-11y =-1，解得y =111，再将y =111代入其中一个方程中得x =911，则x -2y =911-211=711，所以x -2y 的值为711.评注：首先将方程组中的方程x +2y =1的两边同时乘以4得到一个新的方程，然后将方程组中的另一个方程与此方程作差求得y 的值，然后运用代入消元法求得x 的值，进而求得结果.当然，在求解x 的值时也可以再次运用加减消元法，这只需要将第一个方程两边同时乘以2，第二个方程两边同时乘以3，然后将得到的两个新方程作差即可求得x 的值.总之，解二元一次方程组问题时，应从整体与局部上观察方程的结构，把握其中的规律，灵活选择不同方法解题，准确地进行运算，这样才能缩短解题时间，做到事半功倍.。
一元三次方程组的概念及解法
一元三次方程组的概念及解法
1. 简介
一元三次方程组是由三个一元三次方程组成的方程组。
每个方
程都包含三次项、二次项、一次项和常数项。
一元三次方程组可以用来解决实际问题，例如在物理、工程或
经济学中的建模问题。
它们也是代数学中重要的研究对象。
2. 解法
为了解一元三次方程组，我们可以使用以下步骤：
步骤1：消元法
将方程组进行消元，通常通过消去某些变量的方式来简化问题。
可以使用高斯消元法或克莱姆法则进行消元。
步骤2：求解
通过求解简化后的方程组，我们可以找到变量的值。
这可以通过代入法、加减消法或高次求和公式等方法得到。
步骤3：检验解
对于解出的变量值，我们需要将其代入原方程组中，以确认这些解是否满足原方程组。
3. 示例
考虑以下一元三次方程组示例：
方程组1：$2x^3 - 4x^2 + 2x - 1 = 0$
方程组2：$3x^3 + x^2 - 3x + 2 = 0$
方程组3：$-x^3 + 6x^2 - 11x + 6 = 0$
通过使用消元法和求解步骤，可以找到这个方程组的解。
结论
一元三次方程组的概念和解法是解决实际问题和研究代数学中的重要话题。
通过消元法和求解步骤，我们可以找到方程组的解，并通过检验解来确认解的有效性。
小学数学点知识归纳解两元一次方程组
小学数学点知识归纳解两元一次方程组两元一次方程组是小学数学中的重要内容，学习并掌握它对于提高解决实际问题的能力具有重要意义。
本文将系统地归纳和解析小学生需要掌握的关于两元一次方程组的知识点，帮助学生更好地理解和运用。
一、什么是两元一次方程组两元一次方程组由两个含有两个变量的方程构成，一般形式为：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中，a1、b1、c1、a2、b2、c2为已知数，x和y为未知数。
二、解两元一次方程组的方法解两元一次方程组常用的方法有图解法、代入法和消元法。
1. 图解法图解法是通过绘制方程组所对应的直线来求解。
首先将方程化简为y=mx+n的形式，然后在坐标系中画出两条直线，直线的交点就是方程组的解。
2. 代入法代入法是先解其中一个方程，然后将该解代入另一个方程，求得另一个未知数的值，从而得到方程组的解。
3. 消元法消元法是通过对方程组进行加减运算，将一个方程的某一未知数消去，然后求解得到另一个未知数的值，再将该值代入另一个方程中求解另一个未知数。
三、两元一次方程组的解的特殊情况1. 无解当方程组中的两条直线平行时，方程组无解。
2. 有无穷多解当两条直线完全重合时，方程组有无穷多解。
3. 有唯一解当两条直线交于一点时，方程组有唯一解。
四、两元一次方程组的应用举例1. 已知一个数的两倍加上另一个数等于8，且这两个数的和等于10，求这两个数。
设其中一个数为x，另一个数为y，则可列得以下方程组：2x + y = 8x + y = 10通过消元法可推导出y = 6，代入第二个方程得到x = 4，因此这两个数分别为4和6。
2. 甲、乙两人共有钱8元，甲有钱y元，乙有钱x元，已知乙的钱是甲的两倍，求甲、乙各有多少钱。
设甲的钱为y，乙的钱为x，则可列得以下方程组：y + x = 8x = 2y通过代入法可解得甲有4元，乙有8元。
五、小结通过本文的归纳和解析，我们了解了两元一次方程组的定义和常用的解法，同时也学习了方程组解的特殊情况和一些应用实例。
三元二次方程组的解法
三元二次方程组的解法Introduction在研究方程组的时候，三元二次方程组是比较复杂的一种形式。
解决它需要一些特殊技巧和方法。
在本文中，我将讨论几种解决三元二次方程组的方法。
Method 1: 消元法消元法是解决三元二次方程组的最基础方法。
我们可以将其中的一个变量用另外两个变量表示，从而将三元方程组转化为二元方程组。
让我们看一个例子：$$\begin{cases}x^2 + y^2 + z^2 = 6\\ x + y + z = 3\\ xy + yz + zx = 2\end{cases}$$我们可以使用第二个方程来得到 $z=3-x-y$。
将其代入第一个和第三个方程，得到：$$\begin{cases}x^2 + y^2 + (3-x-y)^2 = 6\\ x+y+(3-x-y) = 3\\ xy + y(3-x-y) + x(3-x-y) = 2\end{cases}$$展开括号并移项，可以得到如下二元方程组：$$\begin{cases}x^2 + y^2 - 2xy = 1\\ 3x^2 + 3y^2 - 2xy =8\end{cases}$$我们可以通过求解这个方程组得到 $x$ 和 $y$ 的值，并将其代入 $z$ 的表达式来得到方程组的解。
Method 2: 配方法另一个方法是使用配方法。
这对于像 $$\begin{cases}ax^2 +by^2 + cz^2 = k\\ dx + ey + fz = p\\ gx + hy + iz = q\end{cases}$$ 这样的一般形式更为适用。
我们可以根据 $a,b,c$ 的不同情况使用不同的配方法。
如果 $a,b,c$ 均不为零，我们可以将第一个方程除以$c$，然后用二次平方完成配方：$$x^2 + \frac{by^2}{c} + \frac{az^2}{c} = \frac{k}{c}$$然后，我们乘以 $c$ 将其转化为三元完全平方形式：$$c\left(x^2 + \frac{by^2}{c} + \frac{az^2}{c}\right) = k$$可以发现，左边的部分是三元完全平方形式。
