2010年4月全国自考复变函数与积分变换的试卷及答案(1)
2002年4月～2010年4月全国自考复变函数与积分变换试题试卷真题
第一部分 选择题 (共40分)一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.复数z=1625825-i 的辐角为（ ） A.arctan12 B.-arctan 12 C.π-arctan 12 D. π+arctan 122.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（ ）A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线 3.复数z=--355(cossin )ππi 的三角表示式为（ ） A.-+34545(cos sin )ππiB.34545(cos sin )ππ-iC. 34545(cos sin )ππ+iD.--34545(cos sin )ππi4.设z=cosi ，则（ ）A.Imz=0B.Rez=πC.|z|=0D.argz=π5.复数e 3+i 所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.设w=Ln(1-i)，则Imw 等于（ ） A.-π4B.2401k k ππ-=±⋅⋅⋅,,, C.π4D.2401k k ππ+=±⋅⋅⋅,,, 7.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域（ ） A.0<argw<23π，0<|w|<4 B.0<argw<π3，0<|w|<4 C.0<argw<23π，0<|w|<2D.0<argw<π3，0<|w|<2 8.若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C ()()-+⎰1等于（ ）A.211πin f a n ()!()()++ B.2πi n f a !() C.2πif a n ()() D.2πi n f a n !()() 9.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于（ ）A.1B.2πiC.0D.12πi10.设C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于（ ） A.0B.2πiC.2πD.-2π11.设函数f z ed z()=⎰ξξξ0，则f(z)等于（ ）A.ze z +e z +1B.ze z +e z -1C.-ze z +e z -1D.ze z -e z +112.设积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z zdz C+⎰12等于（ ）A.2+πiB.2-πiC.--2πiD.-+2πi13.幂级数z n n n -=∞∑11!的收敛区域为（ ） A.0<|z|<+∞ B.|z|<+∞ C.0<|z|<1D.|z|<114.z=π3是函数f(z)=sin()z z --ππ33的（ ） A.一阶极点 B.可去奇点 C.一阶零点D.本性奇点15.z=-1是函数cot ()πzz +14的（ ） A.3阶极点 B.4阶极点 C.5阶极点 D.6阶极点16.幂级数()!()!n n z n n+=∞∑120的收敛半径为（ ） A.0B.1C.2D.+∞17.设Q(z)在点z=0处解析，f(z)=Q z z z ()()-1，则Res[f(z),0]等于（ ）A.Q(0)B.-Q(0)C.'Q ()0D.-'Q ()018.下列积分中，积分值不为零的是（ ） A.()z z dz C323++⎰，其中C 为正向圆周|z -1|=2B.e dz z C ⎰，其中C 为正向圆周|z|=5C.zzdz C sin ⎰，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos zz dz C -⎰1，其中C 为正向圆周|z|=2 19.映射w=z 2+2z 在下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ） A.|z+1|>12B.|z+1|<12 C.|z|>12D.|z|<1220.下列映射中，把角形域0<argz<π4保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A.w=z z 4411+- B.w=z z 4411-+ C.w=z i z i44-+ D.w=z i z i44+-21.复数z=4+48i 的模|z|= . 22.设z=(1+i)100，则Imz= . 23.设z=e 2+i ，则argz= . 24.f(z)=z 2的可导处为 . 25.方程lnz=π3i 的解为 . 26.设C 为正向圆周|z|=1，则()1zz dz C +=⎰.27.设C 为正向圆周|z -i|=12，则积分e z z i dz z Cπ()-=⎰2.28.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰zd C，其中|z|<2，则'=f ()1 . 29.幂级数n nz nn n !=∞∑1的收敛半径为 .30.函数f(z)=1111115z z z [()]+++⋅⋅⋅++在点z=0处的留数为 .三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31.求u=x 2+2xy -y 2的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)=1. 32.计算积分I=z zz dz C+⎰||的值，其中C 为正向圆周|z|=2. 33.试求函数f(z)=e d z-⎰ζζ2在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.34.计算积分I=e z i z i dz zCπ()()-+⎰223的值，其中C 为正向圆周|z -1|=3.四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。
复变函数与积分变换2010上卷A及答案
中南大学考试试卷2009-- 2010学年二学期 时间110分钟课程: 复变函数与积分变换 考试形式：闭卷 专业年级： 工程数学08级 总分100分，占总评成绩 70 %注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 一、选择题：（5×4'）1、函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点00iy x z +=处连续的充要条件是（ ） A. ),(y x u 在),(00y x 处连续； B. ),(y x v 在),(00y x 处连续； C. ),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续；D. ),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续. 2.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点0z 处解析，则命题( )不成立. A. ),(y x u 和),(y x v 仅在0z 处可微且满足C-R 条件.B. 存在点0z 的某一邻域)(0z U ，),(y x u 和),(y x v 在)(0z U 内满足C-R 条件；C. ),(y x u 和),(y x v 在)(0z U 内可微；D. B 与C 同时成立.3. 函数)(z f 在单连通域B 内解析是函数)(z f 沿B 内任一闭曲线C 的积分0)(=⎰Cdz z f 的（ ）.A. 充分条件；B.必要条件；C. 充分必要条件；D.既非充分条件也非必要条件. 4. 幂级数∑∞=0)(cos n n z in 的收敛半径是（ ）.A.1；B.2；C.e ；D.e1.5.1=z 是函数11-z e的（ ）.A.一级极点；B.二级极点；C.可去奇点；D.本性奇点.二、解答下列各题：（8×10'）1、试求下列函数的极限： （1）zz iz +→1lim； （2）11lim1--+-→z z z z z z ；2、下列函数何处可导？何处解析？（1）i y x z f 3332)(+=； （2）xshy i xchy z f cos sin )(+=； 3、计算积分1|:|,)1( cos 5>=-⎰r z C dz z zC π。
