四川省泸州市2017年高考数学一诊试卷(理科)Word版含解析

四川省泸州市2017年高考一诊试卷
（理科数学）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U={x|x≤9，x∈N+}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则∁
U
（A∪B）=（）A．{3} B．{7，8} C．{7，8，9} D．{1，2，3，4，5，6}
2．已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（）
A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．若，则=（）
A． B． C．D．
4．已知命题p，q是简单命题，则“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分有不必要条件
5．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若点P为CD的中点，且，则λ+μ=（）
A．3 B．C．2 D．1
6．如图，是某算法的程序框图，当输出T＞29时，正整数n的最小值是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组
成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）
A．B．C．D．
8．已知数列{a
n }满足a
n
=若对于任意的n∈N*都有a
n
＞a
n+1
，则实数a的取值
范围是（）
A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（，1）
9．已知不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣] B．（﹣∞，﹣] C．[，] D．[，+∞）
10．如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，AB=BD，∠CBA=∠CBD=，则直线AD与平面BCD所成角的大小是（）
A．B．C．D．
11．椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形
（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
12．已知函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）和y=F（x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（）
A．（0，2] B．[，+∞）C．[，2] D．[，2]∪[4，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．二项式的展开式中常数项为．
14．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是C或D作品获得一等奖”；
乙说：“B作品获得一等奖”；
丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；
丁说：“是C作品获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．
15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积为．
16．若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数的图象相切于同一点，则a的值为．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cosC+ccosB=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinAcosB的取值范围．
18．张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：
年龄（岁）78910111213
身高（cm）121128135141148154160
（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
=， =﹣．
19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+ax（a∈R），且曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行．
（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．
20．设各项均为正数的数列{a
n }的前n项和为S
n
，且满足2=a
n
+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）若b
n =（a
n
+1）•2，求数列{b
n
}的前n项和T
n
．
21．已知函数f（x）=ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由
（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系中，曲线C
1
：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线
为C
2
，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C
2
的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C
3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C
3
与曲线C
2
相交于P，Q两点，
求|PQ|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1．
（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．
四川省泸州市2017年高考数学一诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（A∪B）=（）1．已知全集U={x|x≤9，x∈N+}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则∁
U
A．{3} B．{7，8} C．{7，8，9} D．{1，2，3，4，5，6}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】化简全集U，根据并集与补集的定义，写出运算结果即可．
【解答】解：全集U={x|x≤9，x∈N+}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
集合A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，A∪B={1，2，3，4，5，6}；
（A∪B）={7，8，9}．
∴∁
U
故选：C．
2．已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（）
A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由z（1+i）=1+3i，得，
故选：A．
3．若，则=（）
A． B． C．D．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角和的正弦公式求得要求式子的值．
【解答】解：若，则cosα==，
