2010年4月全国自考复变函数与积分变换的试卷及答案(1)

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全国2010年4月自学考试复变函数与积分变换试题

课程代码：02199

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.arg(-1+i 3)=( ) A.-3π B.3

π C.π23 D.π2

3

+2n π 2.w =|z |2在z =0( ) A.不连续 B.可导 C.不可导 D.解析

3.设z =x +iy ，则下列函数为解析函数的是( ) A.f (z )=x 2-y 2+i 2xy B.f (z )=x -iy C.f (z )=x +i 2y D.f (z )=2x +iy

4.设C 为由z =-1到z =l 的上半圆周|z |=1，则⎰C

z z d ||=( )

A.2πi

B.0

C.1

D.2

5.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰

-C

z z z

)

2(d =( )

A.-πi

B.0

C.πi

D.2πi

6.设C 为正向圆周|z |=2，则⎰

-C

iz i z z e 3

)(d z =( )

A.0

B.e -1

C.2πi

D.-πe -1i

7.z =0是3sin z z

的极点，其阶数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

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8.以z=0为本性奇点的函数是( )

A.z z

sin B.2

)

1(1-z z C.z

1e D.

1

e 1-z

9.设f (z )的罗朗展开式为-1

1

)1(22

--

-z z +(z -1)+2(z -l)2+…+n (z -1)n +…则Res[f (z ),1]=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2

10.设z =a 为解析函数f (z )的m 阶零点，则函数)

()

(z f z f '在z =a 的留数为( ) A.-m B.-m +l C.m -1 D.m

二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.|z -i |=|z -1|的图形是_______________.

12.设z =i i ，则Im z =_______________.

13.设C 为由点z =-l-i 到点z =l+i 的直线段，则⎰

C

z 3 d z =_______________.

14.设C 是顶点为z=±21,z=±i 5

6

的菱形的正向边界，则

⎰

-C

i

z e 2

dz=______________.

15.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰

C

z cos z d z =_________.

16.函数

2

1

-z 在点z =4的泰勒级数的收敛半径为_________. 三、计算题（本大题共8小题，共52分）

17.设z =x +iy ,求复数11

+-z z 的实部与虚部.（6分）

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18.求复数i 8-4i 25+i 的模.(6分

)

19.求f (z )=(z -1)2e z 在z =1的泰勒展开式.(6分

)

20.求f (z )=

)

2)(1(2

--z z 在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.(6分

)

21.求解方程cos z =2.（7分）

22.设z =x +iy ,试证v (x ,y )=x 2+2xy -y 2为调和函数，并求解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ).(7分)

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23.设C 为正向圆周|z-2|=1,求

⎰

-C

z z z 2

)2(e d z .(7分

)

24.设C 为正向圆周|z|=1，求

⎰

C z

1

sin d z .(7分

)

四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分） 25.（1）指出f (z )=

)

4)(1(2

2

2

++z z z 在上半平面内的所有奇点及类型；

（2）计算f (z )在以上奇点的留数； （3）利用以上结果计算实积分

⎰

+∞

∞

-++)

4)(1(2

2

2

x x x d x

.

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26.设D 为Z 平面上的扇形区域0

3

π

.试求下列保角映射： （1）w 1=f 1(z )把D 映射为W 1平面的上半平面Im w 1>0;

（2）w =f 2(w 1)把Im w 1>0映射为W 平面上的单位圆盘|w |<1，并且满足f 2(2i )=0; （3）w =f (z )把Z 平面上的区域D 映射为W 平面上的单位圆盘|w

|<1.

27.用拉普拉斯变换解方程y (t )=sin t -2⎰

-t

d t y 0

)cos()(τττ