矩阵的逆及其应用
矩阵的逆及其应用
１
即 Ａ· （ Ａ＋ ２Ｅ） ＝ Ｅ，所以，Ａ 可逆，且 Ａ －１ ＝ （ Ａ ＋
４
４
２Ｅ） ．
７ 结 语
逆矩阵在矩阵中占有重要地位．本文归纳总结了 ５ 种求
逆矩阵的方法：定义法，伴随矩阵法，分块矩阵法，初等变换
法，恒等变形法，通过分析例题，提高学生分析问题、解决问
题的能力．
【 参考文献】
［１］ 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等
将给出几种求逆矩阵的方法以及逆矩阵的应用，通过对如
何求解逆矩阵的方法进行总结来帮助学生解决学习逆矩阵
过程中所存在的困惑．
２ 可逆矩阵的概念
定义 ３．１ 设 Ａ 是 ｎ 阶方阵，如果存在 ｎ 阶方阵 Ｂ，使
得 ＡＢ ＝ ＢＡ ＝ Ｅ，就称 Ａ 是可逆矩阵或非退化矩阵，简称 Ａ
可逆或非退化，而 Ｂ 称为 Ａ 的一个逆矩阵． 否则，就称矩阵
Ａ ．
｜Ａ｜
用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵既
方便，又有规律可循．因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要
将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可．但
是当矩阵是三阶、四阶及以上时，则慎重选择此方法，因为
计算量会很大．
１ ２
例 利用伴随矩阵法求矩阵
的逆矩阵．
３ ４
１ ２
解 令 Α ＝
．
Ｂ －１ ø
æ２ １
ç３ ２
例 若 Ｍ ＝
çç ０ ０
è０ ０
逆，请求 Ｍ 的逆．
－１
ç
－１
( ＡＣ Ｂ０ ) 可 逆， 且 ( ＡＣ Ｂ０ )
－１
÷
ｂ． 分 块 下 三 角 矩 阵
＝æ
( Ａ０ ＣＢ ) 可 逆， 且 ( Ａ０ ＣＢ )
高等代数3-3矩阵的逆
... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2
矩阵的广义逆及其应用.ppt
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
(6) 若F是列满秩矩阵，则 F (F H F )1 F H
(7) 若G是行满秩矩阵，则 G GH (GGH )1
(8) 若矩阵A的满秩分解为A FG，则有 A G F ；
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵 一、矩阵的广义逆
设A Rnn，对于线性方程组 Ax b，当A可逆时， 方程组有唯一解：x A1b.
若矩阵 A不可逆时，如何求解方程组 Ax b?
更一般，当矩阵 A Rmn不是方阵时，如何讨论 方程组 Ax b的解， 其中x Rn，b Rm ? 为了分析和解决上述问题，引入广义逆的概念.
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
定理2：设A Rmn，b Rm，x Rn，若性方程组 Ax b 是相容的，即方程组Ax b 有解，则其
通解为： x Ab (In A A)t，t是任意n 1向量. 证明：首先证明t Rn，x Ab (In A A)t是 方程组的解，然后证明方程组的任一解x，均可 表示成x Ab (In A A)t的形式.
A
1
1
1
2
(3)(1)3
0
3 3 2 4
0
1 2 4
0
1
2
0 4 8
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
1
A
0
0
1 2 4 (1)(2)2 1 1 0 0
2-2逆矩阵
A −1
2 6 −4 1 3 −2 1 ∗ 1 = A = −3 −6 5 = − 3 2 −3 5 2 . A 2 2 2 −2 1 1 −1
14
三、逆矩阵的求法及应用
用可逆矩阵求解矩阵方程 矩阵方程AX=B的矩阵 其中 的矩阵X,其中 例3：求满足矩阵方程 ：求满足矩阵方程 的矩阵
左乘方程AX=B两边得： 两边得： 用A-1左乘方程 两边得
15
三、逆矩阵的求法及应用
1 1 X = A −1 B = 2 9 2 2 1 −2 2 8 − 2 − 5 1 2
2 3 9 = 7 9 9 28 15 9
第二章 矩阵及其运算
第二节 逆矩阵 (Inverse matrix) 一、逆矩阵的定义及性质
二、方阵可逆的充要条件 三、逆矩阵的求法及应用 四、小结 思考题
1
一、逆矩阵的定义及性质
1、数 、
−1
在数的运算中，当数α≠０时， 在数的运算中，当数 ０
有
aa −1 = a −1a = 1,
1 的倒数， 则 a = 称为 a 的倒数， a
17 3 − 5 3 1 3
注: 1)上例中X≠BA-1; 1)上例中 2)若矩阵方程为XB=C 或 AXB=C,其中矩阵A与B是可逆 2)若矩阵方程为XB=C 若矩阵方程为 方阵, 方阵,则 X=CB-1或 X=A-1CB-1; 注：若Ａ不是可逆阵，或者不是方阵，矩阵方程不能 不是可逆阵，或者不是方阵， 用可逆矩阵求解
A11 = ( −1)
2
2 1 4 3
= 2,
A12 = ( −1)
3
2 1 3 3
浅谈逆矩阵的求法及其应用论文
本科生毕业论文（设计）册论文（设计）题目：浅谈逆矩阵的求法及其应用毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。
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逆矩阵的求法及逆矩阵的应用
逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。
关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。
目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。
本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。
关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix一：引言在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。
矩阵的逆与行列式的应用
