数列极限的几种求法
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数列极限的几种求法
一、定义法:
数列极限的定义如下:设{n a }是一个数列,若存在确定的数a,对ε∀>0 ∃N>0使当n>N 时,都有
a a n -<ε则称数列{n a }收敛于a ，记为n n a ∞
→lim =a ，否则称数列{n a }不收敛（或称数列{n a }发散）。故可从最原始的定义出发计算数列极限。
例1、 用ε-N 方法求 n
n n 1lim +∞→
解：令 n n 1+=t+1 则 t>0
∴ n+1=n
t )1(+2)1(2)1(12
2t n n t n n nt -≥+-++≥ ∴ 1
2)1(4)1()1(211-≤-≤-+≤=-+n n n n n n n t n n ∴ε∀>0 取 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=142εN 则当N n >时，有 ε<-≤-+12
11n n n
∴
n n n 1lim +∞→=1
二、单调有界法： 首先我们介绍单调有界定理，其内容如下：
在实数系中，有界的单调数列必有极限。
证明：不妨设{n a }为有上界的递增数列。由确界原理，数列{n a }有上界，记为sup =a {n a }。以下证明a 就是{n a }的极限。事实上，ε∀>0，按上确界的定义，存在数列{n a }中某一项N a ，使得N a a <-ε 又由{n a }的递增性，当N n ≥时有
εε+<<-a a a n ，
这就证得 a a n n =∞
→lim 。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。 例2、证明数列
,222,22,2+++
收敛，并求其极限。 证：222 ++=
n a ，易见数列{n a }是递增的。现用数学归纳法来证明{n a }有上界。 显然 221<=a 。假设2 ∑=∞→n k n k n 14 1lim ε即{n a }有上界。 由单调有界定理，数列{n a }有极限，记为a 。由于 n n a a +=+221 ， 对上式两边取极限得 a a +=22，即有 （a+1）（a-2）=0，解得 a=-1或a=2 由数列极限的保不等式性，a=-1是不可能的，故有 2222lim =++∞→ n 三、运用两边夹法： 迫敛法：（两边夹法）设收敛数列{n a }，}{n b 都以a 为极限，数列}{n c 满足：存在正数0N 当0 N n >时有n n n c b a ≤≤ （1） 则数列}{n c 收敛且a c n n =∞ →lim 证：0>∀ε 由a b a n n n n ==∞ →∞→lim lim 分别存在正数1N 与2N 使得 当1N n >时有n a a <-ε （2）