杆件的扭转理论天-
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时可以自由变形。翘曲一致。
非自由扭转 如果杆在受到扭矩作用后，由于支座 或其他约束存在使它在扭转时不能自
（约束扭转）：由变形 。翘曲不一致
（2）按杆件断面形状划分为：
圆断面杆的扭转、非圆断面杆的扭转
薄壁杆件扭转
开口、闭口薄壁杆件扭转
圆断面杆的自由扭转
研究杆件的扭转问题就是在给定的扭矩下求出杆件的扭转应力与变 形（扭角）。满足刚周边假定条件。如下图：最简单的等断面圆杆
开口薄壁断面的扭转惯性矩与壁厚的三次方成正比 例,因此壁厚的大小对扭转惯性矩的影响甚为显著，即 开口薄壁杆件的壁厚越小，其抗扭能力越小，反之薄 壁增加，抗扭能力大大增加。
：
闭口薄壁杆件的自由扭转
其主要特征是：
杆件在扭转时断面中的剪应力将沿着断面形成剪应力流。 用 f 表示。
t 因为壁厚很小，故可认为剪应力沿壁厚不变，
§3-1 直杆的扭转
基本概念 （1）何谓直杆扭转 直杆在两端受到作用于杆断面的大小相等方向相 反的力矩（扭矩）作用，则发生扭转。 （2） 一般直杆扭转变形的特点
① 截面发生扭转变形
② 截面有可能发生翘曲
（3） 直杆扭转划分
（1）按翘曲变形是否受约束划分：
自由扭转与非自由扭转
自由扭转 如果一等断面杆仅在两端受到扭矩作 （纯扭转）： 用，并不受其他任何约束，杆在扭转
Mt
Mt
x
dx
l
断面最大剪应力为：
m ax
Mtr J
（3-1）
式中 M t 为扭矩，r d / 2为
断面半径，Jd4 / 32为
断面的“极惯性矩”
max
设 为杆的扭角，则单位长
度的扭角d / dx 即扭矩为：
d Mt
dx
GJ
（3-2）
如图：内径为和外径为 d=2r 和 D=2R的空心圆 断面
可见梁的上下翼板相互转动了一个角度（即扭角），梁的断面不再为 平面，上下翼板向沿相反的方向发生翘曲。
变形的基本假定条件
刚周边假定： 薄壁杆件在扭转时断面虽然发生翘曲，但(b在) 小变
形情况下可以假定杆件扭转后在其原来平面中的投影 形状与原断面形状相同，即 “刚周边假定”。
假定条件对分析产生的影响：
但翘曲是自由的 在自由扭转条件下，因杆扭转不受阻碍，所以各段面 的翘
曲都相同，因此杆件上平行于杆轴的直线在变形后长度不变且 仍为直线。
②应力分布不同
狭长矩形断面的变形及应力分布
尺度比：
如图：狭长矩形断面（矩形段面长边或高度h 与短边或高度t之比为大于5）的扭率：
变形
φ' M t GJ
称为断面的“扭转惯性矩”
Mt1
M t J1 J
Mt2
MtJ2 J
Mt3
MtJ3 J
M t1M t2M t3M t
M JtJ1M JtJ2M JtJ3Mt
截面的总扭转惯性矩
J J 1 J 2 J 31 3 h 1 t1 3 1 3 h 2 t2 3 1 3 h 3 t3 3
推广到一般（n个狭长矩形）：考虑到实际中 薄壁型钢断面的各组成部分在连接处通过圆 角连成一体，因此刚度略为增加，所以惯性 矩一般公式为：
在计算杆件断面在其平面内的扭转位移时可把断面当作一 刚体一样发生平面运动，断面在扭转时各组成部分的扭角相同。
，
工字形断面在扭转后的变形情况:
φ'1 φ'2 φ'3
截面的变形条件
整个工字形断面的扭矩满足力的平衡条件
M t1M t2M t3M t 截面的力平衡条件
截面的力平衡条件
M t1M t2M t3M t
变形条件
Mt1 Mt2 Mt3 Mt GJ1 GJ2 GJ3 GJ
每个狭长矩形承担的扭矩
wk.baidu.com
Mt1
J1Mt J
Mti
JiMt J
式中：
J1
1 3
h1
t，13
J2
1 3
h，2 t 23
J3
1 3；h3
t
3 3
提示: 截面中的扭矩分布特点：按抗扭抗刚度比进行分配， 刚度较大的矩形，承受较大的扭矩。
剪流为： 式中 A D12 / 4
t Mt D1t Mt J 2 2A
为薄壁管壁中心线所包围的面积
（3-4）
非圆断面的自由扭转
与圆截面自由扭转的最大区别：
①翘曲问题