第8讲 二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法(解析版)
【第8讲】 二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【基础知识回顾】知识点1 三元一次方程组三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程． 它的一般形式是111122223333a xb yc zd a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ，未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数． 知识点2 二元二次方程组含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程． 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组， 或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．【合作探究】探究一 二元一次方程组及其解法 方法1、代入消元法解二元一次方程组 【例1-1】解方程组 327,2 5.x y x y -=⎧⎨+=⎩①②【解析】由②，得 52x y =-. ②将②代入②，得 3(52)27y y --=， 15627y y --=，88y -=-， 1.y =把 1y =代入②，得 3.x =所以原方程组的解是⎩⎨⎧==.1,3y x归纳总结：此题方程②的系数较简单，且方程②中未知数x 的系数是1，因此考虑将方程②变形，并用含y 的代数式表示x . 用代入消元法解二元一次方程组，需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单. 代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误.【练习1-1】用代入法解方程组：34,110.42x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②【答案】84x y =-⎧⎨=⎩方法2、加减消元法解二元一次方程组 【例1-2】解方程组：521,7316.m n m n +=⎧⎨-+=⎩①②【解析】法一：②×3，②×2，得1563,14632.m n m n +=⎧⎨-+=⎩③④②-②，得29m =-29，m =-1. 将m =-1代入②，得-5+2n =1，n =3. 所以原方程组的解为1,3.m n =-⎧⎨=⎩法二：②×7，②×5，得35147,351580.m n m n +=⎧⎨-+=⎩③④②+②，得29n=87，n=3. 把n=3代入②，得5m+6=1，m=-1. 所以原方程组的解为1,3.m n =-⎧⎨=⎩探究二 三元一次方程组及其解法【例2-1】 解方程组3472395978x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩①②③【分析】方程①只含x ，z ，因此，可以由②，③消去y ，再得到一个只含x ，z 的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．【解析】②×3＋③，得 11x ＋10z ＝35． （4）与④组成方程组347111035x z x z +=⎧⎨+=⎩①④解这个方程组，得52x z =⎧⎨=-⎩，把x ＝5，z ＝－2代入②，得2×5＋3y －2＝9，∴13y =．所以5132x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩【例2-2】 解方程组34145217223x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩①②③【分析】三个方程中，z 的系数比较简单，可以考虑用加减法，设法先消z ． 【解析】①+③，得 5x+6y=17 ④②+③×2，得， 5x+9y=23 ⑤④与⑤组成方程组56175923x z x y +=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得12x y =⎧⎨=⎩， 把x=1，y=2代入③得：2×1+2×2-z=3，∴ z=3∴ 123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩归纳总结：探究三 二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组解法【例3-1】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩ 【解析】由(1)得：2y x = (3)将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-．∴原方程组的解是：11111122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或． 归纳总结：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；(2) 消x 还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如210x y -+=，可以消去x ，变形得21x y =-，再代入消元．(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这点注意．【练习3-1】解方程组22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩【解析】第二个方程可变形为 x ＝2y ＋2，，将其带人到第一个方程，整理得8y 2＋8y ＝0， 即y (y ＋1)＝0， 解得y 1＝0，y 2＝－1．把y 1＝0代入②, 得 x 1＝2； 把y 2＝－1代入②, 得x 2＝0．