矩阵的逆与行列式的应用矩阵是线性代数中的重要概念，在各个领域都有广泛的应用。
其中，矩阵的逆与行列式是矩阵运算中的重要内容。
本文将介绍矩阵的逆与行列式的概念、性质以及在实际问题中的应用。
一、矩阵的逆矩阵的逆是指对于一个n×n的方阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
如果矩阵A存在逆矩阵B，则称矩阵A为可逆矩阵，否则称为奇异矩阵。
矩阵的逆可以用来解线性方程组、求解矩阵方程等。
为了求解矩阵A的逆矩阵B，可以使用伴随矩阵的方法。
伴随矩阵的定义如下：设A是n×n矩阵，其中a_ij表示A的第i行第j列的元素，则称(adjA)_ij为A的代数余子式C_ij的代数余子式矩阵，即(adjA)_ij=(-1)^(i+j)·detAij，其中detAij表示Aij的行列式。
根据伴随矩阵的定义，可以得到矩阵A的逆矩阵B的表示式为B=(1/detA)·adjA，其中detA为矩阵A的行列式。
通过这种方法，我们可以求解出矩阵的逆矩阵。
二、行列式的应用行列式是矩阵运算中的一个重要工具，它可以用来判断矩阵的可逆性、计算矩阵的秩、求解线性方程组的解等。
1. 判断矩阵的可逆性对于n×n的方阵A，如果detA≠0，则A是可逆矩阵；如果detA=0，则A是奇异矩阵。
因此，通过计算矩阵的行列式，可以判断矩阵是否可逆。
2. 计算矩阵的秩对于m×n的矩阵A，其秩r表示A的行（列）向量组的极大无关组所含向量的个数。
行列式与矩阵的秩之间存在如下关系：r=min(m,n)，即矩阵的秩等于其行列式不等于0的最大子阵的阶数。
3. 求解线性方程组的解通过行列式的运算，可以求解线性方程组的解。
设A为n×n的方阵，X为n×1的列向量，B为常数项列向量，则线性方程组AX=B可以表示为X=A^(-1)B，其中A^(-1)为矩阵A的逆矩阵，B为常数项列向量。
通过计算A的逆矩阵以及常数项列向量B，可以得到线性方程组的解向量X。
人教版高中选修(B版)4-2第二章逆矩阵及其应用课程设计
人教版高中选修(B版)4-2第二章逆矩阵及其应用课程设计一、课程设计目的本次课程设计旨在通过教学过程的展示，帮助学生进一步理解矩阵及逆矩阵的概念，掌握求解矩阵逆的方法和应用逆矩阵解线性方程组的思想，培养学生的矩阵推导和计算能力，提高学生的数学综合素质。
二、教学内容和重点难点（一）、教学内容1.逆矩阵的定义与性质2.如何求解逆矩阵3.判断矩阵是否可逆的方法4.应用逆矩阵解线性方程组（二）、重点难点1.矩阵的定义和性质2.如何求解逆矩阵3.判断矩阵是否可逆的方法4.应用逆矩阵解线性方程组的思想三、教学方法采用讲授法、举例法、解题法、练习法相结合的教学方法，注重理论和实践相结合，通过多个例题和练习，达到深化学生的思维，同时提高对所学知识的理解和记忆。
四、教学流程1.介绍矩阵的定义和性质，分析矩阵的逆的定义和性质，引出矩阵逆的概念以及求解逆矩阵的方法。
2.推导如何求解逆矩阵的方法，通过伴随矩阵求逆矩阵，通过消元法计算逆矩阵。
3.通过多个示例和练习，检查学生对逆矩阵的理解。
4.探究如何判断矩阵是否可逆，通过行列式的值判断矩阵是否可逆，让学生掌握这种方法的应用。
5.学习如何应用逆矩阵解线性方程组，通过计算逆矩阵并乘以系数矩阵，求解未知数的值。
6.现场进行练习，检查学生的应用能力和理解能力。
五、教学评价和作业（一）、教学评价在教学过程中，要注重学生的思维深度和理解能力提高。
通过教师的引导，学生能够充分理解矩阵逆的定义和性质，并能运用所学知识解决实际问题。
同时，教师需要积极引导学生，让学生在掌握基础知识的同时，能够发扬自己的创造能力，开拓思路，实现知识的更深层次的应用。
（二）、作业1.完成教师提供的逆矩阵计算题。
2.解答教师出的线性方程组题目。
3.选择一道有关逆矩阵的应用题目，并提交解答思路和结果。
六、教学效果衡量对学生的成绩与表现进行评价，并对他们的各项能力进行考核。
学生能在考试中取得较好的成绩，并能对知识点进行深入的理解和思考。
逆矩阵的性质及在考研中的应用
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
矩阵的逆与逆矩阵的应用
矩阵的逆与逆矩阵的应用在数学中，矩阵是一个经常被使用的概念，它在线性代数、微积分和物理学等领域都有广泛的应用。
而矩阵的逆与逆矩阵的应用则是解决线性方程组、求解线性变换的关键步骤之一。
本文将详细介绍矩阵的逆以及逆矩阵的应用。
一、矩阵的逆矩阵的逆是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A与B 的乘积等于单位矩阵I。
即AB=BA=I。
如果一个矩阵无法找到满足条件的逆矩阵，则称该矩阵为奇异矩阵。
逆矩阵的存在性是解决线性方程组的重要前提。
1.1 逆矩阵的性质逆矩阵具有以下性质：- 逆矩阵的逆矩阵仍然是原矩阵本身，即(A的逆)的逆=A。
- 矩阵的逆是唯一的，如果存在逆矩阵，那么它一定是唯一的。
- 矩阵乘积的逆等于逆矩阵的乘积，即(AB)的逆=B的逆A的逆。
- 矩阵转置的逆等于逆矩阵的转置，即(A的转置的逆)=(A的逆)的转置。
1.2 求解逆矩阵的方法求解逆矩阵的方法有多种，其中最常用的方法是利用伴随矩阵和行列式的关系求解。
对于一个n阶矩阵A，如果其行列式不等于0，则A可逆，且其逆矩阵为A* = (1/|A|) * adj(A)，其中|A|表示矩阵A的行列式，adj(A)表示A的伴随矩阵。
二、逆矩阵的应用逆矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用。
下面将介绍逆矩阵在线性方程组、线性变换和行列式求导等方面的应用。
2.1 解线性方程组逆矩阵可以用来解决线性方程组。
对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A可逆，那么方程组的解可以表示为x = A^-1 * b。
通过求解逆矩阵，我们可以得到线性方程组的解，从而解决实际问题。
2.2 线性变换逆矩阵在线性变换中也有重要的应用。
对于一个线性变换T:R^n→R^m，如果其对应的矩阵A可逆，那么存在一个逆变换T^-1:R^m→R^n，满足T(T^-1(x))=x，其中x为任意向量。
也就是说，逆矩阵能够将变换后的结果重新映射回原始空间。
2.3 行列式求导在微积分中，行列式也是一个重要的工具。
第6章广义逆矩阵及其应用
充分性 设G满足GAAT AT .