2010年全国自考复变函数与积……3
2010年全国自考复变函数与积分变换模拟试卷(九)一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.A. AB. BC. CD. D答案：D2.A. 0B. -1/2C. 3/2D. 无法确定答案：C3. 设f(z)在单连域D内解析，C为D内一条正向闭路，则必有()A. AB. BC. CD. D答案：D解析：由柯西定理可知.4.A. （1，11）B. （0，11）C. （1，10）D. （0，10）答案：A5.A. AB. BC. CD. D答案：B6.A. 1B. 2C. 0D. -1答案：C7.A. AB. BC. CD. D答案：B8.A. iB. 4+iC. -2+iD. -i答案：A9. 在复数域内,下列数中为实数的是()A. AB. BC. CD. D答案：A10. 函数f(t)=tcoskt的拉氏变换为()A.B.C.D.答案：B二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1. 题中横线处答案为：___答案：1/42. 题中横线处答案为：___答案：13. 题中横线处答案为：___答案：4. 题中横线处答案为：___答案：5. 题中横线处答案为：___答案：6. 函数5sin2t-3cos2t的拉氏变换为___.答案：三、计算题（本大题共8小题，共52分）1.答案：2.答案：3.答案：4. 求arctan(2i).答案：5.答案：6. 已知正三角形的两个顶点为z1=1与z2=2+i，求它的另一个顶点.答案：7.答案：8. 将下列函数在指定圆环内展开为罗朗级数.答案：四、综合题（下列3个小题中，第1题必做，第2、3题中只选做一题。
每小题8分，共16分）1. 设f(z)在|z|≤R上解析。
如果存在a>0，使当|z|=R时|f(z)|>a,而且|f(0)|<a,试证：在圆|z|<R内f(z)至少有一个零点.答案：2.答案：3.答案：。
复变函数考试题及答案自考
复变函数考试题及答案自考一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是复数z = 3 + 4i的共轭复数？A. 3 - 4iB. -3 + 4iC. -3 - 4iD. 3 + 4i答案：A2. 如果复变函数f(z)在点z₀处解析，那么它的导数f'(z₀)等于：A. 极限lim(Δz→0) [f(z₀ + Δz) - f(z₀)] / ΔzB. f(z₀)的实部C. f(z₀)的虚部D. f(z₀)的模答案：A3. Cauchy积分定理适用于：A. 仅在实数域B. 仅在复平面上的简单闭合曲线C. 仅在复平面上的开区域D. 所有以上情况答案：C4. 如果一个复变函数在某区域内除了一个孤立奇点外处处解析，那么这个函数在该区域内：A. 一定有原函数B. 一定没有原函数C. 可能是周期函数D. 以上都不对答案：A5. 复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)中，u和v分别表示：A. 实部和虚部B. 模和辐角C. 辐角和模D. 都不对答案：A6. 以下哪个是复变函数的柯西-黎曼方程？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = -∂v/∂xC. ∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x答案：B7. 复变函数的级数展开式中的系数是：A. 常数B. 复数C. 实数D. 以上都不对答案：B8. 如果一个复变函数在某个区域内处处连续，那么它的模：A. 也必定处处连续B. 可能不连续C. 必定不连续D. 以上都不对答案：A9. 复变函数的Taylor级数展开是关于：A. 模的展开B. 辐角的展开C. z的展开D. 共轭复数的展开答案：C10. 下列哪个是复变函数的Laurent级数展开的一个特性？A. 它只能展开在解析函数上B. 它包含负幂项C. 它只能展开在奇点附近D. 以上都是答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 复数z = 2 - 3i的模是________。
自考复变函数真题及答案
2010年4月高等教育自学考试全国统一命题考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.arg(-1+i 3)=( ) A.-3π B.3π C.π23 D.π23+2n π 2.w =|z |2在z =0( ) A.不连续 B.可导 C.不可导 D.解析 3.设z =x +iy ，则下列函数为解析函数的是( ) A.f (z )=x 2-y 2+i 2xy B.f (z )=x -iy C.f (z )=x +i 2y D.f (z )=2x +iy 4.设C 为由z =-1到z =l 的上半圆周|z |=1，则⎰Cz z d ||=( )A.2πiB.0C.1D.25.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰-Cz z z)2(d =( )A.-πiB.0C.πiD.2πi6.设C 为正向圆周|z |=2，则⎰-Ciz i z z e 3)(d z =( )A.0B.e -1C.2πiD.-πe -1i7.z =0是3sin z z 的极点，其阶数为( )A.1B.2C.3D.4 8.以z=0为本性奇点的函数是( ) A.zzsin B.2)1(1-z zC.z1e D.1e 1-z9.设f (z )的罗朗展开式为-11)1(22---z z +(z -1)+2(z -l)2+…+n (z -1)n +…则Res[f (z ),1]=( ) A.-2 B.-1 C.1D.2 10.设z =a 为解析函数f (z )的m 阶零点，则函数)()(z f z f '在z =a 的留数为( )A.-mB.-m +lC.m -1D.m 二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
高等教育自学考试-复变函数与积分变换试题与答案-课程代码
全国2010年4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.arg(-1+i 3)=( ) A.-3π B.3π C.π23 D.π23+2n π 2.w =|z |2在z =0( )A.不连续B.可导C.不可导D.解析3.设z =x +iy ，则下列函数为解析函数的是( )A.f (z )=x 2-y 2+i 2xyB.f (z )=x -iyC.f (z )=x +i 2yD.f (z )=2x +iy 4.设C 为由z =-1到z =l 的上半圆周|z |=1，则⎰C z z d ||=( ) A.2πiB.0C.1D.2 5.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰-C z z z )2(d =( ) A.-πiB.0C.πiD.2πi 6.设C 为正向圆周|z |=2，则⎰-C izi z z e 3)(d z =( )A.0B.e -1C.2πiD.-πe -1i7.z =0是3sin z z的极点，其阶数为( )A.1B.2C.3D.48.以z=0为本性奇点的函数是( ) A.z z sin B.2)1(1-z z C.z 1e D.1e 1-z9.设f (z )的罗朗展开式为-11)1(22---z z +(z -1)+2(z -l)2+…+n (z -1)n +…则Res[f (z ),1]=() A.-2 B.-1C.1D.210.设z =a 为解析函数f (z )的m 阶零点，则函数)()(z f z f '在z =a 的留数为( )A.-mB.