2020版新高考理科数学专题强化训练：数列

专题强化训练(十七) 数 列

1．[2019·唐山摸底]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝3a n －1

2. (1)求a n ；

(2)若b n ＝(n －1)a n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)由已知可得，2S n ＝3a n －1，① 所以2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1， 化简得a n ＝3a n －1(n ≥2)， 在①中，令n ＝1可得，a 1＝1，

所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 从而有a n ＝3n －1. (2)b n ＝(n －1)3n －1，

T n ＝0×30＋1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n －1，③ 则3T n ＝0×31＋1×32＋2×33＋…＋(n －1)×3n .④ ③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)×3n ＝3－3n 1－3－(n －1)×3n ＝(3－2n )×3n －32. 所以T n ＝(2n －3)×3n ＋34

. 2．[2019·安徽示范高中]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n

＝2－a n ，n ＝1,2,3，….数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n .

(1)求数列{b n }的通项公式；

(2)设c n ＝n (3－b n )，数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)∵n ＝1时，a 1＋S 1＝a 1＋a 1＝2，∴a 1＝1.

∵S n ＝2－a n ，即a n ＋S n ＝2，∴a n ＋1＋S n ＋1＝2.两式相减得a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0，

即a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝0，故有2a n ＋1＝a n ，

由S n ＝2－a n ，知a n ≠0， ∴a n ＋1a n

＝1

2(n ∈N *)．

∴{a n }是首项为1，公比为1

2的等比数列，其通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭

⎪

⎫12n －1

.

∵b n ＋1＝b n ＋a n (n ＝1,2,3，…)，

∴b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12n －1，

∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝1

2，b 4－b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，…，b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －2(n ＝2,3，…)．

将这n －1个等式相加得，b n －b 1＝1＋12＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

122＋…＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －2＝

1－⎝ ⎛⎭

⎪

⎫12n －11－12

＝2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －2. 又b 1＝1，∴b n ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2

(n ＝2,3，…)，当n ＝1时也满足上式，

∴b n ＝3－⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －2

(n ∈N *)．

(2)∵c n ＝n (3－b n )＝2n ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1，∴T n ＝2[⎝ ⎛⎭

⎪⎫120＋2×⎝ ⎛⎭

⎪⎫121＋3×⎝ ⎛⎭

⎪⎫

122＋…

＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋n ×⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1

]．①

1

2T n ＝2[⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ]．② ①－②得，1

2T n ＝2[⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1]－2×n ×⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n (n ∈

N *)，

T n ＝4×1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12n

1－12

－4×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝8－(8＋4n )×12n (n ＝1,2,3，…)．

3．[2019·洛阳统考]已知等差数列{a n }的公差d ≠0，若a 3＋a 9＝22，且a 5，a 8，a 13成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝(a n ＋1)2a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .

解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，依题意，

⎩⎪⎨⎪⎧

2a 1＋10d ＝22(a 1＋7d )2＝(a 1＋4d )(a 1

＋12d )， 解得a 1＝1，d ＝2，

∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.

(2)b n ＝(a n ＋1)2a n a n ＋1＝4n 2(2n －1)(2n ＋1)＝4n 24n 2－1＝1＋1(2n －1)(2n ＋1)＝

1＋12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

2n －1－12n ＋1，

∴S n ＝1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪

⎫1

2n －1－12n ＋1＝n ＋12⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1－12n ＋1＝2n 2＋2n 2n ＋1.

4．[2019·石家庄质检]已知{a n }是首项为1的等比数列，各项均为正数，且a 2＋a 3＝12.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝1

(n ＋2)log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .

解：(1)设{a n }的公比为q ，

由a 2＋a 3＝12及a 1＝1，得q ＋q 2＝12， 解得q ＝3或q ＝－4. 因为{a n }的各项均为正数，

所以q >0，所以q ＝3，所以a n ＝3n －1. (2)b n ＝1(n ＋2)log 3a n ＋1＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1

n －

1n ＋2， 所以S n ＝