大地测量中不适定问题的正则化解法研究

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大地测量中病态性问题研究

大地测量中病态性问题研究高立恒(山东理工大学建工学院测绘工程山东淄博 255000) 摘要：目前，随着大地测量技术的迅速发展，在大地测量界对病态问题处理的精度和准确度的要求越来越高，人们所采用的数据处理手段也应随之发展。

如何充分考虑大地测量实际，探讨有偏估计和观测方程直接解算的新方法，以满足大地测量发展的需要，是大地测量学者面临的一个新任务。

关键词：大地测量；病态性问题；测量误差；数据处理引言在大地测量中，大部分实际问题都归结为解线性方程组问题。

当方程组系数矩阵呈病态时，测量平差系统所得参数估值性质明显变差。

病态性问题在测量工程中大量存在，而且有时是不可避免的，大地测量中是很常见的，如在GPS快速定位、某些控制网平差、大地测量反演、航天飞行器的精密轨道解算以及重力场的向下延拓等方面存在病态问题。

探索病态问题处理的新方法，是现代测量误差理论及数据处理研究中一项重要课题国内为许多的专家学者已经提出不少解决病态问题的理论及方法。

其中著名的有岭估计、广义岭估计、主成分估计法、遗传算法、加权迭代改善算法、奇异值分解法（SVD）等。

1 病态性产生的原因病态性在数据处理中危害性是很大的。

人们必须对病态性产生的原因和机理进行准确的分析和掌握，这将有助于对病态性进行正确的诊断，它是研究如何削弱和克服病态影响的基础。

病态性的产生与参数选取、观测以及计算方法的选择密切相关。

1．1参数选择的原因。

人们在建立—个平差模型时，在平差前，由于不可能对所有参数的规律全部了解掌握，往往造成过度参数化，使得参数之间存在着某些程度的复共线性，从而导致模型病态。

例如，在测边网中，要用多台测距仪测量边长，为了补偿不同仪器的系统误差，在数据处理中，经常要附加参数，这样常常会造成过度参数化，引起模型病态。

1．2 观测的原因。

观测的原因是指统计分析中的采样不足或测量当中观测量不够。

在统计分析中，由于某些条件限制，子样采样为局部结果。

此时设计矩阵表现出严重的复共线性，其实质为采样不足而引起的模型病态。

一种适用任意距离的大地主题解算方法的研究和试验

下，计算不收敛，无法解算出正确解。若两大地点同在赤
道，即Ｂ１＝Ｂ２＝０，由反算①和④式可得：“ｌ＝“２＝“。＝０，
由此反算⑤式无法计算，从而计算不收敛。此时由图１并根
据正算⑨式计算可知：ｏ－，＝０，ｏ－ｍ＝曲／２。因此只需在反算
⑤式计算时首先判断ｕ。是否为０，若为０则按ｏ－ｍ＝曲／２计
算，否则还是根据反算⑤式计算％。
明显的缺陷ｕＪ，主要表现在：１）应用范围受到一定的限制。尽管目前很多算法在理
论上适用于任意大地距离，但实际上受数值精度的影响，它们几乎都只适用于一定范围而不能解算任意大地距离的主题。
２）奇异问题。当两大地点位于同一子午圈或同在赤道时，此算法不能计算，必须采用别的方法解算。
这些问题的存在，使得大地主题计算问题变得很复杂。大地上的坐标点有远有近，如果所使用的解算公式不能计算任意距离的正反算，则对于某些计算结果会产生很大误差，或者选择不同的算法公式而使问题（特别是对于大批量的计算）变得复杂化。下面介绍一种嵌套系数法，此算法的基础是贝塞尔的两个微分公式，但算法不同，我们也可以把它看作是贝塞尔的一种改进算法。
４３００５５．８７７１１１８１００２．９９９３２２１８１１２６．７９５８８
４３００５５．８７８４１１８１００３．００００２１８１１２６．７９７
５５０００．Ｄ０００
９５９５９．９９９９２１６４５０７．３９１５５００００．０００７９９５９５９．９９７２０２１６４５０７．３８９６７５５００００．００６８３９５９５９．９６４７１２１６４５０７．３８２
血＝厶／（尼１ｂ）＋ｄｋａ
（４）
公式（４）就是球面大圆弧如与大地线△之间的换算公

现代平差理论与测量平差

现代测量与现代平差技术摘要:本文首先简述了现代测量平差中的各种理论与经典测量平差之间的关系,指出现代测量平差与数据处理理论仍然是以高斯-马尔柯夫模型为核心,通过该模型在不同层面上的扩充、发展形成了若干新理论、新方法,并以图描述了经典测量与现代测量数据处理中各种理论之间的关系。

然后分别阐述了现代测量数据处理中粗差理论、系统误差的处理、病态问题的处理、非线性问题的处理、不等式约束的平差等的发展,最后综述了其他数据处理理论的一些发展情况。

最后讲了整体平差法是一个严格而又有效的平差方法,其应用与现代计算机技术密切相关。

具体介绍了整体平差法的基本原理,并以实测GPS控制网的布设为例,探讨了它在现代测量控制网建立中的具体应用及其技术优势。

关键词:经典测量平差;现代测量平差;高斯-马尔柯夫误差模型;误差模型扩展整体平差分级平差GPS控制网Abstract: This paper described the relationship between the theories in modern surveying adjustment and the traditional surveying adjustment. It pointed out that the theories of modern surveying adjustment and the data processing should be still based on Gauss-Markov error model. Through enlargement and development in different aspects of the model, new theories and methods are worked out. A figure showing such relationship is given.Meanwhile, the theories on blunder detection, systematic error processing, ill-pose problem, nonlinear model,inequality constraints are elaborated. At the last the progresses of other theories on data processing are summarized.Key words: traditional surveying adjustment; modern surveying adjustment; Gauss-Markov error model;extension of error model1、现代测量平差与数据处理理论发展概述经典的测量平差与数据处理是以高斯-马尔柯夫模型为核心[1]:L=AX+Δ(1a)E(Δ) = 0,D(Δ) =σ20Q=σ20P-1(1b)Rnk(A) =n,R(Q) =R(P) =n(1c)这里L为观测向量,Δ为误差向量,X为未知参数向量,A为X的系数矩阵,E(·)为数学期望,σ2为单位权方差,P为观测权矩阵,Q为协因素矩阵,n为观测个数。

