第六章二次型答案详解

合集下载

线性代数二次型习题及问题详解

第六章二次型1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T1111=B C A C ，因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T2222=B C A C .令 12⎛⎫=⎪⎝⎭C C C ，则C 可逆，于是有 TT 1111111T2222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B C A C C AC B C A C C A C 1T 2⎛⎫= ⎪⎝⎭A C C A 即 12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同.2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称证：由A 对称，故T=A A .因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T=B C AC ，于是T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B即B 为对称矩阵.3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵.证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使E AM M =T记T1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使T 11diag(,,)n D μμ==Q B Q LT 11,,.n μμ=B M BM L 其中为的特征值令P=MQ ，则有D BP PE AP P ==T T ,,A B 同时合同对角阵.4．设二次型2111()mi in n i f ax a x ==++∑L ，令()ij m n a ⨯=A ，则二次型f 的秩等于()r A .证：方法一将二次型f 写成如下形式：2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑L L设A i = 1(,,,,)i ij in a a a L L ),,1(m i Λ=则 1111111j n i ij in i m mj mj m a a a a a a aa a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L MM M M LL M M M M LLA A A A 于是 1T T T TT 11(,,,,)mi m i i i i m =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑M L L M A A A A A A A A A A故 2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑L L =1211[(,,)]i m j n ij i in a x x x a a =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑M L L M=11111[(,,)(,,)]i m j n ij i ij in j i in n a x x x x a a a a x a x =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑M M L L L L M M =1T11(,,)()mj n i i j i n x x x x x x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑M L L M A A=X T(A TA )X因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵．显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ．方法二设11,1,,i i in n y a x a x i n =++=L L . 记T1(,,)m y y =Y L ，于是=Y AX ，其中T 1(,,)n x x =X L ，则222T T T 11()mi m i f y y y ===++==∑Y Y X A A X L .因为A A T 为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵．显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ．5．设A 为实对称可逆阵，Tf x x =A 为实二次型，则A 为正交阵⇔可用正交变换将f 化成规形.证：⇒设i λ是A 的任意的特征值，因为A 是实对称可逆矩阵，所以i λ是实数，且0,1,,i i n λ≠=L .因为A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵P ，在正交变换=X PY 下，f 化为标准形，即T T T T T1()diag(,,,,)i n f λλλ====X AX Y P AP Y Y DY Y Y L L 22211i i n n y y y λλλ=++++L L （*）因为A 是正交矩阵，显然T1diag(,,,,)i n λλλ==D P AP L L 也是正交矩阵，由D 为对角实矩阵，故21i λ=即知i λ只能是1+或1-，这表明（*）恰为规形.⇐因为A 为实对称可逆矩阵，故二次型f 的秩为n . 设在正交变换=X QY 下二次型f 化成规形，于是T T()f ==X AX Y Q AQ Y 222211r r n y y y y +=++---L L T =Y DY其中r 为f 的正惯性指数，diag(1,,1,1,,1)=--D L L .显然D 是正交矩阵，由T=D Q AQ ，故T=A QDQ ，且有T T ==A A AA E ，故A 是正交矩阵.6．设A 为实对称阵，||0<A ，则存在非零列向量ξ，使T0<ξAξ. 证：方法一因为A 为实对称阵，所以可逆矩阵P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ==P AP D L L其中(1,,)i i n λ=L 是A 的特征值，由||0<A ，故至少存在一个特征值k λ，使0k λ<，取010⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξP M M ，则有T T 0(0,,1,,0)10⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ξAξP AP M L L M 1(0,,1,0,0)kn λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O L L O010⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭M M 0k λ=< 方法二（反证法）若∀≠X 0，都有T0≥X AX ，由A 为实对称阵，则A 为半正定矩阵，故||0≥A 与||0<A 矛盾.7．设n 元实二次型AX X T=f ，证明f 在条件122221=+++n x x x Λ下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．解：设f n 是λλλ,,,21Λ的特征值，则存在正交变换=X PY ，使2222211T T T )(n n y y y f λλλ+++===ΛY AP P Y AX X设k λ是n λλλ,,,21Λ中最大者，当122221T =+++=n x x x ΛX X 时，有122221T T T T =+++===n y y y ΛY Y PY P Y X X因此k n k n n y y y y y y f λλλλλ≤+++≤+++=)( 222212222211ΛΛ这说明在22221n x x x +++Λ=1的条件下f 的最大值不超过k λ．设 TT 10)0.,0,1,0,,0(),,,,(ΛΛΛΛ==n k y y y Y则 10T0=Y Yk n n k k y y y y f λλλλλ=+++++=22222211ΛΛ令00PY X =，则1T 00T0==Y Y X X并且k f λ===0T T 00T00)()(Y AP P Y AX X X这说明f 在0X 达到k λ，即f 在122221=+++n x x x Λ条件下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．8．设A 正定，P 可逆，则T P AP 正定.证：因为A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使T=A Q Q ，于是 TTTT()==P AP P Q QP QP QP ，显然QP 为可逆矩阵，且T T T T ()()==P AP QP QP P AP ，即T P AP 是实对称阵，故T P AP 正定.9．设A 为实对称矩阵，则A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵B ，使AB +A B T 正定．证：先证必要性取1-=B A ，因为A 为实对称矩阵，则2E A A E A B AB =+=+-T 1T )(当然A B AB T+是正定矩阵．再证充分性，用反证法．若A 不是可逆阵，则r （A ）<n ，于是存在00,≠=X AX 使00因为A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有0 )()()(0T T 00T 00T T 0=+=+AX B X BX AX X A B AB X这与AB T+AB B A 是正定矩阵矛盾．10．设A 为正定阵，则2*13-++A A A 仍为正定阵.证：因为A 是正定阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值全大于零，易见2*1,,-A A A全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故2*1,,-A A A 全是正定矩阵，2*13-++A A A 为实对称阵. 对∀≠X 0，有T 2*1T 2T *T 1(3)0--++=++>X A A A X X A X X A X X A X即 2*13-++A A A 的正定矩阵.11．设A 正定，B 为半正定，则+A B 正定.证：显然,A B 为实对称阵，故+A B 为实对称阵. 对∀≠X 0，T0>X AX ，T 0≥X BX ，因T ()0+>X A B X ，故+A B 为正定矩阵.12．设n 阶实对称阵,A B 的特征值全大于0，A 的特征向量都是B 的特征向量，则AB 正定.证：设,A B 的特征值分别为,(1,,)i i i n λμ=L . 由题设知0,0,1,,i i i n λμ>>=L .因为A 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵1(,,,,)i n =P P P P L L ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ=P AP L L即 ,i i i i λ=AP P P 为A 的特征向量，1,,i n =L .由已知条件i P 也是B 的特征向量，故1,,,i i ii i n μ==BP P L L因此 ()i i i i i i μλμ==ABP A P P ，这说明i i λμ是AB 的特征值，且0i i λμ>，1,,i n =L .又因为 T 111diag(,,,,),i i n n λμλμλμ-==ABP P P P L L .故 11diag(,,,,)i i n n λμλμλμ=AB P P L L ，显然AB 为实对称阵，因此AB 为正定矩阵. 13．设n n ij a ⨯=)(A 为正定矩阵，n b b b ,,,21Λ为非零实数，记()ij i j n n a b b ⨯=B则方阵B 为正定矩阵．证：方法一因为A 是正定矩阵，故A 为对称矩阵，即ji ij a a =，所以i j ji j i ij b b a b b a =，这说明B 是对称矩阵，显然211112121122121222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B L L M M M L =1111110000n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L MO M M O M MO M L L L 对任给的n 维向量1(,,)T0n x x =≠X L ，因n b b b ,,,21Λ为非零实数，所以),,(11n n x b x b ΛT 0≠，又因为A 是正定矩阵，因此有1111110000T T n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭LL L MO MM O M MO M L LL X BX X X =),,(11n n x b x b Λ1111n n nn a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭LM OM L 11n n b x b x ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭M 0>即B 是正定矩阵．方法二记211112121122121222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B L L MM M L 则因为A 是实对称矩阵，显然B 是实对称矩阵，B 的k 阶顺序主子阵k B 可由A 的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵100n b b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭L MO ML 而得到，即=k B 1111110000k k k kk k a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L MO M M O M MO M L L L计算k B 的行列式，有012>=∏=k k A B ni i b故由正定矩阵的等价命题知结论正确．14．设A 为正定矩阵，B 为实反对称矩阵，则0>+B A .证：因为M 是n 阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对出现；将M 的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于n 阶实矩阵M ，如果对任意非零列向量X ，均有0T >MX X可推出M 的特征值(或者其实部)大于零．由于M 的行列式等于它的特征值之积，故必有0>M ．因为A 是正定矩阵，B 是反对称矩阵，显然对任意的非零向量X ，均有,0)(T >+X B A X而A +B 显然是实矩阵，故0>+B A .15．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n ⨯m 矩阵，则r (B TAB )=r (B )．证：考虑线性方程组T00==BX B ABX 与，显然线性方程组0=BXT 0=B ABX 的解一定是的解．考虑线性方程组T0=B ABX ，若0X 是线性方程组T 0=B ABX 的任一解，因此有0T 0=B ABX ．上式两端左乘有T0XT 00()()0=BX A BX因为A 是正定矩阵，因此必有00=BX ，故线性方程组0=BX 与 T0=B ABX 是同解方程组，所以必有r (B T AB )= r (B ).16．设A 为实对称阵，则存在实数k ，使||0k +>A E . 证：因为A 为实对称阵，则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i i λλλ-=P AP L L .其中i λ为A 的特征值，且为实数，1,,2i =L . 于是11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P L L11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E P P OO1()ni i k λ==+∏取1max{||1}i i nk λ≤≤=+，则1()0nii k λ=+>∏，故 ||0k +>A E .17．设A 为n 阶正定阵，则对任意实数0k >，均有||nk k +>A E .证：因为A 为正定矩阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值0,1,,i i n λ>=L . 则存在正交矩阵P ，使1111,iin n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P AP A P P O O OO于是对任意0k >，有11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E P P OO1()n i i k λ==+∏1ni k =>∏n k =.18．设A 为半正定阵，则对任意实数0k >，均有||0k +>A E . 证：因为A 为半正定矩阵，故A 为实对称矩阵，且A 的特征值0i λ≥，1,,i n =L . 则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i n λλλ-=P AP L L ，11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P L L于是对任意0k >，有11||||diag(,,,,)||i n k k k k λλλ-+=+++A E P PL L 1()ni i k λ==+∏n k ≥0>.19．A 为n 阶实矩阵，λ为正实数，记Tλ=+B E A A ，则B 正定. 证：TTTT()λλ=+=+=B E A A E A A B ，故B 是实对称矩阵. 对∀≠X 0，有(,)0,(,)0>≥X X AX AX ，因此有TTT()λ=+X BX X E A A X T T Tλ=+X X X A AX (,)(,)λ=+X X AX AX 0>故 Tλ=+B E A A 为正定矩阵.20．A 是m ⨯n 实矩阵，若A A T 是正定矩阵的充分必要条件为A 是列满秩矩阵．证：先证必要性方法一设A A T 是正定矩阵，故00∀≠X ，有0)()()(0T 00T T 0>=AX AX X A A X由此00≠AX ，即线性方程组0=AX 仅有零解，所以r (A )=n ，即A 是列满秩矩阵．方法二因为A A T是正定矩阵，故r(A A T)=n ，由于n r r n ≤≤≤)()(T A A A所以r (A )=n ．即A 是列满秩矩阵．再证充分性：因A 是列满秩矩阵，故线性方程组仅有零解，0∀≠X ，X 为实向量，有0≠AX ．因此0),()()()(T T T >==AX AX AX AX X A A X显然A A T 是实对称矩阵，所以A A T是正定矩阵．21．设A 为n 阶实对称阵，且满足2640-+=A A E ，则A 为正定阵.证：设λ为A 的任意特征值，ξ为A 的属于特征值λ的特征向量，故≠ξ0，则22,λλ==A ξξA ξξ由 2640-+=A A E 有 264-+=A ξAξξ02(64)λλ-+=ξ0由 ≠ξ0，故2640λλ-+=.30λ=>. 因为A 为实对称矩阵，故A 为正定阵.22．设三阶实对称阵A 的特征值为1,2,3，其中1,2对应的特征向量分别为T T 12(1,0,0),(0,1,1)==ξξ，求一正交变换=X PY ，将二次型Tf =X AX 化成标准形.解：设T3123(,,)x x x =ξ为A 的属于特征值3的特征向量，由于A 是实对称矩阵，故123,,ξξξ满足正交条件12312310000110x x x x x x ⋅+⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩ 解之可取3(0,1,1)=-ξ，将其单位化有T T T123(1,0,0),,===P P P令123100(,,)0⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪⎪⎝P P P P.则在正交变换=X PY下，将f化成标准形为T T T222123()23f y y y===++X AX Y P AP Y23．设1222424aa-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭A二次型Tf=X AX经正交变换=X PY化成标准形239f y=，求所作的正交变换.解：由f的标准形为239f y=，故A的特征值为1230,9λλλ===.故2122||24(9)24aaλλλλλλ---=--=----E A令0λ=，则12224024aa----=---解之4a=-.由此122244244-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭A对于12λλ==有1221220244000244000---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A可得A的两个正交的特征向量12222,112-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ对于39λ=，可得A 的特征向量为122⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量单位化得1232211112,1,2333122-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P则1232211(,,)2123122-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P P P P 为正交矩阵，正交变换=X PY 为22112123122-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭X Y . 注：因特征向量选择的不同，正交矩阵P 不惟一.24．已知二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =++-++正定，求k .解：二次型的表示矩阵1120101kk k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A由A 正定，应有A 的各阶顺序主子式全大于0. 故 102||0k k A ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即2220(2)0k k k k ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩. 解之 10k -<<.25．试问：三元方程2221231213231233332220x x x x x x x x x x x x +++++---=，在三维空间中代表何种几何曲面.解：记222123121323123333222f x x x x x x x x x x x x =+++++---则 111232233311(,,)131(1,1,1)113x x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+--- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设 311131113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .则2||(2)(5)λλλ-=--E A . 故A 的特征值为1232,5λλλ===.对于122λλ==，求得特征向量为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ.由Schmidt 正交化得1212111,201⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ββ.对于35λ=得特征向量3111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，标准化得123,,0⎛⎛ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P 令123(,,)0⎛ ==⎝P P P P则在正交变换=X PY 下2221233225f y y y =++于是0f =为2221233225(1020y y y ++-= 为椭球面.26．求出二次型222123123123(2)(2)(2)f x x x x x x x x x =-+++-+++-的标准形及相应的可逆线性变换.解：将括号展开，合并同类项有2221231213234442f x x x x x x x x x =++--+2221231213234424x x x x x x x x x +++-+-2221231213234244x x x x x x x x x ++++--222123121323666666x x x x x x x x x =++---2221231213236()x x x x x x x x x =++---2221232323113336[()]22442x x x x x x x =--++-22123231196()()222x x x x x =--+- 令 1123223331122y x x x y x x y x⎧=--⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩即 11223311122011001y x y x y x ⎛⎫--⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭则可逆变换为1122331112011001x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭在此可逆线性变换下f 的标准形为2212962f y y =+. 27．用初等变换和配方法分别将二次型（1）222112412142432442f x x x x x x x x x =--++-+ （2）2122313262f x x x x x x =-+化成标准形和规形，并分别写出所作的合同变换和可逆变换. 解：先用配方法求解（1）2221112142424(44)322f x x x x x x x x x =-+--++2221242424(22)66x x x x x x x =--+++-222124244(22)(3)3x x x x x x =--++--令 11242243344223y x x x y x x y x y x =-+⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即11242243344243x y y y x y y x y x y =++⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩令 1204010300100001⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形22211243f y y y =-+-若再令11223344z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即11223344y z y zy z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 则原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规形2221124f y y y =-+-.（2）先线性变换11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩原二次型化成22212132313232()6622f y y y y y y y y y y =--+++221213232248y y y y y y =--+2221322332()282y y y y y y =--+-222132332()2(2)6y y y y y =---+令113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即113223332y z z y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩. 令1110110001⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P ，2101012001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭P则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P z 化成标准形2222123226f z z z =-+若再令112233w w w ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 即11223322z w z w z w ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩令22⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P Qw 化成规形2222123f w w w =-+.用初等变换法求解（1）设1202230100002102--⎛⎫⎪- ⎪=⎪⎪ ⎪-⎝⎭A41202100023010100()0000001021020001--⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A E M2121221021000010321000000001023020001r r c c +⨯+⨯--⎛⎫⎪- ⎪−−−→⎪⎪⎪--⎝⎭4141(2)(2)10001000010321000000001003062001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫⎪- ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭42423310001000010021000000001000034301r r c c +⨯+⨯-⎛⎫ ⎪⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭331000100001002100000000100001033r c -⎛⎫⎪⎪ ⎪→- ⎝⎭令 T11000210000104301⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，T21000210000100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=P则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211233f y y y =-+-. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规形2221124f z z z =-+-.（2）设011103130⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A3011100()103010130001⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A E M3232(1)(1)010100103010036011r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪−−−−→- ⎪ ⎪--⎝⎭ 313133010100100010006311r r c c +⨯+⨯⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭1212210100100010006311r r c c ++⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭21211()21()2200110111000222006311r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪⎪−−−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭112233,,,10000100001266r c r c r c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ - ⎝⎭令 T111011022311⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭P ，T200⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎝P 则原二次型2f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22221231262f y y y =-+ 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规形2222123f z z z =-+28．用三种不同方法化下列二次型为标准形和规形.（1）2221122332343f x x x x x =+++（2）222221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++--+解：先用配方法求解（1）222112233423()33f x x x x x =+++22212332523()33x x x x =+++ 令 112233323y x y x x y x =⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ 即 112233323x y x y y x y =⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩令 1002013001⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P则二次型1f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形 22211235233f y y y =++ 若再令1122333z z z y ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 即1122335y z y z y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩ 令35⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规形2221123f z z z =++.（2）22222112142342334(22)22f x x x x x x x x x x x x =+-+++-+ 221243233424()222x x x x x x x x x x =+-+-++ 2222124324244()()(2)3x x x x x x x x x =+-+-+--+令 11242243234442y x x x y x x y x x x y x =+-⎧⎪=-⎪⎨=-++⎪⎪=⎩ 即11242243234442x y y y x y y x y y y x y =--⎧⎪=+⎪⎨=++⎪⎪=⎩令 110101020*******--⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型2f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形2222212343f y y y y =-++若再令11223344z y z yz y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即112233443y z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 令1113⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭Q 原二次型2f 经可逆线性变换=x PQz 化成规形222221234f z z z z =-++. 用初等变换法求解（1）设200032023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A3200100()032010023001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A E M32322()32()320010003001052000133r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭112310000010000010155r c r c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪→ ⎪ - ⎝⎭令TT1200100010,0020130⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ - ⎪ ⎝⎭⎝P P 则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211235233f y y y =++. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规形2221123f z z z =++.（2）设1101111001111011-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A 41101100011100100()0111001010110001-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A E M2121(1)(1)10011000001111000111001011110001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭414110001000001111000111001001101001r r c c ++⎛⎫⎪-- ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 323210001000001111000112111001201001r r c c ++⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭343410001000000111000032011101201001r r c c ++⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 3232(2)(2)10001000000111000030211101001001r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭242410001000020101010030211101001001r r c c ++⎛⎫⎪ ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭42421()21()210001000020001010030211111100010222r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭2233441000100001000000100001022r cr cr c⎛⎫⎪→--⎝⎭令T1100001012111111022⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪⎪-⎪⎝⎭PT210000022⎛⎫⎪=-⎝⎭P则原二次型2f可经可逆线性变换1=x P y化成标准形2222212341232f y y y y=++-.2f可经可逆线性变换2=x P z化成规形222221234f z z z z=++-用正交变换法求解（1）1f的矩阵为200032023⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A，由200||032(1)(2)(5)023λλλλλλλ--=--=-----E A，知A的特征值为1,2,5.对11λ=，解123100002200220xxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，取111⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭T，单位化1⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎝P，对22λ=，解123000001200210xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得1231xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取21⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P，对35λ=解123300002200220xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取311⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭T，单位化得322⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭P，令0102222⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭P，则P为正交阵，经正交变换=X PY，原二次型f化为T22212325f y y y==++X AX.（2）2f的矩阵为1101111001111011-⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪⎪-⎝⎭A由11011110||01111011λλλλλ-----=----E A2(1)(3)(1)λλλ=+--知A的特征值为1,3,1,1-.对11λ=-，解12342101012100,0121010120xxxx--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，取11111⎛⎫⎪- ⎪=⎪-⎪⎪⎝⎭T单位化得112121212⎛⎫⎪⎪⎪-⎪= ⎪⎪-⎪⎪⎪⎝⎭P，对23λ=，解12342101012100,0121010120xxxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.取 21111-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T 单位化得 212121212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P . 对341λλ==，解12340101010100,010*******x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得 12123410011001x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭取 341001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T ，再令340202,0202⎛⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭P P 令11022110222110222110222⎛⎫- ⎪ --⎪= ⎪- ⎪ ⎝⎭P ，则P 为正交阵，经正交变换=X PY ，原二次型f 化为T 222212343f y y y y ==-+++X AX .29．判断下列二次型正定，负定还是不定.（1）2221223121326422f x x x x x x x =---++解：二次型1f 的矩阵为211160104-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭AA 的各阶顺序全子式2112120,110,1603801614---<=>-=-<--. 所以二次型1f 是负定二次型.（2）22222123412131424343919242612f x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--解：二次型2f 的矩阵为11211303209613619-⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1110,2013->=>-，1121306029--=>，11211303240209613619---=>---所以二次型2f 是正定二次型.（3）222231234131423147644f x x x x x x x x x x =+++++-解：二次型3f 的矩阵为10320120321402007⎛⎫⎪- ⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1010,1001>=>，103012103214-=>-，1320120330321402007-=-<-. 所以二次型3f 是不定二次型.30．求一可逆线性变换=X CY ，把二次型2221123121325424f x x x x x x x =++--化成规形2221123f y y y =++，同时也把二次型22221231313233322242f x x x x x x x x x =++--- 化成标准形2222112233f k y k y k y =++.解：记T1f =X AX ，其中212150204--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A31213121121220021290115022040121001112010*********r r r r c c c c ++++⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭A E 323229292009002160091101292019001r r c c ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123123343410001000156610363004r r r c c c ⨯⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪−−−→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭取5661036004⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪3 ⎪ ⎪⎝⎭P ，则T =P AP E 记 T2f =X BX，其中3012032122⎛⎫- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭B则T150036601210032061225133006644⎛⎫⎫⎪⎪⎛⎫-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B P BP5066104636113100234⎛⎫⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭314413444142⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪⎭2311113442⎛⎫== ⎪⎭B 其中231132⎛⎫ = ⎪⎭B 显然12,B B 都是实对称矩阵，它们的特征值为14倍的关系，特征向量相同.231||13λλλ---=--EB 30(3)14)1(3)04)4λλλλλ---=----2(4)0λλ=-=则2B 的特征值为230,4λλλ===，故1B 的特征值为0,1,1. 以下求2B 的特征向量.对于10λ=，求得11⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α，单位化后11212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪γ 对于234λλ==，求得2311,001⎛⎫⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα由Schmidt 标准正交化后得23121,20⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭γγ令123112211(,,)220⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪Q γγγ. 则Q 为正交矩阵，且有T T T 10()11⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Q B Q Q P BP Q令511662*********304⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭CPQ 23130⎫⎪⎪=⎪⎪⎭于是 TTT==Q P APQ Q EQ E即 T=C AC ET 011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C BC在可逆线性变换=X CY 下2221123f y y y =++22223f y y =+.（注：经验算本题所得C 是正确的，需要注意的是C 并不惟一）31．求一可逆线性变换=X PY ，将二次型f 化成二次型g .2221231213232938410f x x x x x x x x x =+++--222123121323236448g y y y y y y y y y =++--+解：T f =X AX ，242495253-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ， Tg =Y BY ，222234246--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B将,A B 分别作合同变换如下：21313221323122242200200495011010253011000100121121010010011001001001r r r r r r c c c c c c -++-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E 在可逆线性变换1=X C Z 下22122f z z =+ 其中 1121011001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C 21313221323122220020023401201024602400100111111010010012001001001r r r r r r c c c c c c ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E 在可逆线性变换2=YC Z 下22122g z z =+.其中 2111012001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭C由 12-=Z C Y 得1112-==X C Z C C Y令 1112121111136011012003001001001-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P C C 在可逆线性变换=X PY 下22122f g z z ==+.32．A 是正定矩阵，AB 是实对称矩阵，则AB 是正定矩阵的充分必要条件是B 的特征值全大于零．证：先证必要性．设λ 为B 的任一特征值，对应的特征向量为,,0≠X X 则且有X BX λ=用A X T 左乘上式有AX X X AB X T T )(λ=因为AB ，A 都是正定矩阵，故0,0)(T T >>AX X X AB X于是0>λ，即B 的特征值全大于零．再证充分性．因为A 是正定矩阵，所以A 合同于单位矩阵，故存在可逆矩阵P ，使E AP P =T （1）由AB 是对称矩阵，知P AB P )(T也是实对称矩阵，因此存在正交矩阵Q ，使),,,,diag(])([1T T n i μμμΛΛ==D Q P AB P Q （2）即有),,,,diag()()(1TT n i μμμΛΛ==D PQ B A P Q （3）其中n i μμμ,,,,1ΛΛ是P AB P )(T的特征值．在（1）的两端左乘TQ ，右乘Q 有E PQ A P Q E Q AP P Q ==))(()(T T T T 即这说明)()(TTPQ A P Q 与互逆，也就是说1T T )()(-=PQ A P Q将上式代入（3），说明矩阵B 与对角阵D 相似，故它们的特征值相等；由条件知B 的特征值全大于零，因此对角阵D 的特征值也全大于零．由（2）知AB 与D 合同，因此AB 的特征值全大于零．33．设,A B 为n 阶实正定阵，证明：存在可逆阵P ，使T =P AP E 且T 12diag(,,,)n λλλ=P BP L ，其中120n λλλ≥≥≥>L 为||0λ-=A B 的n 个实根.证：因A 正定，故存在可逆矩阵1P ，使T 11=P AP E因B 正定，故存在可逆矩阵2P ，使T 22=B P P于是T T T T 1112212121()()==P BP P P P P P P P P易见T11P BP 为正定矩阵，不妨设它的特征值为120n λλλ≥≥≥>L .则 TTT11111||||λλ-=-E P BP P AP P BP T11||||||λ=-P A B P 故 T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B 即 120n λλλ≥≥≥>L 为||0λ-=A B 的几个实根.由 T11P BP 为正定阵，知其为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q ，使T T 1112()diag(,,,)n λλλ=Q P BP Q L令 1=P PQ ，则 TT 12,diag(,,,)n λλλ==P AP E P BP L34．设A 为n 阶实正定阵，B 为n 阶实半正定阵，则||||+≥A B A . 证：因为A 是n 阶正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵C ，使得T =C AC E . 因为B 是n 阶半正定阵，则TC BC 仍是实对称半正定阵，故存在正交阵Q ，使得1T T T 1()()diag(,,,,)i n D -===Q C BC Q Q C BC Q L L λλλ其中 0,1,,i i n λ≥=L 为TC BC 的特征值，且有T T ()=Q C AC Q E令=P CQ ，则P 为可逆矩阵，于是T T ,==P AP E P BP DT T T ()+=+=+P A B P P AP P BP E D上式两端取行列式，得T1||||||||(1)1ni i λ=+=+=+≥∏P A B P E D ||||||T =P A P因 T||||0=>P P ，故 ||||+≥A B A .35．设,A B 均为实正定阵，证明：方程||0λ-=A B 的根全大于0.证：由33题知T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B . 其中T11P BP 为正交矩阵，它的特征值0i λ>，1,,i n =L ，故||0λ-=A B 的根全大于0.36．设A 为n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B ，使2B A =．证：因为A 是正定矩阵，所以是实对称矩阵，于是存在正交矩阵P ，使12-1T n λλλ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O P AP P AP D其中n λλλ,,,21Λ为A 的n 个特征值，它们全大于零．令),,,2,1(n i i i Λ==λδ 则21111222222n n n n δλδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭O O O O D而 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭O O A PDP P P 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭O O P P P P 令 B =12Tn δδδ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O P P显然B 为正定矩阵，且2B A =．37．设A 为n 阶可逆实方阵，证明：A 可表示为一个正定阵与一正交阵的乘积．证：因为A 是n 阶可逆实方阵，故TA A 是正定矩阵，所以存在n 阶正定矩阵B ，使T 2=A A B .于是有1T 11T T 11T 21()()()()------===AB AB B A AB B B B E这说明1-AB 是正交阵. 令 1-=ABQ则 =A QB ，其中Q 是正交矩阵，B 是正定矩阵.38．A 、B 为n 阶正定矩阵，则AB 也为n 阶正定矩阵的充分必要条件是： AB =BA ，即A 与B 可交换．证：方法一先证必要性．由于A 、B 、AB 都是正定矩阵，所以知它们都是对称矩阵，因此有AB AB B B A A ===T T T )(,,于是BA A B AB AB ===T T T )(即A 与B 可交换．再证充分性．由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．因为,A B 是正定矩阵，故它们皆为实对称矩阵，且有可逆矩阵P 、Q ，使Q Q B P P A T T ,==于是Q PQ P AB T T =上式左乘Q ，右乘1-Q 得)()()(T T T T T 1PQ PQ PQ QP Q AB Q ==-这说明AB 与对称矩阵)()(TTT PQ PQ 相似；因为P TQ 是可逆矩阵，故矩阵)()(T T T PQ PQ 是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零．综合上述知AB 正定．方法二必要性同方法一，以下证明充分性．由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．由于A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使A=Q TQ于是T T T T 1()λλλ--=-=-E AB E Q QB E Q QBQ QT T 1T T T 1T T T 1T()()()()λλλ---=-=-=-Q E Q Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQT 00λλ-=⇔-=E AB E QBQ这说明AB 与TQBQ 有相同的特征值．因为B 是正定矩阵，易见TQBQ 也是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零．综合上述知AB 正定．39．设A 、B 为实对称矩阵，且A 为正定矩阵，证明：AB 的特征值全是实数．证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=，于是有T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ即T||0||0λλ-=⇔-=E AB E QBQ .因为B 是实对称矩阵，所以TQBQ 也是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，故AB 的特征值也都是实数．40．设A 是正定矩阵，B 是实反对称矩阵，则AB 的特征值的实部为零．证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ因为B 是实反对称矩阵，所以TQBQ 也是实反对称矩阵，因此它的特征值实部为零，故AB 的特征值实部也为零．41．设A 是正定矩阵，B 是半正定的实对称矩阵，则AB 的特征值是非负的实数．证：由于A 是正定的，所以1-A 也是正定的，于是存在可逆矩阵P ，使得P P A T 1=-，因此1T T T 11T T 111T 11T 111T 1()()()()()λλλλλλλλ-------------=-=-=-=-=-=-=-E AB A A B A P P B A P E P BP PA P P E P BP A A E P BP E P BP E P BP即0)(01T 1=-⇔=---BP P E AB E λλ.由于B 是半正定的实对称矩阵，故1T1)(--BPP 是半正定的实对称矩阵，因此0)(1T 1=---BP P E λ的根是非负实数．于是0=-AB E λ的根也是非负实数，即AB的特征值是非负的实数．42．求证实二次型∑∑==++=n r ns sr n xx s r krs x x f 111)(),,(Λ的秩和符号差与k 无关．证：二次型的矩阵为22334(1)2344652(2)3465963(3)(1)2(2)3(3)22k k k nk n k k k nk n k k k nk n nk n nk n nk n n k n +++++⎛⎫ ⎪+++++ ⎪+++++= ⎪⎪ ⎪+++++++⎝⎭L L L M M M M L A。

