数值分析例题1-9

)
1.675 0.3271y 0.03125y 2 0.01302y3
于是有
例2-4 x0 , x1 ,
x* f 1 (0) L3 (0) 1.675
5
证明 (xi x)2 li(x) 0,其中li(x)是关于点 i0
, x5 的插值基函数。
证明
5
5
(xi x)2li(x) (xi2 2xi x x2 )li(x)
设待求插值函数为
H3 ( x) N2 ( x) k( x 0)( x 1)( x 2)
令
H
3
(1)
f (1) 3, 即 4 k 3, 求得 k 1。进而有
H3 ( x) N2 ( x) ( x 0)( x 1)( x 2)
x3 1
例如 设 f(x) 为定义在 [ 27.7，30] 上的函数，在节点 xi(i 1,2,3 ) 上的值如下
En nEn1
(n 1,2,),易得 En （1）n n!E0 ,这说明
I 0 有误差 E0 , I n 就是 E0 的 n! 倍误差。它表明计算公式（A）是数
值不稳定的。
当初值取为I9 0.0684 I 9 （计算方法见书式（3.2））时
法二： （B）
I9
0.0684
I
n1
1 n
(1
xdx 88 135
解：设s1(x) a0 a1x,，0 (x) =1,1(x) =x,故
4
(0 (x),0 (x) ) = i 8 i0
4
(0 (x),1(x) ) =(1(x),0 (x) ) = i xi =22 i0
4
(1(x),1(x) ) = i xi2 =74 i0
4
4
解：分部积分公式
In I nIn1
(n 1, 2, )
I0 e1
1 exdx 1 e1
0
当初值取为I 0 0.6321 I 0时
法一： （A）
I 0 0.6321 I n 1 nI n1
(n 1,2,)
方法一分析：
计算结果表明，各步计算的误差 En I n I n 满足关系
(
y1
)
(
(y y1
y0 )(y y0 )(y1
y2 )(y y3) y2 )(y1 y3
)
f
1
(
y
2
)
(
(y y2
y0 )(y y0 )(y2
y1 )(y y1 )(y2
y3 ) y3
)
f
1
(
y3
)
(
(y y3
y0 )(y y0 )(y3
y1 )(y y1 )(y3
y
2) y2
1 8
(b
a)2
M
2
其中M2 max f (x) 。记号C2 [a,b]表示在区间[a,b]上二阶导数连续 a xb
的函数空间.
证明 于是
通过两点(a, f(a)),(b, f(b))的线性插值为
l1(x)
f(a)
f(b) - f(a) (x a) b-a
max f(x) [f(a) f(b) f(a)(x a)]
r
(
s
)
(s)
s
(s)
ld
27 0.31% 8800
例1-4 设x 0,x的相对误差为，求ln x的误差。
解：
ln
x*
- ln
x
1 x*
(x*
-
x), 即有
e(ln x) er (x)
进而有 (ln(x)) 。
例1-5 计算 I e1 1 xnexdx (n 0,1, ) 并估计误差。 0
例1-2 若电压V 220 5V，电阻 R 300 10,
求电流 I 并计算其误差限及相对误差限。
解： 所以
I 220 0.7333( A) 300
V (R ) R (V )
(I )
（R）2
22010 3005 0.0411( A) 90000
I 0.7333 0.0411( A)
μ1
3 13
,
μ2
1 2
,
μ3 1
λ0 1,
λ1
10 13
,
λ2
1 2
,
d0
6 h0
(f [x0,x1 ]
f0)
46.666
d1 6 f[x0,x1,x2 ] 4.00002
d2 6 f[x1,x2,x3 ] 2.70000
d3
6 h2
(f3-f [x2,x3 ])
17.4
在建立方程组
解：取节点x0 1，x1 0, x2 0.5,作二次插值 ( x 0)( x 0.5) 2
l0 (1 0)(1 0.5) 3 x( x 0.5)
l1
(x (0
1)( x 0.5) 1)(0 0.5)
2(
x
1)(
x
0.5)
( x 1)( x 0) 4 l2 (0.5 1)(0.5 0) 3 x( x 1) 二次插值多项式为
I
n
)
(n 9,8, )
方法二分析：
计算结果表明，各步计算的误差 En In In 满足关系
易得
E0
1 n!