大地电磁测深阶段式自适应正则化反演

２０２０年８月第５５卷　第４期　＊江西省南昌市经开区广兰大道４１８号东华理工大学地球物理与测控技术学院，３３００１３。

Ｅｍａｉｌ：ｄｗｊｈｔｊ＠ｈｏｔｍａｉｌ．ｃｏｍ本文于２０１９年１２月２７日收到，最终修改稿于２０２０年２月１４日收到。

本项研究受国家自然科学基金项目“基于线性相关约束的地球物理联合反演研究”（４１６０４１０４）和“圆锥型场源矿井瞬变电磁法理论基础研究”（４１９７４０８６）、东华理工大学教育部核技术应用工程研究中心开放基金项目“宽范围岩石物性约束技术的改进及其在相山地区ＭＴ和重力正则化联合反演中的应用”（ＨＪＳＪＹＢ２０１６－７）及江西省自然科学基金项目“城市多参数可控电磁勘探理论研究”（２０１９２ＢＡＢ２０２０１２）联合资助。

·非地震·文章编号：１０００－７２１０（２０２０）０４－０９０６－０９大地电磁测深阶段式自适应正则化反演郭一豪①②　陈　晓＊①②　杨海燕①②　张志勇①②　曾志文①②　周　勇①②（①东华理工大学核技术应用教育部工程研究中心，江西南昌３３００１３；②东华理工大学地球物理与测控技术学院，江西南昌３３００１３）郭一豪，陈晓，杨海燕，张志勇，曾志文，周勇．大地电磁测深阶段式自适应正则化反演．石油地球物理勘探，２０２０，５５（４）：９０６－９１４．摘要　如何合理确定正则化因子一直是地球物理反演的研究热点和难点。

从提高反演稳定性的角度对正则化因子的选择进行考量，是确定正则化因子取值的新思路。

此外，以往的正则化反演研究对非线性优化算法的随机性考虑不足。

基于此，以Ｚｈｄａｎｏｖ提出的自适应算法为框架，提出了一种新的自适应正则化算法，即阶段式自适应算法，按照“阶段”自适应地调整正则化因子。

将此方法分别应用于大地电磁测深（ＭＴ）的共轭梯度和差分进化算法（ＤＥ）反演。

模型试验表明该算法可以提高反演的稳定性，在一定程度上降低衰减因子的影响，而且该算法具有同时适用于线性和非线性优化算法的特点。

大地电磁反演中改进的自适应正则化因子选取_向阳

２］；拟合的［正则化因子过小表示反演主要拟合数据，
ＡｎＩｍｒｏｖｅｄＡｄａｔｉｖｅＲｅｕｌａｒｉｚｅｄＰａｒａｍｅｔｅｒｐｐｇＳｅｌｅｃｔｉｏｎｉｎＭａｎｅｔｏｔｅｌｌｕｒｉｃＩｎｖｅｒｓｉｏｎｇ
］４５－，该方法能给出估计值和真偏风险估计预测方法［
：ｒａｄｉｅｎｔＡｂｓｔｒａｃｔＢａｓｅｄｏｎｔｈｅｃｏｎｕａｔｅｍｅｔｈｏｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｇｊｇ，ａｒｏｂｌｅｍｏｆｌａｅｒｅｄｍａｎｅｔｏｔｅｌｌｕｒｉｃ（ＭＴ）ｍｏｄｅｌｓｉｎｖｅｒｓｅｄｐｙｇｃｏｍａｒａｔｉｖｅｓｔｕｄｉｓｍａｄｅｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｉｎｖｅｒｓｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓａｎｄｐｙａｒａｍｅｔｅｒｓｅｖｅｒａｌｏｔｈｅｒｒｅｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｓｅｌｅｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｕｎｄｅｒｐｇｉｎｉｔｉａｌｍｏｄｅｌｓｉｎｏｒｄｅｒｔｏａｎａｌｚｅｔｈｅｉｒｒｅｓｅｃｔｉｖｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｙｐｂｅｈａｖｉｏｒａｎｄｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅａｄａｔｉｖｅｐｒｅｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｅｔａｌｏｒｉｔｈｍｃａｎａｓｉｍｉｌａｒｉｎｖｅｒｓｉｏｎｒｅｓｕｌｔｉｎａｇｇｇ，ｆａｓｔｅｒａｎｄｅａｓｉｅｒｗａ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒｗｉｔｈｔｈｅｕｒｏｓｅｔｏｒｅｄｕｃｅｔｈｅｙｐｐｌｉｍｉｔｄｕｅｔｏｄｅｅｎｄｉｎｏｎｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｍｏｄｅｌａｎｄｉｍｒｏｖｅｔｈｅｐｇｐ，ｓｔａｂｉｌｉｔｏｆｉｎｖｅｒｓｉｏｎａｎｉｍｒｏｖｅｄａｄａｔｉｖｅｒｅｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｐｐｇｙｕｔｍｅｔｈｏｄｉｓｆｏｒｗａｒｄｂｓｅｌｅｃｔｉｎａｌａｒｅｒａｔｉｏｏｆｔｈｅｍｉｓｆｉｔｐｙｇｇｆｕｎｃｔｉｏｎｔｏｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｚｉｎｆｕｎｃｔｉｏｎａｓｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅｏｆｇ，ａｒａｍｅｔｅｒａｒｅｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｎｄａｎａｕｔｏｍａｔｉｃｄｅｃａｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｐｇｙｉｓｒｏｏｓｅｄｔｏｒｅｄｕｃｅｔｈｅａｒａｍｅｔｅｒｗｉｔｈｉｔｅｒａｔｉｏｎ．ｓｃｈｅｍｅｐｐｐ

