2020年湖南省长沙一中等八校联考高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(含答案解析)

二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
D. （-∞，-2]
13. 设变量 x，y 满足约束条件：
．则目标函数 z=2x+3y 的最小值为______．
14. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐 王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机选 一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为______．
2.答案：A
解析：解：A={-15，-9，-7，-6，-5，-4，-2，-1，0，1，3，9}， B={x|-1≤x≤5}； ∴A∩B={-1，0，1，3}． 故选：A． 可解出集合 A，B，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．
3.答案：A
．已知函数 f（x）=max{x2-1，2lnx}，
（1）设
，求函数 h（x）在（0，1]上零点的个数；
（2）试探讨是否存在实数 a∈（-2，+∞），使得 g（x）＜ x+4a 对 x∈（a+2，+∞）恒成立？若
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存在，求 a 的取值范围；若不存在，说明理由．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
C. 去年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元
D. 2017 年第一季度 GDP 增速由高到低排位wk.baidu.com 5 的是浙江省
4. 设 0≤x≤2π，且
=sinx-cosx，则（ ）
A. 0≤x≤π
B.
C.
D.
5. 设 x、y、z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：
①x、y、z 均为直线；②x、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x、y 是平面；④x、y、z 均为平面．其
4.答案：C
解析：解：∵
=
∴sinx-cosx≥0，即 sinx≥cosx， ∵0≤x≤2π，
=
=|sinx-cosx|=sinx-cosx，
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∴ ≤x≤ ．
故选：C． 已知等式变形后，利用二次根式的性质判断出 sinx 大于等于 cosx，即可求出 x 的范围． 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
数列{bn}满足
．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）已知
，求数列{cn+bn}的前 n 项和 Tn⋅
18. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD， PC⊥底面 ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E 是 PB 的中点． （Ⅰ）求证：平面 EAC⊥平面 PBC；
C.
D. 25π
8. 已知向量 与 的夹角为 θ，定义 × 为 与 的“向量积”，且 × 是一个向量，它的长度
| × |=| || |sinθ，若 =（2，0）， - =（1，- ），则| ×（ + ）|=（ ）
A. 4
B.
C. 6
D. 2
9. 已知双曲线 - =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为 F1（-c，0），F2（c，0），以线段 F1F2 为
称轴是 x=- ，则 ω 取得最小值时，函数 f（x）的单调增区间是（ ）
A. [3kπ- ，3kπ- ]，k∈Z
B. [3kπ- ，3kπ- ]，k∈Z
C. [2kπ- ，2kπ- ]，k∈Z
D. [2kπ- ，2kπ- ]，k∈Z
11. 已知边长为 的菱形 ABCD 中，∠BAD=60°，沿对角线 BD 折成二面角 A-BD-C 为 120°的四面
A. {-1，0，1，3} B. {-1，0，1，2} C. {-1，0，1}
D. {0，1，2，3}
3. 如图是 2017 年第一季度五省 GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）
A. 2017 年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有 1 个
B. 与去年同期相比，2017 年第一季度五个省的 GDP 总量均实现了增长
中使“x⊥z 且 y⊥z⇒x∥y”为真命题的是（ ）
A. ③④
B. ①③
C. ②③
D. ①②
6. 已知函数 是 R 上的偶函数， 是 R 上的奇函数，且
，若
，则
的值为( )
A. 2
B. 0
C.
D.
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7. 若
的展开式中含有常数项，且 n 的最小值为 a，则
=（ ）
A. 36π
B.