GAA G A G
T T T T
(GA)(GA)T (GA)T 两边取转置则有 (GA)(GA)T (GA) (GA)T (GA) (GA)T AT AT 两边取转置则有
AGA A
又 GAAT AT
例1.7
1 1 设A 2 2
则称G为A的一个最小范数广义逆.记为Am- = G。 最小范数广义逆A-m的计算方法 (1)当A为行(或列)满秩时，
1 Am AR AT ( AAT )1 1 (或Am AL ( AT A)1 AT
( 2)当rankA r min{ m, n}时，将 A作满秩分解 A BC,
1 1 BL ( BT B)1 BT , CR CT (CC T )1 1 1 于是， Ar CR BL
例1.4
1 2 1 设A 求 A 0 1 2 r . 5 4 1 T T 1 1 6 2 A A A ( AA ) A 是行满秩的，故 r R 解 14 3 8 1 2 例1.5 设A 2 1 求Ar . 1 1 1 T 1 T A A ( A A ) A L 解 A是列满秩的，故 r 1 4 7 1 11 7 4 1
1 Al AR AT ( பைடு நூலகம்AT )1 1 (或Al AL ( AT A)1 AT
( 2)当rankA r min{ m, n}时，将 A作满秩分解 A BC,
1 1 Al CR BL 1 T 1 1 T ) ( B( BT B)1 BT )T ( AAl )T ( BCCR BL ) ( BBL
矩阵的逆及其应用
矩阵的逆及其应用姓名：刘欣班级：14级数计1班专业：数学与应用数学学号：1408020129一、矩阵的逆的概念对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作Ａ−１。
二、逆矩阵的性质和定理㈠逆矩阵的性质1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为B−1 A−1，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。
若Ａ１，Ａ２，…，Ａｍ都是ｎ阶可逆矩阵，则Ａ１Ａ２…Ａｍ也可逆，且（Ａ１Ａ２…Ａｍ）−１＝（Ａｍ）−１…（Ａ２）−１（Ａ１）−１.2、若A可逆，则A−1也可逆，且（A−1）−1=A；3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且（λA）−1=1λA−1；4、若A可逆，则A T也可逆，且（A T）−1=（A−1）T；5、(A′)−1=(A−1)′；6、矩阵的逆是唯一的；证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛盾），所以是唯一的。
㈡逆矩阵的定理１、初等变换不改变矩阵的可逆性。
２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵Ｉｎ等价。
３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。
４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。
５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。
三、逆矩阵的计算方法㈠定义法定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为Ａ−１。
例１、求矩阵Ａ＝(２２３１−１０−１２１)的逆矩阵。
解：∵｜Ａ｜≠０∴Ａ−１存在设Ａ−１＝(ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３)，由定义知Ａ−１Ａ＝Ｅ，∴(２２３１−１０−１２１)(ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３)＝(100010001)由矩阵乘法得(２ｘ１１＋２ｘ２１＋３ｘ３１２ｘ１２＋２ｘ２２＋３ｘ３２２ｘ１３＋２ｘ２３＋３ｘ３３ｘ１１−ｘ２１ｘ１２−ｘ２２ｘ１２−ｘ２３−ｘ１１＋２ｘ２１＋ｘ３１−ｘ１２＋２ｘ２２＋ｘ３２−ｘ１３＋２ｘ２３＋ｘ３３)＝(100 010 001)由矩阵相乘可解得{ｘ１１＝１ｘ２１＝１ｘ３１＝−１；{ｘ１２＝−４ｘ２２＝−５ｘ３２＝６；{ｘ１３＝−３ｘ２３＝−３ｘ３３＝４故A−1=(1−4−3 1−5−3−164)㈡、伴随矩阵法ｎ阶矩阵Ａ＝（ａｉｊ）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵，Ａ−１＝１|Ａ|Ａ∗，其中Ａ∗为伴随矩阵。
开题报告-矩阵逆的推广及应用
毕业论文开题报告信息与计算科学 矩阵逆的推广及应用一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）1． 选题的背景Moore.E.H 是公认的研究广义逆矩阵的第一人，他在美国数学会1920年一个会议报告的摘要中，对任意矩阵定义了广义逆，当时他称之为general reciprocal 。
Moore 关于广义逆的较详细结果发表在Moore(1935)的著名论文中。
于是，许多学者通常把1935年作为广义逆研究的起点。
在这篇论文中，对任意n m ⨯矩阵A ，Moore 用下面两个矩阵方程 )(A R P AX =，)(X R P XA = (1) 来定义广义逆X ，这里)()(X R A R P P 和分别是)()(X R A R 和上的正交投影算子。
在这之后的20多年中，人们对广义逆的研究并未给予应有的重视。
到了二十世纪50年代，一些学者开始注意到广义逆矩阵的最小二乘性质。
Bjerhammar （1951a,1951b ）在不知道Moore 结果的情况下，重新提出了广义逆矩阵的概念（他称之为reciprocal matrix ），并注意到了广义逆与线性方程组解的关系。
Bott 和Duffin(1953)在研究电网理论时，引进了一种后来被称为Bott-Duffin 广义逆的逆矩阵。
当时他们称为约束逆（constrained inverse ）。
但这时期的研究工作缺少一般性，零散而不系统。
在广义逆研究中，一个重要的里程碑是Penrose （1955）的著名论文。
在这篇文章中，Penrose 以非常简单、直观的形式叙述了广义逆矩阵+A 满足的四个条件（也称Penrose 条件）：设nm CA ⨯∈，则满足XA XA AX AX X XAX A AXA ====H H ))(4(;))(3(;)2(;)1( (2)的矩阵nm C X ⨯∈称为矩阵A 的广义逆（其中的共轭转置表示A A H），并证明了（2）式的解是唯一的。
矩阵的逆的计算及其应用
矩阵的逆的计算及其应用矩阵是数学中不可或缺的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
而矩阵的逆，更是矩阵计算中的一个重要概念，它在多元线性回归、矩阵运算等方面都有着重要的应用。
一、矩阵逆的定义矩阵逆的定义，是指对于一个方阵A，如果存在一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记为A^-1。
在计算矩阵的逆时，有一个非常重要的性质——只有方阵才有逆矩阵。
这是因为非方阵的矩阵，其行和列的个数不同，不符合逆矩阵的定义。
二、矩阵逆的计算对于一个n阶方阵A，要计算它的逆矩阵，可以通过高斯-约旦消元法、伴随矩阵法等方法进行计算。
以高斯-约旦消元法为例，对于一个n阶方阵A，我们可以将其扩展为一个n阶的增广矩阵[A,I]，其中I为n阶单位矩阵。
然后，通过对该增广矩阵进行初等行变换，将其变换成形如[I,B]的矩阵，其中B为A的逆矩阵。
具体步骤为：1. 将矩阵[A,I]进行初等行变换，使得矩阵A左下角的元素为0，以此类推，一直将A变换成一个上三角矩阵。
2. 将上三角矩阵A变换成一个对角线矩阵，同时，对应地调整单位矩阵I中的元素，使得[A,I]变为[I,B]。
3. 最后，得到的B即为A的逆矩阵。
需要注意的是，如果在进行初等行变换的过程中，发现某一行的元素全为0，则说明该矩阵不存在逆矩阵。
另外，当矩阵的行数和列数很大时，通过初等行变换的方式计算矩阵的逆，计算量较大，这时可以通过LU分解等方法进行计算。
三、矩阵逆的应用1. 多元线性回归在多元线性回归中，我们需要求解最小二乘解，而最小二乘解可以用线性方程组的形式表示。
通过使用矩阵的逆，可以将线性方程组的解求出来。
2. 矩阵运算矩阵的逆在矩阵运算中也有着广泛的应用。
例如，在求解线性方程组时，可以通过求解系数矩阵的逆来直接求解未知数的值。
此外，矩阵的逆也可以用于矩阵乘法的运算，通过将矩阵的逆预先计算出来，可以减少矩阵乘法的计算量。
总结：矩阵逆是矩阵计算中一个非常重要的概念，它能够帮助我们解决多元线性回归、矩阵运算等问题。
逆矩阵的定义性质及应用