GPS快速定位中相位模糊度动态解算的一种正则化方法

GPS快速定位中相位模糊度动态解算的一种正则化方法段荣;赵修斌;庞春雷;李媛;伍劭实【期刊名称】《中国惯性技术学报》【年(卷),期】2015(023)005【摘要】针对GPS快速定位中少数历元组成的法方程存在严重病态性的问题,研究了GPS单频整周模糊度快速解算的新方法:即首先采用改进SVD分解获得系数矩阵的精确奇异值,避免了较小奇异值抖动的影响;然后基于改进SVD分解结合法矩阵病态性特点,设计了一种改进Tikhonov正则化方法,合理构造了正则化矩阵,有效抑制法矩阵的病态性.算例表明:与LS估计-LAMBDA方法和Tikhonov正则化-LAMBDA方法相比,新方法能够有效降低法矩阵的条件数约3个数量级,仅解算4个历元数据,浮点解偏离真值的方差从41.89减小到1.04,可以快速获得准确、稳定的模糊度浮点解.模糊度固定性能结果进一步表明,新方法显著地提高模糊度搜索效率和成功率,解算成功率提高100％.【总页数】7页(P624-630)【作者】段荣;赵修斌;庞春雷;李媛;伍劭实【作者单位】空军工程大学信息与导航学院,西安710077;空军工程大学信息与导航学院,西安710077;空军工程大学信息与导航学院,西安710077;94153部队,陕西咸阳712200;空军工程大学信息与导航学院,西安710077【正文语种】中文【中图分类】V557【相关文献】1.GPS动态定位中整周模糊度的快速解算 [J], 刘少鹏;卢艳娥;周亚飞2.单频GPS动态定位中整周模糊度的一种快速解算方法 [J], 刘宁;熊永良;冯威;徐韶光3.GPS动态定位中相位模糊度的解算方法 [J], Sauer.,K;王爱朝4.GPS接收机RTK定位中整周模糊度的快速解算方法 [J], 冯仲科;韩熙春5.差分GPS载波相位整周模糊度快速解算方法 [J], 朱志宇;刘维亭;张冰因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

不适定逆成像问题的多准则正则化求解方法

第３９卷第１期２０００９－２月复旦学报（自然科学版）Ｊｏｕｒｎａ］ｏｆＦｕｄａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Ｖ０１．３９Ｎｏ．１Ｆｅｂ．２０００文章编号：０４２７７１ｒ】｜Ｉｚ（）ＯＯ）Ｏｔ００２６Ｏｑ不适定逆成像问题的多准则正则化求解方法戴伟辉，高汝熹（管理学院）搐要：不适定性（ｉｌｌｐｏｓｅｄｎｅｓｓ）是图像重建（ｘ射线ＣＴ的投影重建、心电ＥＣＧ厦脑电ＥＥＧ信号的逆成像重建）逆问题求解中非常普遍的情况，由于对观测数据及正问题数字离散化过程中所产生的误差撮为敏感，它在很＾程度上将影响到重建凰像的质量、稳定性和求解精度．通过对由投影重建图像逆问题求解过程中的不适定性丹析，给出ｒ求解不适定逆成像问题的多准则正则化方法及其理论基础，实验结果表明诫方法此传统的单准则正则化求解方法具有更高的成像精度与稳定性．该方法已成功地应用于ＣＴ图像重建、ＮＭＲ围像重建、心电逆同题求鹪以及大气湍流图像重建等领域．关键词：图像重建；不适定逆问题；多准则正则化中图分类号：ＴＰ３９ｌ４１文献标识码：Ａ图像重建过程中．由于逆算子的不适定性．成像质量和精度对观测数据及正问题数字离散化过程中所产生的误差极为敏感．解决这一问题的通常途径是采用Ｔｉｋｈｏｎｏｖ和Ｍｉｌｌｅｒ形式的正则化求解方法“～．近年来，人们在图像重建领域内研究的新成果表明，一－：采取多个准则函数同时优化的正则化求解方法和某些更加精细而有效地描述待重建对象属性的先验知识时．可以获得精度大大高于常规方法下的重建图像，为求解不适定逆成像问题提供了有敬的途径．本文通过对由投影重建图像逆问题求解过程中的不适定性分析，给出了一组受ｇｈｏｓｔ函数影响下的重建图像示例，阐述了求解不适定逆成像问题的多准则正则化方法及其理论基础．实验结果表明，该方法比传统的单准则正则化求解方法具有更高的成像精度与稳定性．并已成功地应用于ＣＴ图像重建、ＮＭＲ图像重建、心电逆问题求解以及大气湍流图像重建等领域。

有界椭球不确定性平差算法在病态问题中的应用

有界椭球不确定性平差算法在病态问题中的应用夏玉国; 宋迎春【期刊名称】《《大地测量与地球动力学》》【年(卷),期】2019(039)009【总页数】5页(P956-959,965)【关键词】不确定性; 椭球约束; 病态问题; 岭估计【作者】夏玉国; 宋迎春【作者单位】中南大学地球科学与信息物理学院长沙市麓山南路932号 410083; 中南大学有色金属成矿预测与地质环境监测教育部重点实验室长沙市麓山南路932号 410083【正文语种】中文【中图分类】P207病态问题广泛存在于大地测量的数据处理中，如GPS 快速定位、大地反演中常存在不适定问题，其原因是观测信息不充分或者对参数物理信息和先验信息不了解[1-2]。