则=sinαcos+cosαsin=+=，
故选：B．
4．已知命题p，q是简单命题，则“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分有不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由“￢p是假命题”可得：p是真命题，可得“p∨q是真命题”．反之不成立．
【解答】解：由“￢p是假命题”可得：p是真命题，可得“p∨q是真命题”．
反之不成立，例如p是假命题，q是真命题．
∴“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的必要不充分条件．
故选：B．
5．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若点P为CD的中点，且，则λ+μ=（）
A．3 B．C．2 D．1
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，可以得到的坐标表示，进而得到答案．
【解答】解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图，
则B（1，0），E（﹣1，1），
∴=（1，0），=（﹣1，1），
∵=（λ﹣μ，μ），
又∵P是BC的中点时，
∴=（1，），
∴，
∴λ=，μ=，
∴λ+μ=2，
故选：C
6．如图，是某算法的程序框图，当输出T＞29时，正整数n的最小值是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】程序框图．
【分析】根据框图的流程模拟程序运行的结果，直到输出T的值大于29，确定最小的n值．【解答】解：由程序框图知：
第一次循环k=1，T=2
第二次循环k=2，T=6；
第三次循环k=3，T=14；
第四次循环k=4，T=30；
由题意，此时，不满足条件4＜n，跳出循环的T值为30，
可得：3＜n≤4．
故正整数n的最小值是4．
故选：C．
7．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出基本事件总数n=，再求出组成的五位数是偶数包含的基本事件个数m=，由此能求出组成的五位数是偶数的概率．
【解答】解：从1，3，5，7，9中任取3个数字，
从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，
基本事件总数n=，
组成的五位数是偶数包含的基本事件个数m=，
∴组成的五位数是偶数的概率是p===．
故选：D．
8．已知数列{a
n }满足a
n
=若对于任意的n∈N*都有a
n
＞a
n+1
，则实数a的取值
范围是（）
A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（，1）【考点】数列递推式．
【分析】，若对于任意的n∈N*都有a
n ＞a
n+1
，可得＜0，a
5
＞a
6
，0＜a＜
1．解出即可得出．
【解答】解：∵满足a
n =，若对于任意的n∈N*都有a
n
＞a
n+1
，
∴＜0，a
5＞a
6
，0＜a＜1．
∴a＜0， +1＞a，0＜a＜1，
解得．
故选：B．
9．已知不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣] B．（﹣∞，﹣] C．[，] D．[，+∞）
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，等价于不等
式（sin cos+cos2﹣）
min
≥m对于x∈[﹣，]恒成立，令f（x）=sin cos+cos2﹣，求x∈[﹣，]的最小值即可．
【解答】解：由题意，令f（x）=sin cos+cos2﹣，
化简可得：f（x）=+（cos）==sin（）
∵x∈[﹣，]
∴∈[，]
当=时，函数f（x）取得最小值为．
∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．
故选B．
10．如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，AB=BD，∠CBA=∠CBD=，则直线AD与平面BCD所成角的大小是（）
A．B．C．D．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】如图所示，过点A在平面ABC内作AO⊥BC，垂足为点O，连接OD．根据三角形ABC 和三角形DBC所在平面互相垂直，可得AO⊥平面BCD，AO⊥OD．因此∠ADO是直线AD与平面BCD所成的角．通过证明△OBA≌△OBD，即可得出．
【解答】解：如图所示，过点A在平面ABC内作AO⊥BC，垂足为点O，连接OD．
∵三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，∴AO⊥平面BCD，∴AO⊥OD．
∴∠ADO是直线AD与平面BCD所成的角．
∵AB=BD，∠CBA=∠CBD=，
∴∠ABO=∠DBO，又OB公用，
∴△OBA≌△OBD，
∴∠BOD=∠AOB=．OA=OD．
∴∠．
故选：B．
11．椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形
（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据题意，作出椭圆的图象，分析可得A的坐标，将A的坐标代入椭圆方程可得
+=1，①；结合椭圆的几何性质a2=b2+c2，②；联立两个式子，解可得c=（﹣1）a，
由离心率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，如图，设F（0，c），
又由△OAF是等边三角形，则A（，），
A在椭圆上，则有+=1，①；
a2=b2+c2，②；
联立①②，解可得c=（﹣1）a，
则其离心率e==﹣1；
故选：A．
12．已知函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）和y=F（x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（）
A．（0，2] B．[，+∞）C．[，2] D．[，2]∪[4，+∞）
【考点】分段函数的应用．
【分析】若区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，则函数f（x）=|2x﹣t|和函数F（x）=|2﹣x﹣t|在[1，2]上单调性相同，则（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，进而得到答案．
【解答】解：∵函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，
∴F（x）=f（﹣x）=|2﹣x﹣t|，
∵区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，
∴函数f（x）=|2x﹣t|和函数F（x）=|2﹣x﹣t|在[1，2]上单调性相同，
∵y=2x﹣t和函数y=2﹣x﹣t的单调性相反，
∴（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，
即1﹣t（2x+2﹣x）+t2≤0在[1，2]上恒成立，
即2﹣x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，
即≤t≤2，
故选：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．二项式的展开式中常数项为24 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为0求出r的值，从而求出展开式中常数项．