《线性代数》考点强化班配套讲义第六章二次型

2 2 4
2 0 2 E AT A 0 2 2 ( 2)( 6) 。
2 2 4
故 AT A 的特征值为 1 0, 2 2, 3 6 ．
2 0 2 1 0 1
由 E
AT
A
0
2 2 0 1 1 ，得 AT A 的对应于特征值 1 0 的特征量
2 2 4 0 0 0
则原二次型化为标准形 f 2z12 2z22 ,
1 0 1
【例 4】
已知 A
0
1
1 0
1 a
，二次型
f
(x1 ,
x2 ,
x3 )
xT
AT A x 的秩为 2。
பைடு நூலகம் 0 a 1
（1）求实数 a 的值；
（2）求正交变换 x Qy 将 f 化为标准形，
【分析】第一问利用秩的结论 r AT A r( A) 简化计算，第二问是一个常规的化为标准
0 02
1 1 0 （Ⅱ）这里 A 1 1 0 ，可求出其特征值为 1 2 2, 3 0 .
0 0 2
解 (2E A)x 0 ，得特征向量为：1 1,1, 0T ,2 0, 0,1T ，
解 (0E A)x 0 ，得特征向量为：3 1, 1, 0T
由于1, 2 已经正交，直接将1,2 ,3 单位化，得：
形问题。
【详解】（1）由 f (x1 , x2 , x3 ) xT AT A x 的秩为 2，即 r AT A 2 ，于是 r( A) 2 ，因此
A 的任意 3 阶子式都为 0．故
1 01 10 1 0 1 1 0 1 1 1 a 0， 1 0 a 0 0 1 a
解得 a 1．
2 0 2 （2）当 a 1时， AT A 0 2 2 ，