为解决病态问题，学者们提出一系列有偏估计方法，如岭估计法、Tikhonov正则化法、截断奇异值法，这些方法主要是利用数学手段缩小病态观测方程的系数阵(或法矩阵)的条件数，但很少进行病态原因的分析和从机制上采取有效措施，没有重视算法在实际问题中的物理意义是否合理[3-4]。

解决病态问题的有效途径是充分利用参数的附加信息或先验信息对部分参数进行约束，从而保证参数解的唯一性和稳定性，如等式约束、不等式约束、区间约束以及椭球约束等[5-8]。

等式约束和不等式约束在大地测量实际问题中是一种简单的约束信息，相关文献较多，如谢建等[6]建立附等式约束的病态模型，推导出参数估值的计算公式；冯光财等[7]给出不等式约束和广义岭参数之间的转换方法。

有学者提出利用椭球集合描述不确定先验信息，通过集员估计方法进行参数估计，如Fogel等[8]提出的椭球集员估计算法。

利用椭球约束描述复杂的先验信息，在测绘数据处理中是一种新的尝试，由于带有椭球约束的线性模型与岭估计有较强的相关性[7,9]，因此用集员估计方法处理病态问题比较合适，此方法已经在其他领域得到广泛应用，但在测量平差数据处理中还需要进一步研究[10]。

本文将利用椭球约束描述观测向量和参数的有界不确定先验信息，把它们融入到测量平差模型中，建立平差准则对不适定性进行抑制，研究新的有界椭球不确定性平差方法在病态问题中的应用。

大地电磁测深和重力数据同步正则化联合反演

大地电磁测深和重力数据同步正则化联合反演陈晓;张磊;郭曼;葛坤朋;王彦国【摘要】在以往正则化联合反演中,不同的地球物理方法均采用相同的正则化因子.当不同的地球物理方法的数据拟合泛函和模型稳定泛函的数量级不一致时,单正则化因子条件下的正则化联合反演不能充分发挥不同地球物理方法各自模型约束泛函的作用.针对这点不足,以大地电磁测深(MT)和重力联合反演为例,提出了双正则化因子的确定方法,新方法根据MT和重力方法各自的数据拟合效率实现了正则化因子的自适应调整.设计了非完全共界面的断块模型.模型试验表明:与传统的MT和重力正则化联合反演相比,双正则化因子条件下的MT和重力联合反演可以更好地发挥各自的模型约束泛函的模型约束作用,联合反演的解更符合真实模型.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2016(016)008【总页数】5页(P54-58)【关键词】联合反演;双正则化因子;大地电磁测深;重力【作者】陈晓;张磊;郭曼;葛坤朋;王彦国【作者单位】东华理工大学放射性地质与勘探技术国防重点学科实验室,南昌330013;东华理工大学放射性地质与勘探技术国防重点学科实验室,南昌330013;东华理工大学放射性地质与勘探技术国防重点学科实验室,南昌330013;东华理工大学放射性地质与勘探技术国防重点学科实验室,南昌330013;东华理工大学放射性地质与勘探技术国防重点学科实验室,南昌330013【正文语种】中文【中图分类】P631多种地球物理方法间的联合反演是综合地球物理研究的重要发展方向，目前各种地球物理参数之间可能的联合反演组合层出不穷。

基于物性或构造耦合约束的电阻率和密度联合反演通常出现在MT和重力联合反演以及MT、重力和地震联合反演中。

Dell’Aversana[1]利用重力、MT和地震顺序反演研究了地质情况复杂的逆冲断层带。

Colombo等[2]利用地震资料联合重力和MT数据重建速度分布，证明联合反演可以减少解的多解性并提高非地震方法的分辨率。

测量数据处理中病态矩阵和正则化方法

第30卷第4期2010年8月大地测量与地球动力学JOURNALOFGEODESYANDGEODYNAMICSAug.,2010文章编号:1671 5942(2010)04 0102 05测量数据处理中病态矩阵和正则化方法吴杰李明峰1)1,2)*余腾1)1)宿迁学院,宿迁 2238002)南京工业大学土木工程学院,南京摘要从扰动角度、空间几何角度、超椭球的角度对病态方程进行了研究,给出的正则化计算方法能够更好地减弱系数阵复共线数的影响。

数值试验结果表明,该方法效果较好。

关键词测量平差;病态性;条件数;空间几何分析;复共线性;正则化方法中图分类号:P207 文献标识码:A ILLMATRIXANDREGULARIZATIONMETHODINSURVEYINGDATAPROCESSI NGWuJie,LiMingfeng1)SuqianCollege,Suqian 2238002)DepartmentofCivilEngineering,NanjingUniversityofTechnology,Nanjing 1)1,2)andYuTeng1)AbstractTheexplorestheillconditioningequationfromdisturbance,spatialgeometryandellipsoidalstructureareexplored.Theregularizationmethodwhichcanbebetterabletoabatecoefficientmatrix ofthecomplex1 引言在测量数据处理中,LS估计是被广泛采用的估计方法,但是当模型病态时,观测数据的微小扰动常常会造成估值与其真值的偏差很大,估值表现出不稳定。

病态问题危害非常严重,且存在于变形观测数据处理、大地测量、GPS数据处理等许多领域。

目前测量界对病态问题的研究主要集中在两个方面:一是如何建立病态问题的有效诊断方法;二是寻求效果更好的病态问题解法。

正则化

正则化(regularization)在线性代数理论中，不适定问题通常是由一组线性代数方程定义的，而且这组方程组通常来源于有着很大的条件数的不适定反问题。

大条件数意味着舍入误差或其它误差会严重地影响问题的结果。

反问题有两种形式。

最普遍的形式是已知系统和输出求输入，另一种系统未知的情况通常也被视为反问题。

许多反问题很难被解决，但是其他反问题却很容易得到答案。

显然，易于解决的问题不会比很难解决的问题更能引起人们的兴趣，我们直接解决它们就可以了。

那些很难被解决的问题则被称为不适定的。

一个不适定问题通常是病态的，并且不论是简单地还是复杂地改变问题本身的形式都不会显著地改善病态问题。

另一方面，病态问题不一定是不适定的，因为通过改变问题的形式往往可以改善病态问题。

在严格的数学意义上，我们通常不可能对不适定问题进行求解并得到准确解答。

然而，通过使用我们的先验知识，我们通常有希望能够得到一个接近准确解答的答案。

求解不适定问题的普遍方法是:用一族与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解,这种方法称为正则化方法。