所以原方程组的解是 112,0x y =⎧⎨=⎩，220,1.x y =⎧⎨=-⎩【例3-2】解方程组9 (1)18 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看成是方程29180z z -+=的两根，解方程得：3z z ==或6． ∴ 原方程组的解是：11113663x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或．【练习3-2】解方程组712x y xy +=⎧⎨=⎩①②【解析】解法一：由②，得 7.x y =- ②把②代入②，整理，得27120y y -+= 解这个方程，得 123,4y y ==．把13y =代入②，得14x =；把24y =代入②，得23x =．所以原方程的解是 114,3x y =⎧⎨=⎩，223,4.x y =⎧⎨=⎩解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ．这个方程组的,x y 是一元二次方程 27120z z --=的两个根，解这个方程，得 3z =，或4z =．所以原方程组的解是 114,3;x y =⎧⎨=⎩ 223,4.x y =⎧⎨=⎩【练习3-3】解下列方程组:（1） 225,625;y x x y =+⎧⎨+=⎩ （2）3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩（3） 221,543;x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ （4）2222,8.y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 【答案】（1）1115,20,x y =⎧⎨=⎩2220,15;x y =-⎧⎨=-⎩ （2）115,2,x y =⎧⎨=-⎩222,5;x y =-⎧⎨=⎩（3）5,34.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ （4）112,2,x y =⎧⎨=⎩ 222,2.x y =⎧⎨=-⎩探究四 二元二次方程组成的方程组的解法【例4-1】解方程组2212 (1)4 (2)x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩【分析】本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型．【解析】(1)(2)3-⨯得：223()0x xy xy y +-+=，即22230(3)()0x xy y x y x y --=⇒-+=， ∴ 300x y x y -=+=或 ∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：22300,44x y x y xy y xy y -=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩． 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：121233,11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩．归纳总结：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．【例4-2】解方程组2226 (1)5 (2)x y xy ⎧+=⎨=⎩【分析】 (1)(2)2+⨯得：2()36 (3)x y +=，(1)(2)2-⨯得：2()16 (4)x y -=，分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组．【解析】(1) +(2)2⨯得：222236()3666x y xy x y x y x y ++=⇒+=⇒+=+=-或，(1) -(2)2⨯得：222216()1644x y xy x y x y x y +-=⇒-=⇒-=-=-或． 解此四个方程组，得原方程组的解是：312412341515,,,1551x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩．归纳总结：对称型方程组，如22x y a x y b ⎧+=⎨+=⎩、22x y axy b ⎧+=⎨=⎩都可以通过变形转化为x y mxy n +=⎧⎨=⎩的形式，通过构造一元二次方程求解．【课后作业1】1. 解下列三元一次方程组（1）15239540x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩（2）369a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（3）34518268322x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩2．已知345x y z ==，且x+y+z=24，求x 、y 、z 的值． 3．代数式ax 2+bx+c 在x 为1，-1，2时，它的值分别是-6，-8，-11，求：（1）a ，b ，c 的值；（2）当x=-4时，求代数的值．*4．已知2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，且xyz≠0，求：234x y zx y z ++-+的值． *5．已知567x y y z z x+++==且xyz≠0，求x ：y ：z ．． *6．用100元恰好买了三种笔共100支，其中金笔每支10元，铂金笔每支3元，圆珠笔每支0.5元，试问三种笔各买了多少支？【参考答案1】1.(1)438xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩(2)36abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩(3)842xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩2. x=6,y=8,z=103.a=-2,b=1,c=-5;-414.815.::3:2:4 x y z=6..金笔5支铂金笔5支圆珠笔90支【课后作业2】A 组1．解下列方程组：(1)26x yy x⎧+=⎨=⎩(2)22282x yx y⎧+=⎨+=⎩(3)221235x yx xy y+=⎧⎨++=⎩(4) 2203210x yx xy-=⎧⎨+=⎩2．