-m +lC.m -1D.m二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.|z -i |=|z -1|的图形是_______________.12.设z =i i ，则Im z =_______________.13.设C 为由点z =-l-i 到点z =l+i 的直线段，则⎰C z 3d z =_______________.14.设C 是顶点为z=±21,z=±i 56的菱形的正向边界，则⎰-C i z e 2dz=______________.15.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰C z cos z d z =_________.16.函数21-z 在点z =4的泰勒级数的收敛半径为_________.三、计算题（本大题共8小题，共52分）17.设z =x +iy ,求复数11+-z z 的实部与虚部.（6分）18.求复数i 8-4i 25+i 的模.(6分)19.求f (z )=(z -1)2e z 在z =1的泰勒展开式.(6分)20.求f (z )=)2)(1(2--z z 在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.(6分) 21.求解方程cos z =2.（7分）22.设z =x +iy ,试证v (x ,y )=x 2+2xy -y 2为调和函数，并求解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ).(7分)23.设C 为正向圆周|z-2|=1,求⎰-C z z z 2)2(e d z .(7分) 24.设C 为正向圆周|z|=1，求⎰C z1sin d z .(7分) 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。
4月全国自考复变函数与积分变换试题及答案解析
1全国2018年4月自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.arg(-1+i 3)=( ) A.-3π B.3π C.π23 D.π23+2n π 2.w =|z |2在z =0( ) A.不连续 B.可导 C.不可导D.解析3.设z =x +iy ，则下列函数为解析函数的是( ) A.f (z )=x 2-y 2+i 2xy B.f (z )=x -iy C.f (z )=x +i 2yD.f (z )=2x +iy4.设C 为由z =-1到z =l 的上半圆周|z |=1，则⎰Cz z d ||=( )A.2πiB.0C.1D.25.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰-Cz z z)2(d =( )A.-πiB.0C.πiD.2πi6.设C 为正向圆周|z |=2，则⎰-Ciz i z z e 3)(d z =( )A.0B.e -1C.2πiD.-πe -1i2 7.z =0是3sin z z 的极点，其阶数为( )A.1B.2C.3D.48.以z=0为本性奇点的函数是( ) A.zzsin B.2)1(1-z zC.z1eD.1e 1-z9.设f (z )的罗朗展开式为-11)1(22---z z +(z -1)+2(z -l)2+…+n (z -1)n +…则Res[f (z ),1]=( ) A.-2 B.-1C.1D.2 10.设z =a 为解析函数f (z )的m 阶零点，则函数)()(z f z f '在z =a 的留数为( )A.-mB.-m +lC.m -1D.m二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.|z -i |=|z -1|的图形是_______________. 12.设z =i i ，则Im z =_______________.13.设C 为由点z =-l-i 到点z =l+i 的直线段，则⎰Cz 3 d z =_______________.14.设C 是顶点为z=±21,z=±i 56的菱形的正向边界，则⎰-Ciz e 2dz=______________. 15.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰Cz cos z d z =_________.16.函数21-z 在点z =4的泰勒级数的收敛半径为_________. 三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17.设z =x +iy ,求复数11+-z z 的实部与虚部.（6分） 18.求复数i 8-4i 25+i 的模.(6分)19.求f (z )=(z -1)2e z 在z =1的泰勒展开式.(6分)3 20.求f (z )=)2)(1(2--z z 在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.(6分)21.求解方程cos z =2.（7分）22.设z =x +iy ,试证v (x ,y )=x 2+2xy -y 2为调和函数，并求解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ).(7分) 23.设C 为正向圆周|z-2|=1,求⎰-Cz z z 2)2(e d z .(7分)24.设C 为正向圆周|z|=1，求⎰Cz1sind z .(7分) 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。
复变函数及积分变换试题及答案
第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。
A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。
2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。
A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰（ ）。
A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。
A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的（ ）。
A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。
A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。
A.22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. ks 1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.23(1)i += [1] ；----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z ！收敛于 [2] ；3. 设0Z 为复函数）（z f 的可去奇点，则）（z f 在该点处的留数为 [3] . ；4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-（k 为待定复常数）可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<；5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成，分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ； 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ；三、判断题 （每小题2分，共10分）1. 平面点集D 称为一个区域，如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换五套试题及答案复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模，幅角。