如何建立有效的正则化方法是反问题领域中不适定问题研究的重要内容。

通常的正则化方法有基于变分原理的Tikhonov 正则化、各种迭代方法以及其它的一些改进方法,这些方法都是求解不适定问题的有效方法,在各类反问题的研究中被广泛采用,并得到深入研究。

正则化:Normalization，代数几何中的一个概念。

通俗来说，就是给平面不可约代数曲线以某种形式的全纯参数表示。

即对于PC^2中的不可约代数曲线C，寻找一个紧Riemann面C*和一个全纯映射σ:C*→PC^2,使得σ(C*)=C严格的定义如下:设C是不可约平面代数曲线，S是C的奇点的集合。

如果存在紧Riemann面C*及全纯映射σ:C*→PC^2,使得(1) σ(C*)=C (2) σ^(-1)(S)是有限点集(3) σ:C*\σ^(-1)(S)→C\S是一对一的映射则称(C*,σ)为C的正则化。

解决大地测量中病态问题的算法及原理分析与应用

摘要：就现在的形势来看，伴随着对大地检测计量技术的不断进步，在大地测量这一方面对与病态这类疑惑的解决办法的精确度与精准度的要求逐渐提高，大家逐渐采取了不断进步的手段来进行此类问题的解决。

怎样全面的考虑对大地的检测计量，研究讨论估计与观察检测的各种方程来直接解析计算的新手段。

进而适应了大地检测计量发展的新要求，也成为了大地计量检测学者目前要解决的新问题。

关键词：大地测量；病态问题；算法；原理；分析中图分类号：p22 p20 文章标识码：a 文章编号：1672-2310（2015）12-007-011 引言：在大地检测而计量这项工作中，方程病态类问题频频出现，而且越来越普遍。

因为有了病态性的出现，才使得了要利用最小二乘法来解决计算参数估计值准确度变得极差，甚至到达扭曲，最后的出的结论毫无用处。

因此，要主要来研究研讨奇异值分解法（svd）与误差转移法来接触把病态问题的想法，过程，对主要麻烦的解决，适应条件等等。

最终，利用gps 实际测量的数值来证明这些方法的可行性，它的计算结论让大家认识到，此方法可以解决方程病态性类麻烦，而且计算简单，容易理解，在实际生活中有很大的可行性。

针对大地检测计量此方面把病态问题的探析，是从上个世纪90年代对天文观察检测的不断进步而发展起来的。

在大地的检测计量中，很多的现实生活问题都得用解线性方程组问题。

可是要是方程组的系数矩阵出现病态的时候，检测计量的评差系统得出的结论参数数值就会显然变差。

病态问题在计量检测的工程中普遍存在，并且在大部分时间内都是不能解决的。

就像，在gps急速的确定位置时，因为gps运动是较高轨道的运动（高出地面大约 20200千米），对于这种高轨道的的运行特征确定了它性比较于地面上某一个部位的速度变化的速率极小，换句话说，即互相临界的历元之间的几何图案差不多是没有任何改变的。

此情况在建设模型的时候，呈现出来的矩阵法也是表现为病态的。

所以，怎样解决发放成的病态性这个困难成为了当今时代检测计量中的再一个新的研究问题。

大地测量病态线性问题解算的奇异值修正

大地测量病态线性问题解算的奇异值修正冯壮壮;徐工【摘要】Tikhonov方法和截断奇异值方法是处理大地测量病态线性最小二乘问题常用的两种方法.基于两种方法处理病态问题的思想,根据奇异值分布空间差异性,提出了一种混合正则化算法.该算法通过对奇异值进行差异性修正,提高参数估计解的精度和稳定性,最后采用数值案例验证了该方法的有效性.【期刊名称】《山东理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(033)003【总页数】4页(P51-54)【关键词】Tikhonov;截断奇异值法;病态;奇异值空间分布【作者】冯壮壮;徐工【作者单位】山东理工大学建筑工程学院, 山东淄博255049;山东理工大学建筑工程学院, 山东淄博255049【正文语种】中文【中图分类】P22病态问题广泛存在于大地测量控制网平差、航空重力向下延拓和GPS快速定位等领域中，线性方程组设计矩阵具有严重的复共线性，数据微小的变化对导数参数估计结果产生较大的影响[1]。