《工程高等代数》6第六章相似矩阵与二次型习题解答

习题六A 组1．填空题（1）已知向量[]TT(1,2,3),(4,,6),,7t =-=-=a b a b ，则t = ．解72．（2）设04=x ，A 为正交矩阵，则0=Ax ．解 4．（3）设P 为n 阶可逆矩阵，12130000,00n a a a -⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A B =P A P，则B 的特征值为．解 33312,,,na a a ．（4）已知3阶方阵A 的特征值分别为1,1,2-，则矩阵322=-B A A 的特征值是，=B ．解 1,3,0;0--．（5）如果n 阶矩阵A 的元素全为1，那么A 的n 个特征值是．解 ,0,0,,0n ．（6）矩阵022222222--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭的非零特征值是．解 4．（7）设010100001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，1-=B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵, 则200422-=B A ．解 300030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭．（8）设()33ija ⨯=A 是实正交矩阵，且111=a ，T (1,0,0)=b ，则线性方程组Ax =b 的解是．解 T (1,0,0)．（9）二次型22121212(,)24f x x x x x x =+-的矩阵是．解 1222-⎛⎫ ⎪-⎝⎭．（10）二次型222123112213233(,,)2222f x x x x x x x x x x x x =-+-++的秩是．解 2．（11）二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为．解 2．（12）二次型T f =x Ax 是正定的充分必要条件是实对称矩阵A 的特征值都是．解正数． 2．选择题（1）已知[]1,2,,1===a b a b ，则向量a 与b 的夹角为．（A ）0；（B ）4π；（C ）3π；（D ）2π．解（C ）．（2）n 阶方阵A 的两个不同的特征值所对应的特征向量．（A ）线性相关；（B ）线性无关；（C ）正交；（D ）内积为1．解（B ）．（3）设P 为三阶可逆矩阵，123894765⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，123,,λλλ是1-=B P AP 的三个特征值，则123λλλ++的值为．（A ）1；（B ）10；（C ）15；（D ）19．解（C ）．（4）设P 为可逆矩阵，λ=≠Ax x 0，11--=B P A P ，则矩阵B 的特征值和特征向量分别是．（A ）λ和x ；（B ）1λ-和x ；（C ）1λ-和1-P x ；（D ）λ和Px ．解（C ）．（5）设A 是n 阶实对陈矩阵，P 是n 阶可逆矩阵．已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵()T1-P AP属于特征值λ的特征向量是．（A ）1-P α；（B ）TP α；（C ）P α；（D ）()T1-Pα．解（B ）．（6）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则1α，12()+A αα线性无关的充分必要条件是．（A ）01≠λ；（B ）02≠λ；（C ）01=λ；（D ）02=λ．解（B ）．（7）设A ，B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则下列命题正确的是．（A ）λλ-=-E A E B ；（B ）A 与B 有相同的特征值与特征向量；（C ）A 与B 都相似于一个对角矩阵；（D ）对任意常数t ，t -E A 与t -E B 相似．解（D ）．（8）n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角矩阵相似的．（A ）充分必要条件；（B ）充分非必要条件；（C ）必要非充分条件；（D ）既非充分也非必要条件．解（B ）．（9）设矩阵001010100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，已知矩阵A 相似于B ，则(2)R -A E 与()R -A E 之和等于．（A ）2；（B ）3；（C ）4；（D ）5．解（C ）．（10）设1111111111111111⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭A =，400000000000000⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭B =，则A 与B ．（A ）合同且相似；（B ）合同但不相似；（Ｃ）不合同但相似；（Ｄ）不合同且不相似．解（A ）．（11）二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换=x Py 可以化成标准形216f y =，则a 的值是．（A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）无法确定．解（B ）．3．利用Schimidt 正交化方法将下列向量组规范正交化．（1） TTT123(1,2,1),(1,3,1),(4,1,0)=-=-=-a a a ；解先正交化T 11(1,2,1)==-b a ，[][]12T 22111,5(1,1,1),3=-=-b a b a b b b ，[][][][]1323T 33121122,,(2,0,2),,=--=b a b a b a b b b b b b ，再单位化得T T 1212122,1),1,1,1),==-==-b b e e bb T 3330,1)==b e b ．（2）矩阵111011101110-⎛⎫⎪-⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的列向量组．解先正交化，111011⎛⎫⎪ ⎪==⎪- ⎪ ⎪⎝⎭b a ， [][]1222111111103,21012,33111⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a b a b b b ，[][][][]13233312112211111033,,2211123,,31550114--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a b a b a b b b b b b ．再单位化得1212121103,1211⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪====⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭b b e e b b ，3331334-⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪⎪⎝⎭b e b ． 4．设向量T 1(1,1,1)=a ，求非零向量2a ，3a ，使得1a ，2a ，3a 是正交向量组．解根据题意，2a ，3a 应满足方程T10=x a ，即0x y z ++=．解得基础解系为T1(1,1,0)=-ξ和T 2(1,0,1)=-ξ．正交化得到T21(1,1,0),==-a ξ [][]22T 32122,1(1,1,2),2=-=--ξa a ξξa a ． 5．求下列矩阵的特征值和特征向量．（1）1124-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）110430102-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（3）123213336⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．解（1）特征多项式为11(3)(2)24λλλλ--=---，得到特征值为122,3λλ==．对于12λ=，解齐次线性方程组11110220x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系11⎛⎫⎪-⎝⎭，对应的特征向量可取1111,01k k ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭p ．对于23λ=，解齐次线性方程组11210210x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系12-⎛⎫⎪⎝⎭，对应的特征向量可取2221,02k k -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭p ．（2）特征多项式为2110430(2)(1)12λλλλλλ---=--=---A E ，得到特征值为值1231,2λλλ===．对于121λλ==，解齐次线性方程组123210042001010x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系121⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，对应的特征向量可取11112,01k k ⎛⎫⎪=≠ ⎪ ⎪-⎝⎭p ．对于32λ=，解齐次线性方程组123310*********x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，对应的特征向量可取2220001k k ⎛⎫⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭p ．（3）特征多项式为(1)(9)λλλλ-=+-A E ，得到特征值为1230,1,9λλλ==-=．对于10λ=，解齐次线性方程组(0)-=A E x 0，得基础解系1111-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，特征向量为1111,01k k -⎛⎫ ⎪-≠ ⎪ ⎪⎝⎭．对于21λ=-，解齐次线性方程组()+=A E x 0，得基础解系2110-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，特征向量为2211,00k k -⎛⎫ ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭．对于39λ=，解齐次线性方程组(9)-=A E x 0，得基础解系3112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，特征向量为3311,02k k ⎛⎫ ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭．6．设3111-⎛⎫=⎪⎝⎭A ，234()16842ϕ=++++A E A A A A ，求()ϕA 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为231(2)11λλλλ---==--A E ，得到A 的特征值为122λλ==．对于122λλ==，解齐次线性方程组110110x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得特征向量11⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ．因为2是A 的特征值，所以(2)80ϕ=是()ϕA 的特征值，11k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ为()ϕA 的全部特征向量()0k ≠．7．证明（1）若n 阶方阵A 满足2=A A ，则A 的特征值为0或1；（2）若n 阶方阵A 满足k=A E ，则A 的特征值λ满足1kλ=．证明（1）设≠x 0满足λ=Ax x ，λ是A 的特征值，则22λ=A x x ，故22λλ===x Ax A x x ，得(1)λλ-=x 0，因为≠x 0，所以0λ=或1λ=．（2）设≠x 0满足λ=Ax x ，则k k λ===x A x Ex x ．因此(1)kλ-=x 0，而≠x 0，故1k λ=．8．设11111a a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 与000010002⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Λ相似，求a ，b ．解由于A 的特征值与Λ的特征值相同，也是0，1，2，因此()20120,20,b a ab ⎧=--=⨯⨯=⎪⎨-==⎪⎩A A E 得0a b ==．9．设方阵12422421x --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A 与54y ⎛⎫⎪=⎪ ⎪-⎝⎭Λ相似，求,x y ．解由A 与Λ相似可知，A 的特征值为1235,,4y λλλ===-，于是1154,52442429360,425x y x x ++=+-⎧⎪--⎪⎨+=-+-=-=⎪⎪--⎩A E 得4x =，5y =．10．设A 与B 均为n 阶方阵，0≠A ，证明AB 与BA 相似．证明由0≠A 知1-A 存在，于是11()()--==A AB A A A BA BA ，因此AB 与BA 相似．11．若A 与B 相似，C 与D 相似，则分块矩阵⎛⎫ ⎪⎝⎭A 00C 与⎛⎫⎪⎝⎭B00D 相似．证明由条件可知，存在可逆矩阵1P ，2P ，使得111122,--==P AP B P CP D ，于是111111111111222222------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭P 0P 0B 0A 0P AP 0P A 0P 00P 0P 0D 0C 0P CP 0P C 0P 11122-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P0P 0A 00P 0P 0C ，所以⎛⎫ ⎪⎝⎭A 00C 与⎛⎫⎪⎝⎭B 00D 相似．12．已知3阶矩阵A 与三维向量x ，使得向量组x ，Ax ，2A x 线性无关，且满足3232=-A x Ax A x ．（1）记()2,,P =x Ax A x ，求三阶矩阵B ，使1-=A PBP ；（2）计算行列式+A E ．解（1）设123123123a a a b b b c c c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭B =，则由=AP PB 得 ()()123232123123a a a ,,,,b b b c c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Ax A x A x x Ax A x ．上式可写为2111a b c Ax =x +Ax +A x ， 22222a b c A x =x +Ax +A x ， 32333a b c A x =x +Ax +A x ．将3232=-A x Ax A x 代入得2233332a b c -Ax A x =x +Ax +A x ．由于x ，Ax ，2A x 线性无关，故1110,1a c b ===； 2220,1a b c ===； 3330,3,2a b c ===-，从而000103012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭B =．（2）由（1）知A 与B 相似，故+A E 与+B E 相似，从而1001134011+=+==--A E B E ．13．求下列矩阵多项式．（1）设3223-⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，求109()5ϕ=-A A A ；（2）212122221⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求1098()65ϕ=-+A A A A ．解（1）由(1)(5)0λλλ-=--=A E 得特征值为121,5λλ==．对于11λ=，解方程组()-=A E x 0得特征向量111⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ，取111⎛⎫= ⎪⎝⎭p ．对于25λ=，解方程组(5)-=A E x 0得特征向量211-⎛⎫=⎪⎝⎭ξ，取211-⎛⎫= ⎪⎝⎭p ．令1211(,)11-⎛⎫==⎪⎝⎭P p p ，则115-⎛⎫== ⎪⎝⎭P AP Λ，于是9999199911111151511,11511221515--⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A P P Λ 10101010110101515121515-⎛⎫+-== ⎪-+⎝⎭A P P Λ，10911()5211ϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭A A A ．（2）由(1)(5)(1)0λλλλ-=-+--=A E 求得特征值1231,1,5λλλ=-==．对于11λ=-，解方程组()+=A E x 0，得1112⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p ．对于21λ=，解方程组()-=A E x 0，得2110⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于15λ=，解方程组(5)-=A E x 0，得3111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．因此，123111(,,)111201⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭P p p p ，且1115--⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭P AP Λ， 888888188888888111(1)112251515111111330152515632015222151525-⎛⎫⎛⎫--+-+-+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==--=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A P P Λ， 10988888888888888888888()65()(5)2515151123121152515112132315152522022425151522411525152243151525448ϕ=-+=--⎛⎫+-+-+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=-++-+- ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪-+-++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+-+-+-⎛⎫⎪ =-++-+- ⎪ ⎪-+-++--⎝⎝⎭A A A A A A E A E 1122112.224⎪⎪⎪⎭-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭14．求一个正交相似变换矩阵，把下列对称矩阵化为对角矩阵．（1）220212020-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ；（2）222254245-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭A =．解（1）由(1)(4)(2)0λλλλ-=--+=A E ，得到A 的特征值为1232,1,4λλλ=-==，对于12λ=-，解齐次线性方程组(2)+=A E x 0得特征向量1122⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得111232⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于21λ=，解齐次线性方程组()-=A E x 0得特征向量2212⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得221231⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于34λ=，解齐次线性方程组(4)-=A E x 0得特征向量3221⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得121231⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭p ．写出正交矩阵12212123221⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭P ，则1214--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ．（2）由2(1)(10)0λλλ-=--=A E ，得到A 的特征值为12310,1λλλ===．对于110λ=，解齐次线性方程组(10)-=A E x 0得特征向量1122⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得111232⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p ．对于221λλ==时，解齐次线性方程组()-=A E x 0得特征向量23221,221-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ．123,,ξξξ是正交向量组，将23,ξξ单位化得2322111,23321-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．取正交矩阵12212123221-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭P ，则有11011-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ．15．设三阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3，与特征值6对应的特征向量为T 1(1,1,1)=p ，求矩阵A ．解设123,,p p p 分别是对应于特征值6,3,3的特征向量，则23,p p 应与1p 正交，即满足方程1230++=x x x ，解得23111,001--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ，于是123111(,,)110101--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P p p p ，1633-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，因此，1641131413114-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A P P ．16．设A ，B 为同阶方阵，（1）如果A ，B 相似，试证A ，B 的特征多项式相等；（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立；（3）当A ，B 均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立．解（1）若A ，B 相似，则存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ，故()()11111.λλλλλλ------=-=-=-=-=-E B P EP P AP P E A PP E A P P E A P E A（2）令0100⎛⎫⎪⎝⎭A =，0000⎛⎫ ⎪⎝⎭B =，则2λλλ-=-=E A E B ，但A 与B 不相似．否则由1-=P AP B =0得A =0，矛盾．（3）A ，B 均为实对称矩阵时, A ，B 均相似于对角阵. 若A ，B 的特征多项式相等，则特征值相等，记为12,,,n λλλ ，有A 相似于1n λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，B 也相似于1n λλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ ，存在可逆矩阵P ，Q 使得111n λλ--⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P AP =Q BQ ，于是()()111---=PQ A PQ B ，由1-PQ 可逆知A ，B 相似． 17．设三阶实对称矩阵A 的秩为2，126λλ==是A 的二重特征值．若T 1(1,1,0)=α,T 2(2,1,1)=α,T 3(1,2,3)=--α, 都是A 的属于特征值6的特征向量．（1）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵A ．解（１）因为126λλ==是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个．由题设知T 1(1,1,0)=α，T 2(2,1,1)=α为A 的属于特征值6的线性无关特征向量．又A 的秩为2，于是||0=A ，所以A 的另一特征值30λ=．设30λ=所对应的特征向量为T 123(,,)x x x =α，则有T 10=αα，T 20=αα，即121230,20.x x x x x +=⎧⎨++=⎩解得基础解系为T (1,1,1)=-α，故A 的属于特征值30λ=全部特征向量为T (1,1,1)k k =-α，其中k 为任意不为零的常数．(２) 令矩阵12(,,)=P ααα，则1660-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，所以 1011612164221126111624233300110224111333-⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭A P P ．18．用矩阵表示下列二次型．（1）222(,,)2846f x y z x y z xy yz =+--+；（2）22221234123412131424(,,,)532468f x x x x x x x x x x x x x x x x =+-++-++．解（1）120(,,)(,,)223038x f x y z x y z y z -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭．（2）1212343451231304(,,,)20103401x x f x x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 19．用正交变换法将下列二次型化为标准型．（1）22212312313(,,)2628f x x x x x x x x =+++；（2）22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++；（3）2222123412341214(,,,)22f x x x x x x x x x x x x =++++-233422x x x x -+．解（1）二次型的矩阵为204060402⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，由0λ-=A E 求得A 的特征值为1232,6λλλ=-==．对于12λ=-，解(2)+=A E x 0得特征向量1101⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p ．对于236λλ==，解(6)-=A E x 0得特征向量23011,001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．123,,p p p 是正交的，单位化后并写成正交矩阵10100101⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭P ．令=x Py ，这一正交变换把原二次型化为标准形222123266f y y y =-++．（2）二次型的矩阵为200032023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，由(2)(1)(5)0λλλλ-=---=A E 求得A 的特征值为1231,2,5λλλ===．对于11λ=，解方程组()-=A E x 0得特征向量1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得1011⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭p ．对于22λ=，解方程组(2)-=A E x 0得特征向量2100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得2100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于35λ=，解方程组(5)-=A E x 0得特征向量3011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得3011⎛⎫⎪=⎪⎪⎭p ．于是正交矩阵123010(,,)00⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎝P p p p ，在正交变换=x Py 下，22212325f y y y =++．（3）二次型的矩阵为1101111001111011-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A ．由2(1)(1)(3)0λλλλ-=+--=A E 得A 的特征值12341,1,3λλλλ=-===．对于11λ=-，解方程组()+=A E x 0得特征向量11111⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得1111121⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于231λλ==，解方程组()-=A E x 0得A 的特征向量231001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，23,ξξ是正交的，只需单位化得231001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭p p ．对于43λ=，解方程组(3)-=A E x 0得特征向量41111-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得4111121-⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭p ．写出正交矩阵11022110221102211022⎛⎫-⎪ ⎪ --= ⎪- ⎪ ⎪ ⎝P ，在正交变换=x Py 下，222212343f y y y y =-+++． 20．用配方法化下列二次型为标准形，并写出变换矩阵．222123123121323(,,)2224f x x x x x x x x x x x x =+++++．解222222123123233123(,,)()(),f x x x x x x x x x y y y =++++-=+-其中，112322333,,,y x x x y x x y x =++⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 即 11222333,,,x y y x y y x y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 故所用的变换矩阵为110011001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭． 21．判定下列二次型的正定性．（1）2221231231223(,,)56444f x x x x x x x x x x =++--；（2）222123123121323(,,)10282428f x x x x x x x x x x x x =++++-．解（1）二次型的矩阵为520262024-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，因为 525250,260,26284026024-->=>--=>--，所以f 正定．（2）二次型的矩阵为10412421412141⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，因为 10412104100,0,421404212141>>-<-，所以f 非正定，也非负定．22．确定t 的取值范围，使得下列的二次型为正定．（1）222123123121323(,,)5422f x x x x x tx x x x x x x =+++--；（2）222123123121323(,,)5224f x x x tx x x tx x x x x x =++--+．解（1）二次型的矩阵为52121111t -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ．要使f 正定，就要求A 的顺序主子式都大于零，即 50>，521021=>，5212112011t t--=->--，得2t >．即当2t >时，f 是正定的．（2）二次型的矩阵为112125t t t--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ．要使f 正定，就要求A 的顺序主子式都大于零，即 0t >，(1)01t tt t t -=->-，21125510125t t tt t ---=-+->-，t <<t <<时，f 是正定的． 23．设A 是可逆实矩阵，证明T A A 是正定矩阵.证明由T T T ()=A A A A 知，T A A 是对称矩阵．对任意的≠x 0，有≠Ax 0，所以()()()2TT T 0==>x A A x Ax Ax Ax ，从而T A A 是正定矩阵．24．设A 是三阶实对称矩阵，已知A 的秩()2R =A ，且满足条件22+A A =0, （1）求A 的全部特征值；（2）当k 为何值时，矩阵k A+E 为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵．解（1）设λ为A 的一个特征值，对应的特征向量为α，则()λ=≠A 0ααα，22λ=A αα，于是()()2222λλ+=+AA αα．由条件22+A A =0得()22λλ+=0α．又≠0α，所以220λλ+=，即2λ=-或0λ=．因为实对称矩阵A 必可对角化，又()2R =A ，所以A 与对角矩阵220-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似．因此，矩阵A 的全部特征值为1232,0.λλλ==-=（2）矩阵k A+E 仍为实对称矩阵，由（1）知k A +E 的全部特征值为2,2,.k k k -+-+于是，当2k >时，k A+E 的全部特征值大于零，从而矩阵k A+E 为正定矩阵．B 组1．已知向量T (1,,1)k =a 是矩阵211121112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k 的值．解设1-A 的特征向量T (1,,1)k =a 对应的特征值为λ，则有1λ-=A a a ，λ=a Aa ，即1211112111121k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2k =-或1．2．若矩阵22082006a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使1.-=P AP Λ解矩阵A 的特征多项式为2222082(6)(2)16(6)(2)06a λλλλλλλλ--⎡⎤-=---=---=-+⎣⎦-E A ，故A 的特征值为.2,6321-===λλλ由于A 相似于对角矩阵Λ，故621==λλ应有两个线性无关的特征向量，即3(6)2R --=E A ，于是有(6)1R -=E A ．由42021068400000000a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E A知0a =．因此，对应于621==λλ的两个线性无关的特征向量可取为1001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ， 2120⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ．当23-=λ时，4202102840001008000--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A ，解方程组12320,0,x x x +=⎧⎨=⎩得对应于23-=λ的特征向量3120⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ．令011022100⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P ，则P 可逆，并有1-=P AP Λ．3．设矩阵1322010232,101,223001-*⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A PB P A P ，求2+B E 的特征值和特征向量．解计算出1011100001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ， 522252225*--⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A1700254223-*⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪--⎝⎭B P A P ， 9002274225⎛⎫ ⎪+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭B E ．由22(3)(9)0λλλ+-=--=B E E 得2+B E 的特征值为1239,3λλλ===．对于129λλ==，由()λ-=A E x 0求得对应的线性无关特征向量为12121,001--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．因此，对应于129λλ==的全部特征向量为1122k k +p p ，12,k k 不同时为零．对于33λ=，由()λ-=A E x 0求得特征向量为3011⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．因此，对应于33λ=的全部特征向量为33k p ，3k 不为零．4．设,A B 相似，且111200242,0203300a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ，（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1-=P AP B ．解（1）由于,A B 相似，所以,A B 有相同的特征值，即1232,b λλλ===．由于2是A 的二重特征值，所以2是2(2)(3)3(1)0a a λλλλ⎡⎤-=--++-=⎣⎦A E 的二重根，解得5a =．由22(2)(812)(2)(6)λλλλλλ-=--+=--A E 得到36b λ==．（2）对于122λλ==，解方程组(2)-=A E x 0得基础解系12111,001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．对于36λ=，解方程组(6)-=A E x 0得基础解系3123⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭p ．令123111(,,)102013⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭P p p p ，有1-=P AP B ．5．已知111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p 是矩阵2125312a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量，（1）求,a b 的值和特征向量p 对应的特征值；（2）问A 是否可对角化？说明理由．解（1）由2121()531121a bλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=-= ⎪⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭A E p 0得2120,530,120.a b λλλ---=⎧⎪+--=⎨⎪-+++=⎩解得3,0,1a b λ=-==-．（2）因为212533102-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，所以3(1)λλ-=-+A E ，1λ=-是三重根．但()2R +=A E ，从而1λ=-对应的线性无关的特征向量只有一个，故A 不能对角化．6．设矩阵21112111a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 可逆，向量11b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵．试求a ,b 和λ的值．解矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α，由于矩阵A 可逆，故*A 可逆.于是0≠λ，0≠A ，且*λ=A αα．两边同时左乘矩阵A ，得*λ=AA A αα，λ=AA αα，即211111211111b b a λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ．由此，得方程组3,22,1.b b b a b λλλ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪++=⎪⎩AA A 由第一、二个方程解得1=b ，或2-=b ．由第一、三个方程解得2a =．由于 21112132411a a==-=A ，故特征向量α所对应的特征值433b bλ==++A ．所以，当1=b 时1=λ；当2-=b 时4λ=．7．设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化．解 A 的特征多项式为21232(2)01431431515110(2)143(2)(8183).15a a a a λλλλλλλλλλλλλλ------=-=--------=--=--++---E A当2=λ是特征方程的二重根时，则有,03181622=++-a 解得2a =-．当2a =-时，A 的特征值为2,2,6, 矩阵2-E A 123123123-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩为1，故2=λ对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化．若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18316a +=，解得23a =-．当32-=a 时，A 的特征值为2,4,4，矩阵32341032113⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭E A =的秩为2，故4=λ对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A 不可相似对角化．8．设n 阶矩阵111b b b b b b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭A ，（1）求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P , 使得1-P AP 为对角矩阵．解（1）① 当0≠b 时，[][]111||1(1)(1)1n b b b b n b b b b λλλλλλ--------==-------- E A ．得A 的特征值为11(1)n b λ=+-，21n b λλ===- ．对于11(1)n b λ=+-，1(1)(1)11(1)1(1)1(1)11(1)11111111111111111111111100000000n bb b n b n b b n b b n b n n n n n n n λ------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭-----⎛⎫⎛ ⎪ -------- ⎪ ⎪ →→ ⎪ -------- ⎪ ⎪⎝⎭⎝E A 11111001000101.00001100000000n n n n n ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可解得T1(1,1,1,,1)= ξ，所以A 的属于1λ的全部特征向量为T1(1,1,1,,1)k k = ξ，其中k 为任意不为零的常数．对于21b λ=-，有2111000000b b b b b b b b b λ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A ．可解得T 2(1,1,0,,0)=- ξ，T 3(1,0,1,,0)=- ξ，，T (1,0,0,,1)n =- ξ．故A 的属于2λ的全部特征向量为2233n n k k k +++ ξξξ，其中n k k k ,,,32 是不全为零的常数．②当0=b 时，100010||(1)001n λλλλλ---==-- E A ．因此特征值为11n λλ=== ，任意非零列向量均为特征向量．（2）①当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n = P ξξξ，则11(1)11n b b b -+-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭P AP ． ②当0=b 时，=A E ，对任意可逆矩阵P , 均有1-=P AP E ．9．设A 为三阶矩阵，123,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足1123=++A αααα，2232=+A ααα，32323=+A ααα．（1）求矩阵B , 使得()()123123,,,,=A B αααααα；（2）求矩阵A 的特征值；（3）求可逆矩阵P , 使得1-P AP 为对角矩阵．解（1）由123123100(,,)(,,)122113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A αααααα可知，100122113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ．（2）因为123,,ααα是线性无关的三维列向量，可知矩阵()123,,=C ααα可逆，所以1-=C AC B ，即矩阵A 与B 相似，由此可得矩阵A 与B 有相同的特征值．由2100122(1)(4)0113λλλλλλ--=---=--=---E B ，得矩阵B 的特征值，也即矩阵A 的特征值1231,4λλλ===．（3）对应于121==λλ，解齐次线性方程组()-E B x =0，得基础解系T 1(1,1,0)=-ξ，T 2(2,0,1)=-ξ．对应于43=λ，解齐次线性方程组()4-E B x =0，得基础解系()T30,1,1=ξ．令矩阵()123120,,101011--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Q ξξξ，则 1100010004-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q BQ ．因 ()()1111----==Q BQ Q C ACQ CQ A CQ ，记矩阵()()123121323120,,101,2,011--⎛⎫⎪===-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭P CQ ααααααααα，P 即为所求的可逆矩阵．10．设实对称矩阵111111aa a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵，并计算-A E ．解由2(1)(2)0a a λλλ-=----+=A E ，得到A 的特征值1231,2a a λλλ==+=-．对于121a λλ==+，由()λ-=A E x 0，求得两个线性无关的特征向量12111,001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．对于32a λ=-，由()λ-=A E x 0，求得对应的特征向量3111-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．令123111(,,)101011-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P p p p ，则1112a a a -+⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ．并且，1112(3)a a ----=-=-=-=-A E P P PP P E P E ΛΛΛ．11．设11111,1112a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A β，线性方程组=Ax β有解但不惟一，（1）求a 的值；（2）求正交矩阵Q ，使得T Q AQ 是对角矩阵．解（1）因为线性方程组=Ax β有解但不惟一，所以21111(1)(2)011aa a a a ==--+=A ．当1a =时，()()R R ≠A A β，方程组无解．当2a =-时，()()R R =A A β，方程组有解但不惟一．因此，2a =-．（2）可计算出112121211-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，于是由(3)(3)0λλλλ-=-+=A E ，得到13λ=，23λ=-，30λ=．由()λ-=A E x 0求得对应的特征向量分别为1231110,2,1111⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭p p p ．单位化后（已是正交的）得到正交矩阵0⎛ =⎝Q ．于是，T330⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ ． 12．已知二次型222123232332(0)f x x x ax x a =+++>可以通过正交变换化成标准形22212325f y y y =++，求参数a 及所用的正交变换．解二次型的矩阵为2000303a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ．由题意知A 的特征值为1231,2,5λλλ===．将11λ=代入22(2)(69)0a λλλλ-=--+-=A E ，0a >，得2a =．于是200032023⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ．对于11λ=，解方程组()-=A E x 0得特征向量1011⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得1011⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭p ．对于22λ=，解方程组(2)-=A E x 0得特征向量2100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，取2100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于35λ=，解方程组(5)-=A E x 0得特征向量3011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得3011⎛⎫⎪=⎪⎪⎭p ．故所用的正交变换矩阵为01000⎛⎫⎪ ⎪ =⎝P ． 13．判断二次型12111n n i i i i i f x x x-+===+∑∑是否正定．解二次型的矩阵为110000211102210100021000102110001221000012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ．计算得到A 的任意k 阶顺序主子式1(1)02kk k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭A ，因此，二次型是正定的． 14．设二次型22212313222(0)f ax x x bx x b =+-+>，其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12-．（1）求,a b 的值；（2）利用正交变换把二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．解（1）二次型对应的矩阵为002002a b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ．设A 的特征值为123,,λλλ，则 123221a λλλ++=+-=，21230020421202a ba b b λλλ==--=--．解得1,2a b ==．（2）由102020202⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，得2(2)(3)λλλ-=--+A E ，于是A 的特征值为1232,3λλλ===-．对于122λλ==，由(2)-=A E x 0，求得两个线性无关的特征向量12200,110⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．对于33λ=-，由(3)+=A E x 0，求得特征向量3102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p ．由于123,,p p p 已是正交，单位化后得到正交矩阵0100⎫⎪⎪=⎪ ⎪Q ．于是有T223⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭Q AQ ．在正交变换=x Qy 下，有 222123223f y y y =+-． 15．证明二次型T f =x Ax 在1=x 时的最大（小）值为矩阵A 的最大（小）特征值．证明设存在正交变换=x Py ，将T f =x Ax 化为标准形2221122n n f y y y λλλ=+++ ．不妨设1λ是A 的特征值中的最大值，则2222221122112()n n n f y y y y y y λλλλ=+++≤+++ ．由于正交变换不改变向量的长度，而1=x ，所以1=y ，故22222211221121()n n n f y y y y y y λλλλλ=+++≤+++= ．并且，f 可以达到上限1λ，只要取121,0n y y y ==== 即可．故二次型T f =x Ax 在1=x 时的最大值为矩阵A 的最大特征值．最小值的情形同理可证．16．设U 为可逆矩阵，T=A U U ，证明Tf =x Ax 是正定二次型．证明设≠x 0，由U 为可逆矩阵知≠Ux 0，于是2T T T T ()0f ====>x Ax x U Ux Ux Ux Ux，故Tf =x Ax 是正定二次型．17．设对称矩阵A 为正定矩阵，证明存在可逆矩阵U ，使得T=A U U ．证明若A 为正定阵，则存在正交矩阵P ，使得121n λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ P AP Λ，其中，每个0i λ>．而T⎫⎪ ⎪⎪=⎪⎪⎝QQ Λ， 1T T T ()()-===A P P PQQ P PQ PQ Λ．令()T=U PQ ，则T =A U U ．而,P Q 均可逆，所以U 可逆．18．设,A B 都是n 阶正定矩阵，证明+A B 也是n 阶正定矩阵．证明由于T T ,==A A B B ，所以T T T ()+=+=+A B A B A B ，即+A B 是对称矩阵．又,A B 都是n 阶正定矩阵，即对任意的非零向量x ，有T T 0,0>>x Ax x Bx ，因此T T T ()0+=+>x A B x x Ax x Bx ，故+A B 是n 阶正定矩阵．19．设12,p p 分别是矩阵A 的属于特征值12,λλ的特征向量，且12λλ≠，试证12+p p 不可能是A 的特征向量．证明由条件有111222,λλ==Ap p Ap p ．设12+p p 是A 的某个特征值0λ的特征向量，则12012()()λ+=+A p p p p ．另一方面，12121122()λλ+=+=+A p p Ap Ap p p ．因此，101202()()λλλλ-+-=p p 0．由于12,p p 线性无关，故102λλλ==，矛盾．故12+p p 不可能是A 的特征向量．20．已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2．（1）求a 的值；（2）求正交变换=x Qy ，把),,(321x x x f 化成标准形；（3）求方程123(,,)0f x x x =的解. 解（1）二次型对应矩阵为110110002a a a a -+⎛⎫ ⎪=+- ⎪ ⎪⎝⎭A ．由二次型的秩为2知，1101100002a a a a-+=+-=A ，得0a =．（2）这里110110002⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，可求出其特征值为0,2321===λλλ．由(2)-=E A x 0，求得特征向量12101,001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα．由(0)-=E A x 0，求得特征向量3110⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α．由于12,αα已经正交，直接将12,αα，3α单位化，得1231011,0,1010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪===-⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭ηηη．令()123,,=Q ηηη，即为所求的正交变换矩阵．由=x Qy ，可化原二次型为标准形2212312(,,)22f x x x y y =+．（3）由),,(321x x x f ==+222122y y 0，得1230,0,y y y k ===（k 为任意常数）．从而所求解为 ()12330,,00c k c k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x Qy ηηηη，其中c 为任意常数．21．设A 是n 阶实对称矩阵，且2=A A ，证明存在正交矩阵P 使得1r-⎛⎫=⎪⎝⎭E P AP 0．证明根据定理，对于n 阶实对称矩阵，存在正交矩阵1P 使得12111n λλλ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，其中12,,,n λλλ 是A 的n 个特征值．由于2=A A ，故A 的特征值满足2λλ=，即0,1λ=．设()R r =A ，则12,,,n λλλ 这n 个数中有r 个1，n r -个0．调整12,,,n λλλ 的顺序使得前r 个数为1，后n r -个为0，相应地调整1P 的列，得到P ，P 仍为正交矩阵，且1r-⎛⎫= ⎪⎝⎭E P AP 0． 22．设A 是n 阶实对称矩阵，且2=A E ，证明存在正交矩阵P 使得1rn r --⎛⎫= ⎪-⎝⎭E P AP E ．证明根据定理，对于n 阶实对称矩阵，存在正交矩阵1P 使得12111n λλλ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，其中12,,,n λλλ 是A 的n 个特征值．由于2=A E ，故A 的特征值满足21λ=，即1,1λ=-．设()R r =A ，则12,,,n λλλ 这n 个数中有r 个1，n r -个1-．调整12,,,n λλλ 的顺序使得前r 个数为1，后n r -个为1-，相应地，调整1P 的列得到P ，P 仍为正交矩阵，且1rn r --⎛⎫= ⎪-⎝⎭E P AP E ． 23．设A 是一个n 阶实对称矩阵，若对于任一n 维列向量都有T 0=x Ax ，则=A 0．证明设T f =x Ax ，取T(0,,0,1,0,,0)i = x （i x 的第i 个坐标为1，其余都是0），则有 T 0i i ii f a ===x Ax ， 1,2,,i n = ．再取(,)T (0,,0,1,0,,0,1,0,,0)i j = x （(,)i j x 的第,i j 个坐标为1，其余都是0，i j ≠），则有 (,)T (,)0()2i j i j ii jj ij f a a a ===++x Ax ，所以0ij a =．综合可得=A 0．24．设T ⎛⎫= ⎪⎝⎭AC D C B 为正定矩阵，其中A ,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵．（1）计算T P DP ，其中1m n -⎛⎫-= ⎪⎝⎭E A C P O E ；（2）利用（1）的结果判断矩阵T 1--B C A C 是否为正定矩阵，并证明你的结论．解（1）由T 1m T n -⎛⎫= ⎪-⎝⎭E O P C A E ，有 1T1T T 1m m T n n ---⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭E O A C A O E A C P DP =C A E C B O B C A C O E ．（2）矩阵T 1--B C A C 是正定矩阵．由（1）的结果可知，矩阵D 合同于矩阵T 1-⎛⎫ ⎪-⎝⎭A O M =OBC A C ．由D 为正定矩阵可知，矩阵M 为正定矩阵．因矩阵M 为对称矩阵，故T 1--B C A C 为对称矩阵．对T (0,0,,0)= x 及任意的T 12(,,,)n y y y =≠ y 0，有()T TT T 1T 1,()0--⎛⎫⎛⎫=-> ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭A 0x x y y B C A C y 0B C A C y ，故T 1--B C A C 为正定矩阵．。