逆矩阵的定义性质及应用逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它表示一个矩阵在某种运算下的逆元。
在具体描述逆矩阵的定义、性质和应用之前，我们先介绍一下矩阵的逆。
1. 逆矩阵的定义：给定一个n ×n的方阵A，如果存在一个n ×n的方阵B，使得AB=BA=I，其中I表示单位矩阵，则B称为A的逆矩阵，记作A^{-1}。
2. 逆矩阵的性质：（1）若A的逆矩阵存在，则逆矩阵唯一。
（2）若A与B均为可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且(AB)^{-1} =B^{-1}A^{-1}。
（3）若A为可逆矩阵，则A的转置矩阵A^T也是可逆矩阵，并且(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T。
（4）若A为可逆矩阵，则A ≠0，其中A 表示A的行列式。
逆矩阵具有以上性质，这些性质保证了逆矩阵的存在唯一性，并且在矩阵乘法、转置矩阵以及行列式等方面具有良好的运算性质。
3. 逆矩阵的应用：（1）求解线性方程组：对于一个线性方程组Ax=b，如果A为可逆矩阵，则可以通过左乘A^{-1}求解出x的值，即x=A^{-1}b。
这种方法也被称为矩阵的逆运算法，适用于方程个数与变量个数相等的情况。
（2）矩阵的分块法：在矩阵计算中，常常会遇到大型矩阵的操作，为了简化计算，可以将大矩阵分成几个小块，然后根据逆矩阵的性质进行计算，再利用转置矩阵的性质将结果组合起来，使得计算更加高效。
（3）线性变换的逆运算：在线性代数中，矩阵可以表示线性变换，在某些应用中，需要对某个线性变换进行逆运算，即求出它的逆变换。
如果这个线性变换的矩阵是可逆的，则可以通过求逆矩阵来得到逆变换，这对于图像处理、信号处理等方面有着广泛应用。
（4）计算矩阵的伴随矩阵：在矩阵的运算中，经常需要计算伴随矩阵，将一个矩阵乘以它的伴随矩阵可以得到一个特殊的对角线矩阵，这个特殊的对角线矩阵可以帮助我们求解特征值、特征向量以及矩阵的幂等问题等，伴随矩阵的计算就离不开逆矩阵的应用。
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用1. 前言在矩阵运算中，逆矩阵是一个重要的概念。
一个矩阵的逆矩阵是指，如果一个矩阵A乘上它的逆矩阵A^-1等于单位矩阵I，那么A就有逆矩阵。
逆矩阵经常用于解线性方程组、计算行列式和计算矩阵的特征值等方面。
本文将介绍逆矩阵的求法和逆矩阵的应用。
2. 求逆矩阵的方法要求一个矩阵的逆矩阵，需要满足两个条件：该矩阵是方阵且它的行列式不等于零。
下面介绍两种求逆矩阵的方法。
2.1. 初等变换法采用初等变换法求逆矩阵，需要构造一个n阶矩阵[AB]，其中A 为待求矩阵，B为单位矩阵，即：[AB]=[A I_n]然后，对矩阵[AB]进行初等行变换，一直到[AB]变为[IBA']的形式，其中A'为A的逆矩阵。
由于[AB]=[A I_n]，所以[IBA']=[I_n A^-1]，即A的逆矩阵就构造出来了。
2.2. 公式法另一种求逆矩阵的方法是采用公式法。
设A为一个n阶矩阵，若它的行列式为D，那么它的伴随矩阵记为adj(A)，则逆矩阵为A^-1=(1/D)adj(A)。
其中，adj(A)表示矩阵A的伴随矩阵，它的第i行第j列元素A_ij的代数余子式与(-1)^(i+j)的乘积。
3. 逆矩阵的应用逆矩阵在数学中有多种应用，这里只介绍几个典型的应用。
3.1. 解线性方程组逆矩阵可以用于求解线性方程组，解法如下：假设有n个未知数，n个方程，可将方程组表示为AX=B的形式，其中X为未知数向量，B为常数向量，A为系数矩阵。
如果系数矩阵A有逆矩阵，那么可以将方程组A^-1AX=A^-1B简化为X=A^-1B，即可求得未知数向量X。
3.2. 计算行列式和矩阵的特征值逆矩阵还可以用于计算行列式和矩阵的特征值。
设A为n阶方阵，它的逆矩阵为A^-1，则有：det(A)=det(A^-1)^-1λ是A的特征值，那么A的逆矩阵的特征值就是λ^-1。
3.3. 计算数据的逆矩阵逆矩阵也可以用于计算数据的逆矩阵。
广义逆矩阵及其应用
题目广义逆矩阵及其应用学院专业通信与信息系统学生学号目录第一章前言 (1)第二章广义逆矩阵 (2)§2.1广义逆矩阵的定义 (2)§2.2 广义逆矩阵的性质 (3)第三章广义逆矩阵的计算 (12)§3.1 一般广义逆求解 (12)§3.2 Moore-Penrose 广义逆 (16)结论 (19)第一章前言线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。
为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。
广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。
逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。
为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广：（1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在；（2）它具有通常逆矩阵的一些性质；（3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。
满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。
1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。
1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。
美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。
我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。
1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。
2023年度矩阵广义逆及其应用
2023年度矩阵广义逆及其应用矩阵广义逆在线性代数中有着重要的应用，在很多领域中都有着重要的地位。
简单来说，矩阵广义逆是一种扩展的矩阵逆，它不仅适用于方阵，还适用于任意的矩阵，且可以求得一组特解。
在本文中，将介绍2023年度矩阵广义逆及其应用。
一、矩阵广义逆的定义设 $A$ 是一个$m\\times n$的矩阵。
如果矩阵 $A$ 满足以下条件：$$AA^+A=A\\quad\\text{以及}\\quad A^+AA^+=A^+$$其中，$A^+$ 表示 $A$ 的广义逆矩阵，那么就称$A^+$ 是矩阵 $A$ 的广义逆。
矩阵广义逆的求解可以通过矩阵的奇异值分解（SVD）实现。
奇异值分解将一个矩阵分解成三个部分的乘积，即：$$A = U\\Sigma V^T$$其中，$U$ 和 $V$ 是正交矩阵，$\\Sigma$ 是对角线上元素为奇异值的矩阵。
广义逆矩阵 $A^+$ 的计算公式为：$$A^+= V \\tilde{\\Sigma}^{-1} U^T$$其中，$\\tilde{\\Sigma}^{-1}$ 为将奇异值矩阵$\\Sigma$ 的非零奇异值取倒数得到的对角矩阵。
二、矩阵广义逆的应用1. 线性回归在线性回归问题中，我们需要对给定的一组输入数据向量 $x$，预测一个输出值 $y$。
通常，我们使用线性模型来建立输入向量 $x$ 和输出值 $y$ 之间的关系。
线性回归问题可以形式化为：$$y = w^T x + b$$其中，$w$ 是权重向量，$b$ 是偏置项。
线性回归问题也可以通过矩阵形式表示为：$$y = Xw + b$$其中，$y$ 是$n$ 维列向量，$X$ 是$n\\times m$的矩阵，每一列都是一个输入向量 $x_i$，$w$ 是$m$ 维列向量，$b$ 是一个标量。
矩阵广义逆可以用于求解最小二乘问题，即：$$w^*=\\arg\\min_{w}(Xw-y)^T(Xw-y)$$这个问题的唯一解可以用广义逆求得，如下式所示。
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摘要本文归纳了矩阵可逆的等价条件与可逆矩阵的相关性质，总结了几种可逆矩阵的判定及逆矩阵求解的方法，分类讨论了可逆矩阵在求方阵的幂、解矩阵方程和加密保密通信中的若干应用。