虽然线性最小二乘具有线性无偏性和方差最小性，但由于小奇异值影响方差被严重放大，得不到所期望的结果。

目前处理线性最小二乘病态问题的算法多以正则化理论为基础，通过修正设计矩阵病态性或者避免矩阵求逆来提高参数估计的解[2-3]。

较常用的线性正则化算法有截断奇异值方法(TSVD)、Tikhonov算法和两参数LIU估计等[4-5]。

正则化算法是通过引入偏差量来降低方差，从而提高参数解的精度和稳定性[6]。

TSVD实质为分割法，该方法将小奇异值及其对应的奇异分量删除，保留大奇异值及其对应的主成分信息，虽然能够提高解的稳定性和精度，但降低了解的分辨率[7]。

标准Tikhonov方法对线性方程组设计矩阵无差异修正，引入了偏差量，降低了参数估计的可靠性[8]。

此外，截断参数和正则化参数的确定问题是制约线性正则化算法求解精度和稳定性的主要因素，常用的正则化算法有L曲线、方差最小法、和GCV广义交叉法[9-11]。

求解不适定问题的TSVD正则化方法_黄小为

设 T +为线性算子的 M oore-penrose 广义逆 , 且 y ∈ D(T +), 则方程(1)有唯一最小模最小二乘解 x +=
T +y , x +可由 T 的奇异系(μi , xi , y i), i ∈ N 表示[ 2]
∑ T + y
=
∞ i =1
(y μ, iyi)x i
考虑函数 q :(0 , +∞)×(0 , ‖ T ‖)※R
摘要 : 介绍了求解反问题中的不适定问题的 T SVD 正则化方法 , 给出了 TSV D 正则解的误差分析。给出了正则参数
的先验选取 , 并通过正则参数的先验选取证明了正则解的误差具有渐进最优阶。从数值实现角度看 , TSV D 正则化方法
是求解不适定问题的十分有效的方法。
关键词 : 反问题 ; 不适定问题 ; 正则化滤子函数 ; TSV D 正则化方法
q(α, μ)=
1 μ≥ α 0 μ< α
(3)
命题 1 式(3)给出的函数 q(α, μ)具有性质 :1) q(α, μ) ≤1 ;2) q(α, μ) ≤1αμ;3)αl※im0+q(α, μ)=1 。定义算子 Rα:Y ※X
∑∞
Rαy ∶= i =1
q(αμ,i μi )(y , yi )x i
(4)
如果假设在 T 的奇异系(μi , x i , yi)中 μ1 ≥μ2 ≥… ≥μn ≥… >0 , 取 α=μn , 则算子 Rα可表示为
∑ ∑ n
Rny ∶=
i =1
μ1i (y , yi)xi
∞
=
i =1
q(μn , μi

解决大地测量中病态问题的算法及原理分析与应用

解决大地测量中病态问题的算法及原理分析与应用摘要：目前，随着大地测量技术的迅速发展，在大地测量界对病态问题处理的精度和准确度的要求越来越高，人们所采用的数据处理手段也应随之发展。

如何充分考虑大地测量实际，探讨有偏估计和观测方程直接解算的新方法，以满足大地测量发展的需要，是大地测量学者面临的一个新任务。

在大地测量中，法方程病态问题大量存在。

由于病态性的存在，致使按最小二乘法解算参数估值精度变差发生扭曲，最终使所得结果不能使用。

重点研究奇异值分解法（SVD）和误差转移法解决病态问题的思想、途径、对关键问题的处理、适用范围等。

最后通过GPS 实测数据来验证这两种方法的有效性，其解算的结果表明：这两种方法能解决法方程病态性问题，且算法简便、易懂，有较强的应用价值。

关键词:大地测量;病态问题;算法;原理;分析1 引言对于大地测量领域病态问题的研究，是随着上世纪90 年代天文观测的发展而广泛开展的。

在大地测量中，大部分实际问题都归结为解线性方程组问题。

当方程组系数矩阵呈病态时，测量平差系统所得参数估值性质明显变差。

病态性问题在测量工程中大量存在，而且有时是不可避免的。

例如，在GPS 快速定位中，由于GPS 运动属于高轨道运动（距离地面约20200km），这种高轨运动特点决定了其相对于地面上一点的角速度变化率非常小，也就是说，相邻历元间的几何图形几乎没有变化。

这种现象在建立模型时，表现为法矩阵是严重病态的。

因此，如何解决法方程病态性问题是现代测量中又一新的课题。

目前针对这方面的问题国内外许多专家学者已经提出不少问题解决的理论及方法。

其中著名的有岭估计、广义岭估计、主成份估计法、遗传算法、加权迭代改善算法、奇异值分解法（SVD）等。

这些算法中岭估计出现最早，实际应用也相对比较广泛。

岭估计作为比较传统的克服病态性的问题的有偏估计类方法之一，已广泛为人们所接受。

其基本思想是用增大偏差值以换取估值向量方差的大幅度减小，同时也达到使均方差整体减小的目的，从而最终使参数估值逼近真值。

地震数据成像中的正则化算法研究

分类号O224 学号 ******** U D C 密级公开理学硕士学位论文地震数据成像中的正则化算法研究硕士生姓名向徐学科专业应用数学研究方向大规模科学与工程计算指导教师王红霞副教授国防科学技术大学研究生院二〇一一年十二月地震数据成像中的正则化问题研究Regularization Algorithms forSeismic ImagingCandidate： Xiang XuAdvisor：Wang HongxiaA thesisSubmitted in fulfillment of the requirementsfor the professional degree of Master of Sciencein MathematicsGraduate School of National University of Defense Technology Changsha，Hunan，P.R.China（November，2011）目录摘要 (i)ABSTRACT (iii)第一章绪论 (1)1.1 地震成像的基本问题 (1)1.2 地震成像的研究现状 (3)1.3 本文的主要内容 (6)第二章地震数据偏移的基本方法 (9)2.1 Kirchhoff积分法偏移 (11)2.2 频率波数域偏移 (13)2.3 其他偏移方法 (15)第三章正则化迭代算法及改进CG算法 (17)3.1 迭代Tikhonov正则化方法 (17)3.2 BB算法 (18)3.3 CG算法及其改进 (20)第四章正则化方法在地震偏移中的应用 (27)4.1 模拟地震数据 (27)4.2 用迭代正则化方法对模拟地震数据去噪 (28)结束语 (35)1 本文的主要创新点 (35)2 后续研究工作展望 (35)致谢 (37)参考文献 (39)作者在学期间取得的学术成果 (41)表目录表3.1 最速下降法运算步骤 (19)表3.2 CG算法的运算步骤 (24)表3.3 改进CG算法的运算步骤 (25)表4.1 BB算法和两种共轭梯度法CPU运行时间 (34)表4.2 不同噪声水平下三种算法的迭代步数 (34)表4.3 不同噪声水平下三种算法的信噪比（单位：dB） (34)图目录图1.2 论文思路流程图 (5)图2.1 波场下推过程示意图 (10)图2.2 Kirchhoff偏移过程简要示意图 (12)图3.1 两平行的同心椭圆族的切点连线过其中心 (20)图4.1 合成地震数据（真实信号） (27)图4.2 模拟地震信号 (27)图4.3 BB算法的目标函数随迭代步数变化情况 (28)图4.4 不同噪声情况下BB算法的计算结果 (29)图4.5 CG算法的目标函数随迭代步数变化情况 (30)图4.6 不同噪声情况下CG算法的计算结果 (30)图4.7 改进的CG算法的目标函数随迭代步数变化情况 (31)图4.8 不同噪声情况下改进CG算法的计算结果 (32)图4.9 BB算法各步迭代得到地震图像（N=60） (32)图4.10 CG算法各步迭代得到地震图像（N=56） (33)图4.11 改进的CG算法各步迭代得到地震图像（N=49） (33)摘要地震数据成像是地质勘探中的核心步骤之一，成像精度直接关系到解译的精度乃至勘探的成败。