线性代数第六章习题册答案

第六章二次型1. 用矩阵记号表示下列二次型：(1);4427),,(222yz xz xy z y x z y x f ----+=(2)22312121321542),,(x x x x x x x x x f -++=； (3)),,,(4321x x x x f .46242423241312124232221x x x x x x x x x x x x x x -+-+-+++=解：(1)()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=z y x z yxz y x f 722211211),,( (2) ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321321321002052/222/21),,(x x x x x x x x x f(3) ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=4321432143211001231223111211),,,(x x x x x x x x x x x x f 2. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：),,(321x x x f 322322214332x x x x x +++=.解：0)5)(1)(2(32023002=---=---=-λλλλλλλE A 得11=λ，22=λ，53=λ当11=λ时，特征向量为T）（11-01=ξ 当22=λ时，特征向量为T ）（0012=ξ 当53=λ时，特征向量为T）（1103=ξ取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2102121021-010P ，则利用正交变换Py x =，二次型可化为标准型 23222152y y y f ++= 3. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：23322231212132128244),,(x x x x x x x x x x x x f -+-+-=. 解：0)7()2(2-4242-22212=+--=-----=-λλλλλλE A 得=1λ22=λ，73-=λ当=1λ22=λ，时，特征向量为T ）（1021=ξ，T ）（012-2=ξ，通过施密特正交化得到T ）（10251e 1=，Te ）（452-5312= 当73-=λ时，特征向量为T）（11-213-=ξ，单位化得T ）（22131e 3--= 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32534513253503153252P ，则利用正交变换Py x =，二次型可化为标准型 232221722y y y f -+= 4. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：),,,(4321x x x x f 43324121242322212222x x x x x x x x x x x x +--++++=．解：0)3)(1()1(11011110011110112=-+-=--------=-λλλλλλλλE A得121==λλ，13-=λ，34=λ当121==λλ时，特征向量为T ）（01011=ξ，T）（10102=ξ 当13-=λ时，特征向量为T ）（11113--=ξ 当34=λ时，特征向量为T ）（11114--=ξ 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=21211021210121211021211P ，则利用正交变换Py x =，二次型可化为标准型 24232221y 3+-+=y y y f5. 二次型)0(a 2332),,(32232221321>+++=a x x x x x x x x f 通过正交变换可化为标准形23222132152),,(y y y y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换矩阵. 解：二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3030002a a A特征值为11=λ，22=λ，53=λ，得10=A ，故10)9(22=-=a A ，又0>a ，得2=a . 当11=λ时，特征向量为T）（11-01=ξ 当22=λ时，特征向量为T ）（0012=ξ 当53=λ时，特征向量为T）（1103=ξ取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2102121021-010P ，用正交变换Py x =，二次型标准型为 23222152y y y f ++=6. 用配方法化),,(321x x x f 32312321222x x x x x x +++=为规范形，写出所用变换的矩阵．解：),,(321x x x f 2322223132312321))222x x x x x x x x x x x ++-+=+++=（（由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+33222131y x x y x y x x 得⎪⎩⎪⎨⎧+-==-+=323223211y y x y x y y y x ，取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110010111C ，C 可逆，由变换Cy x =得二次型的规范型为),,(321x x x f 232221y y y +-=7. 判别下列二次型的正定性：(1)),,(321x x x f 312123222122462x x x x x x x ++---=；(2)424131212423222162421993x x x x x x x x x x x x f -++-+++=4312x x -.解：（1）负定（2）正定8. 二次型323121242322214321222)(),,,(x x x x x x x x x x t x x x x f -+++++=，t 取何值时是正定二次型？解：二次型矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1000011011011t t t ，二次型正定即要求所有顺序主子式 0)2()1(100011011011,0)2()1(111111,0111,0222>-+=-->-+=-->-=>=t t tt t t t tt t t t t t t 可得2t >时此二次型正定.9. 已知A 为n 阶方阵，E A -是正定矩阵，证明A 为正定矩阵.证明：因为E A -是正定矩阵，所以()E A E A E A T T-=-=-，所以 A A T=，即A 为对称矩阵.设λ为A 的任意一个特征值，则1-λ是E A -的一个特征值，因为E A -为正定矩阵，所以01>-λ，从而0>λ，因此A 为正定矩阵.10. 设C 为可逆矩阵，A C C T=，证明x x A T=f 为正定二次型．.证明：)()(TCx Cx Cx C x f TTT===x x A令y x =C ，因为C 可逆，对任意0≠x ，有0≠y ，从而0)()(>==y y Cx Cx f TT，为正定二次型。

