. 向量和矩阵范数 向量范数

（ 3） x, y R n ，有 x y x y （ 三 角 不 等 式 ），
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2 范数的性质 已知 x (x1, x2,L , xn)T x x ， x 0, x 1 ，
x x y xy 证 x xyy xy y
3.4 向量和矩阵的范数 3.4.1 向量范数
向量范数用来度量向量长度。
定 义 向 量 x R n 的 范 数x 是 一 个 实 数 ， 且
满足
（ 1）x 0 ，当 且 仅 当 x 0 时 ，x 0 （ 非 负 性 ）。
（ 2） R ， 有 x x （ 齐 次 性 ）。
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向 量 x ， 如 果 lim x (k ) x 0 。 这 里 是 向 量 的 任 一 种 范 数 。 k 在 R n 中 ， 若 在 某 一 种 范 数 意 义 下 向 量 序 列 x ( k ) 收 敛 ， 则 在 任 何 范
数 意 义 下 该 向 量 序 列 仍 收 敛 ， 即 lim x (k ) x* lim x (k ) x* 0 。
（5） I 1 ，其中I 为单位阵。
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矩 阵 范 数 的 另 一 个 定 义 设 A R n n ， 矩 阵A
A sup Ax
x 1 xR n
的范数
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4 常用的矩阵范数
设 A[aij]nn常用的矩阵范数有行（无穷）范数和列（一）范数。
n
A
maxaij
1in j1
n
A 1
maxaij
1jn i1
例如
A

3 0
2
4

A m3 a x 2 ,0 {4 } 5
A m3 a 0 , x 2 {4 } 6 1
范数方便，而另一种范数不方便。
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向量范数的等价定理
，
， 总 存 在 与x m
对 一 切 x Rn成 立 。
给 定 x R n ， 对 于R n 上 的 任 意 两 种 范 数
无 关 的 正 常 数 m ，M ， 使 关 系 式
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矩阵范数的性质
（1）A Rnn ，A 0 ，当且仅当 A 0 ，A 0 （非负性）。
（2） R ，有 A A （齐次性）。 （3）A, B Rnn ，有 A B A B （三角不等
式）。 （4）A, B Rnn ，AB A B（乘积不等式）。
x x M x



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3．4．2 矩阵范数
定义 矩阵 A Rnn 的范数 Ax
A max x0 x
m ax 的含义是取遍所有不为 0 的 x,比值为最大的。
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说明
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4 常用的矩阵范数
n
A


max
1i n
j 1
aij
（行范数）
n
A m ax 1 1 j n i1
aij
（列范数）
A 2
max ( AT A) （ 谱 范 数 ）
其 中 max ( AT A) 表 示AT A 的 最 大 特 征 值 。
A

1

0
2
1

x

1

0

1
Ax


0

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由矩阵范数的定义
有相容性条件
Ax A m ax
x0 x x R n ， A R nn ， A x A x
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例
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矩阵的收敛
Rnn上的任意两种矩阵范数
，


是等价的。

定义5： A(k) 为Rnn上的矩阵序列，若存在Rnn上的
矩阵A，使得：lim A(k) A 0 成立，则称矩阵序列A(k) k
,L
,
xn
}

max{
1 i n
xi
}
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例 求 x (1 , 0 , 1 , 2 ) T 的 三 种 范 数 。
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4 收敛性
定 义 称 R n 中 的 向 量 序 列 x ( k ) 在 范 数 意 义 下 收 敛 于 R n 中 的
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3 三种范数 给定R n 中的 x ( x1, x2 ,L , xn )T
n
xห้องสมุดไป่ตู้1
x1

x2
L

xn

xi
i 1
1
x 2
x12 x22 L
xn2


n

i 1
xi2

2
x

max{ x1
,
x2
k
k
按不同方式规定的范数，其值一般不同。
但 在 各 种 范 数 下 ，考 虑 向 量 序 列 收 敛 性 时 结 论 时 一 致 的 ，一 致 的 含 义
是收敛都收敛，且有相同的极限。
提 出 各 种 范 数 是 为 解 不 同 问 题 时 用 的 ，即 对 某 一 个 问 题 可 能 是 某 一 种
谱半径
定 义 6： 对 于 R n n 上 的 矩 阵 A ， 设 A 的 特 征 值 为 1, 2 ,L , n ， 称 ( A ) m a x { 1, 2 ,L , n} 为 矩 阵 A 的 谱 半
径。
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谱半径的性质
对 于 R n n 上 的 矩 阵 A ， 有 ( A) A 。
若 对 于 R n n 上 的 矩 阵 A 有 A 1 ， 则 I A 为
非奇异阵，且
I A 1 1
1 A
。
给定
A R nn ， 则
lim A k 0
k
的
充
要
条
件
是
(A) 1 ， 其 中 Ak （ k 1,2,L ） 表 示 A 的 k 次 幂 。
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定 义 设 A R nn ， 如 果 存 在 R 使
Ax x 则 称 为 A 的 一 个 特 征 值 。 x 就 是 特 征 值 对 应 的 特 征 向 量 。
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是收敛的，称A为矩阵序列 A(k) 的收敛极限。
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矩阵的收敛
记矩阵序列 A(k) 是收敛于A为：limA(k) A 。 k
Rnn 上的矩阵序列 A(k) 是收敛于A 的充要条件为
lkimai(jk) aij 。 其中ai(jk) 和aij 分别表示A(k) 和A的第i 行第 j 列的元素。