解下列方程组：(1)32x yxy+=-⎧⎨=⎩(2)16x yxy+=⎧⎨=-⎩3．解下列方程组：(1)2(23)01x xy x-=⎧⎨=-⎩(2)(343)(343)0325x y x yx y+-++=⎧⎨+=⎩(3)22(2)()08x y x yx y-++=⎧⎨+=⎩(4)()(1)0()(1)0x y x yx y x y++-=⎧⎨---=⎩4．解下列方程组：(1)22223x yx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩(2)168xy xxy x+=⎧⎨-=⎩B 组1．解下列方程组：(1)2232320x yx y x+=⎧⎨-+-=⎩(2) 22231234330x yx xy y x y-=⎧⎨-+-+-=⎩2．解下列方程组：(1)32x yxy-=⎧⎨=-⎩(2)24221x yxy+=⎧⎨=-⎩3．解下列方程组：(1)2222384x yx xy y⎧-=⎪⎨++=⎪⎩(2)224221x yxy⎧+=⎨=-⎩4．解下列方程组：(1)2252x yxy⎧+=⎨=-⎩(2) 22410x yx y+=⎧⎨+=⎩5．解下列方程组:（1）225,625;y xx y=+⎧⎨+=⎩（2）3,10;x yxy+=⎧⎨=-⎩（3）221,543;x yy x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩（4）2222,8.y xx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩【参考答案2】A 组1．212 121121212832043(1),,(2),,(3),(4)3 2 223344x x x x x x xy y y yy y y⎧⎧⎧===⎪⎪⎪=-===⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩⎪⎪⎪=-==⎪⎪⎪⎩⎩⎩2．121212121232(1),,(2),2 1 2 3x x x xy y y y=-=-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-=-=⎩⎩⎩⎩3．2112302(1),,154xxyy⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩3121231212713211(2),,(3),,3321114xx xx xyy yy y⎧⎧⎧⎧=-==-==⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨===⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎩=-=-⎩⎩23414414231120122,(4),,,2011022x xx x xy y yy y⎧⎧==⎪⎪===⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨=-==⎩⎩⎩⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩．4．(1)123412342222,x x x xy y y y⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪====⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩．(2)43xy=⎧⎨=⎩．B 组1．1122122175154 (1),,(2),4 1 3 32xx x xy y yy⎧=-⎪=-==⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨===⎩⎩⎩⎪=-⎪⎩2．12 12121273 12(1),,(2),372 122x x x xy y y y==-⎧⎧==⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨=-=-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩3．1234341222(1),22x x xxy yy y⎧⎧==⎪⎪=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪⎪==⎪⎪⎩⎩3124123400(2),,22xx x xy y y y⎧⎧====⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎩⎩⎪⎪⎩⎩4．312412341212(1),,,1221xx x xy y y y===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-==-=⎩⎩⎩⎩，121213(2),3 1x xy y==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩5．（1）1115,20,xy=⎧⎨=⎩2220,15;xy=-⎧⎨=-⎩（2）115,2,xy=⎧⎨=-⎩222,5;xy=-⎧⎨=⎩（3）5,34.3xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（4）112,2,xy=⎧⎨=⎩222,2.xy=⎧⎨=-⎩。
一次方程组的妙解技法
一次方程组的解法技巧解一次方程组的基本思想是消元，化三元为二元、化二元为一元，最终求出各未知数的值，常用的基本方法是代入法和加减法。