过点 C 的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在 BC
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上，则裁出三角形面积的最大值为______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 已知等差数列{an}的前 n 项和为
，公差 d＞0，S1．、S4．、S16 成等比数列，
直径的圆与双曲线在第二象限的交点为 P，若直线 PF2 与圆 E：（x- ）2+y2= 相切，则双曲线
的渐近线方程是（ ）
A. y=±x
B. y=±2x
C. y=± x
D. y=± x
10. 已知函数 f（x）=2sin（ωx+φ）-1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是 ，函数 y=f（x）图象的一条对
5.答案：C
解析：解：①当直线 X、Y、Z 位于正方体的三条共点棱时，不正确． ②因为垂直于同一平面的两直线平行，正确． ③因为垂直于同一直线的两平面平行，正确． ④如 X、Y、Z 位于正方体的三个共点侧面时，不正确． 答案为：②③． 故选：C． ①举反例，如直线 X、Y、Z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断．③ 用垂直于同一直线的两平面平行判断．④举例，如 X、Y、Z 位于正方体的三个共点侧面时． 本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系，在考查时一般考查判定定理和性质定理以及一 些常见结论或图形的应用
体 ABCD，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A. 25π
B. 26π
C. 27π
D. 28π
12. 已知函数（f x）=（2a+2）lnx+2ax2+5．设 a＜-1，若对任意不相等的正数 x1，x2，恒有
．则
实数 a 的取值范围是（ ）
A. （-3，-1）
B. （-2，-1）
C. （-∞，-3]
的值．
23. 已知函数 f（x）=|2x-a|+|x-2a+3|． （1）当 a=2 时，解关于 x 的不等式 f（x）≤9； （2）当 a≠2 时，若对任意实数 x，f（x）≥4 都成立，求实数 a 的取值范围．
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1.答案：B
-------- 答案与解析 --------
解析：解：∵ =1-ai
解析：解：由 2017 年第一季度五省 GDP 情况图，知： 在 A 中，2017 年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共 2 个， 故 A 错误； 在 B 中，与去年同期相比，2017 年第一季度五个省的 GDP 总量均实现了增长，故 B 正确； 在 C 中，去年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元，故 C 正确； 在 D 中，2017 年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 5 的是浙江省，故 D 正确． 故选：A． 2017 年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南． 本题考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力， 考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．
7.答案：C
解析：解：
的展开式的通项为
，
因为展开式中含有常数项，所以
故 n 的最小值为 5．∴a=5．
所以
=
∴| |=|1-ai|=
=2
即 a2=3 由 a 为正实数 解得 a= 故选：B．
根据复数的运算法则，我们易将 化为 m+ni（m，n∈R）的形式，再根据|m+ni|=
，我们易
构造一个关于 a 的方程，解方程即可得到 a 的值． 本题考查的知识是复数代数形式的混合运算，其中利用复数模的定义构造出关于参数 a 的方程，是 解答本题的关键．
试求 p 关于 k 的函数关系式 P=f（k）；（ii）若
，采用混合检验方式可以使得样本需要
检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求 k 的最大值． 参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln4≈1.3863，ln5≈1.6094，ln6≈1.7918．
21. 记 max{m，n}表示 m，n 中的最大值，如 max g（x）=max{x+lnx，-x2+（a2- ）x+2a2+4a}．
15. 过抛物线 C：y2=2Px（P＞0）的焦点 F 且倾斜角为锐角的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，过线段
AB 的中点 N 且垂直于 l 的直线与 C 的准线交于点 M，若
，则 l 的斜率为______．
16. 如图，已知一块半径为 2 的残缺的半圆形材料 ABC，O 为半圆的圆心，
，残缺部分位于
6.答案：B
解析： 【分析】 根据函数的奇偶性，建立方程关系求出 f（x）是周期为 4 的周期函数，结合函数的周期性进行转化 求解即可． 本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质求出 f（x）是周期为 4 的周期函数是解决本题 的关键． 【解答】 解：∵f（x）是 R 上的偶函数，g（x）是 R 上的奇函数，且 g（x）=f（x-1）， ∴g（-x）=-g（x），即 f（-x-1）=-f（x-1）=f（x+1）， 即-f（x）=f（x+2）， 则 f（x+4）=-f（x+2）=f（x）， 即 f（x）是周期为 4 的周期函数， 若 f（2）=2，则 f（2019）=f（2020-1）=f（-1）=g（0）=0， 故选：B．
2020 年湖南省长沙一中等八校联考高考数学模拟试卷（理科）（5 月份）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. a 为正实数，i 为虚数单位，
，则 a=（ ）
A. 2
B.
C.
D. 1
2. 已知集合 A={x∈Z| ∈Z}，B={x|x2-4x-5≤0}，则 A∩B=（ ）
和
Q 两点，当 时，求△OPQ（O 为坐标原点）面积的取值范围．
分别交于 P、
20. 超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多， 但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕 的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏 迷直到最后死亡． 某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有 n（n∈N*）份血液样本， 每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验 n 次；（2） 混合检验，将其中 k（k∈N*且 k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性， 这 k 份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为 了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总 共为 k+l 次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的， 且每份样本是阳性结果的概率为 p（0＜p＜l）． （1）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过 2 次 检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其中 k（k∈N*且 k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 ξ2（i）试运用概率统计的知识，若 Eξ1=Eξ2，
（其中 t 为参数），以坐标原点 O
为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 A 的极坐标为
，直线 l 经过点 A．曲线 C
的极坐标方程为 ρsin2θ=4cosθ． （1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；
（2）过点
作直线 l 的垂线交曲线 C 于 D，E 两点（D 在 x 轴上方），求
（Ⅱ）若二面角 P-AC-E 的余弦值为 ，求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值．
19. 已知圆 在 MA 上，且满足
及定点
，点 A 是圆 M 上的动点，点 B 在 NA 上，点 G
，点 G 的轨迹为曲线 C．
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（1）求曲线 C 的方程；
（2）设斜率为 k 的动直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，与直线