正弦及正弦型函数(一、二、三)
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【课前复习】
一.轴线角公式
1.终边落在x轴正半轴上角的集合是
2.终边落在x轴负半轴上角的集合是
3.终边落在y轴正半轴上角的集合是
4.终边落在y轴负半轴上角的集合是
5.终边落在x轴上角的集合是
6.终边落在y轴上角的集合是
7.终边落在轴上角的集合是
二.诱导公式
1.口诀是
2.填空
(1)sin(p+a)= ; cos(p+a)= ; tan(p+a)= ;
(2)sin(p-a)= ; cos(p-a)= ; tan(p-a)= ;
(3)sin(2p+a)= ; cos(2p+a)= ; tan(2p+a)= ;
(4)sin(2p-a)= ; cos(2p-a)= ; tan(2p-a)= ;
(5)sin(-a)= ; cos(-a)= ; tan(-a)= ;
(6)sin(p
2
+a)= ; cos(
p
2
+a)= ; tan(
p
2
+a)= ;
(7)sin(p
2
-a)= ; cos(
p
2
-a)= ; tan(
p
2
-a)= ;
(8)sin(3p
2
+a)= ; cos(3
p
2
+a)= ; tan(3
p
2
+a)= ;
(9)sin(3p
2
-a)= ; cos(3
p
2
-a)= ; tan(3
p
2
-a)= ;
5-7.正弦及正弦型函数
【知识要点归纳】
一.正弦函数的图像和性质
二.三角函数的图象变换法则
平移变换法则:
翻折变换法则:
对称变换法则:
伸缩变换法则:
【经典例题】
例1:函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图像与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是________.
例2:下列图像是由x y sin =怎样变化来的? (1)1sin +=x y ;(2))3
sin(π
+
=x y ;(3)x y sin -=;(4)|sin |x y =
(5)||sin x y =;(6)x y 2sin =;(7)x y sin 2=;(8)1)3
2sin(2++=π
x y
例3:如图为y=Asin(ωx+ϕ)的图象的一段,求其解析式.
例4:已知函数为y =2sin(2x +p 6
)
,求该函数的周期、最值、单调性、对称轴,奇偶性、对称中心
变式一:y =-2sin(2x +p
6
)
例5:已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,02
A π
ωϕ>><<
)的周期为π,且图象上一个最低点
为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式;
(Ⅱ)当[0,]12
x π
∈,求()f x 的最值.
例6:设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8
π
=x .(Ⅰ)求ϕ;(Ⅱ)
求函数)(x f y =的单调增区间
例7:函数π()3sin 23f x x ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象为C ,如下结论中正确的是___(写出所有正确结论的编号..
). ①图象C 关于直线11π12x =
对称;②图象C 关于点2π03⎛⎫ ⎪⎝⎭
,对称; ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫
-
⎪⎝⎭
,内是增函数; ④由3sin 2y x =的图角向右平移π
3
个单位长度可以得到图象C .
例8:已知函数()sin(),f x x ωϕ=+其中0ω>,||2
π
ϕ<
(I )若cos(
p
4
+f )=0,求ϕ的值;
(Ⅱ)在(I )的条件下,若函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
3
π
,求函数()f x 的解析式;并求最小正实数m ,使得函数()f x 的图像向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数。
【课堂练习】
1.函数y=asinx+b(a <0=的最大值为2,最小值为-4,则a= ,b= 。
答案:-3,-1
2.函数[]0,,62sin 2ππ-∈⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=x x y 的单调递减区间是 。
答案:⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--
3,6
5ππ
3.y =1+sin x ,x ∈[0,2π]的图象与直线y =23
交点的个数是
A.0
B.1
C.2
D.3 答案:C
4. 为了得到这个函数的图象,只要将的图象上所有的点
(A)向左平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变 (B) 向左平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的
25y Asin x x R 66ππωϕ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
右图是函数(+)()在区间-,上的图象,
y sin x x R =∈()3
π1
23
π
倍,纵坐标不变 (C) 向左平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变 (D) 向左平移个单位
长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
【答案】A
5.设,函数2)3
sin(++=π
ωx y 的图像向右平移
个单位后与原图像重合, 则的最小值是
(A
)
(B ) (C ) (D ) 3 解析:选C.由已知,周期
【能力提高】
6π126
π
0ω>43
π
ω23433
2
243,.32T ππωω==∴=
1.若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,π
2
]上单调递减,则ω=( )
A .3
B .2 C.3
2 D.2
3
[答案] C
[解析] 本题主要考查正弦型函数y =sin ωx 的单调性依题意y =sin ωx 的周期T =4×π3=43π,又T =2π
ω
,
∴
2πω=43π,∴ω=3
2
.故选C(亦利用y =sin x 的单调区间来求解) 2.已知函数y =2sin(ωx +θ)为偶函数(0<θ<π),其图像与直线y =2的交点的横坐标为x 1、x 2,若|x 1-x 2|的最小值为π,则( )
A .ω=2,θ=
π2
B .ω=12,θ=π
2
C .ω=12,θ=π
4
D .ω=2,θ=
π
4
[答案] A
[解析] y =2sin(ωx +θ)为偶函数且0<θ<π,所以θ=
π
2
,y =2cos ωx ,∴y ∈[-2,2].又∵|x 1-x 2|min =π,故y =2与y =2cos ωx 的交点为最高点,于是最小正周期为π.即2π
ω=π,所以ω=2.故选A.
3.函数y =1
1-x
的图像与函数y =2sin πx (-2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( )
A .2
B .4
C .6
D .8
[答案] D
由两函数的对称性可知:交点A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,A 7,A 8的横坐标满足x 1+x 8=2,x 2+x 7=2,x 3+x 6=2,
x 4+x 5=2,即x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8=8,故选D.。