En
, 这说明 E0 比 En
缩小了 n! 倍。
例2-1 已知 f (2) 2, f (1) 1, f (0) 2, f (0.5) 3, 试选用 适合的插值节点通过二次插值多项式计算 f (0.5) 的 近似值，使之精度尽可能高。
L2 ( x) f ( x0 )l0 ( x) f ( x1 )l2 ( x) f ( x2 )l2 ( x) l0 ( x) 2l1( x) 3l2 ( x) 4
f (0.5) L2(0.5) 1 l0(0.5) 2 l1(0.5) 3 l2(0.5) 3 例 2-2 给定函数值表
||f ||1
1
| f (x) | dx
0
1
(1
x)3dx
1
0
4
||f ||2
1
1
1 f 2 (x)dx
0
2
1 0
(1
x）6dx
2
1 7
例3-1 求f (x) x在 [ 1 ,1] 上的在 span{1, x}中的关于 4
(x) 1的最佳平方逼近多项式。
解 已知0 1,1 x,设所求S1*(x) a0 a1x, 得法方程
2 3 13
1 2 1 2
10 13 2 1
M
0
- 46.6666
1
2 2
M1
M M
2 3
4.00002
2.7000
17.4000
解得 M0 23.531 M1 0.396
M2 0.830
最后得 S(x) 表达式
M3 9.115
13.07278(x 28 )3 14.84322(x 28 ) 0.22000(x 27.7 )3
4.51917(x 29 ),
x [ 29,30]
例如 计算函数 f (x) (x 1)3 的 f 、f 与 f
1
2
解 因 f (x) 3(x 1)2 0，x(0,1)，
故 f (x) 单调增加，于是
||f ||
max | 0 x 1
f
(x) |
max | (x 1)3 |
0 x 1
max f (0) , f (1) 1 0 x 1
i0
i0
5
5
5
xi2li(x) 2xi xli(x) x2li(x)
i0
i0
i0
5
5
5
xi2li(x) 2x xili(x) x2 li(x)
i0
i0
i0
x2 2x2 x2 0
例2-5 设f C2 [a,b], 试证：
max axb
f(x) [f(a)
f(b) f(a) (x a)] ba
f(x0 ) f( 27.7 ) 4.1 f(x1 ) f( 28 ) 4.3
f(x2 ) f( 29 ) 4.1
f(x3 ) f( 30 ) 3.0
试求三次样条函数 S(x),使它满足边界条件 S( 27.7 ) 3.0，S( 30 ) 4.0。
解: 先计算
h0 0.30,
h1 h2 1,
(0 (x),f ) = i fi =47, (1(x),f ) = i xi fi =145.5
i0
i0
法方程组为
8 22
22 74
a0
a1
47 145.5
,
解得a0 2.5648, a1 1.2037
于是所求拟合曲线为 s1(x) 2.77 1.13x.
4
(1(x),1(x) ) = xi2 =11.875 i0
r
(
I
)
0.0411 0.7333
6%
例1-3 已测得某场地长 l 的值为 l=110 m，宽d=80m,已知 l - l 0.2m ， d - d 0.1m。试求面积 s ld 的绝对误差限与相对误差限。
解：
(s ) l (d ) d (l )
110 (0.1) 80 (0.2) 27(m2 )
于是 f (0.596) N4 (0.596) 0.63192
截断误差 R4 (x) f [x0 ,, x5 ]5 (0.596) 3.63109
例2-8 试用数据表建立不超过3次的埃尔米特插值多项式。
解法一 （待定系数法） 以已知函数值为插值条件的二次插值多项式为
N2( x) f (0) f [0, 1]( x 0) f [0, 1, 2]( x 0)( x 1) 1 1 ( x 0) 3 ( x 0)( x 1) 3x2 2x 1
(0 ,0 )
(1
,
0
)
(0 ,1)
(1
,
1
)
a0
a1
(
(
f f
,0 )
,
1
)
,
(0,0 )
1
1
dx
3 4
,
(1,1)
1 1
x2dx
21 64
4
4
1
(1,0 ) (0 ,1)
1 xdx
15 32
4
1
( f ,0 ) 1
4
xdx 10 27
( f ,0 )
1
1x
4
在区间[10,12]上 lnx 的三阶导数 (2/x3) 的上限 M3=0.002, 可得误差估计式
R2 (11.25)
M3 3!
| (11.25 10)(11.25 11)(11.25 12) |
0.0000781
例2-3(反插值法) 已知单调连续函数 y f (x) 在如下采样点处
的函数值
求方程 f (x) 0 在[1,2]内根的近似值x*,使误差尽可能小。
分析：求解如上问题等价于求解 x 关于 y 的反函数问题。
解 ：对 y f (x) 的 反 函 数x f 1 ( y) 进 行 三 次 插 值 ， 插 值 多项 式 为
L3 ( y)
f
1
(
y
0
)
(
(y y0
y1 )(y y1 )(y0
y2 )(y y2 )(y0
y3 ) y3
)
f
1
y 3.071e0.505x
用二次插值计算 ln(11.25) 的近似值,并估计误差。
解：取节点x0 10，x1 11, x2 12, 作二次插值 (11.25 11)(11.25 12)
ln(11.25) L2 (11.25) (10 11)(10 12) 2.302585 (11.25 10)(11.25 12) 2.397895 (11 10)(11 12) (11.25 10)(11.25 11) 2.484907 2.420426 (12 10)(12 11)
14.31353(x 27.7 ), x [ 27.7,28]
S(x)
0.06600(
29-
x)3
4.23400(
29
x)
0.13833(
x
28
)3
3.96167(x 28 ),
x [ 28,29]
0.13833( 30-x)3 3.96167( 30 x) 1.51917(x 29 )3
a xb
ba
max max a xb
f(x) L1(x)
a xb
f (ξ ) (x a)(x b) 2
max M2
2
a xb
(x
a)(x
b)
1 (b 8
a)2 M 2
N4 (x) 0.41075 1.116(x 0.4) 0.28(x 0.4)(x 0.55) 0.19733(x 0.4)(x 0.55)(x 0.65) 0.03134(x 0.4)(x 0.55)(x 0.65)(x 0.8)
4
4
(0 (x),y ) = yi =9.404, (1(x),y ) = xi yi =14.422.
i0
i0
法方程组为
5 7.50 A 9.404
7.50
11.875ຫໍສະໝຸດ b14.422,解 得 A 1.122,b 0.505,a e A 3.071,
于 是最 小二 乘 拟合 曲 线为
例1-1 要使 20 的近似值的相对误差限小于 0.1%，要取几位
有效数字？
解：
设取
n
位有效数字，有定理1，
* r
1 2a1
10n1。
由于 20 4.4 ,知 a1 4,故只要取 n 4,就有
r
0.125 103
103
0.1%
即只要对 20 的近似值取 4 位有效数字，其相对误差限就小
于 0.1%。