如果杆件断面不是圆形，则扭转变形特征 有所不同，其主 要差别在扭转时段面不在保持 平面而发生“翘曲”(warping)
极惯性矩为： 内径及外径处的 剪应力分别为：
J D4d4 32
r
Mtr J
及RM JtR
如图可见断面剪力分布
对于薄壁杆件， r 与R相差不大，可近似认为 r 与 R差不多相等
由此：
J D4d4 32
4D13t
（3-3）
式中 D 1(Dd)/2为薄壁管壁厚中心线的直径；t(Dd)/2 为壁厚
右图为工字形断面在自由扭转时的 剪应力分布情况
其分布规律为： 沿壁厚为线性分布，在壁厚中心线 处为零。
任意曲线形状的开口薄壁断面亦可以看作 是狭长矩 形断面组合的结果（图a），故其扭转惯性矩亦可用公式 （3-9）推广得到：
t
J 1 sl t 3ds
30
s1
式中s为沿薄壁断面中心线的坐标;s1为薄壁断面的 长度。
f t
如图：一等断面的闭口薄壁杆件，两端受到扭矩 轴为型心轴。
z
Mt o
x
y
ds dx
Mt x
M t作用而发生扭转。X
fdx
fds
f f dxds x
f
f s
J
a 3
n i1
hi
t
3 i
(3-9)
hi与ti分别为第个狭长矩形断面的长边与短 边的长度，系数 与型钢断面形状有关
截面上的应力分布：
max1
Mt1t1 J1
J1M t J
t1 J1
M t t1 J
maxi
Mtiti Ji
Mtti J
截面上最大应力出现在厚度最大的矩形的长边中点处。
应力分布及最大剪应力
J 1 ht3 3
断面在长边周界中点的剪应力最大，为：
τ max
M tt J
3M t ht2
§3-2 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件的定义
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
薄壁杆件的划分： ①开口薄壁杆件
②闭口薄壁杆件
本章学习的目的：
求解位移及应力
开口薄壁杆件的自由扭转
一等断面的开口薄壁杆件，在两端的扭矩作用下就发生自由扭转。 在自由扭转时，杆件断面不能保持平面而发生翘曲。如图（a）：工字 形梁扭转时的变形情况。
非自由扭转 如果杆在受到扭矩作用后，由于支座 或其他约束存在使它在扭转时不能自
（约束扭转）：由变形 。翘曲不一致
（2）按杆件断面形状划分为：
圆断面杆的扭转、非圆断面杆的扭转
薄壁杆件扭转
开口、闭口薄壁杆件扭转
圆断面杆的自由扭转
研究杆件的扭转问题就是在给定的扭矩下求出杆件的扭转应力与变 形（扭角）。满足刚周边假定条件。如下图：最简单的等断面圆杆
开口薄壁断面的扭转惯性矩与壁厚的三次方成正比 例,因此壁厚的大小对扭转惯性矩的影响甚为显著，即 开口薄壁杆件的壁厚越小，其抗扭能力越小，反之薄 壁增加，抗扭能力大大增加。
：
闭口薄壁杆件的自由扭转
其主要特征是：
杆件在扭转时断面中的剪应力将沿着断面形成剪应力流。 用 f 表示。
t 因为壁厚很小，故可认为剪应力沿壁厚不变，
§3-1 直杆的扭转
基本概念 （1）何谓直杆扭转 直杆在两端受到作用于杆断面的大小相等方向相 反的力矩（扭矩）作用，则发生扭转。 （2） 一般直杆扭转变形的特点
① 截面发生扭转变形
② 截面有可能发生翘曲
（3） 直杆扭转划分
（1）按翘曲变形是否受约束划分：
自由扭转与非自由扭转
自由扭转 如果一等断面杆仅在两端受到扭矩作 （纯扭转）： 用，并不受其他任何约束，杆在扭转
Mt
Mt
x
dx
l
断面最大剪应力为：
m ax
Mtr J
（3-1）
式中 M t 为扭矩，r d / 2为
断面半径，Jd4 / 32为
断面的“极惯性矩”
max
设 为杆的扭角，则单位长
度的扭角d / dx 即扭矩为：
d Mt
dx
GJ
（3-2）
如图：内径为和外径为 d=2r 和 D=2R的空心圆 断面
可见梁的上下翼板相互转动了一个角度（即扭角），梁的断面不再为 平面，上下翼板向沿相反的方向发生翘曲。
变形的基本假定条件
刚周边假定： 薄壁杆件在扭转时断面虽然发生翘曲，但(b在) 小变
形情况下可以假定杆件扭转后在其原来平面中的投影 形状与原断面形状相同，即 “刚周边假定”。