2．-8i 的三个单根分别为：，，。
3．Ln z 在的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6．=??0,sin Re 3z z s。
7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．?=-2||)1(z z z dz2．?-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
（2）)(2ωπδ=?∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组??='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ ，ππk arctg 22ln 32+-2. 3-i 2i 3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域 9.∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110. ?∞+-0)(dt e t f st二、解：∵yu x x v ??-=-=?? xuy y v ??==??∴c xy u +=（5分）c xy y x i z f ++??? ??+-=22212 1)(∵f (0)=0 c =0 （3分）∴222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--= （2分）三、解：原式=（2分）??--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z（2分）??---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1 Re 2643π33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66?=??--分）z z z s--=∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 26 6z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126??i π=i 63π- 四、1．解：原式??-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221（3分） z 1=0 z 2=1]11[2+-=i π=0 （2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π- 五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=--?-=-+-=+-?-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：??-+?-=-+?-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=??? ??---=2)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 2)(--∞=-=∑n n n i z i （2分）六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-? （3分）∴结论成立（2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-?ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-?dt e t i（2分）七、解：∵=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX （3分）S （2）-（1）：∴??? ??-?-=s s s Y 111)(2??++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y t t -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数 10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数自考试题及答案
复变函数自考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 在复变函数中，下列哪一项不是复数的基本概念？A. 复数域B. 共轭复数C. 复数的模D. 复数的导数答案：D2. 复变函数中的柯西-黎曼方程是指什么？A. 函数的实部和虚部满足的方程B. 函数的导数满足的方程C. 函数的积分满足的方程D. 函数的级数展开满足的方程答案：A3. 下列哪一项不是解析函数的特征？A. 在定义域内处处可导B. 在定义域内连续C. 导数在定义域内连续D. 柯西-黎曼方程成立答案：B4. 复变函数的级数展开中，幂级数的收敛半径是什么？A. 函数的模的最大值B. 函数的实部的最大值C. 函数的虚部的最大值D. 函数的模的倒数答案：D5. 复变函数的积分路径必须是？A. 直线B. 曲线C. 可以是任意形状的连续路径D. 必须闭合的路径答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \in \mathbb{R} \)）的共轭复数是 \( \_\_\_\_\_\_\_\)。
答案：\( a - bi \)7. 如果 \( f(z) \) 是解析函数，那么 \( f(z) \) 的导数 \( f'(z) \) 满足________。
答案：柯西-黎曼方程8. 复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 的实部 \( u(x, y) \) 和虚部 \( v(x, y) \) 必须满足________。
答案：偏导数的连续性9. 复变函数的级数展开中的幂级数 \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z- z_0)^n \) 在 \( |z - z_0| < R \) 内收敛，其中 \( R \) 是收敛半径，且 \( R \) 满足________。
答案：Cauchy-Hadamard公式10. 复变函数的积分 \( \oint_C f(z)dz \) 表示沿着闭合路径 \( C \) 的积分，根据柯西积分定理，如果 \( f(z) \) 在闭合路径 \( C \) 内解析，则 \( \oint_C f(z)dz = \_\_\_\_\_\_\_\)。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1](可打印
------14 分
1i
1．
的幅角是（
2k , k 0 1,2,L
）；
2
4
2. Ln(1 i) 的主值是（ 1 ln 2 i
z
ez 1)
2
z0
2i
无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
z15
（3）．
dz
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
共 6 页第 2 页
3/8
解：设 f (z) 在有限复平面内所有奇点均在： z 3 内，由留数定理
z15
dz 2i Re s[ f (z), ]
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
， Re
s[
f
( z ), ]
（-1
）；
二．选择题（每题 4 分，共 24 分）
1．解析函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 的导函数为（B ）；
（A） f (z) u x iu y ； （B） f (z) u x iu y ； （C） f (z) u x iv y ； （D） f (z) u y ivx .