关键字：可逆矩阵；初等变换；分块矩阵；方阵的幂AbstractIn this paper, the definition of the inverse of the matrix, theorems and properties, classification discussed several ways of solving inverse matrix and the inverse matrix in o power and encryption of the application of secret communication.The keyword： invertible matrix；elementary transformation；block matrix；powers of a matrix ；Encrypted secure communications目录1 引言 (1)2 可逆矩阵的定义和性质 (1)2.1矩阵可逆的定义及等价条件 (1)2.2可逆矩阵的相关性质 (2)3 可逆矩阵的判定及逆矩阵的求解 (4)3.1定义法求矩阵的逆 (4)3.2用矩阵的秩判定其可逆性 (5)3.3特征值法判定矩阵的逆 (6)3.4 伴随矩阵法求矩阵的逆 (6)3.5初等变换法求矩阵的逆 (7)3.6可逆分块矩阵的逆矩阵求解 (10)4 可逆矩阵的若干应用 (13)4.1求方阵的幂 (13)4.1.1方阵的幂及其运算律 (13)4.1.2求方阵的幂 (13)4.2 解矩阵方程 (15)4.3构造通信模型 (16)参考文献 (19)1 引 言矩阵的研究历史悠久，而矩阵的现代概念是在19世纪才逐渐形成。
被公认为矩阵的奠基人是凯利，矩阵被他作为独立的数学对象研究。
他在《矩阵论的研究报告中》[1]研究了矩阵的运算、矩阵的逆以及转置和特征多项式.矩阵以简洁地形式表达了物质的关联，因此矩阵的应用十分广泛。
物理应用中主要是在几何光学和电子学的应用，在计算机中的应用主要体现在三维动画制作。
而可逆矩阵在矩阵理论研究中占有非常重要的地位，在应用中更是举足轻重。
可逆矩阵就像矩阵的左膀右臂，其应用越来越广泛，可逆矩阵解决了数理统计、线性规划、经济学、网络和测绘等许多领域的问题。
比如在经济学中证券投资组合中的应用，在实际生活中解决电费分时段计费的应用，在解密保密通信中的应用等。
本文归纳了矩阵可逆的等价条件与可逆矩阵的相关性质，总结了几种可逆矩阵的判定及逆矩阵求解的方法，主要有定义法、伴随矩阵法、特征值法、初等变换法、分块矩阵的公式法等等，对应用数学软件MATLAB 求解可逆矩阵的逆矩阵方面也作了相关的阐述。
逆矩阵的应用是本文的写作重点，着重讨论了可逆矩阵在求方阵的幂、解矩阵方程和构造通信模型中的若干应用。
本文也用有趣的实例说明了可逆矩阵在生活中的相关应用，让人再次加深对于矩阵逆的了解，体现可逆矩阵的美。
2 可逆矩阵的定义和性质2.1矩阵可逆的定义及等价条件定义2.1.1 设A 是一个n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵A ，使得AB BA I ==,则称A 矩阵是可逆矩阵，称B 是A 的逆矩阵.[2] 若矩阵A 可逆，则1A -的逆矩阵是唯一的，记为1A -.[3]定义2.1.2 设()ijn nA a ⨯=,ij A 是A 中元素ij a 的代数余子式，矩阵11211222*12N N N N N N NN A A A A A A A adjA A A A ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵.[4] 定义2.1.3 设是A 矩阵，我们把A 的行与行之间及列与列之间，适当地加上一些横线及竖线，这样，A 就被分成若干个小块。
我们把分成若干个小块的矩阵称为分块矩阵.如：11121314212223243132333441424344a a a a aa a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ 可以按如下方式划分成4小块：11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭那么1112112122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1314122324a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭,3132214142a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭3334224344aa A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.这样，A 可以简写为11122122A A A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 给了一个矩阵，可以根据需要，作出各种不同的分块. 上面的矩阵A 还可以有如下的分块：11121314212223243132333441424344a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或 11121314212223243132333441424344a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭等等. 设A 是一个n 阶矩阵，则下列断言等价： （1）A 可逆.（2）存在方阵B 使AB I =(或I AB =). （3）0A ≠. （4）()r A n =.（5）A 经行(列)初等变换可以化为单位矩阵. （6）A 可以表示成初等矩阵的乘积. （7）A 的特征值全不等于0.（8）齐次线性方程组0AX =只有零解.[5]2.2可逆矩阵的相关性质命题2.2.1 设,A B 都是可逆矩阵，k 是非零数，则 （1）()()'11'A A --=.（2）()111AB B A ---=. （3）()111kA k A ---=. （4）1*1A A A-=. （5）11A A --=. （6）**AA A A A I ==. （7）()()'**'AA =.（8）()()-1**1=A A -. （9）()***=B AB A . （10）1*n A A-=.（11）()*1*n kA k A -=.（12）()()()()*,;1,1;0, 1.n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩命题2.2.2 初等矩阵是可逆矩阵，并且其逆矩阵是同类型的初等矩阵：()()()()()()()()()()1111,,,P ,,,P i j P i j i c P i c P i j k P i j k ----===-.命题2.2.3 （1）可逆分块初等矩阵，有1n m mnO E OE E O E O -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,11n n P O P O O E O E --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,11mmE O E O OP OP --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1m mn n E P E P OE OE --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1mm n n E O E O PE P E -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.(2)用分块初等矩阵左（右）乘A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭(要可乘，可加）相当于对其作相应的分块矩阵行（列）初等变化：n m O E A B A B E O C D C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,n P O A B PA PB O E C D C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, m n E P A B A PC B PD OE C D C D ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,m n E O A B A B PE C D C PA D PB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭利用分块初等矩阵的上述结果，可以处理分块矩阵的有关命题.命题2.2.4 若12,,,S A A A 都是可逆矩阵，则11111221S S A A A A A A ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 11122111S S A A A A A A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3 可逆矩阵的判定及逆矩阵的求解对于矩阵的逆，通常有两类问题：一是判定矩阵是否可逆.