因为方程的形式是多种多样的，所以在解方程中要认真观察、分析方程组中每个方程的结构特征，即方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系，灵活运用消元的思想，找到最简便的解题方法，从不同角度巧妙求解.下面介绍几种常见的解题策略，仅供参考.一、基本法：例1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，①3x ＋y ＝2.② 1.代入消元法（简称代入法）：思路方法：由选方程组中的未知数系数简单一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程达到消元，进而求解．解：由①得：x ＝2y+3 ③将③代入②，得3⨯（2y+3）＋y ＝2.解得y ＝-1.将y ＝-1代入①，得x ＝1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.2.加减消元法（简称加减法）：思路方法：把方程组中两个方程的同一个未知数的系数化为相等（或相反数），通过两个方程相减（或相加），从而消去一个未知数，化为一元一次方程而求解．解：由①＋②×2，得7x ＝7.解得x ＝1.将x ＝1代入①，得y ＝－1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 练习：解方程组（1）⎩⎨⎧==7-92-3y x y x 答案：⎩⎨⎧==12-5-y x （2）⎩⎨⎧==+65-41432y x y x 答案：⎩⎨⎧==24y x 二、整体法1.整体代入法例1.解方程组⎩⎨⎧=-=-12524-3y x y x x ）（ 思路分析：把x-2y 看成一个整体，将②代入①即可达到消元的目的．解：把②代入①，得：3x-4⨯1=5，解得：x=3．把x=3代入②，得：3-2y=1，解得：y=1．∴原方程组的解是⎩⎨⎧==13y x . ① ②练习：解方程组⎩⎨⎧=-+=-y x y x 22019333201932）（ 答案：⎩⎨⎧==3675y x 2.整体加减法（轮换对称式的方程组）例2.解方程组 2018x+2019y=2020 ①2019x+2018y ＝2017 ②思路分析：观察方程①、②中x 、y 的系数互调及常数和，发现规律由①+②可求出x+y 的值，然后再整体代入方程中可求解.也可以通过两次加减将原方程组化为简单方程组求解。
牛顿迭代法解元方程组以及误差分析matlab实现
举例，给定方程组为：先用matlab 自带函数solve 解此方程组，确定牛顿迭代时的初值范围，得到根为：⎩⎨⎧==8493476.0848937.108y x 作图验证： 此组值确为方程的根。
通过观察我们可以发现y 的取值必须大于0。
这在程序中必须说明，如果迭代过程中y 小于0，则此迭代法发散。
误差分析：因为范数等价的原因，我们选择2范数。
将两次相邻迭代差差范数的比值，即相对误的与，2x x n n 1+n x 的2范数作为误差，存储与一个向量或矩阵中，并作出曲线图，观察迭代过程中误差的变化情况。
如选初值为(12，0.3)，得到误差图形为：选初值为(12，1.2)，误差图为：我们可以发现误差在前3-5次迭代的时候迅速下降，但是中间会有上升的过程，直至最后误差达到我们设定的误差值。
由此猜想迭代过程可能漏掉了一些根，利用作图，得到曲线如下：可以发现还有两组根，用牛顿迭代法只能得到一组值，可能是因为所给方程比较特殊，它的定义域中x,y 均不能为0，导致函数不连续。
另外，也可能因为函数不连续，导致初值只能在根的附件变化时才能得到收敛的结果。
因此我们不妨将初值选的稍微小一些，如:[1,2]，得到根为选初值为[-1,4]，得到根为综上所述，此方程组有三组根，不同的初值，会得到不同的解的情况，也会有不同的误差情况。
初值选得越接近真值，误差变化程度越小，迭代次数也越少。
程序在另三个附件中。
同理，对于n元函数方程组，我们有：.n .)('.)],...,(),...,,...,,([)(.n 1n )(')(.,...,,0],...,;......;,...,,[),...,,()(...)()(........),...,,()(...)()()()()(1)()(2)(11)()()1()()()()1(21112111)1(1012200201n 0202)1(2101)1(1002011102102)1(21101)1(1有限时的解编程，依然可以得到类似二元方程组，那么利用牛顿迭代法，为系数矩阵是一行向量为值迭代得到的各自变量的次是第的值，次迭代得到的各自变量是第牛顿迭代序列依二元方程组，可得到的值。
数学之美解三元三次方程组
数学之美解三元三次方程组在数学领域中，方程组是一个重要的概念，特别是高次方程组的解，更是数学中的经典难题之一。
本文将讨论解三元三次方程组的方法和技巧，展现数学之美。
一、三元三次方程组的基本概念三元三次方程组由三个同时含有三次幂的方程组成。
通常形式为：1) ax^3 + by^3 + cz^3 = d2) ex^3 + fy^3 + gz^3 = h3) ix^3 + jy^3 + kz^3 = l其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l为已知系数，x、y、z为未知数。
二、解三元三次方程组的方法解三元三次方程组的一般方法是代数法。
下面将介绍两种常用的解法。
1. 消元法消元法是一种基本的代数求解方法，可以通过逐步消除未知数的系数，最终得到方程的解。
首先，我们可以使用第一个方程表示出x^3，然后通过消去x^3的方式，将第二和第三方程变形为只含有y和z的方程。
这样，我们可以得到一个二元二次方程组，然后通过二次方程求解的方法，得到y、z的值。
接着，将求得的y、z的值代入到第一个方程中，可以得到x的值，从而得到方程组的解。
2. 系数矩阵法系数矩阵法是另一种解三元三次方程组的常用方法，它利用线性代数中的知识，将方程组转化为矩阵形式，并通过矩阵的运算求解。
首先，将方程组的系数矩阵表示为A，未知数矩阵表示为X，常数矩阵表示为B。
然后，利用矩阵运算的性质，可以得到AX=B的等式。
接着，通过求解该矩阵方程，可以得到未知数矩阵X的值，从而解出方程组。
三、实例分析为了更好地理解解三元三次方程组的方法和步骤，我们以一个具体的实例进行分析。
考虑以下三元三次方程组：1) x^3 + 2y^3 + 3z^3 = 62) 2x^3 + 3y^3 + 4z^3 = 113) 3x^3 + 4y^3 + 5z^3 = 18首先，我们可以使用第一个方程表示出x^3，得到x^3 = 6 - 2y^3 -3z^3。