（D）函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域内解析的充分必要条件是 u(x, y) 、
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v(x, y) 在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ D
( A)、
、
sin
1、、、、、、 z
）．
(B)、 、 sin z、、、、、、
(C )、 、 1 、、、、、 1
2．C 是正向圆周 z 3 ，如果函数 f (z) （ D ），则 f (z)dz 0 ． C
3
(完整版)《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）:1.若f （z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z ）在z 0解析. （ ）2.有界整函数必在整个复平面为常数。
( ) 3。
若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ）4.若f （z ）在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f （z ）在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. （ ) 6。
若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
( ） 7。
若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f （z)的可去奇点. ( )8。
若函数f （z ）在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠。
（ ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .（ ）10.若函数f(z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数。
（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2。
=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________。
5。
幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________。
6.若函数f （z ）在整个平面上处处解析，则称它是__________。
7。
若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8。
=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数。
9. zz sin 的孤立奇点为________ .10。
复变函数08-12年自考试题
全国2008年4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a zz+=_，则a 2+b 2的值（ ） A ．等于0 B ．等于1 C ．小于1D ．大于12．设2,3z w i z =+=,则（ ） A ．3arg π=w B ．6arg π=wC ．6arg π-=wD ．3arg π-=w3．=i 2ln （ ） A ．2ln B ．i 22ln π+C ．i 22ln π-D ．i i 2Arg 2ln +4．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C⎰=（ ）A ．i π6B ．i π4C ．i π2D ．05．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e zC2-⎰=（ ） A ．e 2 B ．i e 22π C ．i e 2πD ．i e 22π-6．设C 为正向圆周|z |=2，则dz z e z zC4)1(++⎰=（ ）A ．i e3π B ．e6πC ．ei π2D ．i e 3π 7．z -21的幂级数展开式∑∞=0n nnza 在z =-4处（ ）A ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．收敛于61 8．幂级数∑∞=+0)1(1n n nz i 的收敛半径为（ ） A ．2 B ．1 C ．21 D ．09．函数z z tan 在z =0点的留数为（ ） A ．2 B ．i C ．1 D ．010．函数2ze e ibz iaz -(a 、b 为实数,a ≠b)在z=0点的留数为（ ） A ．)(a b i - B ．a b - C ．b a - D ．)(b a i -二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
自考复变函数与积分变换试题试卷真题
自考复变函数与积分变换试题试卷真题复变函数与积分变换试题一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)1.z=2-2i ，|z 2|=（）A.2B.8C.4D.82.复数方程z=cost+isint 的曲线是（）A.直线B.圆周C.椭圆D.双曲线3.Re(e 2x+iy )=（）A.e 2xB.e yC.e 2x cosyD.e 2x siny4.下列集合为有界单连通区域的是（）A.0<|z-3|<2B.Rez>3C.|z+a|<1D.π≤<πargz 215.设f(z)=x 3-3xy 2+(ax 2y-y 3)i 在Z 平面上解析，则a=（）A.-3B.1C.2D.36.若f(z)=u(x ，y)+iv(x ，y)在Z 平面上解析，v(x,y)=e x(ycosy+xsiny)，则u(x ，y)=（）A.e x (ycosy-xsiny)B.e x (xcosy-xsiny)C.e x (ycosy-ysiny)D.e x (xcosy-ysiny) 7.?=-3|i z |zdz =（）A.0B.2πC.πiD.2πi 8.=---11212z z sinzdz |z |=（）A.0 B.2πisin1C.2πsin1D.1sin 21i π9.?302dz zcosz =（） A.21sin9 B.21cos9 C.cos9D.sin9 10.若f(z)=tgz ，则Res[f(z)，2π ]=（） A.-2πB.-πC.-1D.0 11.f(z)=2i)z(z cosz -在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（） A.0B.1C.2D.3 12.z=0为函数cosz 1的（） A.本性奇点B.极点C.可去奇点D.解析点 13.f(z)=)z )(z (121--在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（）A.∑∞=-01n n n z )( B.∑∞=-021n n z )z ( C.∑∞=-02n n )z ( D.∑∞=---0121n n n )z ()(14.线性变换ω=iz z i +-（） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<115.函数f(t)=t 的傅氏变换J [f(t)]为（）A.δ(ω)B.2πi δ(ω)C.2πi δ'(ω)D.δ'(ω)二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)16.若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.17.