两直线的相对位置
两直线的相对位置(工程制图)
思考并回答：常 见工程结构中的 一些线的位置关 系。
时间共2分钟。 通过云教学软件 提问。
道路工程制图与识图
教学过程 课后作业
教师的活动
学生的活动
备注
通过三个实例讲授 做云教学软件预留 空间相交二直线的 的练习(画出相交 三个投影特征，通 二直线的三面投 过ppt动画的形式 影)。 进行投影图的绘制。
C
A
D
B
E F
G
5
道路工程制图与识图
1）两直线相交
投影特征:①相交两直线，其各同面投影必相交，且
交点符合点的投影规律（即各投影交点的连线必垂直于
相应的投影轴）。
c′
c"
b′
b"
k′ a′
d′
k" a" d"
db k a
c
道路工程制图与识图
②对两一般线在空间是否相交。 c’
道路工程制图与识图
二、本次课的衔接和配合
本次课（两直线的相对位置）的先导课为《各种位 置直线的投影》，后续课为《平面的投影》。在教材的 知识体系中，本次课与前面的特殊位置直线与一般位置 直线等知识相链接，也为以后系统地学习平面和立体的 投影奠定了理论基础。
道路工程制图与识图
三、教学设计
主题
两直线的相对位置（相交）
符合点的投影规律。 ②对两一般位置直线而言，只要根据任意2组
同面投影即可判断两直线在空间是否相交。 ③对于特殊位置直线而言，只要判断交点是否
具有定比性来验证两直线是否相交。
道路工程制图与识图
道路工程制图与识图
直线上的点的特性：
定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
同一平面内两条直线的位置关系讲解
同一平面内两条直线的位置关系讲解同一平面内两条直线的位置关系是几何学中的一个重要概念，它描述了两条直线在平面上的相互关系。
在这篇文章中，我将详细讲解两条直线可能的位置关系，并解释它们之间的特征和性质。
1. 平行关系：如果两条直线在同一平面上且永远不相交，我们称它们为平行线。
平行线具有以下特点：- 两条平行线的斜率相等，即它们有相同的倾斜角度。
- 两条平行线之间的距离在任意两点处是相等的。
- 平行线的任意一对对应角（同位角）相等，即它们的位置相对于两条平行线是相同的。
2. 垂直关系：如果两条直线在同一平面上且互相交于直角（90度角），我们称它们为垂直线。
垂直线具有以下特点：- 两条垂直线之间的夹角为90度。
- 垂直线的斜率互为倒数，即它们的乘积等于-1。
- 垂直线的任意一对对应角（同位角）相等，即它们的位置相对于两条垂直线是相同的。
3. 相交关系：如果两条直线在同一平面上且交于一点，我们称它们为相交线。
相交线具有以下特点：- 两条相交线的夹角可以是任意角度，不一定是直角。
- 相交线的交点是两条直线上的公共点。
- 相交线的对应角（同位角）不一定相等，它们的位置相对于两条相交线是不同的。
4. 重合关系：如果两条直线在同一平面上且重合于一条直线，我们称它们为重合线。
重合线具有以下特点：- 两条重合线重合于每一个点，它们的位置完全相同。
- 重合线的斜率相等，即它们有相同的倾斜角度。
- 重合线的任意一对对应角（同位角）相等，即它们的位置相对于两条重合线是相同的。
5. 平行且重合关系：如果两条直线在同一平面上，既平行又重合于一条直线，我们称它们为平行且重合线。
平行且重合线具有以下特点：- 这两条线是同一条线，它们的位置完全相同。