线性代数第六章二次型试题及答案

第六章二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii iij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。

规范二次型形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。

线性代数第六章二次型试题及答案

相似的矩阵一定有相等的特征值，但是特征值相等的矩阵不一定等价。
特征值相同的实对称矩阵A和B一定相似，因为实对称矩阵都能相似对角化，特征值相同的实对称矩阵相似于同一个对角阵，根据相似的传递性，A和B一定相似。
特征值相同的普通矩阵A和B可能相似，也可能不相似。若A和B都能相似对角化，一定相似。若一个能对角化，一个不能对角化，一定不相似。若都不能对角化，可能相似，也可能相似。例题：已知矩阵A和B，判断能否相似，
Abj=0, j=1,2,…,s b1,b2,…,bs均为Ax=0的解(r(A)+r(B)≤n) 若bj≠0且A为n阶方阵时，bj为对应特征值λj=0的特征向量 A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。
AB=CA(b1, b2,…, br)=(C1, C2,…, Cr)
Abj=Cj,j=1,2,…,r bj为Ax=Cj的解. C1, C2,…, Cr可由A的列向量组α1, α2,…, αs线性表示.
因为（2，1，2）T是A的特征向量，所以，
，
二、化二次型为标准型
1.用配方法将下列二次型化为标准形，并判断正、负惯性指数的个数，然后写出其规范形。
（1）Leabharlann 解：先集中含有x1的项，凑成一个完全平方，再集中含有x2的项，凑成完全平方
=
设，，标准型：，正惯性指数：，负惯性指数：规范性：
(2) f(x1,x2,x3)= x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3. 解：f(x1,x2,x3)= （x12+2x1x2-2x1x3）+2x22+2x2x3= 设，，标准型：正惯性指数：，负惯性指数：，规范性： (3) f(x1,x2,x3)= -2x1x2+2x1x3+2x2x3. 解：像这种不含平方项的二次型，应先做线性变换：，，，设：，标准型：，规范性： 2.设二次型f(x1,x2,x3)=X TAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3,(b>0)，其中A的特征值之和为1, 特征值之积为-12.(1) 求a,b.(2) 用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准型。解：二次型的矩阵：，因为，（2）

居于马线性代数第六章答案

第六章二次型将以下1-3题的二次型表示成矩阵形式。

1.22(,)467f x y x xy y =-- 解：()2243(,)46737x f x y x xy y xy y ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2.222(,,)346f x y z x xy y yz z =+--+解：()222320(,,)346213031x f x y z x xy y yz z xyz y z ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+--+=-- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭3.22212341341214232434(,,,)242264f x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++--+解：()12123412343412012013(,,,)01121322x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭4.设n 元二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵为n 阶三对角对称矩阵1111111111A -⎛⎫⎪-- ⎪⎪=- ⎪- ⎪⎪-⎝⎭，试写出二次型（二次齐次多项式）的表示式。

解：22221211222311(,,,)222n n n n n f x x x x x x x x x x x x x --=-+-++-+。

12(,,,)T n f x x x x Ax =对一切12(,,,)T n x x x x =恒有12(,,,)0n f x x x =，证明A 为n阶零矩阵。

证明：取(0,,1,,0)T i x =(其中第i 个分量为1，其余分量全为零)，那么有11()0,1,2,,nnTi i i ij i j ii i j f x x Ax a x x a i n =======∑∑。

再取(0,,1,,1,,0)T ij x =(其中第i 和第j 个分量为1，其余分量全为零)，那么有()20,,1,2,,T ij ij ij ij f x x Ax a i j n ====。

考研高数之线性代数自我检测试题(附详细答案解析)第六章二次型

f x1 , x 2 , x 3 a x1 x 2 x3 4 x1 x 2 4 x1 x 3 4 x 2 x3
可用正交变换化为 6 y1 ，求 a ，并且作实现此转化的正交变换
2

2
2
2

a 2 2 6 0 0 【解】 A 2 a 2 ， B 0 0 0 ， A 与 B 相似 2 2 a 0 0 0
n
从而 A E 的特征值全都大于 1，所以 A E
( 1) 1
i i 1
1 0 1 2 11.设 A 0 2 0 ， B A kE 1 0 1
（1）求作对角矩阵 D ，使得 B ~ D （2） k 满足什么条件时 B 正定？
4
1 0 令P 0 0
0 1
0 0 1 0 2 1 0 2
0 1 0 1 0 1 T T ，则 P BP P BP ( AP) AP = 0 2 1 0 2
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 9
2 2 2 f x1 , x 2 , x3 0 即 2 y2 2 y3 0 ，所以 y2 y3 0 ，即
2
1 2 x 1 1 x2 x 2 3 0
1 6 1 6 2 6
1 1 3 y1 2 1 1 y2 = 3 2 1 y3 0 3
矩阵 A 的特征值为 6,0,0 且 3a 6 ，所以 a 2
1 2 0 时，由 ( A) X 0 得 1 (1,1,0)T ， 2 (1,1,2)T

线性代数第六章二次型试题及答案-二次型f

第六章二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。

规二次型形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …12 …n 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。