若cosz=0，则z=________.18.设f ′(z)=?==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜，55d ζz)( cos e 2________.19.幂级数∑∞=1n n n z n !n 的收敛半径是________.20.线性映射ω=z 是关于________的对称变换.三、计算题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)21.计算复数z=327-的值.22.已知调和函数v=arctg xy ,x>0，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式. 23.设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数，试确定a ，b 的值.24.求积分I=?+C dz z i 的22值，其中C ：|z|=4为正向. 25.求积分I=?+C zdz )i z (e 的42值，其中C ：|z|=2为正向. 26.利用留数计算积分I=?C zsinzdz ，其中C 为正向圆周|z|=1. 27.将函数f(z)=ln(3+z)展开为z 的泰勒级数.28.将函数f(z)=()22+z z 在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数. 四、综合题(下列3个小题中，第29小题必做，第30、31小题中只选做一题。
复变函数自考试题和答案
复变函数自考试题和答案### 一、单项选择题1. **复数的代数形式**设复数 \( z = a + bi \)，其中 \( a, b \) 是实数，\( i \) 是虚数单位，满足 \( i^2 = -1 \)。
A. \( z \) 是实数B. \( z \) 是虚数C. \( z \) 可以是实数也可以是虚数D. \( z \) 既不是实数也不是虚数**答案：C**2. **复数的模**设 \( z = 3 + 4i \)，求 \( |z| \) 的值。
A. 5C. 12D. 25**答案：A**3. **复数的辐角**设 \( z = 3 + 4i \)，求 \( \arg(z) \) 的值。
A. \( \frac{\pi}{4} \)B. \( \frac{\pi}{3} \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \frac{3\pi}{4} \)**答案：B**4. **复数的乘法**设 \( z_1 = 1 + i \) 和 \( z_2 = 1 - i \)，求 \( z_1 \cdot z_2 \) 的值。
A. 2B. 0C. -2**答案：A**5. **复数的除法**设 \( z_1 = 1 + i \) 和 \( z_2 = 1 - i \)，求 \( \frac{z_1}{z_2} \) 的值。
A. \( i \)B. \( -i \)C. 1D. -1**答案：C**## 二、填空题1. 复数 \( z = a + bi \) 的共轭复数是 \( \overline{z} =\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
**答案：\( a - bi \)**2. 复数 \( z = 2 + 3i \) 的模是 \( |z| = \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
**答案：\( \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \)**3. 复数 \( z = 2 + 3i \) 的辐角是 \( \arg(z) = \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
全国高等教育自学考试复变函数与积分变换真题与答案
全国2011年4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设复数z 1cos i sin 33ππ=++，则arg z=（ ） A.-3π B.6πC.3πD.23π2.w=z 2将Z 平面上的实轴映射为W 平面的（ ）A.非负实轴B.实轴C.上半虚轴D.虚轴3.下列说法正确的是（ ）A.ln z 的定义域为 z>0B.|sin z|≤1C.e z ≠0D.z -3的定义域为全平面4.设C 为正向圆周|z|=1，n Csin zdz z ⎰=2π i ，则整数n 为（ ）A.-1B.0C.1D.2 5.设C 为正向圆周|z|=2，则2Czdz z ⎰=（ ）A.-2πiB.0C.2πiD.4πi6.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=2C sin 6d (z)πςςς-⎰，则f′(1)=（ ）A.-3i 36π B.3i 36π7.设nn n 0a z∞=∑n n n 0b z ∞=∑和n n n n 0(a b )z ∞=+∑的收敛半径分别为R 1，R 2和R ，则（ ）A.R=R 1B.R=min{R 1,R 2}C.R=R 2D.R≥min{R 1,R 2}8.罗朗级数nn n 1n 0n 01z z 2∞∞-==+∑∑的收敛域为（ ） A.|z|<1 B.|z|<2C.1<|z|<2D.|z|>29.已知sinz=n 2n 1n 0(1)z (2n 1)!+∞=-+∑，则Res 4sin z,0z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（ ）A.1B.-13!C.13! D.15!10.整数k≠0，则Res[cot kz, π]=（ ） A.-1k B.0 C.1kD.k 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）请在每小题的空格中填上正确答案。
复变函数考题及答案
复变函数考题及答案【篇一：复变函数试题与答案】>一、选择题1．当z?1?i时，z100?z75?z50的值等于（） 1?i（a）i （b）?i（c）1 （d）?12．设复数z满足arc(z?2)??3，arc(z?2)?5?，那么z?（） 61331?i （d）??i 2222（a）?1?3i （b）?3．复数z?tan??i(3?i （c）??????)的三角表示式是（） 2 ???)?i??)] （b）sec?（a）sec22??3?3???)?i??)] 22?（c）?sec3?3?????)?i??)]（d）?sec???)?i??)] 2222224．若z为非零复数，则z?与2z的关系是（）2222（a）z??2z （b）z??2z22（c）z??2z （d）不能比较大小５．设x,y为实数，则动点(x,y)z1?x??yi,z2?x??yi且有z1?z2?12，的轨迹是（）（a）圆（b）椭圆（c）双曲线（d）抛物线６．一个向量顺时针旋转?3，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为1?3i，则原向量对应的复数是（）（a）2（b）1?i （c）3?i （d）3?i1７．使得z2?z成立的复数z是（） 2（a）不存在的（b）唯一的（c）纯虚数（d）实数８．设z为复数，则方程z??2?i的解是（）（a）?3333?i （b）?i （c）?i （d）??i 4444９．满足不等式z?i?2的所有点z构成的集合是（） z?i（a）有界区域（b）无界区域（c）有界闭区域（d）无界闭区域10．方程z?2?3i?2所代表的曲线是（）（a）中心为2?3i，半径为2的圆周（b）中心为?2?3i，半径为２的圆周（c）中心为?2?3i，半径为2的圆周（d）中心为2?3i，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（a）z?1?2 （b）z?3?z?3?4 z?2z?a?1(a?1) （d）z?a?z?a?c?0(c?0) 1?az（c）12．