- 平行且重合线的斜率相等，即它们有相同的倾斜角度。
- 平行且重合线的任意一对对应角（同位角）相等，即它们的位置相对于两条平行且重合线是相同的。
通过以上对同一平面内两条直线位置关系的讲解，我们可以清晰地了解不同位置关系的特点和性质。
第二讲：直线的投影、两直线的相对位置(平行、相交、交叉)详解
2020/9/21
4
正平线—平行于V面，倾斜于H、W面的直线。
Z
b
实长
b
b
a
B
a
a
a
A
b
X
O
YW
正平线的投影特性：
1、正面a 投影反b 映直线段的实a长。该投b影与OX轴、OZ轴
的夹角，分别反映该直线与H、W面的倾角。YH （a b=AB， 反映、角的真实大小）；
b’
1.根据直角三角形的组成，利
用a’b’及实长作直角三角形；
O 2 .求出Y坐标差；
3. 利用Y坐标差求ab投影。
思考：若将已知条件实长换 b 成=30°，则如何解题？
18
直线上的点 V
直线上点的投影特性—— a
➢从属性：若点在直线上， 则点的投影必在直线的同面 投影上，且符合点的投影规 律。反之，亦然。
对c(水d)平投影面的倾角——
对正立投影面的倾角——
对侧立投影面的倾角——
各种位置直线的投影特性
直线在三投影面体系中分为：
平行于某一投影面，且 倾斜于另两个投影面
垂直于某一投影面
投影面平行线 特殊位置直线 投影面垂直线
水平线 正平线 侧平线
铅垂线 正垂线 侧垂线
与三个投影面都倾斜 一般位置直线
各种位置直线的投影特性
b
YH
9
各种位置直线的投影特性
一般位置直线（投影面倾斜线）
与三个投影面都倾斜的直线。
b Z
投影特性：
b
三个投影都是缩短了的倾
斜线段, 都不反映空间线段的
3-直线的投影及两只线的相对位置关系
一边平行于投影面的直角的投 影特性
例题 3
练习1
练 习 2
练习3
练习4
各种位置的直线的投影及相对位置关系
一、各种位置的直线的投影特性及应用
投影面平行线 投影面垂直线 一般位置直线
二、直线的相对位置关系
相交 平行 交叉
投影特性 及应用
一、特殊位置直线的投影及特性
1. 投影面平行线的投影及其特性：正平 线、侧平线、水平线
2. 投影面垂直线的投影及其特性：正垂 线、侧垂线、铅垂线
二、一般位置直线的投影及其 真长与倾角的图解方法
1. 一般位置直线的投影特性
2. 一般位置的直线的真长与倾角的图解 方法
直角 三角 形法 求直 线实 长的 基本 原理
三、 直线上的点的投影特性
1. 在直线的同面投影上
2. 按比例等分线段
2~4 两直线的相对位置
1. 相交
2. 平行
投影 特性
及
3. 交叉
应用
两相交直线的判断方法
两 相 交 直 线 的 投 影
例 题 1
两 平 行 直 线 的 投 影
例题 2
两交叉直线的空间位置及投影
两交叉直线的投影特性----1
重影点 可见性 的判断
交叉直线的投影----2
二、一边平行于投影面的直角的投影
1. 投影特性 2. 应用：例题：求点A到水平线BC的距 离
两直线的相对位置平面的投影
点C不在直线AB上
点C在直线AB上
a
b
c
a
b
c
①
o
x
c
②
a
b
c
a
b
●
o
x
例2：判断点K是否在线段AB上。
a
b
●
k
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
应用定比性
a
b
k
a
b
k
另一判断法?
