正弦及正弦型函数(一、二、三)

【课前复习】

一.轴线角公式

1.终边落在x轴正半轴上角的集合是

2.终边落在x轴负半轴上角的集合是

3.终边落在y轴正半轴上角的集合是

4.终边落在y轴负半轴上角的集合是

5.终边落在x轴上角的集合是

6.终边落在y轴上角的集合是

7.终边落在轴上角的集合是

二．诱导公式

1.口诀是

2.填空

（1）sin(p+a)= ; cos(p+a)= ; tan(p+a)= ;

（2）sin(p-a)= ; cos(p-a)= ; tan(p-a)= ;

（3）sin(2p+a)= ; cos(2p+a)= ; tan(2p+a)= ;

（4）sin(2p-a)= ; cos(2p-a)= ; tan(2p-a)= ;

（5）sin(-a)= ; cos(-a)= ; tan(-a)= ;

（6）sin(p

2

+a)= ; cos(

p

2

+a)= ; tan(

p

2

+a)= ;

（7）sin(p

2

-a)= ; cos(

p

2

-a)= ; tan(

p

2

-a)= ;

（8）sin(3p

2

+a)= ; cos(3

p

2

+a)= ; tan(3

p

2

+a)= ;

（9）sin(3p

2

-a)= ; cos(3

p

2

-a)= ; tan(3

p

2

-a)= ;

5-7.正弦及正弦型函数

【知识要点归纳】

一．正弦函数的图像和性质

二．三角函数的图象变换法则

平移变换法则：

翻折变换法则：

对称变换法则：

伸缩变换法则:

【经典例题】

例1：函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．

例2：下列图像是由x y sin =怎样变化来的？ （1）1sin +=x y ；（2）)3

sin(π

+

=x y ；（3）x y sin -=；（4）|sin |x y =

（5）||sin x y =；（6）x y 2sin =；（7）x y sin 2=；（8）1)3

2sin(2++=π

x y

例3：如图为y=Asin(ωx+ϕ)的图象的一段，求其解析式.

例4：已知函数为y =2sin(2x +p 6

)

，求该函数的周期、最值、单调性、对称轴，奇偶性、对称中心

变式一：y =-2sin(2x +p

6

)

例5：已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02

A π

ωϕ>><<

）的周期为π，且图象上一个最低点

为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式；

（Ⅱ）当[0,]12

x π

∈，求()f x 的最值.

例6：设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8

π

=x .（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）

求函数)(x f y =的单调增区间

例7：函数π()3sin 23f x x ⎛

⎫

=-

⎪⎝

⎭

的图象为C ，如下结论中正确的是___（写出所有正确结论的编号．．

）． ①图象C 关于直线11π12x =

对称；②图象C 关于点2π03⎛⎫ ⎪⎝⎭

，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫

-

⎪⎝⎭

，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π

3

个单位长度可以得到图象C ．

例8：已知函数()sin(),f x x ωϕ=+其中0ω>，||2

π

ϕ<

（I ）若cos(

p

4

+f )=0,求ϕ的值；

（Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

3

π

，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数。

【课堂练习】

1.函数y=asinx+b(a ＜0＝的最大值为2，最小值为-4，则a= ，b= 。 答案：-3,-1

2.函数[]0,,62sin 2ππ-∈⎪⎭

⎫

⎝

⎛+=x x y 的单调递减区间是 。

答案：⎥⎦⎤

⎢⎣⎡--

3,6

5ππ

3.y ＝1＋sin x ，x ∈［0，2π］的图象与直线y ＝23

交点的个数是

A.0

B.1

C.2

D.3 答案：C

4. 为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点

(A)向左平移

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的

倍，纵坐标不变 (B) 向左平移

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的

25y Asin x x R 66ππωϕ⎡⎤

=∈⎢⎥⎣⎦

右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，

y sin x x R =∈（）3

π1

23

π