设f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i,，则f(z1?z2 ）（a）?4?4i（b）4?4i（c）4?4i（d）?4?4i13．limim(z)?im(z0)（） x?x0z?z0（a）等于i（b）等于?i（c）等于0（d）不存在14．函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（）（a）u(x,y)在(x0,y0)处连续（b）v(x,y)在(x0,y0)处连续（c）u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续（d）u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 2z2?z?115．设z?c且z?1，则函数f(z)?的最小值为（） z （a）?3 （b）?2（c）?1 （d）1二、填空题1．设z?(1?i)(2?i)(3?i)，则z? (3?i)(2?i)2．设z?(2?3i)(?2?i)，则argz?3．设z?,arg(z?i)?3?，则z? 4(cos5??isin5?)24．复数的指数表示式为 2(cos3??isin3?)5．以方程z?7?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部 6７．方程2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为2?(1?i)z８．方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射??2i22，圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z410．lim(1?z?2z)? z?1?i三、若复数z满足z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0，试求z?2的取值范围．四、设a?0，在复数集c中解方程z2?2z?a.五、设复数z??i，试证z是实数的充要条件为z?1或im(z)?0. 21?z3六、对于映射??11(z?)，求出圆周z?4的像. 2z七、试证１.z1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2； z2z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为 z2２.z1?z2???zn?z1?z2???zn.八、若limf(z)?a?0，则存在??0，使得当0?z?z0??时有f(z)?x?x01a. 2九、设z?x?iy，试证x?y2?z?x?y.十、设z?x?iy，试讨论下列函数的连续性： ?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2 ?0,z?0??x3y?,z?02.f(z)??x2?y2.?0,z?0?第二章解析函数一、选择题：1．函数f(z)?3z在点z?0处是( )（a）解析的（b）可导的（c）不可导的（d）既不解析也不可导2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )4 2（a）充分不必要条件（b）必要不充分条件（c）充分必要条件（d）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( )（a）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1（b）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导（c）若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在d内解析（d）若f(z)在区域d内解析，则在d内也解析4．下列函数中，为解析函数的是( )（a）x2?y2?2xyi（b）x2?xyi（c）2(x?1)y?i(y2?z?x20?2x)（d）x3?iy35．函数f(z)?z2im(z)在处的导数( )（a）等于0 （b）等于1 （c）等于?1（d）不存在6．若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析，那么实常数a?( )（a）0（b）1（c）2（d）?27．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内f(z)?( )（a）0（b）1（c）?1（d）任意常数8．设函数f(z)在区域d内有定义，则下列命题中，正确的是（a）若f(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数（c）若f(z)与f(z)在d内解析，则f(z)在d内是一常数（d）若argf(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数9．设f(z)?x2?iy2，则f?(1?i)?( )5【篇二：复变函数期末考试复习题及答案详解】=txt>1、 ?|z?z?1(z?z)n?0|__________.（n为自然数） 022.sinz?cos2z? _________.3.函数sinz的周期为___________.f(z)?14.设z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.?5.幂级数?nzn的收敛半径为__________.n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. lim 1?z2?...?zn7.若nlim??zn??z，则n??n?______________.zres(ezn,0)?8.________，其中n为自然数.9. sinzz的孤立奇点为________ .limf(10.若z0是f(z)z?zz)?___的极点，则0.三.计算题（40分）：f(z)?11. 设(z?1)(z?2)，求f(z)在d?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.1dz2. ?|z|?1cosz.2??13. 设f(z)??3??7c??zd?，其中c?{z:|z|?3}，试求f(1?i).w?z?14. 求复数z?1的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内为常数.2. 试证: f(z)在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,?__2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c，则zlim?1?if(z)?________.3.?dz|z?z0|?1(z?zn?_________.（n为自然数）0)?4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是f(z)的_____零点.6. 函数ez的周期为__________.7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________.8. 设f(z)?11?z2，则f(z)的孤立奇点有_________.9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.10. res(z?1z4,1)?____. 三. 计算题. (40分)1. 