Y
H
Y
W
X
Z
O
k
k
a
b
a
b
x
a1
b1
k1
●
例3：已知直线AB，在AB上取点C和D，点C距 H面10mm，点D分割AB成AD：DB=3：1，作点 C和D的两面投影。
2、AD、BC直线的投影不满足 平行条件，又不满足相交条件， 为交叉直线，则A、B、C、D四 点不共面
3、AB不平行于CD
例3：过C点作水平线CD与AB相交。
●
●
c
a
b
b
a
c
d
k
k
d
先作正面投影
O
X
分析： 1、水平线投影特性 2、相交两直线投影特性
例4：判断直线AB与CD的相对位置
X
C
d
a
b
c'
c
a
b
b
a
c
O
X
d
d
15
10
k
k
e'
e
f'
f
b
c
k
a
解析几何中两条直线的位置关系
解析几何中两条直线的位置关系几何是一门独特的学科，它以空间形体的性质加以分析和研究。
在几何学的研究中，解析几何是一种十分重要的数学方法。
解析几何的基础内容包括坐标系、点、直线、平面等，它是高中数学必修课程中的重要章节。
而两条直线的位置关系就是解析几何中的一项主要内容，它涉及到两条直线在平面上的交点、平行、垂直等关系。
下面我们将结合一些实例，从不同角度来解析几何中两条直线的位置关系。
一、平行的直线两条直线如果在平面上没有交点，那么我们就称它们是平行的。
在解析几何中，判断两条直线是否平行的方法是通过它们的斜率来决定的。
斜率是直线上两个点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，我们用 k1 和 k2 来表示两条直线的斜率。
如果 k1 = k2，那么这两条直线是平行的，它们在平面上永远不会相交。
例如，对于直线 y = 2x + 1 和 y = 2x + 2，我们可以求出它们的斜率分别为 2，因此它们是平行的。
二、垂直的直线两条直线在平面上相交，并且它们的交点与坐标轴构成的角度为 90 度，那么我们就称它们是垂直的。
在解析几何中，判断两条直线是否垂直的方法是通过它们的斜率的互为倒数来决定的。
斜率的倒数是指直线上两个点横坐标之差与纵坐标之差的比值，用k1 和 k2 来表示两条直线的斜率。
如果 k1 × k2 = -1，那么这两条直线是垂直的。
例如，对于直线 y = -0.5x + 4 和 y = 2x - 1，我们可以求出它们的斜率分别为 -0.5 和 2，因此它们不垂直。
如果我们对第一条直线求出它的斜率的倒数为 -2，再对第二条直线求出它的斜率的倒数为 -0.5，就能得出它们是垂直的。
三、相交的直线如果两条直线在平面上相交，那么我们就需要考虑它们的交点和交角。
直线交点是直线在平面上的交点，我们用 (x0, y0) 来表示直线的交点坐标。
交角是指两条直线在交点处所夹的角度，它的度数可以通过反正切函数求出。
08根据两直线的投影判别两直线的相对位置
2.3 直线的投影
（2）直线平行于投影面（图2-16（b）） 其投影的长度反映空间线段的实际长度，即:ab=AB，这种特性称为真形性。
（3）直线倾斜于投影面（图2-16（c））
图2-16 直线对一个投影面的投影特性
其投影仍为直线，但投影的长度比空间线段的实际长度缩短了，即 ab=ABcosα。这种特性称为类似性。
图2-17 一般位置直线
2.3 直线的投影
2.3.3 直线上的点 如图2-18所示，直线与其上的点有如下关系: （1）点在直线上，则点的投影必定在直线的同面投影上; （2）点在直线上，则点分割线段之比等于其投影之比。 即ac∶cb=a′c′∶c′b′=a″c″:c″b″=AC∶CB
图2-18 直线上的点
2.3 直线的投影
教学目的：
1.熟练掌握各种位置直线的投影特性，并能根据投影特性 判别直线对投影面的相对位置。 2.掌握直线上点的投影特性。 3.掌握不同相对位置的两直线的投影特性。
教学重点：
1.特殊位置直线的投影特性。 2.判断两直线的相对位置。
教学难点：
1.根据直线的投影特性判别直线对投影面的相对位置。 2.根据两直线的投影判别两直线的相对位置。
判断空间两直线是否平行，一般情况下，只需判断两直线的任意两对同 名投影是否分别平行，如图2-23（b）所示。但是当两平行直线均平行于某一 投影面时，只有当所平行的投影面上的投影平行时才能判断其相互平行。如 图2-24（a）所示（CD，EF为侧平线），虽然cd∥ef，c′d′∥e′f′，但求 出侧面投影（图2-24（b））后，由于c″d″不平行于e″f″，故CD，EF不平 行。在这种情况下，一种方法是求出它们在的平行的投影面上的投影进行判 断;另一种方法是利用平行两直线共面，其投影保持定比的规律进行判断。
工程图学基础第二章2
|yA-yB|
|yA-yB|
3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角
角
b
B b
a
b a
A
a
△x
例10.已知线段AB的正面投影a'b'和A点的水平投影a， 且B点在A点的前方，AB长25毫米，求它的水平投影。
25
b
例11.已知线段AB的正面投影a'b' 和A点的水平投影a， 且B点在A点的前方，求它的水平投影。
a'
A
b' b
B
C
小结
重点掌握：
直线的投影特性。 一般位置线段投影、实长、夹角的关系。
两直线的相对位置的判断方法及投影特性。
直线上的点，定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
一、各种位置直线的投影特性 ⒈ 一般位置直线
三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 应的投影轴。
c
定比定理
例2.已知线段AB的投影图，试将AB分成2:1 两段，求分点C的投影c、c' 。
c'
c
例3.判断点K是否在线段AB上。
b" k"
a"
因k"不在a"b"上， 故点K不在AB上。 另一判断法?
