矩阵的逆及其应用

摘要

本文归纳了矩阵可逆的等价条件与可逆矩阵的相关性质，总结了几种可逆矩阵的判定及逆矩阵求解的方法，分类讨论了可逆矩阵在求方阵的幂、解矩阵方程和加密保密通信中的若干应用。

关键字：可逆矩阵；初等变换；分块矩阵；方阵的幂

Abstract

In this paper, the definition of the inverse of the matrix, theorems and properties, classification discussed several ways of solving inverse matrix and the inverse matrix in o power and encryption of the application of secret communication.

The keyword： invertible matrix；elementary transformation；block matrix；

powers of a matrix ；Encrypted secure communications

目录

1 引言 (1)

2 可逆矩阵的定义和性质 (1)

2.1矩阵可逆的定义及等价条件 (1)

2.2可逆矩阵的相关性质 (2)

3 可逆矩阵的判定及逆矩阵的求解 (4)

3.1定义法求矩阵的逆 (4)

3.2用矩阵的秩判定其可逆性 (5)

3.3特征值法判定矩阵的逆 (6)

3.4 伴随矩阵法求矩阵的逆 (6)

3.5初等变换法求矩阵的逆 (7)

3.6可逆分块矩阵的逆矩阵求解 (10)

4 可逆矩阵的若干应用 (13)

4.1求方阵的幂 (13)

4.1.1方阵的幂及其运算律 (13)

4.1.2求方阵的幂 (13)

4.2 解矩阵方程 (15)

4.3构造通信模型 (16)

参考文献 (19)

1 引 言

矩阵的研究历史悠久，而矩阵的现代概念是在19世纪才逐渐形成。被公认为矩阵的奠基人是凯利，矩阵被他作为独立的数学对象研究。他在《矩阵论的研究报告中》[1]研究了矩阵的运算、矩阵的逆以及转置和特征多项式.矩阵以简洁地形式表达了物质的关联，因此矩阵的应用十分广泛。

物理应用中主要是在几何光学和电子学的应用，在计算机中的应用主要体现在三维动画制作。而可逆矩阵在矩阵理论研究中占有非常重要的地位，在应用中更是举足轻重。可逆矩阵就像矩阵的左膀右臂，其应用越来越广泛，可逆矩阵解决了数理统计、线性规划、经济学、网络和测绘等许多领域的问题。比如在经济学中证券投资组合中的应用，在实际生活中解决电费分时段计费的应用，在解密保密通信中的应用等。

本文归纳了矩阵可逆的等价条件与可逆矩阵的相关性质，总结了几种可逆矩阵的判定及逆矩阵求解的方法，主要有定义法、伴随矩阵法、特征值法、初等变换法、分块矩阵的公式法等等，对应用数学软件MATLAB 求解可逆矩阵的逆矩阵方面也作了相关的阐述。逆矩阵的应用是本文的写作重点，着重讨论了可逆矩阵在求方阵的幂、解矩阵方程和构造通信模型中的若干应用。

本文也用有趣的实例说明了可逆矩阵在生活中的相关应用，让人再次加深对于矩阵逆的了解，体现可逆矩阵的美。

2 可逆矩阵的定义和性质

2.1矩阵可逆的定义及等价条件

定义2.1.1 设A 是一个n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵A ，使得AB BA I ==,则称A 矩阵是可逆矩阵，称B 是A 的逆矩阵.[2] 若矩阵A 可逆，则1A -的逆矩阵是唯一的，记为1A -.[3]

定义2.1.2 设()

ij

n n

A a ⨯=,ij A 是A 中元素ij a 的代数余子式，矩阵

11211

222*

1

2

N N N N N N NN A A A A A A A adjA A A A ⎛⎫

⎪ ⎪

== ⎪ ⎪⎝⎭

称为矩阵A 的伴随矩阵.[4] 定义2.1.3 设是A 矩阵，我们把A 的行与行之间及列与列之间，适当地加上一些横线及竖线，这样，A 就被分成若干个小块。我们把分成若干个小块的矩阵称为分块矩阵.

如：1112131421

2223243132333441

42

43

44a a a a a

a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪

⎪

⎝⎭ 可以按如下方式划分成4小块：1112

13142122

2324313233344142

43

44a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

那么1112112122a a A a a ⎛⎫

= ⎪⎝⎭,1314122324a a A a a ⎛⎫=

⎪⎝⎭,3132214142a a A a a ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

33

342243

44a

a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.这样，A 可以简写为11

1221

22A A A A A ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

. 给了一个矩阵，可以根据需要，作出各种不同的分块. 上面的矩阵A 还可以有如下的分块：

11121314212223243132333441424344a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或 1112131421222324313233

34414243

44a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

等等. 设A 是一个n 阶矩阵，则下列断言等价： （1）A 可逆.

（2）存在方阵B 使AB I =(或I AB =). （3）0A ≠. （4）()r A n =.

（5）A 经行(列)初等变换可以化为单位矩阵. （6）A 可以表示成初等矩阵的乘积. （7）A 的特征值全不等于0.

（8）齐次线性方程组0AX =只有零解.[5]

2.2可逆矩阵的相关性质