假定条件对分析产生的影响：
但翘曲是自由的 在自由扭转条件下，因杆扭转不受阻碍，所以各段面 的翘
曲都相同，因此杆件上平行于杆轴的直线在变形后长度不变且 仍为直线。
②应力分布不同
狭长矩形断面的变形及应力分布
尺度比：
如图：狭长矩形断面（矩形段面长边或高度h 与短边或高度t之比为大于5）的扭率：
变形
φ' M t GJ
称为断面的“扭转惯性矩”
Mt1
M t J1 J
Mt2
MtJ2 J
Mt3
MtJ3 J
M t1M t2M t3M t
M JtJ1M JtJ2M JtJ3Mt
截面的总扭转惯性矩
J J 1 J 2 J 31 3 h 1 t1 3 1 3 h 2 t2 3 1 3 h 3 t3 3
推广到一般（n个狭长矩形）：考虑到实际中 薄壁型钢断面的各组成部分在连接处通过圆 角连成一体，因此刚度略为增加，所以惯性 矩一般公式为：
在计算杆件断面在其平面内的扭转位移时可把断面当作一 刚体一样发生平面运动，断面在扭转时各组成部分的扭角相同。
，
工字形断面在扭转后的变形情况:
φ'1 φ'2 φ'3
截面的变形条件
整个工字形断面的扭矩满足力的平衡条件
M t1M t2M t3M t 截面的力平衡条件
截面的力平衡条件
M t1M t2M t3M t
变形条件
Mt1 Mt2 Mt3 Mt GJ1 GJ2 GJ3 GJ
每个狭长矩形承担的扭矩
wk.baidu.com
Mt1
J1Mt J
Mti
JiMt J
式中：
J1
1 3
h1
t，13
J2
1 3
h，2 t 23
J3
1 3；h3
t
3 3
提示: 截面中的扭矩分布特点：按抗扭抗刚度比进行分配， 刚度较大的矩形，承受较大的扭矩。
剪流为： 式中 A D12 / 4
t Mt D1t Mt J 2 2A
为薄壁管壁中心线所包围的面积
（3-4）
非圆断面的自由扭转
与圆截面自由扭转的最大区别：
①翘曲问题
如果杆件断面不是圆形，则扭转变形特征 有所不同，其主 要差别在扭转时段面不在保持 平面而发生“翘曲”(warping)
极惯性矩为： 内径及外径处的 剪应力分别为：
J D4d4 32
r
Mtr J
及RM JtR
如图可见断面剪力分布
对于薄壁杆件， r 与R相差不大，可近似认为 r 与 R差不多相等
由此：
J D4d4 32
4D13t
（3-3）
式中 D 1(Dd)/2为薄壁管壁厚中心线的直径；t(Dd)/2 为壁厚
右图为工字形断面在自由扭转时的 剪应力分布情况
其分布规律为： 沿壁厚为线性分布，在壁厚中心线 处为零。
任意曲线形状的开口薄壁断面亦可以看作 是狭长矩 形断面组合的结果（图a），故其扭转惯性矩亦可用公式 （3-9）推广得到：
t
J 1 sl t 3ds
30
s1
式中s为沿薄壁断面中心线的坐标;s1为薄壁断面的 长度。
f t
如图：一等断面的闭口薄壁杆件，两端受到扭矩 轴为型心轴。
z
Mt o
x
y
ds dx
Mt x
M t作用而发生扭转。X
fdx
fds
f f dxds x
f
f s
J
a 3
n i1
hi
t
3 i
(3-9)
hi与ti分别为第个狭长矩形断面的长边与短 边的长度，系数 与型钢断面形状有关
截面上的应力分布：
max1
Mt1t1 J1
J1M t J
t1 J1
M t t1 J
maxi
Mtiti Ji
Mtti J
截面上最大应力出现在厚度最大的矩形的长边中点处。
应力分布及最大剪应力
J 1 ht3 3
断面在长边周界中点的剪应力最大，为：
τ max
M tt J
3M t ht2
§3-2 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件的定义
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
薄壁杆件的划分： ①开口薄壁杆件
②闭口薄壁杆件
本章学习的目的：
求解位移及应力
开口薄壁杆件的自由扭转
一等断面的开口薄壁杆件，在两端的扭矩作用下就发生自由扭转。 在自由扭转时，杆件断面不能保持平面而发生翘曲。如图（a）：工字 形梁扭转时的变形情况。