四、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。 1.平行两直线 b' d'
d'
f
2.平面上的点
e'
侧平面
a'b'
A
a" b"
机械工程图学习题集加详细答案 第3章
第三章几何元素间相对位置
二、回答问题
1、属于平面的投影面平行线的投影特性？
答：具有投影面平行线的投影特性、满足直线从属于平面的几何特性、与相应的迹线平行。
2、空间两直线平行的投影特性是什么？
答：两直线空间平行同面投影也平行，空间长度之比等于各同面投影长度之比。
3、两直线垂直其投影特性是什么（即直角投影定理）？答：两直线互相垂直（相交垂直或交叉垂直），其中一条直线平行于某投影面时，则两条直线在该投影面中的投影仍互相垂直，即反映直角；反之，若两直线（相交或交叉）在同一投影面中的投影互相垂直（即反映直角），且其中一条直线平行于该投影面，则两直线空间必互相垂直。
二、回答问题
4、直线与平面垂直及两平面垂直的几何定理、投影特性
是什么？解决哪些问题？
答：
1）如果一条直线和一平面内两条相交直线都垂直，那么
这条直线垂直于该平面。
反之，如果一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。
2）若一直线垂直于一平面，则包含这条直线的一切平面都垂直于该平面。
3）投影特性：两种垂直关系最终都归结为两直线的垂直
问题，应用两直线垂直的投影特性解决此类问题。
4）可以解决各种位置线与线、线与面、面与面的垂直问题。
《机械制图》两直线的相对位置
MECHANICAL DRAWING
目录
CONTENTS
两直线的相对位置
两直线的相对位置
一、平行两直线
若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同面投 影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。
B
A
D
C
a
b c
d
3
两直线的相对位置 一、平行两直线
平行于某一投影面的两条直线是否平行的判断： 如果两条直线同时平行于某一投影面，必须看 两条直线所平行的那个投影面上的投影平行与否，才能最后确定这两条直线在空间是否互相平行。
7
两直线的相对位置 三、交叉两直线
两直线既不平行也不相交，称两直线交叉 。
8
两直线的相对位置
三、交叉两直线
➢ 交叉两直线可能有一组或二组同面投影 互相平行,但决不可能三组同面投影都 互相平行。
➢ 交叉两直线的同面投影，可能有一组、 二组或三组同面投影都相交，但它们交 点的投影一定不符合点的投影规律。
6
两直线的相对位置
二、相交两直线
在空间两条直线是否相交要区分情况： （1）对于两条一般位置直线，只要根据其任意两组投影，就可确定这两条直线在空间是否相交。 （2）当两条直线中有一条是投影面平行线时，则要看两条直线在三个投影面上的投影交点是否符合 点的投影规律，才能确定两直线是否相交。
两条直线中有一条是投影 面平行线时，两直线是否 相交的判断
➢ 实际上，交叉两直线同面投影的交点是 空间两直线上的对该投影面的一对重影 点。
9
a X
a
1(2) c
2 1 c
d b
b d
两直线的相对位置
三、交叉两直线
机械制图中两直线的相对位置解读
一、两直线平行
二、两直线相交
三、两直线交叉
§3-4 两线段的相对位置
一、两直线平行
两直线在空间平行则它们的各组同面投影必平行
平行
V 即若AB∥CD 则ab∥cd ； a’b’∥c’d’ 。
Z
c’ b’ d' X D d
平行
§3-4 两线段的相对位置
a’ B
c’
a’ b’ O
X
O
d
本节结束
§3-4 两线段的相对位置
投影符合点的投影规律。
c’
V
c'
Z
b’ d’
k'
b'
B
k' K b
a'
C X
O c
a’ O
d'
X
b
c k a
A
a d Y
D d