线性代数二次型习题及答案

第六章二次型1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T1111=B C A C ，因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T2222=B C A C .令 12⎛⎫=⎪⎝⎭C C C ，则C 可逆，于是有 TT 1111111T2222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B C A C C AC B C A C C A C 1T 2⎛⎫= ⎪⎝⎭A C C A 即 12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同.2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称证：由A 对称，故T=A A .因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T=B C AC ，于是T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B即B 为对称矩阵.3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵.证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使E AM M =T记T1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使T 11diag(,,)n D μμ==Q B QT 11,,.n μμ=B M BM 其中为的特征值令P=MQ ，则有D BP PE AP P ==T T ,,A B 同时合同对角阵.4．设二次型2111()mi in n i f ax a x ==++∑，令()ij m n a ⨯=A ，则二次型f 的秩等于()r A .证：方法一将二次型f 写成如下形式：2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑设A i = 1(,,,,)i ij in a a a ),,1(m i =则 1111111jn i ij in i m mj mj m a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A于是 1T T T TT 11(,,,,)mi m i i i i m =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A A A A A A A A A故 2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑=1211[(,,)]i m j n ij i in a x x x a a =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑=11111[(,,)(,,)]i m j n ij i ij in j i in n a x x x x a a a a x a x =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑=1T11(,,)()mj n i i j i n x x x x x x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A=X T(A TA )X因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵．显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ．方法二设11,1,,i i in n y a x a x i n =++=. 记T 1(,,)m y y =Y ，于是=Y AX ，其中T 1(,,)n x x =X ，则222T T T 11()m i m i f y y y ===++==∑Y Y X A A X .因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵．显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ． 5．设A 为实对称可逆阵，Tf x x =A 为实二次型，则A 为正交阵⇔可用正交变换将f 化成规范形.证：⇒设i λ是A 的任意的特征值，因为A 是实对称可逆矩阵，所以i λ是实数，且0,1,,i i n λ≠=.因为A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵P ，在正交变换=X PY 下，f 化为标准形，即T T T T T1()diag(,,,,)i n f λλλ====X AX Y P AP Y Y DY Y Y22211i i n n y y y λλλ=++++ （*）因为A 是正交矩阵，显然T1diag(,,,,)i n λλλ==D P AP 也是正交矩阵，由D 为对角实矩阵，故21i λ=即知i λ只能是1+或1-，这表明（*）恰为规范形.⇐因为A 为实对称可逆矩阵，故二次型f 的秩为n . 设在正交变换=X QY 下二次型f 化成规范形，于是T T()f ==X AX Y Q AQ Y 222211r r n y y y y +=++---T =Y DY其中r 为f 的正惯性指数，diag(1,,1,1,,1)=--D .显然D 是正交矩阵，由T =D Q AQ ，故T=A QDQ ，且有T T ==A A AA E ，故A是正交矩阵.6．设A 为实对称阵，||0<A ，则存在非零列向量ξ，使T0<ξAξ. 证：方法一因为A 为实对称阵，所以可逆矩阵P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ==P AP D其中(1,,)i i n λ=是A 的特征值，由||0<A ，故至少存在一个特征值k λ，使0k λ<，取010⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξP ，则有T T0(0,,1,,0)10⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ξAξP AP 1(0,,1,0,0)kn λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭010⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0k λ=< 方法二（反证法）若∀≠X 0，都有T0≥X AX ，由A 为实对称阵，则A 为半正定矩阵，故||0≥A 与||0<A 矛盾.7．设n 元实二次型AX X T =f ，证明f 在条件122221=+++n x x x 下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．解：设f n 是λλλ,,,21 的特征值，则存在正交变换=X PY ，使2222211T T T )(n n y y y f λλλ+++=== Y AP P Y AX X设k λ是n λλλ,,,21 中最大者，当122221T =+++=n x x x X X 时，有122221T T T T =+++===n y y y Y Y PY P Y X X因此k n k n n y y y y y y f λλλλλ≤+++≤+++=)( 222212222211这说明在22221n x x x +++ =1的条件下f 的最大值不超过k λ．设 TT 10)0.,0,1,0,,0(),,,,( ==n k y y y Y 则 10T0=Y Yk n n k k y y y y f λλλλλ=+++++=22222211令00PY X =，则1T 00T0==Y Y X X并且k f λ===0T T 00T00)()(Y AP P Y AX X X这说明f 在0X 达到k λ，即f 在122221=+++n x x x 条件下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．8．设A 正定，P 可逆，则T P AP 正定.证：因为A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使T=A Q Q ，于是 TTTT()==P AP P Q QP QP QP ，显然QP 为可逆矩阵，且T T T T ()()==P AP QP QP P AP ，即T P AP 是实对称阵，故T P AP 正定.9．设A 为实对称矩阵，则A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵B ，使AB +A B T 正定．证：先证必要性取1-=B A ，因为A 为实对称矩阵，则2E A A E A B AB =+=+-T 1T )(当然A B AB T+是正定矩阵．再证充分性，用反证法．若A 不是可逆阵，则r （A ）<n ，于是存在00,≠=X AX 使00因为A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有0 )()()(0T T00T 00T T 0=+=+AX B X BX AX X A B AB X这与AB T+AB B A 是正定矩阵矛盾．10．设A 为正定阵，则2*13-++A A A 仍为正定阵.证：因为A 是正定阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值全大于零，易见2*1,,-A A A全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故2*1,,-A A A 全是正定矩阵，2*13-++A A A 为实对称阵. 对∀≠X 0，有T 2*1T 2T *T 1(3)0--++=++>X A A A X X A X X A X X A X即 2*13-++A A A 的正定矩阵.11．设A 正定，B 为半正定，则+A B 正定.证：显然,A B 为实对称阵，故+A B 为实对称阵. 对∀≠X 0，T0>X AX ，T 0≥X BX ，因T ()0+>X A B X ，故+A B 为正定矩阵.12．设n 阶实对称阵,A B 的特征值全大于0，A 的特征向量都是B 的特征向量，则AB 正定.证：设,A B 的特征值分别为,(1,,)i i i n λμ=.由题设知0,0,1,,i i i n λμ>>=.因为A 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵1(,,,,)i n =P P P P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ=P AP即 ,i i i i λ=AP P P 为A 的特征向量，1,,i n =. 由已知条件i P 也是B 的特征向量，故1,,,i i ii i n μ==BP P因此 ()i i i i i i μλμ==ABP A P P ，这说明i i λμ是AB 的特征值，且0i i λμ>，1,,i n =.又因为 T 111diag(,,,,),i i n n λμλμλμ-==ABP P P P .故 11diag(,,,,)i i n n λμλμλμ=AB P P ，显然AB 为实对称阵，因此AB 为正定矩阵. 13．设n n ij a ⨯=)(A 为正定矩阵，n b b b ,,,21 为非零实数，记()ij i j n n a b b ⨯=B则方阵B 为正定矩阵．证：方法一因为A 是正定矩阵，故A 为对称矩阵，即ji ij a a =，所以i j ji j i ij b b a b b a =，这说明B 是对称矩阵，显然211112*********222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =1111110000n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 对任给的n 维向量1(,,)T 0n x x =≠X ，因n b b b ,,,21 为非零实数，所以),,(11n n x b x b T 0≠，又因为A 是正定矩阵，因此有1111110000TT n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X BX X X =),,(11n n x b x b 1111n n nn a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11n n b x b x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0> 即B 是正定矩阵．方法二记211112121122121222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭B则因为A 是实对称矩阵，显然B 是实对称矩阵，B 的k 阶顺序主子阵k B 可由A 的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵100n b b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭而得到，即=k B 1111110000k k k kk k a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 计算k B 的行列式，有012>=∏=k k A B ni i b故由正定矩阵的等价命题知结论正确．14．设A 为正定矩阵，B 为实反对称矩阵，则0>+B A .证：因为M 是n 阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对出现；将M 的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于n 阶实矩阵M ，如果对任意非零列向量X ，均有0T >MX X可推出M 的特征值(或者其实部)大于零．由于M 的行列式等于它的特征值之积，故必有0>M ．因为A 是正定矩阵，B 是反对称矩阵，显然对任意的非零向量X ，均有,0)(T >+X B A X而A +B 显然是实矩阵，故0>+B A .15．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n ⨯m 矩阵，则r (B TAB )=r (B )．证：考虑线性方程组T00==BX B ABX 与，显然线性方程组0=BXT 0=B ABX 的解一定是的解．考虑线性方程组T0=B ABX ，若0X 是线性方程组T 0=B ABX 的任一解，因此有0T 0=B ABX ．上式两端左乘有T0XT 00()()0=BX A BX因为A 是正定矩阵，因此必有00=BX ，故线性方程组0=BX 与 T0=B ABX 是同解方程组，所以必有r (B T AB )= r (B ).16．设A 为实对称阵，则存在实数k ，使||0k +>A E . 证：因为A 为实对称阵，则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i i λλλ-=P AP .其中i λ为A 的特征值，且为实数，1,,2i =. 于是11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()ni i k λ==+∏取1max{||1}i i nk λ≤≤=+，则1()0nii k λ=+>∏，故 ||0k +>A E .17．设A 为n 阶正定阵，则对任意实数0k >，均有||nk k +>A E . 证：因为A 为正定矩阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值0,1,,i i n λ>=. 则存在正交矩阵P ，使1111,iin n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P AP A P P 于是对任意0k >，有11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()n i i k λ==+∏1ni k =>∏n k =.18．设A 为半正定阵，则对任意实数0k >，均有||0k +>A E . 证：因为A 为半正定矩阵，故A 为实对称矩阵，且A 的特征值0i λ≥，1,,i n =. 则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i n λλλ-=P AP ，11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P于是对任意0k >，有11||||diag(,,,,)||i n k k k k λλλ-+=+++A E P P 1()ni i k λ==+∏n k ≥0>.19．A 为n 阶实矩阵，λ为正实数，记Tλ=+B E A A ，则B 正定.证：T T T T()λλ=+=+=B E A A E A A B ，故B 是实对称矩阵. 对∀≠X 0，有(,)0,(,)0>≥X X AX AX ，因此有TTT()λ=+X BX X E A A X T T Tλ=+X X X A AX (,)(,)λ=+X X AX AX 0>故 Tλ=+B E A A 为正定矩阵.20．A 是m ⨯n 实矩阵，若A A T 是正定矩阵的充分必要条件为A 是列满秩矩阵．证：先证必要性方法一设A A T 是正定矩阵，故00∀≠X ，有0)()()(0T 00T T 0>=AX AX X A A X由此00≠AX ，即线性方程组0=AX 仅有零解，所以r (A )=n ，即A 是列满秩矩阵．方法二因为A A T是正定矩阵，故r(A A T)=n ，由于n r r n ≤≤≤)()(T A A A所以r (A )=n ．即A 是列满秩矩阵．再证充分性：因A 是列满秩矩阵，故线性方程组仅有零解，0∀≠X ，X 为实向量，有0≠AX ．因此0),()()()(T T T >==AX AX AX AX X A A X显然A A T 是实对称矩阵，所以A A T 是正定矩阵．21．设A 为n 阶实对称阵，且满足2640-+=A A E ，则A 为正定阵.证：设λ为A 的任意特征值，ξ为A 的属于特征值λ的特征向量，故≠ξ0，则22,λλ==A ξξA ξξ由 2640-+=A A E 有 264-+=A ξAξξ02(64)λλ-+=ξ0由 ≠ξ0，故 2640λλ-+=.30λ=>.因为A 为实对称矩阵，故A 为正定阵.22．设三阶实对称阵A 的特征值为1,2,3，其中1,2对应的特征向量分别为T T 12(1,0,0),(0,1,1)==ξξ，求一正交变换=X PY ，将二次型Tf =X AX 化成标准形.解：设T3123(,,)x x x =ξ为A 的属于特征值3的特征向量，由于A 是实对称矩阵，故123,,ξξξ满足正交条件12312310000110x x x x x x ⋅+⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩ 解之可取3(0,1,1)=-ξ，将其单位化有T T T123(1,0,0),,===P P P令123100(,,)0⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪⎪⎝P P P P.则在正交变换=X PY下，将f化成标准形为T T T222123()23f y y y===++X AX Y P AP Y23．设1222424aa-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭A二次型Tf=X AX经正交变换=X PY化成标准形239f y=，求所作的正交变换.解：由f的标准形为239f y=，故A的特征值为1230,9λλλ===.故2122||24(9)24aaλλλλλλ---=--=----E A令0λ=，则12224024aa----=---解之4a=-.由此122244244-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭A对于12λλ==有1221220244000244000---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A可得A的两个正交的特征向量12222,112-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ对于39λ=，可得A 的特征向量为122⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量单位化得1232211112,1,2333122-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P则1232211(,,)2123122-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P P P P 为正交矩阵，正交变换=X PY 为22112123122-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭X Y .注：因特征向量选择的不同，正交矩阵P 不惟一.24．已知二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =++-++正定，求k .解：二次型的表示矩阵1120101kk k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A由A 正定，应有A 的各阶顺序主子式全大于0. 故 102||0k k A ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即2220(2)0k k k k ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩. 解之 10k -<<.25．试问：三元方程2221231213231233332220x x x x x x x x x x x x +++++---=，在三维空间中代表何种几何曲面.解：记222123121323123333222f x x x x x x x x x x x x =+++++---则 111232233311(,,)131(1,1,1)113x x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+--- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设 311131113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .则2||(2)(5)λλλ-=--E A . 故A 的特征值为1232,5λλλ===.对于122λλ==，求得特征向量为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ.由Schmidt 正交化得1212111,201⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ββ.对于35λ=得特征向量3111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，标准化得123,,0⎛⎛ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P 令123(,,)0⎛ ==⎝P P P P则在正交变换=X PY 下2221233225f y y y =++于是0f =为2221233225(1020y y y ++-= 为椭球面.26．求出二次型222123123123(2)(2)(2)f x x x x x x x x x =-+++-+++-的标准形及相应的可逆线性变换.解：将括号展开，合并同类项有2221231213234442f x x x x x x x x x =++--+2221231213234424x x x x x x x x x +++-+-2221231213234244x x x x x x x x x ++++--222123121323666666x x x x x x x x x =++---2221231213236()x x x x x x x x x =++---2221232323113336[()]22442x x x x x x x =--++-22123231196()()222x x x x x =--+- 令 1123223331122y x x x y x x y x⎧=--⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩即 11223311122011001y x y x y x ⎛⎫--⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭则可逆变换为1122331112011001x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭在此可逆线性变换下f 的标准形为2212962f y y =+. 27．用初等变换和配方法分别将二次型（1）222112412142432442f x x x x x x x x x =--++-+ （2）2122313262f x x x x x x =-+化成标准形和规范形，并分别写出所作的合同变换和可逆变换. 解：先用配方法求解（1）2221112142424(44)322f x x x x x x x x x =-+--++2221242424(22)66x x x x x x x =--+++-222124244(22)(3)3x x x x x x =--++--令 11242243344223y x x x y x x y x y x =-+⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即 11242243344243x y y y x y y x y x y =++⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩令 1204010300100001⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形22211243f y y y =-+-若再令11223344z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即11223344y z y zy z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 则原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221124f y y y =-+-.（2）先线性变换11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩原二次型化成22212132313232()6622f y y y y y y y y y y =--+++221213232248y y y y y y =--+2221322332()282y y y y y y =--+-222132332()2(2)6y y y y y =---+令113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即113223332y z z y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩. 令1110110001⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P ，2101012001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭P则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P z 化成标准形2222123226f z z z =-+若再令112233w w w ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 即11223322z w z w z w ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩令22⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P Qw 化成规范形2222123f w w w =-+.用初等变换法求解（1）设1202230100002102--⎛⎫⎪- ⎪=⎪⎪ ⎪-⎝⎭A41202100023010100()0000001021020001--⎛⎫⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A E 2121221021000010321000000001023020001r r c c +⨯+⨯--⎛⎫⎪- ⎪−−−→⎪⎪⎪--⎝⎭4141(2)(2)10001000010321000000001003062001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫⎪- ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭42423310001000010021000000001000034301r r c c +⨯+⨯-⎛⎫ ⎪⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭331000100001002100000000100001033r c -⎛⎫⎪⎪ ⎪→- ⎝⎭令 T11000210000104301⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，T21000210000100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=P则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211233f y y y =-+-. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221124f z z z =-+-.（2）设011103130⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A3011100()103010130001⎛⎫⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭A E 3232(1)(1)010100103010036011r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪−−−−→- ⎪ ⎪--⎝⎭ 313133010100100010006311r r c c +⨯+⨯⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭1212210100100010006311r r c c ++⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭21211()21()2200110111000222006311r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭112233,,,10000100001266r c r c r c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ - ⎝⎭令 T111011022311⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭P ，T200⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎝P 则原二次型2f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22221231262f y y y =-+ 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2222123f z z z =-+28．用三种不同方法化下列二次型为标准形和规范形.（1）2221122332343f x x x x x =+++（2）222221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++--+解：先用配方法求解（1）222112233423()33f x x x x x =+++22212332523()33x x x x =+++ 令 112233323y x y x x y x =⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ 即 112233323x y x y y x y =⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩令 1002013001⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P则二次型1f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形 22211235233f y y y =++ 若再令1122333z z z y ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 即1122335y z y z y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩ 令35⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221123f z z z =++.（2）22222112142342334(22)22f x x x x x x x x x x x x =+-+++-+ 221243233424()222x x x x x x x x x x =+-+-++ 2222124324244()()(2)3x x x x x x x x x =+-+-+--+令 11242243234442y x x x y x x y x x x y x =+-⎧⎪=-⎪⎨=-++⎪⎪=⎩ 即 11242243234442x y y y x y y x y y y x y =--⎧⎪=+⎪⎨=++⎪⎪=⎩令 110101020*******--⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型2f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形2222212343f y y y y =-++若再令11223344z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即112233443y z y zy z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 原二次型2f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形222221234f z z z z =-++.用初等变换法求解（1）设200032023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A3200100()032010023001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A E 32322()32()320010003001052000133r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭112310000010000010155r c r c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪→ ⎪ - ⎝⎭令TT1200100010,0020130⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ - ⎪ ⎝⎭⎝P P 则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211235233f y y y =++. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221123f z z z =++.（2）设1101111001111011-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A 41101100011100100()0111001010110001-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A E 2121(1)(1)10011000001111000111001011110001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭414110001000001111000111001001101001r r c c ++⎛⎫⎪-- ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 323210001000001111000112111001201001r r c c ++⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭343410001000000111000032011101201001r r c c ++⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 3232(2)(2)10001000000111000030211101001001r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭242410001000020101010030211101001001r r c c ++⎛⎫⎪ ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 42421()21()210001000020001010030211111100010222r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭223344100010000100000010333300010r cr cr c⎛⎫⎪→ ⎪-⎪-⎝令T1100001012111111022⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪⎪-⎪⎝⎭PT210000022⎛⎫⎪=-⎝⎭P则原二次型2f可经可逆线性变换1=x P y化成标准形2222212341232f y y y y=++-.2f可经可逆线性变换2=x P z化成规范形222221234f z z z z=++-用正交变换法求解（1）1f的矩阵为200032023⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A，由200||032(1)(2)(5)023λλλλλλλ--=--=-----E A，知A的特征值为1,2,5.对11λ=，解123100002200220xxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，取111⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭T，单位化1⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎝P，对22λ=，解123000001200210xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得1231xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取21⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P，对35λ=解123300002200220xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取311⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭T，单位化得322⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭P，令0102222⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭P，则P为正交阵，经正交变换=X PY，原二次型f化为T22212325f y y y==++X AX.（2）2f的矩阵为1101111001111011-⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪⎪-⎝⎭A由11011110||01111011λλλλλ-----=----E A2(1)(3)(1)λλλ=+--知A的特征值为1,3,1,1-.对11λ=-，解12342101012100,0121010120xxxx--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，取11111⎛⎫⎪- ⎪=⎪-⎪⎪⎝⎭T单位化得112121212⎛⎫⎪⎪⎪-⎪= ⎪⎪-⎪⎪⎪⎝⎭P，对23λ=，解12342101012100,0121010120xxxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.取 21111-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T 单位化得 212121212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P . 对341λλ==，解12340101010100,010*******x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得 12123410011001x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭取 341001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T ，再令340202,002⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭P P 令11022110222110222110222⎛⎫- ⎪ --⎪= ⎪- ⎪ ⎝⎭P ，则P 为正交阵，经正交变换=X PY ，原二次型f 化为T 222212343f y y y y ==-+++X AX .29．判断下列二次型正定，负定还是不定.（1）2221223121326422f x x x x x x x =---++解：二次型1f 的矩阵为211160104-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭AA 的各阶顺序全子式2112120,110,1603801614---<=>-=-<--. 所以二次型1f 是负定二次型.（2）22222123412131424343919242612f x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--解：二次型2f 的矩阵为11211303209613619-⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1110,2013->=>-，1121306029--=>，11211303240209613619---=>--- 所以二次型2f 是正定二次型.（3）222231234131423147644f x x x x x x x x x x =+++++-解：二次型3f 的矩阵为10320120321402007⎛⎫⎪- ⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1010,1001>=>，103012103214-=>-，1320120330321402007-=-<-. 所以二次型3f 是不定二次型.30．求一可逆线性变换=X CY ，把二次型2221123121325424f x x x x x x x =++--化成规范形2221123f y y y =++，同时也把二次型22221231313233322242f x x x x x x x x x =++--- 化成标准形2222112233f k y k y k y =++.解：记T1f =X AX ，其中212150204--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A31213121121220021290115022040121001112010*********r r r r c c c c ++++⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭A E 323229292009002160091101292019001r r c c ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123123343410001000156610363004r r r c c c ⨯⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪−−−→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭取5661036004⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪3 ⎪ ⎪⎝⎭P ，则T =P AP E 记 T2f =X BX，其中3012032122⎛⎫- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭B则T150036601210032061225133006644⎛⎫⎫⎪⎪⎛⎫-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B P BP5066104636113100234⎛⎫⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭314413444142⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪⎭2311113442⎛⎫== ⎪⎭B 其中231132⎛⎫ = ⎪⎭B 显然12,B B 都是实对称矩阵，它们的特征值为14倍的关系，特征向量相同.231||13λλλ---=--EB 30(3)14)1(3)04)4λλλλλ---=----2(4)0λλ=-=则2B 的特征值为230,4λλλ===，故1B 的特征值为0,1,1. 以下求2B 的特征向量.对于10λ=，求得11⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α，单位化后11212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪γ 对于234λλ==，求得2311,001⎛⎫⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα由Schmidt 标准正交化后得23121,20⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭γγ令123112211(,,)220⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪Q γγγ. 则Q 为正交矩阵，且有T T T 10()11⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Q B Q Q P BP Q令511662*********304⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭CPQ 23130⎫⎪⎪=⎪⎪⎭于是 TTT==Q P APQ Q EQ E即 T=C AC ET 011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C BC在可逆线性变换=X CY 下2221123f y y y =++22223f y y =+.（注：经验算本题所得C 是正确的，需要注意的是C 并不惟一）31．求一可逆线性变换=X PY ，将二次型f 化成二次型g .2221231213232938410f x x x x x x x x x =+++--222123121323236448g y y y y y y y y y =++--+解：Tf =X AX ，242495253-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ， T g =Y BY ，222234246--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B 将,A B 分别作合同变换如下：21313221323122242200200495011010253011000100121121010010011001001001r r r r r r c c c c c c -++-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E 在可逆线性变换1=X C Z 下22122f z z =+ 其中 1121011001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C 21313221323122220020023401201024602400100111111010010012001001001r r r r r r c c c c c c ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E 在可逆线性变换2=YC Z 下22122g z z =+.其中 2111012001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭C由 12-=Z C Y 得1112-==X C Z C C Y令 1112121111136011012003001001001-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P C C 在可逆线性变换=X PY 下22122f g z z ==+.32．A 是正定矩阵，AB 是实对称矩阵，则AB 是正定矩阵的充分必要条件是B 的特征值全大于零．证：先证必要性．设λ 为B 的任一特征值，对应的特征向量为,,0≠X X 则且有X BX λ=用A X T 左乘上式有AX X X AB X T T )(λ=因为AB ，A 都是正定矩阵，故0,0)(T T >>AX X X AB X于是0>λ，即B 的特征值全大于零．再证充分性．因为A 是正定矩阵，所以A 合同于单位矩阵，故存在可逆矩阵P ，使E AP P =T （1）由AB 是对称矩阵，知P AB P )(T也是实对称矩阵，因此存在正交矩阵Q ，使),,,,diag(])([1T T n i μμμ ==D Q P AB P Q （2）即有),,,,diag()()(1TT n i μμμ ==D PQ B A P Q （3）其中n i μμμ,,,,1 是P AB P )(T的特征值．在（1）的两端左乘TQ ，右乘Q 有E PQ A P Q E Q AP P Q ==))(()(T T T T 即这说明)()(TTPQ A P Q 与互逆，也就是说1T T )()(-=PQ A P Q将上式代入（3），说明矩阵B 与对角阵D 相似，故它们的特征值相等；由条件知B 的特征值全大于零，因此对角阵D 的特征值也全大于零．由（2）知AB 与D 合同，因此AB 的特征值全大于零．33．设,A B 为n 阶实正定阵，证明：存在可逆阵P ，使T =P AP E 且T 12diag(,,,)n λλλ=P BP ，其中120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的n 个实根.证：因A 正定，故存在可逆矩阵1P ，使T 11=P AP E因B 正定，故存在可逆矩阵2P ，使T 22=B P P于是T T T T 1112212121()()==P BP P P P P P P P P易见T11P BP 为正定矩阵，不妨设它的特征值为120n λλλ≥≥≥>.则 TTT11111||||λλ-=-E P BP P AP P BP T11||||||λ=-P A B P 故 T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B 即 120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的几个实根.由 T11P BP 为正定阵，知其为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q ，使 T T 1112()diag(,,,)n λλλ=Q P BP Q 令 1=P PQ ，则 TT 12,diag(,,,)n λλλ==P AP E P BP34．设A 为n 阶实正定阵，B 为n 阶实半正定阵，则||||+≥A B A . 证：因为A 是n 阶正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵C ，使得T =C AC E . 因为B 是n 阶半正定阵，则TC BC 仍是实对称半正定阵，故存在正交阵Q ，使得1T T T 1()()diag(,,,,)i n D -===Q C BC Q Q C BC Q λλλ其中 0,1,,i i n λ≥=为T C BC 的特征值，且有T T ()=Q C AC Q E令=P CQ ，则P 为可逆矩阵，于是T T ,==P AP E P BP DT T T ()+=+=+P A B P P AP P BP E D上式两端取行列式，得T1||||||||(1)1ni i λ=+=+=+≥∏P A B P E D ||||||T =P A P因 T||||0=>P P ，故 ||||+≥A B A .35．设,A B 均为实正定阵，证明：方程||0λ-=A B 的根全大于0.证：由33题知T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B . 其中T11P BP 为正交矩阵，它的特征值0i λ>，1,,i n =，故||0λ-=A B 的根全大于0.36．设A 为n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B ，使2B A =．证：因为A 是正定矩阵，所以是实对称矩阵，于是存在正交矩阵P ，使12-1T n λλλ⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP P AP D 其中n λλλ,,,21 为A 的n 个特征值，它们全大于零．令),,,2,1(n i i i ==λδ 则21111222222n n n n δλδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D而 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A PDP P P 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P P 令 B =12Tn δδδ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P P显然B 为正定矩阵，且2B A =．37．设A 为n 阶可逆实方阵，证明：A 可表示为一个正定阵与一正交阵的乘积．证：因为A 是n 阶可逆实方阵，故TA A 是正定矩阵，所以存在n 阶正定矩阵B ，使T 2=A A B .于是有1T 11T T 11T 21()()()()------===AB AB B A AB B B B E这说明1-AB 是正交阵. 令 1-=ABQ则 =A QB ，其中Q 是正交矩阵，B 是正定矩阵.38．A 、B 为n 阶正定矩阵，则AB 也为n 阶正定矩阵的充分必要条件是：AB =BA ，即A 与B 可交换．证：方法一先证必要性．由于A 、B 、AB 都是正定矩阵，所以知它们都是对称矩阵，因此有AB AB B B A A ===T T T )(,,于是BA A B AB AB ===T T T )(即A 与B 可交换．再证充分性．由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．因为,A B 是正定矩阵，故它们皆为实对称矩阵，且有可逆矩阵P 、Q ，使Q Q B P P A T T ,==于是Q PQ P AB T T =上式左乘Q ，右乘1-Q 得)()()(T T T T T 1PQ PQ PQ QP Q AB Q ==-这说明AB 与对称矩阵)()(TTT PQ PQ 相似；因为P TQ 是可逆矩阵，故矩阵)()(TTT PQ PQ 是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零．综合上述知AB 正定．方法二必要性同方法一，以下证明充分性．由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．由于A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使A=Q T Q于是T T T T 1()λλλ--=-=-E AB E Q QB E Q QBQ QT T 1T T T 1T T T 1T()()()()λλλ---=-=-=-Q E Q Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQT 00λλ-=⇔-=E AB E QBQ这说明AB 与TQBQ 有相同的特征值．因为B 是正定矩阵，易见TQBQ 也是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零．综合上述知AB 正定．39．设A 、B 为实对称矩阵，且A 为正定矩阵，证明：AB 的特征值全是实数．证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=，于是有T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ即T||0||0λλ-=⇔-=E AB E QBQ .因为B 是实对称矩阵，所以TQBQ 也是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，故AB 的特征值也都是实数．40．设A 是正定矩阵，B 是实反对称矩阵，则AB 的特征值的实部为零．证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ因为B 是实反对称矩阵，所以TQBQ 也是实反对称矩阵，因此它的特征值实部为零，故AB 的特征值实部也为零．41．设A 是正定矩阵，B 是半正定的实对称矩阵，则AB 的特征值是非负的实数．证：由于A 是正定的，所以1-A 也是正定的，于是存在可逆矩阵P ，使得P P A T 1=-，因此1T T T 11T T 111T 11T 111T 1()()()()()λλλλλλλλ-------------=-=-=-=-=-=-=-E AB A A B A P P B A P E P BP PA P P E P BP A A E P BP E P BP E P BP即0)(01T 1=-⇔=---BP P E AB E λλ.由于B 是半正定的实对称矩阵，故1T1)(--BPP 是半正定的实对称矩阵，因此0)(1T 1=---BP P E λ的根是非负实数．于是0=-AB E λ的根也是非负实数，即AB的特征值是非负的实数．42．求证实二次型∑∑==++=n r ns sr n xx s r krs x x f 111)(),,( 的秩和符号差与k 无关．证：二次型的矩阵为22334(1)2344652(2)3465963(3)(1)2(2)3(3)22k k k nk n k k k nk n k k k nk n nk n nk n nk n n k n +++++⎛⎫ ⎪+++++ ⎪+++++= ⎪⎪⎪+++++++⎝⎭A。

线性代数第六章二次型试题及答案

第六章二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n +…+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]T x x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AXX f T =，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

