传热学第五章2

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物理现象相似
例1：流体在圆管内稳态流动时速度场相似问题
圆管半径分别为R’、R”，温
度沿 x、r 方向变化如果在
空间对应点上：
速度成正比：
称这两圆管内速度场相似 思考：为何小管内速度大？
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例2：流体外掠平板对流换热边界层温度场相似问题
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3个方程、3个未知量： u、v、t
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边界层微分方程程的无量纲化
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外掠平板的层流流动
动量方程 此时动量方程与能量方程的形式完全一致:
表明：此情况下动量传递与热量传递规律相似
特别地：对于 = a 的流体（Pr=1），速度场与无量纲
层流时
设
湍流时 类似
m为湍流动
量扩散率
t为湍流热
扩散率
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可以证明湍流边界层方程可写为：（u、v为时均值）
（m为湍流动量扩散率）
引入无量纲量： 微分方程
（t为湍流热扩散率）
边界条件
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由于附加切应力及热流密度均由脉动所致，故可假定m = t 即 m/t = Prt = 1（Prt为湍流普朗特数）如果Pr = 1，则 = t，则 u*与方程完全等价，它们的解也相同，故当Pr = 1时：
t — 热边界层厚度
与t 不一定相等
流动边界层与热边界层的状况决定了热量传递过程和边界 层内的温度分布
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三、边界层换热微分方程组
边界层概念的引入可使换热微分方程组得以简化
数量级分析：比较方程中各量或各项的量级的相对大小；保留 量级较大的量或项；舍去那些量级小的项，方程大大简化
外掠平板和外掠圆管：控制方程相同；单值性条件不同
物理相似：影响物理现象的所有物理量分别相似的总和就构
成了物理相似
1）必须是同类现象才有可能相似
2）由于描述现象的微分方程式的制约，物理量场的相似倍 数间有特定的制约关系
一、流动边界层（Velocity boundary layer）
由于粘性作用，流体 流速在靠近壁面处随 离壁面的距离的减小 而逐渐降低；在贴壁 处被滞止，处于无滑 移状态
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从 y=0、u=0 开始，u 随着 y 方向 离壁面距离的增加而迅速增大；经
过厚度为 的薄层，u 接近主流速

v
v y
)


p y

(
2v x2

2v y 2
)



c
p
(u
t x
v
t ) y


(
2t x2

2t y 2
)
u ~ 0(1)
tl
~ ~
0(1) 0(1)
~ 0( )

t ~ 0( )
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5个基本量的数量级： 主流速度： 温度： 壁面特征长度： 边界层厚度：
x 与 l 相当：
0 y ：
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0(1)、0()表示数量级为1和 ， 1>> 。“~” — 相当于
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对流换热微分方程组的简化
二维、稳态、无内热源、层流、忽略体积力
边界层外： u 在 y 方向不变化， u/y=0
粘滞应力为零 — 主流区
流场可以划分为两个区：边界层区与主流区 边界层区：流体的粘性作用起主导作用，流体的运动可用粘性流 体运动微分方程组描述（N-S方程）
主流区：速度梯度为0，=0；可视为无粘性理想流体；
欧拉方程 ——边界层概念的基本思想
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u

x

v y

0
析解
（ u

u
u x

v
u y
)

Fx

p x


(
2u x2

2u y 2
)
（ v

u
v x

v
v ) y

Fy

p y


(
2v x2

2v y 2
)



c
p
(
t

u
t x
若(1)、(2)相似： 若(1)、(3)相似：
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几何相 似倍数
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整理，得：
即：两三角形相似时，不仅各对应边成比例，而且它们的 LA、 LB 数值必定相等
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可以论证：若两个三角 形具备相同的
那么它们必定相似！ LA、LB分别相等表达了三角形相似的充分和必要条件 LA、LB有判断两三角形是否相似的作用 LA、LB是无量纲的 —— 几何相似特征数 —— 几何相似准则
温度沿 x、y 方向变化
如果在空间对应点上：
过余温度成正比：
称这两个温度场相似
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温度场相 似倍数
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若两个对流换热现象相似，它们的温度场、速度场、粘度场、 热导率场、壁面几何因素等都应分别相似
即：在对应瞬间、对应点上各物理量分别成比例
各影响因素彼此不是孤立的，它们之间存在着由对流换热微 分方程组所规定的关系 因此，各相似倍数之间也必定有特定的制约关系，它们的值 不是随意的



c
p
(
t

u
t x
v
t ) y


(
2t x2

2t y2 )
边界层理论，数量级分析
决。
u

x

v y

0
u
u x
v
u y


1

dp dx

2u y 2
二维，稳态，无内热源，常 物性边界层换热微分方程组
u
t x
度 u
y = 薄层 —— 流动边界层
或 速度边界层
— 边界层厚度
定义：u/u=0.99 处离壁的距离为边界层厚度
小：空气外掠平板，u=10m/s
边界层内：平均速度梯度很大；y=0处的速度梯度最大
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由牛顿粘性定律：
速度梯度大，粘滞应力大
传热学
第五章 对流换热
§5-1 对流换热概述及其数学描述 §5-2 对流换热过程的边界层微分方程组 §5-3 比拟理论 §5-4 相似原理与量纲分析 §5-5 强制对流换热 §5-6 自然对流换热
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§5-2 边界层微分方程
问题的提出 高度非线性
偏微分方程 控制微分方程组 难以得到分 边界条件
u

x

v y

0
（ u

u
u x

v
u ) y

Fx

p x


(
2u x2

2u y 2
)

