圆锥曲线中的探索性问题

专题 圆锥曲线中的探索性问题

1．(2016·课标全国乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线

C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .

(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．

2．(2016·)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三

个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；

(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值．

高考必会题型

题型一 定值、定点问题

例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为1

2

，直线l 经过椭圆C 的右

焦点F 交椭圆于A 、B 两点． (1)求椭圆C 的方程；

(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →

，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由．

变式训练1 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点M (5，－2)的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，当直线l 的斜率为－1时，点M 恰为AB 的中点． (1)求抛物线的方程；

(2)抛物线上是否存在一个定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

题型二 定直线问题

例2 在平面直角坐标系xOy 中，过定点C (0，p )作直线与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点．

(1)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值； (2)是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．

变式训练2 椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，F 1、F 2

分别是它的左、右焦点，已知椭圆C 过点(0,1)，且离心率

e ＝

22

3

. (1)求椭圆C 的方程；

(2)如图，设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 的方程为x ＝4，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别交直线l 于D 、E 两点，求F 1D →·F 2E →

的值；

(3)过点Q (1,0)任意作直线m (与x 轴不垂直)与椭圆C 交于M 、N 两点，与l 交于R 点，RM →

＝xMQ →，RN →＝yNQ →

，求证：4x ＋4y ＋5＝0.

题型三 存在性问题

例3 (1)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值围为________．

(2)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

2

，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆T ：

(x ＋2)2＋y 2＝r 2 (r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M ，N .

①求椭圆C 的方程；②求TM →·TN →

的最小值，并求此时圆T 的方程；

③设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点．试问：是否存在使S △POS ·S △POR 最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

变式训练3 (2015·)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是2

2

，

点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →

＝－1. (1)求椭圆E 的方程；

(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →

＋λPA →·PB →

为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

高考题型精练

1.(2015·)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心

率为

22

. (1)求椭圆E 的方程；

(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.

2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P (1，3

2

)在椭圆C 上，O 为坐

标原点．

(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值围；

(3)过椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2

－

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＝1上异于其顶点的任一点P ，作圆O ：x 2＋y 2

＝43的两条切线，切

点分别为M ，N (M ，N 不在坐标轴上)，若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：13m 2＋1

n 2为定值．

3．(2016·)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在

第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .

①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′

k

为定值； ②求直线AB 的斜率的最小值．