规范二次型形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n… … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T =，从而BY Y f T =。

东北大学线性代数_第六章课后习题详解二次型

教学基本要求：1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.2.了解合同变换和合同矩阵的概念.3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法.4.了解惯性定理.5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法.第六章二次型本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型.“研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类.通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理、正定二次型等.一、二次型与合同变换1. 二次型n个变量x1,x2,…,x n的二次齐次函数f(x1,x2,…,x n)=a11x12+a22x22+…+a nn x n2+2a12x1x2+…+2a1n x1x n+…+…+2a n-1 n x n-1x n (6.1) 称为一个n元二次型.当系数a ij均为实数时，称为n元实二次型. (P131定义6.1)以下仅考虑n元实二次型.设11121n112222n21n2n nn na a a xa a a xA,xa a a x⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么f(x1,x2,…,x n)=x T A x. (6.2)式(6.2)称为n元二次型的矩阵表示.例6.1(例6.1 P 132)二次型f 与对称矩阵A 一一对应，故称A 是二次型f 的矩阵，f 是对称矩阵A 的二次型，且称A 的秩R(A)为二次型f 的秩. (定义6.2 P 132)由于二次型与对称矩阵是一一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵.定义6.2 仅含平方项的二次型f(x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+a 22x 22+…+a nn x n 2 (6.3)称为标准形.系数a 11,a 22,…,a nn 仅取-1,0,1的标准形称为规范形. (定义6.3 P 132)标准形的矩阵是对角矩阵.二次型有下面的结论：定理6.1 线性变换下，二次型仍变为二次型.可逆线性变换下，二次型的秩不变. (定理6.1 P 133) 这是因为T T x CyB C ACTT A B C AC C 0R(A)R(B)f x Axfy By ==↔=≠=⇒==⇐.2. 合同变换在可逆线性变换下，研究前后的二次型就是研究它们的矩阵的关系.定义6.3 设A,B 是同阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使B=C T AC ，则称A 与B 是合同的，或称矩阵B 是A 的合同矩阵.对A 做运算C T AC 称为对A 进行合同变换，并称C 是把A 变为B 的合同变换矩阵. (定义6.4 P 133)矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.注意：(1)合同的矩阵(必须是方阵)必等价，但等价的矩阵(不一定是方阵)不一定合同. (P 134)A 与B 合同 ⇔∃可逆矩阵C ，∂B=C T AC A 与B 等价 ⇔∃可逆矩阵P ,Q ，∂B=PAQ(2)合同关系不一定是相似关系，但相似的实对称矩阵一定是合同关系. (推论1 P 137)正交矩阵Q ，∂Q -1AQ= Q T AQ=B ⇒ A 与B 既相似又合同合同变换的作用：对二次型施行可逆线性变换等价于对二次型的矩阵施行合同变换.x Cy TT TT C 0T C 0f x Ax y C ACy y ByA C AC B=∆≠≠===⇔=如果B 是对角矩阵，则称f=y T B y 是f=x T A x 的标准形.二、用正交变换化二次型为标准形 1. 原理由第五章第三节知：对于实对称阵A ，存在正交矩阵Q ，使Q -1AQ 为对角矩阵(对角线上的元素为A 的n 个特征值).因此，二次型f=x T A x 经正交变换x =Q y 就能化为标准形f=y T (Q T AQ)y =y T (Q -1AQ)y .定理6.2 任意实二次型都可经正交变换化为标准形，且标准形中的系数为二次型矩阵的全部特征值. (定理6.2 P 134)推论1 任意实对称矩阵都与对角矩阵合同. (推论1 P 137)推论2 任意实二次型都可经可逆线性变换化为规范形. (推论2 P 137)正交变换既是相似变换又是合同变换.相似变换保证矩阵有相同的特征值，化标准形则必须经合同变换.所以，正交变换是能把二次型化为“系数为特征值”的标准形的线性变换.2.用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型f=x T A x 为标准形的过程与将实对称阵A 正交相似对角化的过程几乎一致.具体步骤如下：(1)求出A 的全部互异特征值λ1,λ2…,λs ；(2)求齐次线性方程组(λi E-A)x =ο(i=1,2,…,s)的基础解系(即求A 的n 个线性无关特征向量)； (3)将每一个基础解系分别正交化、规范化，得到n 个正交规范的线性无关特征向量ε1,ε2,…,εn ； (4)正交相似变换矩阵Q=(ε1,ε2,…,εn )，正交相似变换x =Q y 把二次型f=x T A x 变为标准形f=y T (Q T AQ)y .例6.2(例6.2 P 134) 例6.3(例6.3 P 135)三、用配方法化二次型为标准除了正交变换，事实上，还存在其它的可逆线性变换能把二次型化为标准形.举例说明如下.例6.4(例6.4 P 139) 例6.5(例6.5 P 139)总结：用配方法化二次型为标准形的过程分两种情形： (1)二次型中含有平方项例如，若二次型中含有平方项a 11x 12，则把所有含x 1的项集中起来配方，接下来考虑a 22x 22，并类似地配方，直到所有项都配成了平方和的形式为止.(2)二次型中不含平方项，只有混合项例如，若二次型中不含平方项，但有混合项2a 12x 1 x 2，则令112212ii x y y ,x y y ,x y ,i 3,...,n.=+⎧⎪=-⎨⎪==⎩ 那么关于变量y 1,y 2,…,y n 的二次型中就有了平方项，然后回到(1).四、正定二次型 1. 惯性定理虽然把二次型化为标准形的可逆线性变换不唯一，从而标准形也可能不唯一，但同一个二次型的所有标准形却总满足如下惯性定理.定理6.3(惯性定理) 设实二次型f=x T A x 的秩为r ，且在不同的可逆线性变换x =C y 和x =D y 下的标准形分别为f=λ1y 12+λ2y 22+…+λr y r 2, λi ≠0，f=μ1y 12+μ2y 22+…+μr y r 2, μi ≠0，则λ1,λ2…,λr 与μ1,μ2…,μr 中正数的个数相同. (定理6.3 P 142)定义6.4 二次型f 的标准形中的正(负)系数的个数称为f 的正(负)惯性指数. (定义6.5 P 143)惯性定理指出，可逆变换不改变惯性指数.推论 n 阶实对称阵A 与B 合同的充分必要条件是A 与B 有相同的正惯性指数和负惯性指数. (推论 P 143)正惯性指数+负惯性指数=R(A). 正惯性指数=正特征值的个数，负惯性指数=负特征值的个数.2. 二次型的分类二次型(/二次型的矩阵)的分类：(定义6.6-6.7 P 143)f f f f f /A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A x 0,f (x)0y 0,f (y)0⎧⇔>∀≠>⎪⇔≥∀≠≥⎪⎪⇔<∀≠<⎨⎪⇔≤∀≠≤⎪⎪⇔∃≠∂>∃≠∂<⎩正定正定记作半正定半正定记作负定负定记作半负定半负定记作不定且由此，根据惯性定理可知，合同变换不改变实对称矩阵的类型.3.正定二次型(正定矩阵)的判定定理6.4 n 元实二次型f=x T A x 为正定(负定)二次型的充分必要条件是f 的正(负)惯性指数等于n . (定理6.4 P 143)定理6.5 n 元实二次型f=x T A x 为半正定(半负定)二次型的充分必要条件是f 的正(负)惯性指数小于n ，且负(正)惯性指数为0. (推论1 P 143)推论2 n 阶实对称阵A 正定(负定)的充分必要条件是A 的n 个特征值全是正数(负数)；A 半正定(半负定)的充分必要条件是A 的n 个特征值为不全为正数(负数)的非负数(非正数). (推论2 P 143)例6.6(例6.6 P 143) 例6.7(例6.7 P 144) 例6.8(例6.8 P 144) 例6.9(例6.9 P 144)定义6.4 设A=(a ij )n ，则行列式11121k 12222k k k1k2kka a a a a a D (k 1,2,,n)a a a ==称为A 的k 阶顺序主子式. (定义6.8 P 144)定理6.6 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式都大于零；A 负定的充分必要条件是A 的所有顺序主子式中奇数阶的小于零而偶数阶的大于零. (定理6.5 P 144)例6.10(例6.10 P 145)五、二次型应用[实例6-1] 二次曲面图形的判定六、习题(P 148) 选择题：1.提示：110.5A 11000.50.50.51-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭⇒|1|=1>0, 119901100=>, 100A 199100.51 1.25=<-- ⇒ 选D2.提示：f(x 1,x 2,x 3)= x 12+2x 22+3x 32-2x 1x 2+2x 2x 3 =(x 1-x 2)2+(x 2+x 3)2+2x 32⇒ 正惯性指数为3，故选A3.提示：方法一特征值为2,-1,-1，故选C.方法二 011A 101110⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⇒ |0|=0，排除A,B011010=-<, |A|=2>0，排除D ⇒ 选C4. B填空题：1.提示：f(x 1,x 2,x 3)= x 12+2x 22+3x 32+4x 1x 2+8x 1x 3-2x 2x 3.2. 1200221001300000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 错误的解答：120221012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3.提示：323221r r r r 2r r211211211A 121033033112033000-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒ 秩为2错误的解答：正惯性指数为3，故秩为3. 事实上，线性变换y1= x1+x2, y2= x2-x3, y3= x1+x3不可逆，故R(f)<3.4.提示：A可逆、对称⇒A-1=(A-1)T AA-1⇒x=A-1y.5.提示：tE-A的特征值为t-1, t-2,…, t-n ⇒t >n.6.提示：方法一a22A2a222a⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭与6⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似⇒3a=6 ⇒a=2方法二f(y1,y2,y3) =6y12⇒A有2个0特征值⇒R(A)=1 ⇒a=2方法三f(y1,y2,y3)=6y12⇒A的特征值为6,0,0二次型的特征值为a+4, a-2, a-2 ⇒a+4=0, a-2=0 ⇒a=27.提示：A的各行元素之和为3 ⇒A(1,1,…,1)T=3(1,1,…,1)TR(f)=1 ⇒3是A的唯一非零特征值⇒标准形为f(y1,y2,y3)=3y12或f(y1,y2,y3)=3y22或f(y1,y2,y3)=3y32解答题：1.参见P134-135的例6.2、例6.32.参见P139的例6.4、例6.53.参见P145的例6.104.(1)521A21111t-⎛⎫⎪=-⎪⎪--⎝⎭|5|=5>0,521021=>,101A211t2010t1=-=->-⇒t>2(2)1t 1A t 12125-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭|1|=1>0,21t1t 0t 1=->, 2A 5t 4t 0=--> ⇒ -4/5<t<05.提示：f=x T A x =x T U T U x =|U x |2≥0.因为U 可逆，故当x ≠ο时，U x ≠ο，从而f=|U x |2>0，所以f 为正定二次型(A=U T U 是正定矩阵).6.提示：因为A 正定，故存在正交矩阵Q 和正定对角矩阵D=diag(λ1,λ2,…,λn )，使A=QDQ T .令D 1=diag(12n ,,...,λλλ)，则A=QDQ T = QD 1D 1T Q T =U T U ，其中U=(QD 1)T .5、6两题表明A 是正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵U 使A=U T U .7.提示：设对称矩阵A 与矩阵B 合同，则存在可逆矩阵C ，使C T AC=B. B T =(C T AC)T =C T AC=B ，所以与对称矩阵合同的矩阵必是对称矩阵.8.提示：方法一矩阵A 与矩阵-A 合同，则存在可逆矩阵C ，使C T AC=-A .从而|C T AC|=|-A| ⇒ |C|2·|A|=(-1)n |A| ⇒ |A|(|C|2-(-1)n )=0A ⇒可逆|C|2=(-1)nC ⇒可逆|C|2>0，故n 为偶数方法二 A 的正惯性指数= -A 的负惯性指数A 的负惯性指数= -A 的正惯性指数 A 与-A 合同⇒ A 与-A 有相同的正惯性指数和负惯性指数 ⇒ A 的正惯性指数= A 的负惯性指数 ⇒ n 为偶数9.提示：513153 A153023 33k00k3---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--→-⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为R(A)=2，所以k=3.(或由R(A)=2，有|A|=0，得k=3.) 余下略.10.提示：20003a0a3⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭与125⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似a02200103a29a5a2 0a35>⇒=⇒-=⇒=余下略.11. 提示：1b1b a1111⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭与14⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似2a51b1a3b a1b1 111+=⎧⎪=⎧⎪⇒=⇒⎨⎨=⎩⎪⎪⎩余下略.12.提示：(1)A的特征值为1,1,0，Q的第3列是属于0的特征向量，1的特征向量与其正交，易知为(√2/2,0,-√2/2)T和(0,1,0)T，是Q的前两列.于是A=Qdiag(1,1,0)Q T=….(2)A+E的特征值为2,2,1，所以A+E为正定矩阵.13.提示：(1)a01E A0a111(a1)λ--λ-=λ--λ--222a 11(a)01110(a 1)a 12(a)01010(a 1)a2(a)1(a 1)(a)((2a 1)a a 2)(a)((2a 1)(a 2)(a 1))(a)((a 2))((a 1))λ--=λ--λ--λ--=λ--λ--λ--=λ--λ--=λ-λ--λ+--=λ-λ--λ+-+=λ-λ--λ-+ A 的特征值为a-2,a,a+1.(2)二次型f 的规范形为f(y 1,y 2,y 3)=y 12+y 22，所以A 有2个正特征值，一个0特征值.由于a-2<a<a+1，所以a-2=0，故a=2.14.提示：A 正定 ⇔ A 的任意特征值λ>0 ⇒ |A|>0⇒ A -1的任意特征值1/λ>0 ⇒ A -1正定A*的任意特征值|A|/λ>0 ⇒ A*正定15.提示：∀x ≠ο，x T (A+B)x =x T A x +x T B x >0 ⇒ A+B 正定16.提示：A 与对角矩阵diag(λ1,λ2,…,λn ) (λ1≥λ2≥…≥λn )相似⇔ ∃正交矩阵Q ，∂Q AQ=diag(λ1,λ2,…,λn )ny Qx T T2i i i 1n n 22i i 1i i n x 1y 1x 1y 1i 1i 1f x Ax y Dy y max f max y ,min f min y ========⇒===λ⇒=λ≤λ=λ≥λ∑∑∑ 当分别取T1y e =和T n y e =时，得1n x 1x 1max f ,min f ===λ=λ.17.提示：设λ是A 的特征值，则λ3+λ2+λ-3=0，λ的值为1或复数. 因为A 是实对称矩阵，所以A 的特征值全为1，因此A 为正定矩阵.18.提示：A,B 实对称 ⇒ A,B 的特征值都是实数A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b⇒ A-aE 和B-bE 正定 (若λ是A 的特征值，则λ-a 是A-aE 的特征值)15⇒第题 (A-aE)+(B-bE)正定，即A+B-(a+b)E 正定⇒ A+B 的特征值都大于a+b.19.提示：必要性设R(A)=n ，令B=A ，则AB+B T A=2A 2为正定矩阵.充分性设AB+B T A 是正定矩阵，若R(A)<n ，那么A x =ο有非零解y . 因此，y T (AB+B T A)y =(A y )T By+ y T B T (A y )=ο，这与AB+B T A 正定矛盾，所以R(A)=n.20.提示：考虑二次型g(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz ，由于202E A 040(1)(4)(6)205λ-λ-=λ-=λ-λ-λ-λ-，⇒ A 的特征值全为正数⇒ g(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz 是椭球曲面⇒ f(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz+2x-4y+1是椭球曲面附加题：1.设A 为m 阶正定矩阵，B 为m×n 实矩阵，证明：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件为R(B)=n .提示：B T AB 正定⇔ ∀x ≠ο, x T B T AB x =(B x )T A(B x )>0⇔ ∀x ≠ο，有B x ≠ο⇔ B x =ο只有零解⇔ R(B)=n七、计算实践实践指导：(1)掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.(2)了解实二次型的标准形式及其求法.(3)了解合同变换和合同矩阵的概念.(4)了解惯性定理和实二次型的规范形.(5)了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别法.例6.1 设12A 21⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则在实数域上与A 合同的矩阵为[D ]. (A)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (C)2112⎛⎫ ⎪⎝⎭; (D)1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.(2008 数二三四)提示：合同的矩阵有相同的秩，有相同的规范形，从而有相同的正惯性指数与负惯性指数.故选D .例6.2 已知二次型f(x 1,x 2,x 3)=(1-a)x 12+(1-a)x 22+2x 32+2(1+a)x 1x 2的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x =Q y ，把f 化成标准形；(3)求方程f(x 1,x 2,x 3)=0的解. (2005 数一)解 (1) 1a 1a 0220A 1a 1a 01a 1a 0002002-+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-→+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R (A )2=⇒1+a=1-a ⇒ a=0(2) 略.(3) f(x 1,x 2,x 3)=0⇔ (x 1+x 2)2+2x 32=0 ⇔ x 1=-x 2, x 3=0 ⇒ 解为k(-1,1,0)T , k ∈R例6.3 若二次曲面的方程x 2+3y 2+z 2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为y 12+4z 12=4，则a= 1 . (2011 数一)提示：二次型f(x,y,z)=x 2+3y 2+z 2+2axy+2xz+2yz 经正交变换化为标准形f=y 12+4z 12，因此二次型矩阵1a 1A a 31111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与014⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似.所以 1a 1a 310a 1111=⇒=.例6.4 设矩阵211100A 121,B 010112000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B [B ].(A)合同且相似； (B)合同但不相似；(C)不合同但相似； (D)既不合同也不相似. （2007 数一）解 211E A 121121112112λ-λλλλ-=λ-=λ-λ-λ-2111030(3)003=λλ-=λλ-λ-即A 的特征值为0,3,3.故A 与B 不相似.由于A 与B 有相同的正惯性指数与负惯性指数，所以A 与B 合同.故选B .例6.5 设A 为3阶非零矩阵，如果二次曲面x (x y z)A y 1z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如下图，则A 的正特征值个数为[B ]. (2008 数一)(A) 0； (B) 1； (C) 2；(D)3.提示：图形是双曲抛物面，说明A 的秩为2，正惯性指数为1，所以选B.例6.6 设A 为三阶实对称矩阵, 且满足条件A 2+2A=O .已知A 的秩R(A)=2,(1)求A 的全部特征值；(2)当k 为何值时，矩阵A+kE 为正定矩阵.解 (1)设λ是A 的特征值，则λ2+2λ=0，λ=0或-2R(A)=2 ⇒ A 的特征值为0,-2,-2(2) A+kE 的特征值则为k, k-2, k-2 ⇒ 当k>2时，A+kE 为正定矩阵例6.7 设101A 020101=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B=(kE+A)2，其中k 为实数，E 为单位矩阵. 求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并问k 为何值时，B 为正定矩阵.解 A 是实对称矩阵，则kE+A 是实对称矩阵，(kE+A)2是实对称矩阵.A 与diag(0,2,2)相似⇒ kE+A 与diag(k,k+2,k+2)相似⇒ (kE+A)2与diag(k 2,(k+2)2,(k+2)2)相似⇒ Λ=diag(k 2,(k+2)2,(k+2)2)⇒ 当k ≠0且k ≠-2时，B 为正定矩阵例6.8 设A ,B 分别为m 阶和n 阶正定矩阵, 试判定分块矩阵A O C O B =⎛⎫ ⎪⎝⎭的正定性. 解 ∀x ≠ο, y ≠ο，有x T A x >0, x T B x >0⇒ x ≠ο或y ≠ο，有(x T ,y T )≠ο, (x T ,y T )C ⎛⎫ ⎪⎝⎭x y =x T A x +x T B x >0 ⇒ A O C O B =⎛⎫ ⎪⎝⎭正定例6.9 设T A C D CB =⎛⎫ ⎪⎝⎭为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶与n 阶对称矩阵，C 为m ⨯n 矩阵. (1) 计算P T DP ，其中1m n E A C P OE --=⎛⎫⎪⎝⎭． (2) 利用(1)的结果，判断矩阵B-C T A -1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论. (2005 数三)。