求函数sin(2z3)的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.i3. 计算积分：i???i|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）的右半圆.sinzz?24. 求(z?dz)22.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域d内解析，试证：f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为___________. 2. 函数ez 的周期为_________.3. 若zn?21?n?i(1?1n?n)n，则limn??zn?__________.4. sin2z?cos2z?___________.dz5. ?|z?z?0|?1(z?zn_________.（n为自然数） )?6. 幂级数?nxn的收敛半径为__________.n?07. f(z)?1设z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.8. 设ez??1，则z?___. 9. 若z0是f(z)的极点，则limz?zf(z)?___.z10. res(ezn,0)?____.三. 计算题. (40分)11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为laurent级数.??2. 试求幂级数?n!nzn的收敛半径. n?n3. 算下列积分：?ezdzcz2(z2?9)，其中c是|z|?1.4. 求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内为常数.2. 设f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数r及m，使得当|z|?r时|f(z)|?m|z|n，证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。
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全国2010年4月自学考试复变函数与积分变换试题
课程代码：02199
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.arg(-1+i 3)=( ) A.-3π B.3
π C.π23 D.π2
3
+2n π 2.w =|z |2在z =0( ) A.不连续 B.可导 C.不可导 D.解析
3.设z =x +iy ，则下列函数为解析函数的是( ) A.f (z )=x 2-y 2+i 2xy B.f (z )=x -iy C.f (z )=x +i 2y D.f (z )=2x +iy
4.设C 为由z =-1到z =l 的上半圆周|z |=1，则⎰C
z z d ||=( )
A.2πi
B.0
C.1
D.2
5.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰
-C
z z z
)
2(d =( )
A.-πi
B.0
C.πi
D.2πi
6.设C 为正向圆周|z |=2，则⎰
-C
iz i z z e 3
)(d z =( )
A.0
B.e -1
C.2πi
D.-πe -1i
7.z =0是3sin z z
的极点，其阶数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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8.以z=0为本性奇点的函数是( )
A.z z
sin B.2
)
1(1-z z C.z
1e D.
1
e 1-z
9.设f (z )的罗朗展开式为-1
1
)1(22
--
-z z +(z -1)+2(z -l)2+…+n (z -1)n +…则Res[f (z ),1]=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2
10.设z =a 为解析函数f (z )的m 阶零点，则函数)
()
(z f z f '在z =a 的留数为( ) A.-m B.-m +l C.m -1 D.m
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.|z -i |=|z -1|的图形是_______________.
12.设z =i i ，则Im z =_______________.
13.设C 为由点z =-l-i 到点z =l+i 的直线段，则⎰
C
z 3 d z =_______________.
14.设C 是顶点为z=±21,z=±i 5
6
的菱形的正向边界，则
⎰
-C
i
z e 2
dz=______________.
15.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰
C
z cos z d z =_________.
16.函数
2
1
-z 在点z =4的泰勒级数的收敛半径为_________. 三、计算题（本大题共8小题，共52分）
17.设z =x +iy ,求复数11
+-z z 的实部与虚部.（6分）
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18.求复数i 8-4i 25+i 的模.(6分
)
19.求f (z )=(z -1)2e z 在z =1的泰勒展开式.(6分
)
20.求f (z )=
)
2)(1(2
--z z 在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.(6分
)
21.求解方程cos z =2.（7分）
22.设z =x +iy ,试证v (x ,y )=x 2+2xy -y 2为调和函数，并求解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ).(7分)
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23.设C 为正向圆周|z-2|=1,求
⎰
-C
z z z 2
)2(e d z .(7分
)
24.设C 为正向圆周|z|=1，求
⎰
C z
1
sin d z .(7分
)
四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。
每小题8分，共16分） 25.（1）指出f (z )=
)
4)(1(2
2
2
++z z z 在上半平面内的所有奇点及类型；
（2）计算f (z )在以上奇点的留数； （3）利用以上结果计算实积分
⎰
+∞
∞
-++)
4)(1(2
2
2
x x x d x
.
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26.设D 为Z 平面上的扇形区域0<arg z <
3
π
.试求下列保角映射： （1）w 1=f 1(z )把D 映射为W 1平面的上半平面Im w 1>0;
（2）w =f 2(w 1)把Im w 1>0映射为W 平面上的单位圆盘|w |<1，并且满足f 2(2i )=0; （3）w =f (z )把Z 平面上的区域D 映射为W 平面上的单位圆盘|w
|<1.
27.用拉普拉斯变换解方程y (t )=sin t -2⎰
-t
d t y 0
)cos()(τττ
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中
国自考
人()——改写昨日遗憾创造美好明天！用科学方法牢记知识点顺利通过考试！
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