§3-4 两线段的相对位置
k
三、两直线交叉
既不平行也不相交的空间两直线称为交叉。
投影图上的交点是重影点。
V
不符合投影规律
b’
（2’） 1‘
c' Z
3’ 4’ a’
c’
b'
相交
O b’ k’ f
结论： 由于
a’k’ :k’b’ = ak :kb
解题完毕
所以 AB、Βιβλιοθήκη EF 相交。§3-4 两线段的相对位置
判断两直线的相对位置
例2 判断AB 、CD 两直线的相对位置。
a’ b’
a b
交叉
§3-4 两线段的相对位置
c’
d’ c
分析： 平行？ 交叉？ 判断方法： 方法一作第三投影（略） 方法二按定比性。（略） 方法三： 假定AB、CD平行，则ABCD 共面，AD 和BC 必相交， 作图： 结论： AB、CD 两交叉直线。
工程制图第二章 直线
2.3.3 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角
β γ △z
△y
α
△x
1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角 角
AB
△z
△z
ab
△z
AB AB
△z
ab
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角 AB b
X
△y
a b
△y
ab
AB
a AB
△y
△y
ab
3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
（平 行）
（相 交）
（交 叉）
（交 叉）
（相 交）
（相交）
a
Z
a
a
b
b
ab
投影特性：1． a b 积聚 成一点 2． a bOX ; a b OYW ，且反映直线实长。
（2）正垂线— 垂直于正立投影面的直线
ab A a ab z a b
B
b
AB实长
X
a
O
YW
a b b YH 投影特性： 1． ab 积聚 成一点 2． ab OX ; ab OZ ，且反映直线实长。
（3）侧垂线— 垂直于侧立投影面的直线
a
a
b
Z
ab
b ab
A B
X
O
YW
AB实长
a a
b YH
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点 2． ab OYH ; ab OZ ，且反映直线实长。
从属于投影面的直线（1）
B b Z
b
b
A a a b a a
a
b
两直线的投影
空间两直线相交
两直线相交必有一个公共交点，因此：若空间两直 线相交，则它们的各同面投影均相交，且交点符合点的 投影规律。反之亦然。 b' b' k' d' B k' d' c' c' a' a' C X O K O c c b b D A k k d a a d
X
空间两直线相交
侧 面 投 两 影 是 否 相 交 必 须 。 考 察 它 们 的 平 是 侧 否 相 位 是 对 要 根 ， 一 条 间 相 只 样 有 在 投 空 影 的 ， 一 线 线 则 中 们 面 两 直 直 两 a c b YH ， 其 它 正 线 对 于 别 及 的 的 直 是 可 判 影 置 行 的 。 但 就 平 投 位 平 X a' d' d O d" a" YW 一 般 同 ： 线 交 置 ， 水 于 据 对
c d
重影点的可见性判断
d' （1）判别H面重影点的可见 性，必须从H面投影向V面投影 引垂线，较高的一点看得见， 较低的一点则看不见。 （2）判别V面重影点的可见 性，必须从V面投影向H面投影 引垂线，较前的一点看得见， 较后的一点则看不见。 c' m(n) a e f b d m' a' n' O f '(e') b'
作业
2-22 2-23 2-24 2-25 2-26 2-31
重影点
V f '(e') a' A c' X C c M E N a m(n) H b' F b O B D d'