二是可逆时，矩阵逆的求解.两者的关系紧密相连.我们就对几种常用的方法进行介绍.3.1定义法求矩阵的逆设A 是一个n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵A ，使得AB BA I ==,则称A 矩阵是可逆矩阵，称B 是A 的逆矩阵.I 是单位矩阵，则矩阵A 的逆矩阵可以被表示成：1A B -=.[6]通常定义法一般适用于求抽象矩阵的逆.例1 已知322,22A E B A A E ==-+,证明B 可逆，并求出1B -.证：由题设知223222(2)()B A A E A A A A A E A E =-+=-+=+-,运用待定系数法.由32A E =可得212A A E ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()()2122410A E A A E E ⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦,()()2A E A A E E -++= 因此，矩阵,2A E A A E +-和均是可逆的，1212A A -=, ()()12122410A E A A E -+=-+，()12-A E A A E -=++,因此B 是可逆的，求得()()11112B A E A E A ----=-+()()22211+A+E 24102A A A E A =⋅-+⋅()65432132410A A A A A =-+++()213410A A E =++. 例2 设满足O I A A =--22的n 阶矩阵A ,证明：（1）A 和A I -都是可逆矩阵，并求1-A 和()1--A I ；(2)I A +和I A 2-不可能同时都是可逆的.证 （1）由O I A A =--22，得()O I A A =--22,()O I I A A =--2,()I I A A =-21.因此，A 和A I -都是可逆矩阵，且()I A A -=-211,()A A I 211-=--. (2)由O I A A =--22，得()()O I A I A =+-2,若I A 2-可逆，则()()()()O O I A I A I A I A =-=+----11222,有O I A =+,即I A +为零矩阵，不可逆.若I A +可逆，则()()()()O I A O I A I A I A =+=++---112, 有O I A =-2,即I A 2-为零矩阵，不可逆.综上所诉，I A +和I A 2-不可能同时都是可逆矩阵.3.2用矩阵的秩判定其可逆性利用矩阵的秩是判定矩阵是否可逆的重要的手段；在线性空间中将矩阵转换成线性变换也可以判定其可逆性.例3 设A 是n m ⨯实矩阵,证明：若A 的秩()m n A r <=，则A A '可逆.证：先证齐次线性方程0=AX 与0'=AX A 同解.显然0=AX 的解都是0'=AX A 的解，任取0'=AX A 的解()'21,,,n b b b =α，记()'1,,n c c A =α，则()00''''==⇒=αααααA A A A A A 所以()0,,11=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n c c c c ，即0221=+nc c ， 于是01===n c c ，即α是0=AX 的解，故两方程组同解.由0=AX 与0'=AX A 同解，则()()n A r A A r =='，故n 阶方阵A A '可逆.3.3特征值法判定矩阵的逆若A 的特征值全不为0，则A 是可逆矩阵，否则A 不可逆.()0=-=A I f A λλ,如果00=⇒=A λ，则A 不可逆.特征值法可以快速判定A 是否可逆，但是不能求出A 的逆矩阵.例 4 设A 为n 阶实对称矩阵，B 为n 阶实矩阵，且'AB BA +的特征值全大于0，其中'B 为B 的转置，证明：A 可逆.证 由()'''''''''AB BA BA AB A B B A AB BA +=+=+=+,知'AB BA +是实对称矩阵.因为其特征值全大于0，所以'AB BA +正定.设X 是A 特征值λ的特征向量，则R ∈λ，n R X ∈≠0,于是 ()()()X B AX BX X X B A X AX B X X AB BA X '''''''''0+=+=+<λ()X B B X X B X BX X '''''+=+=λλλ 故0≠λ，由A 的特征值全不为0，故A 可逆.[7]3.4 伴随矩阵法求矩阵的逆要判定n 阶方阵A 是否可逆,首先会想到伴随矩阵法，当0=A 时，A 不可逆，当0≠A 时，A 可逆，且*11A AA =-. 如果方阵的阶数n 较低时，常用*11A AA =-求矩阵的逆.特别是2=n 时，记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，结论就更为简单：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-a c b d A A 11. 例5 求A 的逆矩阵，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0021001231002100A . 解 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2112C ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-11231B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2112511C , 故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----0011002352510051520000001111B C CB A . 解析：矩阵求逆的方法主要有三种：伴随矩阵求逆；初等变换求逆；分块矩阵求逆.伴随矩阵求逆法，当矩阵阶数较高时，往往计算量大且容易出错.因此，当阶数比较高的时候会考虑用初等变换求逆或者是分块矩阵求逆.本例中，A 可以分解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O AA O A 21,从而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---O A A O A 11121.求A 的逆转换为求更低阶矩阵1A ,2A 的逆，此时采用伴随矩阵求逆法.可见三种方法并不是绝对孤立的，有时候一个题目如果综合运用三种方法，便可以迅速求解.3.5初等变换求矩阵的逆定义3.5.1 行（列）初等变换是指一个矩阵施行的下列变换； （1）对矩阵的某两行（列）进行交换；（2）对于一个非零的数乘矩阵的某一行（列），那么用非零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素[8]；（3）给矩阵的某一行（列）乘以一个数后加到另一个行（列）上，即用某一个数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一个行（列）的对应元素上. 定义 初等矩阵是由单位矩阵I 经过一次行（列）初等变换得到的矩阵. （1）初等行变换如果n 阶矩阵A 可逆，作一个2n n ⨯的矩阵(A,I)，然后对此矩阵进行初等变换，使矩阵A 化为单位矩阵I ,则同时I 就化为1A -了，即(A,I)经过初等行变换变为1(I,)A -. 备注：1、对于阶数较高(3)n ≥的矩阵，采用伴随矩阵法比较麻烦，而采用初等行变换求矩阵的逆一般会比较简单.并且在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.2、也可以利用1A I I A -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换求得A 的逆矩阵.3、当矩阵A 可逆时，可以利用()()1A B I A B -−−−−→初等行变换求得1A B -和1CA -.这一方法的不需要求出1A -，通过初等变换进行矩阵乘法，最后求出-11A B CA -或者.例6 先判断矩阵A 是否可逆，如果可逆，求1-A .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0002000012011100121011101A .