然后，将x^3的表达式代入到第二个和第三个方程中，得到：2(6 - 2y^3 - 3z^3) + 3y^3 + 4z^3 = 113(6 - 2y^3 - 3z^3) + 4y^3 + 5z^3 = 18通过化简和整理，可以得到一个二元二次方程组：-4y^3 - 7z^3 = -1-11y^3 - 14z^3 = 0接下来，我们可以利用二次方程的求解方法，解出y、z的值。
(完整版)《九章算术》中的多元一次方程组及其解法
《九章算术》中的多元一次方程组及其解法
《九章算术》方程章中所谓“方程"是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同．《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”（所以称之谓“方程"）．消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换．方程章第一题:“今有上禾（指上等稻子)三秉(指捆）中禾二秉,下禾一秉，实(指谷子）三十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题若按现代的记法．设x、y、z依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组:
《九章算术》用算筹演算：
“方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方．中、左行列如右方（图1－28）以右行上禾徧乘(即遍乘）中行而以直除（这里“除”是减，“直除”即连续相减．）……（引文下略）”．
现将遍乘直除法解方程组的过程，按算筹演算如图1－29所示：
这题的答案《九章算术》方程章第一题“答曰：上禾一秉,九斗四
《九章算术》方程章中共计18个题，其中二元的8题，三元的6题，四元、五元的各2题都用上述的演算法解决，直除法是我国古代解方程组的最早的方法．
多元一次方程组解法在印度最早出现于第七世纪(约628年)在欧洲最早提出三元一次方程组和解法的是16世纪中(1559年)的法国数学家布丢(Buteo)．至于线性方程组的一般理论直到18世纪（1779年）才由法国数学家别朱(E．Be－zout)建立．可见《九章算术》中的方程术，不但是中国古代数学中的伟大成就，在世界数学史上，也是一份值得我们自豪的宝贵遗产．。
解二元一次方程组有哪几种方法
探究新知
x y z 12 ①
观察方程组
x
2
y
5z
22
②
x 4 y
③
仿照前面学过的代入法，可以把③分别代 入①②，得到两个只含y，z的方程
5 y z 12 6 y 5z 22 二元一次方程组用代入消元法和加减消元法求解。
探究新知
三元一次方程组如何解？
解三元一次方程组的基本思路与解二元一次 方程组的基本思路一样，即：
分析： 这个问题中包含有 三 个相等关系：
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张
1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元
1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍
探究新知
设1元、2元、5元纸币分别为x张、y张、z张,
根据题意，可得
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张
x+y+z=12 ①
y 2x7 (1)5x 3 y 2z 2
3x 4z 4
4x 9 y 12
(2) 3 y 2z 1
7
x
5z
19
4
4x 9z 17 (3) 3x y 15z 18
x 2 y 3z 2
2x 4y 3z 9 (4) 3x 2 y 5z 11
5x 6 y 7z 13
课堂练习
解下列三元一次方程组
解：把①代入②，得 11x＋2z=23 ④
④×2+③得 x=2
把x=2代入①得 y=-3
把x=2代入④得 z= 1
2
x 2
方程组的解为
y
-3
z
1
2
y 2x7
①
(1)5x 3 y 2z 2 ②
初中数学 三元二次方程组的解如何计算
初中数学三元二次方程组的解如何计算三元二次方程组的解可以通过多种方法计算，包括直接消元法、代入法、矩阵法和配方法等。
在本文中，我们将详细介绍这些方法的步骤和计算过程，以帮助初中学生理解和掌握三元二次方程组的解法。
一、直接消元法直接消元法是求解三元二次方程组的一种常用方法。
在解三元二次方程组时，我们可以使用消元法将其中一个或多个未知数消去，从而将三元二次方程组转化为二元二次方程组或一元二次方程。
以下是直接消元法的具体步骤：1. 将三元二次方程组中的方程按照相同未知数的系数进行配凑，以将未知数消去。
2. 将方程组转化为一个上三角矩阵，即第一个方程只含有x的项，第二个方程只含有y的项，第三个方程只含有z的项。
3. 通过回带法求解，从最后一个未知数开始，依次代入求解之前未知数所求得的值，并得出最终的解。
二、代入法代入法是解三元二次方程组的另一种常用方法。
在代入法中，我们可以使用某个未知数的值，将其代入其他方程中，从而将三元二次方程组转化为二元二次方程组或一元二次方程。
以下是代入法的具体步骤：1. 选择一个方程，将其中一个未知数表示为其他未知数的函数。
2. 将所选方程中的未知数的表达式代入其他方程中，从而得到一个二元二次方程组。
3. 解二元二次方程组，求出其中一个未知数的值。
4. 将求得的未知数的值代入所选方程中，求出剩下的未知数的值。
5. 将求得的未知数的值代入原方程组，检验解的正确性。
三、矩阵法矩阵法是一种简单而通用的方法，可以用于求解任意阶的线性方程组，包括三元二次方程组。
在矩阵法中，我们将未知数和常数项写成向量形式，系数矩阵也写成矩阵形式，然后通过矩阵运算求解。
以下是矩阵法的具体步骤：1. 将方程组的系数和常数项排列成矩阵形式，得到增广矩阵。
2. 使用行变换，将增广矩阵转化为一个上三角矩阵。
3. 回代法求解，从最后一行开始，依次求解未知数的值。
4. 将求得的未知数的值代入原方程组，检验解的正确性。
元一次方程组的解法(加减法)
加简便。
03
缺点
对于一些系数复杂或方程数量较多的方程组，加减法可能较为繁琐和耗
时。此外，加减法在处理一些特殊情况（如无解或无穷多解）时可能不
够准确和全面。
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感谢您的观看
加适用。
适用范围与优缺点
01
适用范围