地震波走时问题的正则化解

地震波走时问题的正则化解
阮晓青;赵冰
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2002(019)002
【摘要】证明了地震波走时方程的正则化解的存在唯一性与稳定性.
【总页数】4页(P135-138)
【作者】阮晓青;赵冰
【作者单位】深圳大学理学院,深圳,518060;深圳大学理学院,深圳,518060
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82
【相关文献】
1.气枪震源地震波走时变化影响因素分析及地震相关的走时变化 [J], 周青云;刘自凤;贺素歌
2.模拟退火方法在三维速度模型地震波走时反演中的应用 [J], 李飞;张雪梅;陈宏峰;何少林
3.三维地质模型中地震波共轭梯度非线性走时反演 [J], 李飞;张雪梅;姬运达;何少林
4.地震波走时问题的线性化方法 [J], 阮晓青;赵冰
5.地震波各向异性走时层析成像有限元模型仿真 [J], 贾源源;董淼
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测地主题正反解解算

测地主题正反解解算
施一民;朱紫阳;方胤祺
【期刊名称】《测绘工程》
【年(卷),期】2003(012)001
【摘要】由测地坐标系中大地线的微分方程式推导出其微分关系式,得出了在地球椭球面上基于测地坐标进行正反解的算法和公式,它与大地主题解算公式相比,更为简捷明了.由实际计算数据表明,对于100km以下的距离解算,它亦能达到相当高的精度.因此测地坐标的点位表述不仅可用于DEM和GIS三堆可视化,也可用于三雏GIS建模以及空间度量和分析.
【总页数】4页(P9-12)
【作者】施一民;朱紫阳;方胤祺
【作者单位】同济大学测量与国土信息工程系,上海,200092;同济大学测量与国土信息工程系,上海,200092;同济大学测量与国土信息工程系,上海,200092
【正文语种】中文
【中图分类】P221
【相关文献】
1.4-UPU并联机构的模型建立与正反解算法 [J], 于峰;胡兴伟;夏广岚
2.一种子午线正反解算的新方法 [J], 施一民;范业明
3.纬度正反解问题的傅里叶级数解算方法 [J], 陈成;边少锋;刘强
4.测方向三角网函数模型与测角网函数模型解算结果的比较分析 [J], 王振
5.基于正反接线原理的避雷器真泄漏电流量测方法 [J], 李飞;耿宁;刘林;岳增伟;韩雪姣;赵雷
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大地测量中不适定问题的正则化解法研究
摘要：为了解决大地测量中的不适定问题，人们提出了正则化解法，并期望通
过对正则解法的不断研究从而彻底解决大地测量中的不适定问题。

论文对大地测
量中不适定问题的正则化解法研究进行详细论述，给相关人士提供参考。

关键词：大地测量;?不适定问题;?正则化解法;?系统误差;
大地测量是一项对地球的相关数据进行测量的活动。

大地测量活动的开展不
但可以有效提升地形测图以及工程测量的精准度，同时还可以促进国家空间科学
以及国防建设的发展。

此外，随着大地测量的不断深入，人们可以对地壳运动以
及地震等地质活动进行预测，从而降低地震等自然灾害对于人类的危害。

然而在
大地测量中，时常会遇到一些不适定问题。

例如，测量中所存在的控制网平差、GPS无法快速定位等。

这些大地测量中的不适定问题虽然表现形式不同，但却有
着一些相同点。

首先，这些不适定问题一般解均不唯一。

再者，这些不适定问题
有时还会出现无解的状况。

此外，这些不适定问题常常还会出现解不稳定的现象。

这些不适定问题的出现严重影响了大地测量的进行与发展，因此，为了解决大地
测量中的不适定问题，对其解决方法进行了深入的研究，并将其逐步演变为正则
化解法。

通过正则化解法，可以有效地解决大地测量中的不适定问题，并针对病
态性的算法进行改进，从而促进大地测量的快速发展。

1 推导了大地测量不适定问题解的统一表达
为对大地测量中不适定问题开展正则化解法研究，最初研究推导了大地测量
中不适定问题解的同意表达。

旨在分析大地测量中不适定问题常用的一些数学模型，研究表明在该阶段常见的数学模型主要有拟合推估模型、自由网平差模型、
病态模型和半参数模型等。

经计算显示，这些数学模型的解可以用某个数学关系
式统一表达，而令研究者所震惊的是这些数学模型都能够在TIKHONOV正则化原
理下推导出。

实际推导过程中，为保证计算结果的准确度，研究者要把握好这些
数学模型之间的共性问题，尽可能地分析出他们的个性，求解时既要考虑数学模
型的基本计算理论，又要寻求合适的优化求解方案，以此来深化研究。