由0≠A 可知A 可逆，对分块矩阵()AE 施行初等变换将A 化为E ,()3425310000000200100000012001000111000010012100000111101⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=AE23425321000000100100000012001000111000010012100000111101521⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−r2325212732100000102110000000221010001100210010012000000111101)4,3,2(5⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----−−−−→−=-i r r i 3265342345125213132410000610323101000310313100010021000000010412100000001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→→ . 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-125213132461032310310313121000041210001A . 分析 对于三阶以上的矩阵作行初等变换十分考验计算能力和耐心，阶数越高越繁琐，越容易出错.为了避免计算的错误，采取加校正列的办法：把矩阵每一行的元素的和写在该行的右边，构成一个含校正列的矩阵，对其施行行初等变换，每一步都保持最后一个元素等于它前面的元素之和.如果发现某一行破坏了这个规律，那么说明该行的计算有误.这种方法能够有效的减少错误.虽然，采取校正列求矩阵的逆在一定程度上减少了计算错误，但是随着科学计算的需求，矩阵的阶数也越来越高，简单的人工运算已经不能满足需求了，为了使计算更加简便、快捷，计算的精确度得到提升，矩阵的逆采用MATLAB 来求解. 运用MATLAB 软件求解[9][][]1,0,1,1,1;0,1,2,1,0;0,1,1,1,0;2,1,0,0,0;0,2,0,0,0;C ,eye(5)0(C)V U 0C(:,6:10)A A U C rref =--===运行结果为：10111100000121001000011100010021000000100200000001C -⎛⎫⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭100000000.50000.25000100000000.500000010000.33330.333300.33330001000.33330.666700.1667000014.0000.66670.33330.50000.4167U C -⎛⎫⎪⎪ ⎪=- ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭其右边的五列就是逆阵V :0000.50000.250000000.500000.33330.333300.333300.33330.666700.16674.00000.66670.33330.50000.4167V -⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭.3.6可逆分块矩阵的逆矩阵求解高阶矩阵运算一般都是非常繁琐，并且容易出错；如果将高阶矩阵按照某种规则划成若干部分，并将每一部分视为矩阵的元素，且每一小块的矩阵按照矩阵的运算法则进行运算，这样，矩阵的逆便可以求出了. 分块矩阵的相关性质命题 3.6.1 如果方阵A ,D 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D A T 001可逆，其逆矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---111100D A T.[10]命题 3.6.2 如果方阵B ,C 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=002CB T 可逆，其逆矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---001112B C T .命题3.6.3 设方阵B ,C 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0C B A T 可逆，其逆矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----111110AC B B C T.命题3.6.4 设方阵A ,D 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D B A T 0可逆，其逆矩阵为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----111110D BD A A T. 命题 3.6.5 设方阵A ,D 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C A T 0可逆，其逆矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----111110D CA D A T命题3.6.6 设方阵B ,C 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C B T 0可逆，其逆矩阵为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----011111B C DB C T. 例7 设r s +阶矩阵B D T O C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中,C B 分别是 ,r s 阶可逆矩阵，证明A 可逆且11111B B DC TO C -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 证 法一：用广义行初等变换法()1111111r rs sB D I O I B DC B O B BD A I O C O I O I OC C -------⎛⎫⨯⎛⎫-⨯=→⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭1111r sI OB B DC O I O C ----⎛⎫-→⎪⎝⎭故11111B B DC A O C -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭.法二：用广义列初等变换法()11-11111111r rB DC s C s r s BD I O I DC A O C O I O I I I O B B DC B O OI O C O C ----------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=−−−−−→−−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭第一列乘以第二列乘以第二列乘以所以11111B B DC A O C -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 例8 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A AA A A ，其中1A 是r 级可逆矩阵，4A 是s 级矩阵.问：还应满足什么条件，A 才可逆，当A 可逆时，求1-A .解 如果把A 变成分块上三角矩阵，那么可利用例5的结果.于是作分块矩阵的初等行变换：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+-21134214321011132A A A A A A A AA A r A A r 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2113421432111300A A A A A A A A A A I A A I s r. 两边取行列式，得211341A A A A A A I I s r --=.由此得出，在满足21134A A A A --可逆的条件，则A 可逆.当A 可逆时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-----s rI A A I A A A A A A A AA A A 1131211342114321100 ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-------s rI A A I A A A A AA A A A A A 1131211341211342111100 ()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+=-------------12113411312113412113421111312113421111A A A AA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A . 