重影点：分属不同直线，但 位于同一条投影线上的点。 d' m' a' n' X c' m(n) a e f b d O f '(e') b'
空间几何中的直线与直线的位置关系
空间几何中的直线与直线的位置关系在空间几何中，直线与直线的位置关系是一个非常重要的概念。
它可以用来描述和确定两条直线之间的相对位置，以及它们是否相交、平行或重合。
在本文中，我们将详细探讨直线与直线的位置关系，并介绍一些常见的情况和性质。
一、直线与直线的基本位置关系在空间几何中，两条直线的位置关系可以分为以下几种情况：1.相交：当两条直线有一个公共点时，我们称它们为相交的直线。
这个公共点可以是直线的一个交点，也可以是直线的一部分。
相交的直线可以在不同的角度相遇，形成各种不同的关系。
2.平行：如果两条直线在平面上永远不相交，我们称它们为平行的直线。
平行的直线具有相同的方向，但它们之间的距离可以不同。
在三维空间中，平行的直线可以位于不同的平面上。
3.重合：如果两条直线的所有点都重合在一起，我们称它们为重合的直线。
重合的直线完全重合，它们没有任何区别。
二、直线与直线的其他位置关系除了基本的相交、平行和重合关系之外，直线与直线还可能存在一些特殊的位置关系，下面我们将介绍一些常见的情况：1.相交于一点的直线：当两条直线有且只有一个交点时，我们称它们为相交于一点的直线。
这个交点是两条直线的唯一公共点。
相交于一点的直线可以形成一个锐角、直角、或钝角。
2.相交于一条线的直线：当两条直线有且只有一条公共直线时，我们称它们为相交于一条线的直线。
这个公共直线是两条直线的一个子集，可以是它们的一部分或完全重合。
3.相交于一平面的直线：如果两条直线和一个平面有且只有一个公共点时，我们称它们为相交于一平面的直线。
这个公共点可以是直线的一个交点，也可以是直线的一部分。
相交于一平面的直线可以在平面上形成各种不同的角度。
4.异面直线：如果两条直线在空间中不在同一个平面上，且永远不相交，则它们被称为异面直线。
异面直线不能形成任何角，因为它们始终保持在不同的平面上。
三、直线与直线位置关系的应用直线与直线的位置关系在实际生活和工作中有着广泛的应用。
机械工程图学习题集加详细解答 第3章
第三章几何元素间相对位置
二、回答问题
1、属于平面的投影面平行线的投影特性？
答：具有投影面平行线的投影特性、满足直线从属于平面的几何特性、与相应的迹线平行。
2、空间两直线平行的投影特性是什么？
答：两直线空间平行同面投影也平行，空间长度之比等于各同面投影长度之比。
3、两直线垂直其投影特性是什么（即直角投影定理）？答：两直线互相垂直（相交垂直或交叉垂直），其中一条直线平行于某投影面时，则两条直线在该投影面中的投影仍互相垂直，即反映直角；反之，若两直线（相交或交叉）在同一投影面中的投影互相垂直（即反映直角），且其中一条直线平行于该投影面，则两直线空间必互相垂直。
二、回答问题
4、直线与平面垂直及两平面垂直的几何定理、投影特性
是什么？解决哪些问题？
答：
1）如果一条直线和一平面内两条相交直线都垂直，那么
这条直线垂直于该平面。
反之，如果一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。
2）若一直线垂直于一平面，则包含这条直线的一切平面都垂直于该平面。
3）投影特性：两种垂直关系最终都归结为两直线的垂直
问题，应用两直线垂直的投影特性解决此类问题。
4）可以解决各种位置线与线、线与面、面与面的垂直问题。
点、直线及直线的相对位置
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， 用其可帮助判断两直线 Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。 的空间位置。
12
例 判断两直线的相对位置
c
b
1
a
d
X a
d
1
cb
1d 1c 13
判断两直线重影点的可见性