2 克服病态性的改进算法研究
在克服病态性的改进算法研究中，从以下3步展开论述：首先，针对一些难
以确定的岭参数，系统会主动选择研究确定的岭参数L曲线。

为使L曲线的效果
能够更加清晰地展现出来，该算法研究采用对比法，将L曲线法同传统的岭迹法
相比较，以此来得出全新的结论。

其次，研究还提出了克服病态性的两步解法，
需重点研究了两步解法的计算原理和相关数据性质以及相应的计算适应条件等。

同常规的克服病态性改进算法研究方案相比，该方案更为优异。

最后，研究提出
了一种新的奇异值修正方案，该方案的核心是将奇异值分为2个部分进行分别修
正处理。

实践证明这种方案是很有研究效果的，同其他克服病态性的改进算法相
比该方案的结算结果更为精准。

3 单频GPS快速定位中减弱病态性的新方法研究
本次研究，主要论述了单频GPS快速定位中减弱病态性的新方法，能够在较
短的时间内实现快速GPS定位。

为此，首先分析了关于GPS快速定位的矩阵的结
构特性。

在正则化原理的前提下，有针对性地提出了以下2种正则化矩阵的构造
方法。

利用这2种新的方案，可以在很大程度上减弱传统法矩阵的病态性，利用
较短的时间就可以得出较为准确的结论。

为此，对这2种新型的减弱矩阵病态性
方案进行了列示：减弱方程病态性的MINEI方案、减弱法方程病态性的MINEII方案。

4 单频GPS快速定位中ARCE方法的改进
ARCE方案的提出是为了实现单频GPS的快速定位，该计算方法主要是以LS
估计、零空间的思想为理论基础而提出的。

实际运算中主要适用于单频接收机，
是一种快速结算整周模糊度的全新方案。

在过去ARCE方法的性能还不够完善，
进而在单频GPS快速定位中使用该方法只能适用于一些观测时间段位几分钟的情况，这将会在很大程度上阻碍GPS的定位工作。

为此，对该方案提出了具体的改
进措施，针对传统ARCE方法下，法矩阵病态性状况严重，引起检测数据结果不
可靠的现象，利用TIKHONOV正则化原理，设计了一种正则化矩阵的构造方法，
大大削弱了法矩阵的病态性，使得出的数据更为准确，大大缩小了模糊度的搜索
范围，之后利用ARCE方法可以结算出整周模糊度的原理固定整周模糊度，进而
成功解算出精准的模糊度。

5 半参数模型中正则化矩阵的选取方法
在半参数模型的计算中，为保证求出半参数模型的解，需要选择合适的正则
化矩阵，在本文的介绍中主要将半参数模型中的信号分为随机量和非随机量2种。

这一分类是为了更好地选择相对应的正则化矩阵进行相关的数据探讨工作。

根据
二者的不同计算方案也有所不同，最终利用这2个方案可以更好地发挥正则化矩
阵方法的研究效果。

6 高精度GPS基线处理中系统误差的分离
新的正则化矩阵的选取方法的提出是为了实现高精度GPS基线处理中系统误
差的分离工作。

在一定条件下，该方案采用的参数变换和选取系统误差方法有了
全新的改变，能够从真正意义上消除或削弱系统误差的影响，真正做到改善GPS
基线解的精密程度，同时做好分析系统误差的分析工作，加速高精度GPS基线处
理中系统误差分析工作的进行。

7 大地测量数据共享环境及其关键技术
在大地测量技术的应用过程中，需要保证信息数据的快速共享，为数据信息
共享环境提供必要的保障措施。

所谓的技术环境主要针对的是影响某种工作开展
的相关技术类型，比如网络技术、数据共享技术以及网络信息技术等。

7.1 开放性集成化技术使用
基于开放性和集成化技术的使用过程中，需要建立起一个稳定的数据共享环境，同时通过开放性与集成化技术的融合运用，有效提高了大地测量技术的工作
效率以及信息收集效率，可以为用户提供更加精确和科学的测量定位参数，以此
来保证后续测量工作的高质量开展。

在我国大地测量工作领域当中应用非常广泛。

在该项工作的开展过程中，需要建立起一个质量更高的大地数据共享环境，并且
对其中所涉及的关键性技术和问题展开分析和研究。

7.2 大地测量数据的建模技术
随着大地测量技术的不断升级和优化，需要在大地测量数据的发展基础之上，有效总结出测量信息的使用方式，并且通过系统软件工作为基础，为大地测量技
术提供必要的平台服务和技术支撑，实现大地测量技术发展的和谐与统一。

在实
际测量工作中，需要基于最初的工作设计、施工方法以及管理工作等技术运用，
本质上是通过多个不同的技术相互之间交织配合工作，所形成的一个综合性过程
网络，要针对各种综合信息数据来开展建模工作，
8 结语
综上所述，大地测量不但可以有效提高地形测图的准确性，同时还可以促进
国防建设以及地震预报等行业的发展。

然而，在进行大地测量的过程中时常会遇
到不适定问题，从而影响测量的准确度以及测量的进行。

通过正则化解法，不但
可以解决大地测量中的不适定问题，同时还可以克服病态性算法并对其进行改进。

此外，通过正则化解法，还可以减弱单频GPS快速定位中的病态性，并使单频GPS快速定位中的ARCE方法进一步改善。

而且，通过正则化解法，可以处理高
精度GPS基线中的系统误差分离问题。

因此，加强对于大地测量中不适定问题正
则化解法的研究是极为必要的。

相信随着对大地测量中不适定问题正则化解法研
究的深入，我国的地质测量技术、国防建设以及地质活动预测技术均会达到一个
新的高度。

参考文献
[1]冯宝宾.不适定问题的正则化解算方法设计及应用[D].成都:成都理工大
学,2010.
[2]王振杰.大地测量中不适定问题的正则化解法研究[J].测绘学报,2005(2):185.
[3]王振杰.大地测量中不适定问题的正则化解法研究[D].武汉:中国科学院研究
生院（测量与地球物理研究所）,2003.。