注 计算分块矩阵的行列式DC BA 时，把n 阶方阵A ,B ,C ,D 当作数，直接从二阶行列式的定义得BC AD DCBA -=是错误的.若将分块矩阵D C BA 作分块初等变换，将其化为分块对角矩阵，再加上条件CA AC =,则有()CB AD B ACA AD B CA D A B CA D A DC BA -=-=-=-=---111. 例9 求矩阵Q 的逆矩阵，其中10030104=00123425Q ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 解：将矩阵Q 分成四块，形如A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,其中100=010001A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，3=42B ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,()342C =,()5D =,于是()()1=-240D CA B --≠，所以矩阵Q 可逆，且()111=-24D CA B ---，1342A B B -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,()1342CA C -==, Q=A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()()()11-111111-111111+=A A B D CA B CA A B D CA B Q D CA B CA D CA B ------------⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭. 得115-12-63-128-841-6-820224342-1Q -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 4 可逆矩阵的若干应用4.1求方阵的幂4.1.1方阵的幂及其运算律设A 是一个n 阶方阵，m 是正整数，则个m m A AA A =称为A 的m 次幂. l k l k A A A +=，()kl lk A A =，()k k k A A λλ=，kk A A =，kk A A ''=4.1.2求方阵的幂方法 利用相似对角化：若求得n 阶可逆矩阵P ，使得),,,(211n diag AP P λλλ =-，则121),,,(-=P Pdiag A k n k k k λλλ .而对于分块对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A A A A21，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k s kk kA A A A 21，其中()n i A i ,,2,1 =均为方阵. 例10 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4121P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2001B ,PB AP =,求nA . 解 2=P ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1124211P , 1-=PBP A , ,12112---==P PB PBP PBP A ,1-=P PB A n n ,而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2001B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22200120012001B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nB 2001, ， 故⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++11242121211124212001412121n n n n A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=++++++122212222224222421112211n n n n n n n n . 例11 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201021113A ,求k A .解 ()()()42121021111---=-------=-λλλλλλλA I 得A 的特征值为11=λ，22=λ，43=λ.可求得对应的特征向量分别为()Tp ,1,1,11-=，()Tp 1,1,02-=，()Tp 1,1,23=令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111201P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-4000200011B AP P .故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-11230222614000200011111112011k kk k P PB A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅++⋅-+-+⋅-+⋅++-+-+-+=+++++++k k kk k k k k k k k k k 22121212121212222232223222223222322222222261. 4.2 解矩阵方程在实际的生产应用中，逆矩阵在解决生活中的问题扮演着重要角色，比如在电费的分时段计费、阶梯电费中的应用.例12 某地为了让高峰用电更加合理，采取了分时段计费的方式，白天（AM7:00-PM10：00）；夜间（PM10：00-AM7：00)的电费标准为Q ，某两个用户某月的用电情况如下：120150132174D NA B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所交电费为 90.29101.41M ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用矩阵的运算求出本地的电费标准为多少？解：令120150132174C ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为CQ M =，等式两边同时乘以矩阵-1C ，可得到本地的电费标准1Q C M -=,接下来我们利用初等变换求-1C .122111333091145012015010450303013217401111321740109110r r r r -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪−−−→−−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭ 112154129529545040103045918036111111111010101909909109r r r -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−→⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故129518036111109C -⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.因此129590.290.462018036111101.410.2323109Q C M -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭.4.3构造通信模型先设定26个英文字母与整数的对应关系： A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N O P Q R S T U V W X Y Z 14151617181920212223242526如果要发信息“I U Y ”,通过对应关系，则此信息的编码是：9,21,25，但是如果发的是“GIVE ME SOME MONEY ”这样叠字，那么是不是很容易密码就会被直接破译呢？在一连串的信息编码当中，人们会根据字母的出现的频率去假设这个字母是什么。