加减法适用于系数相近或相反的未知数，以及方程数量较少的简单方程
组。对于一些特殊类型的方程组，如线性方程组或系数为整数的方程组，
加减法可能更加简便。
02
优点
加减法简单直观，易于理解和操作，不需要复杂的数学工具和技巧。对
于一些特定类型的方程组，如系数相近或相反的未知数，加减法可能更
代入法与加减法的结合
代入法是通过将一个方程中的变 量用另一个方程表示出来，然后 将其代入另一个方程中求解的方
法。
在使用加减法解元一次方程组时， 可以结合代入法进行消元，提高
解题效率。
通过代入法将一个方程化简为一 元一次方程后，再利用加减法消 去其他变量，最终得到一个简单 的一元一次方程，方便求解。
与高斯消元法的比较
高斯消元法
高斯消元法是一种基于矩阵运算的解法，通过一系列的行变换将方程组转化为单一方程 进行求解。这种方法具有较高的计算效率和精度，但需要一定的数学基础和计算能力。
加减法
与高斯消元法相比，加减法更加直观和简单，不需要复杂的矩阵运算和行变换。然而， 对于一些系数复杂或方程数量较多的方程组，加减法可能较为繁琐，而高斯消元法则更
将求得的未知数值代入原方程组中，解出另一个未知数的值 。
04 实例解析
实例一：简单方程组
方程组
$begin{cases}2x + 3y = 7 4x - y = 5end{cases}$
三元二次方程组的解法与应用
三元二次方程组的解法与应用一、引言三元二次方程组是数学中常见的问题之一，它包含三个未知数和三个方程。
解决这类方程组的方法有多种，本文将介绍其中两种主要的解法，并探讨三元二次方程组在实际问题中的应用。
二、解法一：代入法代入法是解决三元二次方程组的一种常用方法。
该方法的基本思想是将方程中一个未知数表示成其他未知数的函数，然后将其代入其他方程，从而得到一个只含两个未知数的二次方程组，进而求解。
例如，考虑以下三元二次方程组：方程一：x^2 + y^2 - 3z = 6方程二：2x - y + z^2 = 3方程三：x + 2y - 2z^2 = 4我们可以先将方程一表示为关于x和y的函数：x^2 + y^2 - 3z = 6 (1)变形得：x^2 + y^2 = 3z + 6 (2)然后，将式（2）代入方程二和方程三：2x - y + z^2 = 3 (3)x + 2y - 2z^2 = 4 (4)代入得：2(3z + 6) - y + z^2 = 3 (5)(3z + 6) + 2y - 2z^2 = 4 (6)进而整理得：5z^2 - 3z + 10y = 0 (7)5z^2 + 2z - 6y = 14 (8)现在我们得到了一个只含两个未知数z和y的二次方程组（7）和（8）。
我们可以使用传统方法求解这个二次方程组，并得到z和y的值。
然后，将求得的z和y的值代回式（2），可以得到相应的x的值。
三、解法二：消元法消元法也是解决三元二次方程组的常用方法之一。
该方法的基本思想是通过消元操作，逐步减少未知数的数量，最终得到只含一个未知数的方程，然后反向逐步求解。
考虑以下三元二次方程组：方程一：2x + 3y - z = 5方程二：x - y + 2z = 4方程三：3x + 2y + z = 3首先，我们可以借助方程一和方程二，消除其中的x，得到新的方程一：2(方程二) - (方程一)：4x - 2y + 4z - 2x - 3y + z = 8 - 5整理得：2x - 5y + 5z = 3 (9)然后，借助方程一和方程三，消除其中的x，得到新的方程二：3(方程一) - 2(方程三)：6x + 9y - 3z - 6x - 4y - 2z = 15 - 6整理得：5y + z = 9 (10)现在我们得到了一个只含两个未知数y和z的方程组（9）和（10）。
解三元二次方程组
解三元二次方程组数学中，方程组是一个重要的概念，它是由多个方程组成的集合。
而三元二次方程组则是由三个含有二次项的方程组成的集合。
解三元二次方程组是我们在初中数学中学习的一个重要内容，它对我们理解方程组的解法和应用有着重要的意义。
一、什么是三元二次方程组三元二次方程组是由三个含有二次项的方程组成的集合。
它的一般形式可以表示为：ax^2 + by^2 + cz^2 + dx + ey + fz + g = 0a'x^2 + b'y^2 + c'z^2 + d'x + e'y + f'z + g' = 0a''x^2 + b''y^2 + c''z^2 + d''x + e''y + f''z + g'' = 0其中，a、b、c、d、e、f、g、a'、b'、c'、d'、e'、f'、g'、a''、b''、c''、d''、e''、f''、g''为已知系数，x、y、z为未知数。
二、解三元二次方程组的方法解三元二次方程组的方法有多种，下面我将介绍其中两种常用的方法：代入法和消元法。
1. 代入法代入法是一种简单直观的解方程组的方法。
我们可以从其中一个方程开始，将其中的一个未知数表示成其他未知数的函数，然后将这个函数代入到其他方程中去，从而得到一个只含有两个未知数的方程组。
接着，我们可以使用二元二次方程组的解法来求解这个方程组。
最后，将解得的未知数代入到原方程组中，即可得到所有未知数的解。
举个例子来说明代入法的具体步骤。
假设有如下的三元二次方程组：x^2 + y^2 + z^2 = 92x^2 + 3y^2 + 4z^2 = 293x^2 + 4y^2 + 5z^2 = 46首先，我们可以从第一个方程中解出x，得到x = √(9 - y^2 - z^2)。
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2.你现在能不能求出鸡兔同笼中的 方程组？
x y 35 2x 4 y 94
例3
解方程组
2x 3x
- 7y 8 -8y -10
①
0②
练习：用代入法解方程组 5x=2y 500x+250y=22 500 000
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示:
二 元 一
变形
５ 解得y y=50 000
x－y=3
3x－8y=14
解:将方程⑴变形,得
y=x－3
(3)
将方程(3)代入(2)得
3x－8(x－3)=14
解这个方程得:x=2
把x=2代入(3)得:y=－1
所以这个方程组的解为:
⑴ ⑵
x=2 y=－1
练习：用代入法解下列方程组
x=2 y ①
2x+y=2 ①
1.