【解答】解：二项式展开式的通项公式为：
T
=••x r=24﹣r••x2r﹣4，
r+1
令2r﹣4=0，解得r=2，
∴展开式中常数项为T
=22•=24．
3
故答案为：24．
14．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是C或D作品获得一等奖”；
乙说：“B作品获得一等奖”；
丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；
丁说：“是C作品获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 B ．
【考点】进行简单的合情推理．
【分析】根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．
【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，
若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，
若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，
若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，
故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B
故答案为：B
15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积为48π．
【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．
【分析】判断几何体的特征，正方体中的三棱锥，利用正方体的体对角线得出外接球的半径求解即可．
【解答】解：三棱锥补成正方体，棱长为4，
三棱锥与正方体的外接球是同一球，半径为R==2，
∴该球的表面积为4π×12=48π，
故答案为：48π．
16．若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数的图象相切于同一点，则a的值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】设切点为（t，），求出切线方程，利用直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数y=的图象相切于同一点，建立方程，求出t，即可得出结论．
【解答】解：设切点为（t，），y′=，x=t时，y′=t，
∴切线方程为y﹣=（x﹣t），即y=tx﹣，
∵一直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数y=的图象相切于同一点，
∴=，∴t=2，
∴切点为（2，1），代入圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0，可得a=3，
故答案为3．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cosC+ccosB=0．（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinAcosB的取值范围．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C的大小；
（Ⅱ）由（I）和内角和定理表示出B，并求出A的范围，代入sinAcosB后，由两角差的余弦公式、正弦公式化简后，由A的范围和正弦函数的性质求出答案．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，（2a+b）cosC+ccosB=0，
∴由正弦定理得，（2sinA+sinB）cosC+sinCcosB=0，
则2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0，
即sin（B+C）=﹣2sinAcosC，
∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，
∴1=﹣2cosC，得cosC=，
又0＜C＜π，∴C=；
（Ⅱ）由（I）得C=，则A+B=π﹣C=，
即B=﹣A，所以，
∴sinAcosB=sinAcos（﹣A）
=sinA（cos cosA+sin sinA）=sinA（cosA+sinA）
=sin2A+=（）
=
∵，∴，
则，
即，
∴sinAcosB的取值范围是．
18．张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：
年龄（岁）78910111213
身高（cm）121128135141148154160
（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
=， =﹣．
【考点】线性回归方程．
【分析】（Ⅰ）首先根据表格与公式求得相关数据，然后代入线性回归方程求得，由此求得线性回归方程；
（Ⅱ）将先15代入（Ⅰ）中的回归方程即可求得张三同学15岁时的身高．【解答】解：（Ⅰ）由题意得=（7+8+9+10+11+12+13）=10，
==141，
（=9+4+1+0+1+4+9=28，
（x
i ﹣）（y
i
﹣）=（﹣3）×（﹣20）+（﹣2）×（﹣13）+（﹣1）×（﹣6）+0×0+1×
7+2×13+3×19=182，
所以==， =﹣=141﹣×10=76，
所求回归方程为=x+76．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， =＞0，
故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高，平均每年增高6.5cm．
将x=15代入（Ⅰ）中的回归方程，得=×15+76=173.5，
故预测张三同学15岁的身高为173.5cm．
19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+ax（a∈R），且曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行．
（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．
【分析】（Ⅰ）首先求得导函数，然后利用导数的几何意义结合两直线平行的关系求得a的值，由此求得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将问题转化为函数f（x）的图象与y=m有三个公共点，由此结合图象求得m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当x＞0时，f′（x）=x2+a，
因为曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行，
所以f′（）=+a=﹣，解得a=﹣1，
所以f（x）=x3﹣x，
设x＜0则f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣x，
又f（0）=0，所以f（x）=x3﹣x．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（﹣3）=﹣6，f（﹣1）=，f（1）=﹣，f（）=0，
所以函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，
等价于函数f（x）在[﹣3，]上的图象与y=m有三个公共点．
结合函数f（x）在区间[﹣3，]上大致图象可知，实数m的取值范围是（﹣，0）．
20．设各项均为正数的数列{a
n }的前n项和为S
n
，且满足2=a
n