a
X
c 1 (3)4
2
d
b
B
C 13
2 4D O
A
c
3
b
a
4
1(2)
d
判断重影点的可见 性时，需要看重影点 在另一投影面上的投 影，坐标值大的点投 影可见，反之不可见， 不可见点的投影加括 号表示。
第五节 点、直线与直线的相对位置
一、直线上的点
直线上的点具有两个特性： V
b
1 从属性 若点在直线上，则点
c
B
的各个投影必在直线的各同面投 a
影上。利用这一特性可以在直线
C
上找点，或判断已知点是否在直 线上。
A
b
2 定比性 属于线段上的点分割
ac
H
线段之比等于其投影之比。即
A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
2.KF是一般位置线，求出实长，即为所求
距离。
距离
22
例: 已知ABCD为正方形，完成其投影。
Z差
Z差
23
10
例：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c●
k
d
a
a
d
k c●
b
先作正面投影
11
⒊ 两直线交叉
a c’
1(2)
3 ●
●
●4
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全面理解画法几何与机械制图 讲师：张志
空间两直线的相对位置
空间两直线 的相对位置
同面直线 异面直线
平行 相交 交叉
平行两直线投影特性
两直线的同面投影相互平行，且其长度之比等于投影长度之比。
如何利用投影特性根据投影判断两直线是否平行？ ➢ 如都是一般位置直线，则有两个投影平行就平行 ➢ 如都是投影面平行线，则必须根据第三投影或比例关系判断
利用直角投影定理，可完成过点作投影面平行线的垂线，或与其 相关的求点到直线距离，求 直角三角形、 等腰三角形等平面 图形投影的作图问题。
• 如果两直线在空间上垂直(垂直相交 或垂直交叉)，当其中一条直线平行 于某一投影面时，则两直线在该投影 面上的投影垂直。
直角投影定理
水平线
Ｂ
Ａ bＣ
a
c
判断下列直线是否垂直？
对投影面倾角的方法，并能灵活运用直角三角形法 • 7．掌握两直线各种相对位置的投影特性及作图方法和判
别方法 • 8．掌握直角投影定理及其应用
垂直
c'
不垂直
a'
b'
a
c
b
垂直 不垂直 不垂直
例题：直角投影定理
已知CD与AB垂直相交，补全CD的投影
d'
b' a' c'
d' a'
b' c'
ac
b
d
a d
c b
例题：直角投影定理
已知CD与AB垂直相交，补全CD的投影
b'
d'
a'
c'
a' d'
a c
d
b
d a(bc)
例题：直角投影定理
已知CD与AB垂直相交，补全面两条直线是否平行
b'
c'
b'
c'
a'
d'
a
c
b d
a'
d'
a
d
b
c
相交两直线投影特性
相交两直线同面投影都相交，且交点符合点的投影规律
如何利用投影特性根据投影判断两直线是否相交？ ➢ 投影上交点连线垂直于投影轴 ➢ 相交直线可能成为某一投影面的重影线
判断下面两条直线是否相交
b'
d'
c'
a'
a
d
c
b
小结
• 1．熟练掌握点在第一分角中的投影特性及作图方法 • 2．熟练掌握点的投影与该点直角坐标的关系 • 3．掌握两点的相对位置及重影点的可见性判别 • 4．熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法 • 5．掌握直线上点的投影特性 • 6．熟练掌握用直角三角形法求一般位置直线段实长及其
c' k'
d' c
k1 k2
d
判断下面两条直线是否相交
c' k'
d'
c k d
交叉两直线投影特性
既不符合平行两直线的投影特性， 又不符合相交两直线的投影特性
交叉直线的同面投影若相交，其交点并非一个点的投影，而是两条 直线上的两个点的重影。其重影点的可见性应根据两个点的相对位置来 判别。
直角投影定理