2.
2X+y=10 ②
3X＋2y-5=0 ②
方程化为:3x－8(x－3)=14
例2 用代入法解方程组 x－y=3 ⑴ 3x－8y=14 ⑵
这里的两个 方程中，没 有一个是直 接用一个未 知数表示另 一个未知数 的形式，怎
么办呢？
分析:将方程⑴变形,用含有x的式子(x－ 3)表示y,即y=x－3。
方程化为:3x－8(x－3)=14
例2 用代入法解方程组
1.用含y的代数式表示x： （1）x-2y+3=0（2）2x+5y=-21 （3）-0.5x+y=7
2.写一个以 X=1 为解的二元一次方程组 Y=-2
我国古代算术题:
以绳测井。若将绳三折测之，绳多五尺； 若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井 深各几何？
“今有牛五、羊二，直金十两。牛二、 羊五，直金八两。牛、羊各直几何？”
y=2x ⑴
x=y—2-5
⑵
x+y=12
4x+3y=65
x+y=11
3x-2y=9
⑶
⑷
x-y=7
x+2y=3
你解对了吗？
x=4 ⑴
y=8
x=5
⑵ y=15
x=9
x=3
⑶ y=2
⑷ y=0
用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：
（1）将方程组中的一个方程变形，使得一个 未知数用能含有另一个未知数的代数式表示。
归纳：解二元一次方程组的基本思路是 “消元”即二元→一元。用“代入”的 方法进行“消元”，这种解方程组的方 法称为代入消元法，简称代入法。
一个苹果和一个梨的质量合计２００g，这个苹 果的质量加上一个１０g的砝码恰好与这个梨的 质量相等，问苹果和梨的质量各为多少g？
y = x + 10 y x 10
（2）用这个代数式代替另一个方程中相应的 未知数，得到一个一元一次方程，求得一个 未知数的值。
（3）把这个未知数的值代入代数式， 求得另一个未知数的值。
（4）写出方程组的解
这节课同学们有什么收获？
1、解二元一次方程组的基本思想是“消元” 即消去一个未知数。 2、代入法的一般步骤。 3、养成口头检验的良好习惯。
今有鸡兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问鸡兔各几何
x y 35 2x 4y 94
你能解决这个有趣的鸡兔同笼问题吗？
y x 10 ① 如何求二元一次方程组x y 200 ②的解 ？
分析：由于方程组中相同的字母表示同一 个未知数，所以方程②中的y也等于x＋10， 可以用x＋10代替方程②中的y。这样就有 x+（x＋10）=200。
x
+
y
=
200
x
y
200
x + x +10 =200
例1
解方程组
2y 3x 1 ① x y 1 ②
解：把②代入①，得
2y－3(y－1)＝1 2y－3＝2－1＝1
x 1 ∴方程组的解是 y 2
练习：用代入法解方程组
y=x－3
⑴
3x－8y=14 ⑵
分析:方程⑴中的(x－3)替换方程(2) 中的y,从而达到消元的目的.
用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：
（1）将方程组中的一个方程变形，使得一个 未知数用能含有另一个未知数的代数式表示。
（2）用这个代数式代替另一个方程中相应的 未知数，得到一个一元一次方程，求得一个 未知数的值。 （3）把这个未知数的值代入代数式， 求得另一个未知数的值。
（4）写出方程组的解
解方程组
5x=2y
y= ２ x
X=20 000
次
方
代入
解得x
程
消y
组 500x+250y=22 500 000
一元一次方程
５
用消２５未x知代数替yy, 500x+250× ２ x=22500000
1、解二元一次方程组
x+y=5 ① ⑴
2x+3y=40 ① ⑵
x-y=1 ②
x -y=-5 ②
2、已知（2x+3y-4）２ +∣x+3y-7∣=0 则x= -3 ，y= — 130 。