第六章(5)二次型的正定性

的正定性．解 f的矩阵为
2 1 5 A 2 4 0 0 3 1
5
1 2 1 0 ( 2)( 4)( 6) 3
由A的特征多项式
E A 2
4
0
求得A的特征值为
1 2, 2 4, 3 6
因为A的3个特征值全为负，故A是负定矩阵，从而f是负定二次型．
例30 t满足什么条件时，二次型
2 2 f x12 x2 5x3 2tx1 x2 2x1 x3 4x2 x3
1 t 1 解 f的矩阵为 A t 1 2 5 1 2 要使f为正定二次型，则矩阵A的各阶顺序正定性，需将其化为标准形或求出对称矩阵A的全部特征值．
下面将介绍一个利用矩阵的顺序主子式判断矩阵正定性的方法：
定义7
n阶方阵
a 11 a 12 a 1 n a a a 21 22 2 n A a a a nn n1 n 2
例如，二次型 f x 2 3 y 2 2 z 2 的正惯性指数等于3;
2 2 2 的正惯性指数等于3，负惯 x4 f x12 2x2 5x3
性指数等于1．
T f X AX 因此，二次型的惯性定理可以表述为二次型
的正惯性指数、负惯性指数及惯性指数在可逆线性变换下都不变．在二次型中，比较常用的是二次型的标准形的n个系数全为正或全为负的情形．
r r ( 1 ) D ( 1 ) 0, r 1,2 , , n 即 r a r1 a rr
2 2 2 例27 判别二次型 f x1 x2 x3 4x1 x2 4x1 x3 4x2 x3
的正定性．解利用配方法将f化为标准形．

浙大线性代数课后习题答案——第六章二次型

第六章二次型习题6.12．解：(1) 222222123112223312233(,,)2245()(2)f x x x x x x x x x x x x x x x =++++=++++, 令11222333,2,.y x x y x x y x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩因为10011020021=≠, 所以线性替换是非退化的. 从而得到标准形222123y y y ++. (4) 123122313(,,)f x x x x x x x x x =++先令11221233,,.x y y x y y x y =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩则123122313(,,)f x x x x x x x x x =++=2212132y y y y -+=2221323()y y y y +-- 令1132233,,.z y y z y z y =+⎧⎪=⎨⎪=⎩ 则11232123311,2211,22.z x x x z x x z x ⎧=++⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩因为110221110022211-=≠, 所以先行替换是非退化的. 从而得到标准形222123z z z --. 3．解：(1) 错, 因为1100110000-=, 所以线形替换1121232,,.y x y x x y x =⎧⎪=-⎨⎪=⎩是退化的, 所以错.正确的为22221231122122(,,)446(2)5f x x x x x x x x x x =-+=-+=22125y y +,其中线性替换为11222332,,.y x x y x y x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩因为20011020001-=≠, 所以该线形替换是非退化的.(2) 错, 因为1011100011=-,所以线形替换112223331,,.y x x y x x y x x =+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩是退化的, 所以错.正确的为222123112132233(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =+++-+ =2222123231211332()()22222x x x x x y y +++-=+ 其中线性替换为11232233311,22,.y x x x y x x y x ⎧=++⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩因为1001101021112=≠-, 所以该线形替换是非退化的.习题6.21．解：3．解：(1) []112312323200(,,)032023x f x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦计算特征多项式200200032032(1)(2)(5)023023E λλλλλλλ-⎡⎤⎢⎥-=--=---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦, 得到特征值为1,2,5.解方程200(032)023E X O ⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 得到属于1的线形无关的特征向量为[]0,1,1T -.解方程200(2032)023E X O ⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 得到属于2的线形无关的特征向量为[]1,0,0T .解方程200(5032)023E X O ⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 得到属于5的线形无关的特征向量为[]0,1,1T .三个向量已经两两正交, 所以只要单位化即可得到]0,1,1T -,[]1,0,0T]0,1,1T .所以010U⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢=⎢⎢⎢⎢⎣,因此正交变换为010Y X⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢=⎢⎢⎢⎢⎣, 而标准型为222123123(,,)25f y y y y y y=++.6．证明：(1) 设111212122212nnn n nna a aa a aAa a a⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,令(1,2,,)iX X i n== (iX满足1,0,i jx x j i==≠), 则有0(1,2,,)TiiX AX a i n=== ,再令(,1,2,,,)ijX X i j n i j==≠(ijX满足1,1,0,,i j sx x x s i s j===≠≠), 则有0(,1,2,,)Tij ij ij ji ii jjX AX a a a a i j n=+++== , 因为0(1,2,,)iia i n== ,并且由于A是一个n阶对称矩阵所以有ij jia a=, 所以由0(,1,2,i j j i i i j ja a a a i j n+++== 可得0(,1,2,,)ija i j n== , 因此A O=.(2) 若存在两个对称矩阵,A B使得123123(,,),(,,)T Tf x x x X AX f x x x X BX==, 则两式相减得()TX A B X O-=对任意X成立. 由于,A B都是对称矩阵, 所以两者的差A B-也是对称矩阵, 根据(1)可知A B O-=, 从而得到A B=.8．证明：因为12,,,ni i i是1,2,,n的一个排列, 所以12,,,ni i i可以通过若干次互换变成1,2,,n.而每次互换就相当于交换,s ti iλλ的位置, 由第8个习题可知这就相当于同时左乘右乘同一个互换得到的初等矩阵(,)s tE i i. 由此可知[]2211112212(,)(,)(,),,,(,)(,)(,) m m m ms t s t s t n s t s t s tE i i E i i E i i diag E i i E i i E i iλλλ12,,,ni i idiagλλλ⎡⎤=⎣⎦.设1122(,)(,)(,)m ms t s t s tC E i i E i i E i i= ,则22112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)m m m mT T T Ts t s t s t s t s t s tC E i i E i i E i i E i i E i i E i i==所以得到[]1212,,,,,,nT n i i i C diag C diag λλλλλλ⎡⎤=⎣⎦ , 因此矩阵[]12,,,n diag λλλ 与12,,,n i i i diag λλλ⎡⎤⎣⎦ 合同.习题6.33．证明：与习题3.5T1类似，只不过要把右边的可逆矩阵换成左边的转置。

线性代数二次型练习题及答案

第六章二次型一、填空题1、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 120212021，则相应的二次型为__________。

2、二次型()323121321642,,χχχχχχχχχ+-=f 的矩阵是_________，该二次型的秩是__________ 3、二次型()323121232221321822532,,χχχχχχχχχχχχ+-+++=f 的矩阵为__________。

4、A 、B 均为n 阶方阵，且A 与B 合同，)()(_______R ,4=B =A 则R 。

5、实二次型2322213χχχ+-=f 的秩为_________，正惯性指数为_________，负惯性指数为________，符号差为_________。

6、设()23222121321222,,χχχχχχχχ+++=f ，则二次型矩阵是________，其顺序主子式_________1=A ，_______,2=A ________3=A ，()________,,321是χχχf 二次型。

7、设()3221232221321222,,χχχχχχχχχχt f ++++=，则当t 满足条件_______时，该二次型是正定的。

二、选择题1、如果A 、B 都是正定的n 阶实对称矩阵，则AB 一定是（）（A ）实对称矩阵（B ）正交矩阵（C ）正定矩阵（D ）可逆矩阵2、二次型()233222312121321246,,χχχχχχχχχχχχt f +++++=，当t=（）时，其秩为2。

（A ）0；（B ）2；（C ）87；（D ）1 3、实二次型()322221214321434,,,χχχχχχχχχχ-++=f ，则其正惯性指数=（）（Ａ）１；（Ｂ）２（Ｃ）３（Ｄ）４４、实二次型()AX =T χχχχn f,...,,2,1为正定的充分必要条件是（）（A ）;0>A （B ）负惯性指数为零（C ）存在n 阶矩阵C ，使C C T=A（D ）对任意()0,0,...,,21>AX X ≠=X T T有n χχχ三、计算题1、用正交变换将下列二次型化为标准形，并写出所用变换X=PY ()4342324131214321222222,,,χχχχχχχχχχχχχχχχ++--+=f2、问λ取何值时下列二次型正定)(31212322212212χχχλχχλχχ++-++=f答案：一、（1）()322123222132144,,χχχχχχχχχχ++++=f（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--032301210；3 （3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--541431112 （4）4；（5）3，2，1，1；（6）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200021011，1，1，2，正定（7）22<t二、（1）D ；（2）C （3）B （4）D三、1、标准形为242322213y y y y +++-，而⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=P 21210212121021210212121021212、01<<-λ。

6章二次型答案

第6章二次型答案一、1、22212313232382x x x x x x x +++-2、2 22 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、1k >4、2a >5、D6、C 析：A 充分非必要，因为P 是正交矩阵，有1T P AP P AP E -==，表明A 的特征值全是1，所以A 正定，但正定时特征值可以不全为1；B, 必要非充分，D ,矩阵C 是否可逆不明确。

二、()TTp ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==32,32,312,2,1,9111ηλ ()()()TTTTT p p p p ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-=-==-====535,534,532,0,51,525,4,25154,1,0,2,0,1,2,0333222233223232ββηββηβββλλ标准化正交化[]213219,,,,y f PY X P ===ηηη2、二次型f 的矩阵及标准形的矩阵分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111ba b a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=200010000Λ．因为Λ~A ，所以有 EE A λλ-=-Λ，即λλλλλλ---=---20010*******bab a由此得0==b a ．而且矩阵A 的三个特征值分别为2,1,0321===λλλ．特征值01=λ对应的单位特征向量为10Tp ⎫=-⎪⎭，特征值12=λ对应的单位特征向量为()T1,0,02=p( ) 0, 9 0 9 4 4 2 4 4 2 2 2 1 . 3212 = = = - - = - ⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ - - - - = λ λ λ λ λ λ 令 1、 E A A特征值23=λ对应的单位特征向量为30Tp ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令：()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==012102121021,,321p p p P 得该正交变换为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321012102121021y y y x x x3、证:f 是不定二次型,设f 的正惯性指数为P,f 的秩为r ，则r P <<0,f 可经非退化线性变换QY X =化为规范形f =221221r P P y y y y ---+++取()00010010≠=TY,则有00≠=PY X 使0AXX T=0001001=++-++4、因为A,B 都合同于单位矩阵E ，由合同的传递性，A 合同于B5、必要性 A 正定，特征值大于零，存在正交阵Q ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n TAQ Q λλ1T n Tn Tn Q Q Q Q Q Q A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλλ111所以2B A =，其中T n Q Q B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλ1，0>i λ，故B 正定充分性 B 正定，故对称且可逆，B B B A T＝2=，所以A 正定。

线性代数解题技巧及典型题解析02-第六章二次型单元测验答案_39

1 0 1
(A) k 2 且 k 0 (B) k 2 且 k 0
(C) k 2 且 k 0 (D) k 2 且 k 0
答案：A
解由
－1 0 －1 E A ＝ 0 －2 0 ＝（－2）2可得A的特征值为 1 ＝ 2 ＝2， 3 ＝0.
1 0 －1
2 0 0 记对角矩阵 D＝0 2 0
11. 设二次型 f (x1, x2, x3) xT Ax ax12 2x22 2x32 2bx1x3 (b 0)，其中二次型的矩阵 A的特征值之和为1，特征值之积为 12，则 a 1，b
0
0
Q1
t n
9.
若二次型 f (x1, x2, x3) 2x12 x22 x32 2x1x2 t x2x3 是正定的，则 t 的取值范围是
(A) 2 t 2 (B) 0 t 2
(C) 2 t 0 答案：A
(D) t 取任意实数
10. 设 A 是 n 阶实对称矩阵，且 A3 A2 A 3E，则 A 是 (A) 正定矩阵 (B) 准正定矩阵 (C) 负定矩阵 (D) 准负定矩阵答案：A
4.
已知二次曲面方程x2 ay2 z2 2bxy 2xz 2 yz 4可以经过正交变换
x
y
P
化为椭圆柱面方程 2 4 2 4，则正交矩阵P为
z
1 1 1
2
3
6
(A)
P
0
1 3
2
6
1 2
1 3
1 6
1 1 1
2
3
6
(B)
P
0
1 3
2
6
1 1 1
2 3 6
(A) 3y12 答案：a

线性代数第六章

T T
(x1 , x2 , x3 )
T
= (k ,−k ,0 )
T.
例10（1991）考虑二次型（）
f = x + 4 x + 4 x + 2λx1 x2 − 2 x1 x3 + 4 x2 x3
2 1 2 2 2 3
+ 2 a n − 1, n x n − 1 x n 称为二次型 .
二次型可记作 f = x T Ax , 其中 A T = A . A 称为二次型 f的矩阵 , f称为对称阵 A 的二次型 , 对称阵 A 的秩称为二次型 f的秩 .
二次型与它的矩阵是一一对应的．二次型与它的矩阵是一一对应的．
提示：提示：f = X T 1 (A* )T X = X T 1 A* X = X T A−1 X
A A
合同，由于 A 与 A−1合同，所以 g ( X ) = X T AX 与
f ( X ) = X T A−1 X 具有相同的规范形具有相同的规范形.
例5（2003）设二次型（）
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = X T AX = ax12 + 2 x2 − 2 x3 + 2bx1 x3 (b > 0),
3）个系数全为负。（3） f 的标准形的n个系数全为负。（4） f 的负惯性指数为 n 。），（或（5） A 与负单位矩阵 E 合同，（或- E 为 A 的规范）与负单位矩阵- 合同，（形）（6）存在可逆矩阵 P ，使 A = − P P ）
T
（7）对称矩阵A为负定的充分必要条件是 : 奇数阶主子）
( 2 )任给实二次型 f = ∑ a ij x i x j ( a ij = a ji ), 总

线性代数第六章二次型试题及答案

第六章二次型齐一次线性函数一、基本概念n个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数，一般形式为2 2f(X1,X2,…，Xi)= a ii x i +2a i2X l X2+2a i3X l X3 +…+2ai n X l X n+ a22X2+2a23X l X3+n2 2…+2a in X l X n+ …+a n X n =送a ii X i+2送a ij XX j.i 3 iuj它可以用矩阵乘积的形式写出：构造对称矩阵A也盹… am ' f X1\n n*21 a?2 a?n X2 f(X1,X2，…X n) a j X i X j =(X1,X2，…X n)* * ai=1 j =10n1 a n2 a nn丿帆记X 二X i，X2，…X T，贝y f(X 1 ,X2,…，X)= X T AX称对称阵A为二次型f的矩阵，称对称阵A的秩为二次型f的秩.注意：一个二次型f的矩阵A必须是对称矩阵且满足f二X T AX，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f和它的矩阵A (A为对称阵)是对应的，因此, 也把二次型f称为对称阵A的二次型。

实二次型如果二次型的系数都是实数，并且变量X1,X 2,…,X n的变化范围也限定为实数，则称为实二次型•大纲的要求限于实二次型•标准二次型只含平方项的二次型，即形如 f = d1X12d2X f d n X2称为二次型的标准型。

规范二次型形如X；•…Xp -X： 1 -…X：.q的二次型，即平方项的系数只1, -1 , 0，称为二次型的规范型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x1,x2,…,x)引进新的变量y1,y2,…,y,并且把X1,X2,…,x)表示为它们的其中第六章二次型齐一次线性函数X1 =5°1 +0!2丫2 十…+Gny nX2 =C2°1 +0^2 i 乜丫.1 :X n =6“1 - C n2y2 亠亠C nn『n代入f(X1,x2，…,X)得到y1 ,y2,…,y的二次型gM,y2,…,y).把上述过程称为对二次型f(X1,X2,…,Xi)作了线性变量替换，如果其中的系数矩阵厂C11 C12 …01^\C= C21 C22 (2)<Cn1 C n2…是可逆矩阵，则称为可逆线性变量替换•下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出：X二CYf =X T AX=(CY)T A(CY)=Y T(C T AC)Y记B = C T AC，贝y B T= B，从而f 二Y T BY。

第六章二次型答案详解

线性代数二次型习题及问题详解

《线性代数》考点强化班 配套讲义 第六章 二次型

《工程高等代数》6第六章相似矩阵与二次型习题解答

线性代数第六章习题册答案

线性代数第六章二次型试题及答案

线性代数第 六章二次型试题及答案

居于马线性代数第六章答案

考研高数之线性代数自我检测试题(附详细答案解析)第六章 二次型

线性代数第六章二次型试题及答案-二次型f

线性代数二次型习题及答案

线性代数第六章二次型试题及答案

东北大学线性代数_第六章课后习题详解二次型

第六章(5)二次型的正定性

浙大线性代数课后习题答案——第六章 二次型

线性代数二次型练习题及答案

6章二次型答案

线性代数解题技巧及典型题解析02-第六章二次型单元测验答案_39

线性代数第六章

线性代数第六章二次型试题及答案

《线性代数》考点强化班配套讲义第六章二次型

线性代数第六章二次型试题及答案

考研高数之线性代数自我检测试题(附详细答案解析)第六章二次型

浙大线性代数课后习题答案——第六章二次型