（
v


u
v x

v
v ) y

Fy

p y


(
2v x2

2v y 2
)



c
p
(
t

u t x
这种以准则数表示的计算式称为准则方程或关联式。
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§5-3 比拟理论 获得湍流对流换热近似解的一种方法
流体湍流时，除了主流方向的运动外，微团还有不规则的脉动， 这一脉动将产生两个作用：
（1）不同流层之间附加的动量交换，即有附加的切应力； （2）不同温度层之间附加的热量交换。 它们分别称为湍流切应力和湍流热流密度。
边界层区：由粘性流体运动微分方程组描述 主流区：由理想流体运动微分方程—欧拉方程描述
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二、热边界层（Thermal boundary layer）
热边界层：当壁面与流体间有温差时，会产生温度梯度很大的 温度边界层
Tw
厚度t 范围 — 热边界层
或温度边界层
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边界层的 另一特性
表明：边界层内的压力梯度仅沿 x 方向变化，而边界层内法向 的压力梯度极小。
边界层内任一截面压力与 y 无关而等于主流压力
因此，可由主流伯努利方程得到：
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层流边界层对流换热微分方程组
v
t ) y


(
2t x2

2t y 2
)
壁面处
u 0 无滑移边界 v 0 无渗透表面
T T0 常壁温
远离壁面处
u U 均匀流
v 0 均匀流
求解以上方程组可得到速度场和温度 T T 均匀温度
场，利用傅立叶定律可以得到壁面处
的热流密度。
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故有：
或：
对平板湍流已测定阻力系数为：
Nux

0.0296
Re
4 x
/
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上式称为雷诺比拟，适用条件Pr = 1。
对Pr 1的流体有修正的雷诺比拟：
上式j = cf/2 称为j因子，上式又叫j因子计算式。
St称为斯坦顿数（Stanton）
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流体外掠平板时的流动边界层
临界距离：由层流边界层开始向 湍流边界层过渡的距离，xc 临界雷诺数：Rec
平板：
湍流边界层： 紊流核心；缓冲区；粘性底层
粘性底层（层流底层）：紧靠壁面处，粘滞力会占绝对优势， 使粘附于壁的一极薄层仍然会保持层流特征，具有最大的速度 梯度
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流动边界层的几个重要特性
(1) 边界层厚度 与壁的定型尺寸L相比极小， << L
(2) 边界层内存在较大的速度梯度 (3) 边界层流态分层流与湍流；湍流边界层紧靠壁面处
仍有层流特征，粘性底层（层流底层） (4) 流场可以划分为边界层区与主流区
控制微分方程组
u

x

v y

0
（
u


u
u x

v
u y
)

Fx

p x


(
2u x2

2u y 2
)

（
v


u
v x

v
v ) y

Fy

p y


(
2v x2

2v y2 )
1904年，普朗特提出 了边界层理论大大简 化了纳维——斯托克 斯方程，使许多工程 问题得到了有效的解
v t ) y


(
2t x2

2t y 2
)
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二维、稳态、无内热源、层流、忽略体积力

u x

v y

0
（u
u x

v
u y
)


p x


(
2u x2

2u y 2
)

（u

v x
温度场将完全相同
并且 =t
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对于平板dp/dx = 0，解出温度场后可得层流条件下的表面传 热系数为
记 Pr = /a，为普朗特数，有 /a是动量扩散与热扩散能力之比
记 Re为雷诺数
hxx/ 必为无量纲数，记为Nux, 努塞尔(Nusselt)数。即：

v
t y

2t y 2
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边界层的概念（Boundary layer）
当粘性流体流过物体表面时，会形成速度梯度很大的流动边 界层；当壁面与流体间有温差时，也会产生温度梯度很大的 温度边界层（或称热边界层）
1904年，德国科学家普朗特 L.Prandtl
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当平板长度l大于临界长度xc时，传热计算要分段，平均表面传 热系数hm为：
积分后可： 若取:
其中Re中的特征长度为平板全长l。
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§5-4 相似理论及量纲分析
实验研究是传热学研究中的主要和可靠手段；尤其是复杂的 传热学问题 尽管数值传热学发展很快，但实验研究仍是检验数值模拟和数 学模型正确与否的唯一方法
问题：如何进行实验研究？
表面传热系数是众多因素的函数；有些影响因素相互制约和影 响（如：温度与热物性）；如果采取逐个研究各变量的影响， 实验工作量极为庞大、也极难进行
— 相似理论来自百度文库导下的实验研究
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一、物理相似的基本概念
几何相似
彼此几何相似的三角形，对应边成比例
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只有属于同一类型的物理现象才有相似的可能性，也才能 谈相似问题
同类现象：用相同形式和内容的微分方程式（控制方程+单 值性条件方程）所描述的现象
电场与温度场： 微分方程相同；内容不同，不是同类现象
强制对流换热与自然对流换热： 微分方程的形式和内容都有差异