+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）若b
n =（a
n
+1）•2，求数列{b
n
}的前n项和T
n
．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（Ⅰ）首先利用S
n 与a
n
的关系：当n=1时，a
1
=S
1
，当n≥2时，a
n
=S
n
﹣S
n﹣1
；结合已知
条件等式推出数列{a
n }是等差数列，由此求得数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）首先结合（Ⅰ）求得b
n
的表达式，然后利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a
1=S
1
，有2=a
1
+1，解得a
1
=1；
当n≥2时，由2=a
n +1得4S
n
=a
n
2+2a
n
+1，4S
n﹣1
=a
n﹣1
2+2a
n﹣1
+1，
两式相减得4a
n =a
n
2﹣a
n﹣1
2+2（a
n
﹣a
n﹣1
），
所以（a
n +a
n﹣1
）（a
n
﹣a
n﹣1
﹣2）=0，
因为数列{a
n }的各项为正，所以a
n
﹣a
n﹣1
﹣2=0，
所以数列{a
n
}是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以数列{a
n }的通项公式为a
n
=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b
n =（a
n
+1）•2=2n•22n﹣1=n•4n．
所以前n项和T
n
=1•4+2•42+3•43+…+n•4n，
4T
n
=1•42+2•43+3•44+…+n•4n+1，
两式相减得﹣3T
n
=4+42+43+…+4n﹣n•4n+1
=﹣n•4n+1，
化简可得T
n
=+•4n+1．
21．已知函数f（x）=ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由
（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）=ae x ﹣x为R上的减函数；当a＞0时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；
（Ⅱ）x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于ae x﹣x≥e﹣x恒成立，分离参数a，可得恒成立．令g（x）=，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值，然后利用导数求得函数g（x）在[1，2]上的最大值得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ae x﹣x，得f′（x）=ae x﹣1，
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）=ae x﹣x为R上的减函数；
当a＞0时，令ae x﹣1=0，得x=lna，
若x∈（﹣∞，﹣lna），则f′（x）＜0，此时f（x）为的单调减函数；
若x∈（﹣lna，+∞），则f′（x）＞0，此时f（x）为的单调增函数．
综上所述，当a≤0时，f（x）=ae x﹣x为R上的减函数；
当a＞0时，若x∈（﹣∞，﹣lna），f（x）为的单调减函数；
若x∈（﹣lna，+∞），f（x）为的单调增函数．
（Ⅱ）由题意，x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于ae x﹣x≥e﹣x恒成立，
即x∈[1，2]，恒成立．
令g（x）=，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值．
由g（x）==，函数y=在[1，2]上单调递减，
令h（x）=，x∈[1，2]，h′（x）=．
∴h（x）=在x∈[1，2]上也是减函数，
∴g（x）在x∈[1，2]上也是减函数，
∴g（x）在[1，2]上的最大值为g（1）=．
故x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立的实数a的取值范围是[，+∞）．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线22．在平面直角坐标系中，曲线C
1
为C
，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
2
（Ⅰ）求C
的极坐标方程；
2
（Ⅱ）设曲线C
3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C
3
与曲线C
2
相交于P，Q两点，
求|PQ|的值．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）求出C
2的参数方程，即可求C
2
的极坐标方程；
（Ⅱ）C
2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C
3
的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，
直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|的值．
【解答】解：（Ⅰ）C
2
的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2=1，
∴C
2
的极坐标方程为ρ=2cosθ；
（Ⅱ）C
2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C
3
的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，
直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，
∴圆心到直线的距离d==，
∴|PQ|=2=．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1．
（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）当b=1时，把f（x）用分段函数来表示，分类讨论，求得f（x）≥1的解集．（Ⅱ）当x∈R时，先求得f（x）的最大值为b2+1，再求得g（x）的最小值，根据g（x）的最小值减去f（x）的最大值大于或等于零，可得f（x）≤g（x）成立．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，当b=1时，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|=，
当x≤﹣1时，f（x）=﹣2＜1，不等式f（x）≥1无解，不等式f（x）≥1的解集为∅；
当﹣1＜x＜1时，f（x）=2x，由不等式f（x）≥1，解得x≥，所以≤x＜1；
当x≥1时，f（x）=2≥1恒成立，
所以不等式f（x）≥1的解集为[，+∞）．
（Ⅱ）（Ⅱ）当x∈R时，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|≤|x+b2 +（﹣x+1）|=|b2+1|=b2+1；g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|=≥|x+a2+c2﹣（x﹣2b2）|=|a2+c2+2b2|=a2+c2+2b2．
而 a2+c2+2b2﹣（b2+1）=a2+c2+b2﹣1=（ a2+c2+b2+a2+c2+b2）﹣1≥ab+bc+ac﹣1=0，当且仅当a=b=c=时，等号成立，即 a2+c2+2b2≥b2+1，即f（x）≤g（x）．。